Teste de conhecimento - Cálculo de Múltipas Integrais

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Teste de Conhecimento Cálculo de Integrais Múltiplas
Aula 1 - Integrais Múltiplas
1. A integral tripla pode ser utilizada para o cálculo de volume de regiões limitadas no espaço, assim como para determinação de sua massa. Utilizando os conceitos para o cálculo de integrais e tomando as regiões limitadas apresentadas, calcule a integral tripla da função f(x,y,z)=z limitada por 0≤x≤1 ,0≤y≤4 e 0≤z≤1. R: 2
O cálculo da parcial em relação a x é igual a z, em relação a y é igual a 4z, e em relação a z é igual a 2.
2. O __________________de uma função associa a cada par ordenado do domínio da função um vetor, que é denominado vetor gradiente. Esse vetor é perpendicular às curvas de nível da função (são curvas para as quais o valor da função é constante) e fornece a direção de maior variação da função. Ele é considerado um operador diferencial. R: Gradiente
O gradiente de uma função associa a cada par ordenado do domínio da função um vetor, que é denominado vetor gradiente. Esse vetor é perpendicular às curvas de nível da função (são curvas para as quais o valor da função é constante) e fornece a direção de maior variação da função. Ele é considerado um operador diferencial
3. Qual é o valor de →G (0)G→ (0) para que a função →G (t)=⟨ett+1, √t+1 −1t, 2 sen tt⟩G→ (t)=⟨ett+1, t+1 −1t, 2 sen tt⟩ seja contínua em t = 0? R: A resposta certa é ⟨1, 12, 2⟩⟨1, 12, 2⟩
4. Em diversas aplicações dos mais variados setores do conhecimento, nos deparamos com grandezas que não são representadas apenas como um ponto em uma escala. São grandezas que, além de serem expressas por uma quantidade, apresentam direção e sentido. Essas grandezas são denominadas vetores ou grandezas vetoriais. Assinale a alternativa que apresenta apenas grandezas vetoriais e portanto precisam de um vetor para caracterizá-las: R; Força e Aceleraçao
São grandezas escalares: Tempo, Temperatura, Volume, Massa, Trabalho de uma Força, etc. Aquelas que necessitam de uma direção e um sentido, além do valor numérico e da unidade de medida, são chamadas de grandezas vetoriais. As grandezas massa, temperatura, trabalho e volume não são grandezas vetoriais.
5. Dada a função, determine f(1,2): R; 10
6. Considere uma função de várias variáveis F(x,y). Ao estudar seu comportamento por meio de derivadas parciais, quantas derivadas de segunda ordem podem ser calculadas? 
R: 
7. A tabela abaixo mostra os dados utilizados para construir gráfico à direita. Selecione a alternativa que apresenta o domínio para a resolução de uma integração dupla para a região entre as curvas azul e laranja
R; D={(x,y)|0≤x≤5,x²≤y≤5.x}D={(x,y)|0≤x≤5,x²≤y≤5.x}
8. Dois estudantes de engenharia estão discutindo a lista de exercícios de integrais duplas para calcular o volume de um sólido V, obtido a partir da intersecção das superfícies 2x + 4y + z = 8, z = 0, y = 0 e x = 0.
O estudante 1 afirma que a integral que deverá ser resolvida será:
O estudante 2 afirma que a integral que deverá ser resolvida será:
	
Em relação às afirmações dos estudantes, julgue a verdadeira: R; Ambos estão corretos
As duas afirmações estão corretas. Podemos montar nossas integrais tanto olhando a variação numérica de y primeiro e depois x, como podemos fazer ao contrário. Basta analizarmos as regiões, para determinar os limitantes.
9. O Teorema de Green é uma grande ferramenta para o cálculo de integrais de linha. Seu resultado permite relacionar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. 
Utilizando o Teorema de Green, determine a integral de linha ∮Vxydx+x2dy∮Vxydx+x2dy, onde V é um retângulo com vértices (0,0), (3,0), (3,1), (0,1). R; 9/2
Aplicar o teorema de Green, considerando a derivada parcial de Q em relação a x, menos derivada parcial de P em relação a y.
P(x,y)=xy
Q(x,y)=x2x2
Montar o retângulo para encontrar os limitantes 0≤x≤30≤x≤3 e 0≤y≤10≤y≤1
∬V 2x−xdxdy∬V 2x−xdxdy
10. Uma das principais aplicações da integral de linha pode ser encontrada na análise de campos vetoriais, sobretudo em eletromagnetismo. Um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo o ponto de uma variedade diferenciável, ou seja, um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz. 
A integral de linha nesta região do campo vetorial precisa que a função vetorial e a região delimitada (curva) estejam parametrizadas sob a mesma variável, normalmente indicada pela letra t.
Considere um campo vetorial de força indicado pela função →F(x,y,z)=x.y^i+y.z^j+z.x^kF→(x,y,z)=x.yi^+y.zj^+z.xk^. Sabendo que a curva a ser utilizada neste campo é definida pela função →r(t)=t^i+t²^j+t³^kr→(t)=ti^+t²j^+t³k^, e que a parametrização dela em relação às variáveis cartesianas é dada por x=t,y=t²,z=t³(0≤t≤1)x=t,y=t²,z=t³(0≤t≤1), selecione a alternativa que apresenta a forma correta da integral após os ajustes necessários para sua resolução.
∫C→F⋅d→r=∫10(t³+5.t6)dt∫CF→⋅dr→=∫01(t³+5.t6)dt
Aula 2
1. Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por s(x,y,z) = z. R; Será (17 ππ) / 8 u.m
2. Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos:
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz R: 27/4
3. Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz. R: 1
4. Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2ex2, ou seja, eu onde  u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e  0<= y <= x. R; (e−1)2
Explicação:
∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0xeudydxondeu=x2
∫10yex2dx∫01yex2dx passando os limites de integracao de  y temos  ∫10xex2dx∫01xex2dx
chame u = x2  e du = 2x dx
∫12eudu=12ex2∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=e−12
5. Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. R: 1 u.v
Explicação:
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1
6. Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x  está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4  e y esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4  e  1≤y≤21≤y≤2 . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ?
R: A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1
Explicação:
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4  e y varia no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy:
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos  3 ( 2-1) = 3
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y)= 1
7. Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. R; 48
8. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. R; 216/35
Aula 3
1. Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5. R: 125
2. Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2  esta definida em R = [0,1] x[0,1]. R: 2/3
3. O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como: R: (1, PI/2; 2).
4. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. R: Volume 1/3 u.v
5. Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz R: 27/4.
Aula 4
1. Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1). R; 2/5
2. Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z  e  ττ o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t) = (t,t,t), t ∈ [0,1]. R: 2√3
3. Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2).
∫γ(x+y)dx+(y-x)dy R: 11 
Aula 5
1. Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16. R; −32π
2. Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. Considerar F(x, y, z) = 1. R: 1/6
3. Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo. R: 1/4
4. Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3]. R; 1/2(e-1)(e6e6-1)
5. Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx R: 70/3
6. Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS  onde C é uma semicircunferência
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. R: 36
7. Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2  tendo com limites de integração  y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8. R: (- cos 64 +1):3
8. Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. R; 8(u.v.)
Aula 6
1.
R: 9/2 u.v - Explicação: O aluno usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td=""> 
2. Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy
R: `2pi
3. Seja uma superfície parametrizada por (u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 ππ e v Determine o vetor normal a S em 
 O vetor normal será (-2,0,-1)
4. A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar: R: πr²
5. Seja uma superfície parametrizada por (u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 ππ e v Determine  a equação do plano tangente a S em 
R: 2x + z - 2 = 0
6. Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0.
R: 5/4
Aula 7
1. Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório.
R: 7pi/96
2. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 ,  x = 0 e y = 0.
R: (3/4) ( e - 1/e)
3. Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
R: 2π2
4. Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em:
R: (sqrt(2);pi/4 ; 1)
5. Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
R: 4 * (14)^(1/2)
Aula 8
1. Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
R: 16
2. Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h.
R: 2 a2h
3. Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por (x,y,z) = y2.
R: M = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4  u.m
4. Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro
( x - 1)2 + y2 = 1.  Determine a massa dessa lâmina se a densidade no
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy.
R: k√2k2ππu.m.
5. Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz
R: 1
6. Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.
R: -1/2
Aula 9
1. Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo, 0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e.
R: pi/4
2. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas  y = 2x2  e  y = 1 + x 2.
R: 32/15
3. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas  y = 2x2  e  y = 1 + x 2.
R: 32
4. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.
R: 16
5. Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de:
R: 8 pi. A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1
6. Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima,
R: 16
Aula 10
1. Seja S a parte do cilindro x2 + y2  = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por  ʃ  ʃ z dS.
R: 3 ππ/2
2. Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0.
R: 4 a3
3. Determine o fluxo do campo vetorial → F(x,y,z) = z→i + y→i + x→k F→(x,y,z) = zi→ + yi→ + xk→ sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. 
R: 43π