Lista 1 CIII

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Educação Aberta e a Distância-UAB-UFPI
Departamento de Matemática
Professor: Antonio Wilson Rodrigues da Cunha
1a Lista de Cálculo III
Teresina 14/06/2021
1. Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
a)f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2 b)f(x, y) = cosx sin y c)f(x, y) = ln y
d)f(x, y) = sin(3y − x) e)f(x, y, z) = xz − 3y2xz + 4xyz f)f(x, y, z) = 2xyz
x2+y2+z2
2. Seja f(x, y) = 4− x2 − 2y2. Determine ∂f∂x (1, 1) e
∂f
∂y (1, 1).
3. Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto indicado.
(a) f(x, y) = x2y3 − 4y no ponto P (2,−1).
(b) f(x, y) = sin(2x+ 3y) no ponto P (−6, 4).
(c) f(x, y, z) =
√
x+ yz no ponto P (1, 3, 1).
4. Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x2 − y2 no ponto P (1, 2) e na direção do vetor
v = (0, 1).
5. Se f(x, y, z) = x sin yz, determine o gradiente de f e a derivada direcional de f no ponto P (1, 3, 0) na
direção do vetor v = i+ 2j− k.
6. Dada a função z =
√
2xy − y2, determine ∂2z∂y∂x .
7. O Laplaciano de uma função de duas variáveis é dado por
∆f =
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
.
Mostre que a função f(x, y) = ex sin y satisfaz a equação de Laplace ∆f = 0.
8. A equação da onda
∂2f
∂t2
= λ2
∂2f
∂x2
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma
corda vibrante. Veri�que se a função f(x, t) = sin(x− λt) satisfaz a equação da onda.
9. Determine o ponto do plano 3x+ 2y + z − 12 = 0 cuja a soma dos quadrados das distâncias a (0, 0, 0)
e (1, 1, 1) seja mínima.
10. Determine a menor distância entre o ponto P (2, 0, 3) e o plano x+ y + z = 1.
11. Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos
de suas 12 arestas seja uma constante.
12. Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função f(x, y) =
x2 + y2 sujeita à restrição xy = 1.
13. Calcule as seguinte integrais iteradas:
a)
∫ 4
1
∫ 2
0
(6x2 − 2x)dydx b)
∫ 2
0
∫ π/2
0
x sin ydydx c)
∫ 1
0
∫ 2
1
xex
y
dydx
d)
∫ 2
0
∫ π
0
r sin2 θdθdr e)
∫ 1
0
∫ 1
0
xy
√
x2 + y2dydx f)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dxdy
14. Seja Ω o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Calcule
∫∫
Ω
f(x, y) dxdy, sendo f(x, y) dada por:
a)
√
x+ y b)y cosxy c)yexy
15. Calcule a integral dupla
(a)
∫∫
R
sin(x+ y) dA, R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ π/2}
(b)
∫∫
R
xy2
x2 + 1
dA, R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3}
(c)
∫∫
R
x sin(x+ y) dA, R = [0, π/6]× [0, π/3]
(d)
∫∫
R
ye−xy dA, R = [0, 2]× [0, 3]
16. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x + 6y − 2z + 15 = 0 e acima do
retângulo R = {(x, y);−1 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}
17. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide elíptico z = 3y2− x2 + 2 e acima
do retângulo R = {(x, y);−1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}
18. Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16−x2 e pelo plano y = 5
19. Calcule as integrais abaixo
a)
∫ 4
0
∫ √y
0
−xy2dxdy b)
∫ 1
0
∫ x
x2
(1 + 2y)dydx c)
∫ 1
0
∫ s2
0
cos(s3)dtds
d)
∫ 1
0
∫ 2
2x
(x− y)dydx e)
∫ 2
0
∫ 2y
y
xydxdy f)
∫ 1
0
∫ v
0
√
1− v2dudv
20. Calcular a integral dupla
∫∫
Ω
xy2 dxdy, onde Ω é um campo limitado pela parábola y2 = 4x e pela
reta x = 2.
21. Calcule a integral dupla
(a)
∫∫
Ω
y2 dA, Ω = {(x, y);−1 ≤ y ≤ 1, −y − 2 ≤ x ≤ y}
(b)
∫∫
Ω
y
x5 + 1
dA, Ω = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}
(c)
∫∫
Ω
y3 dA, Ω = {(x, y); 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ lnx}
22. Calcule a integral dupla
(a)
∫∫
Ω
x cos y dA onde Ω é limitada por y = 0, y = x2, x = 1
(b)
∫∫
Ω
xy2 dA onde Ω é limitada por x = 0 e x =
√
1− y2
(c)
∫∫
Ω
2xy dA onde Ω é a região triangular com vértices (0, 0), (1, 2), (0, 3)
23. Determine o volume do sólido dado.
(a) Abaixo do plano x− 2y + z = 1 e acima da região limitada por x+ y = 1 e x2 + y = 1
(b) Limitado pelo parabolóide z = x2 + 3y2 e pelos planos x = 0, y = 1, y = x e z = 0
(c) Limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e y2 + z2 = r2.
24. Calcule a integral dupla colocando-a em coordenadas polares.
(a)
∫∫
Ω
x2y dA onde Ω é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.
(b)
∫∫
R
sin(x2 + y2) dA onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na
origem e raios 1 e 3.
(c)
∫∫
Ω
e−x
2−y2 dA onde Ω é a região limitada pelo semicírculo x =
√
4− y2 e o eixo Oy.
25. Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
(a) Um laço da rosácea r = cos 3θ;
(b) A região dentro do círculo (x− 1)2 + y2 = 1 e fora do círculo x2 + y2 = 1;
(c) A região limitada pelas cardióides r = 1 + cos θ e r = 1− cos θ;
26. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
(a) Abaixo do cone z =
√
x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 4;
(b) Dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4;
(c) Acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 16.
27. Determine a área da superfície dada da seguinte forma.
(a) A parte do plano 6x+ 4y + 2z = 1 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 25;
(b) A parte do 3x+ 2y + z = 6 plano que está no primeiro octante;
(c) A parte da superfície z = 1 + 3x+ 2y2 que está acima do triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e (2, 1);
(d) A parte da esfera x2 + y2 + z2 = r2 que está dentro do cilindro x2 + y2 = rx e acima do plano xy.
Have a nice work!