LIsta_de_exercicicos_A3 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável

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Aula 3 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM GABARITO 
 
01. Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 1 no ponto 𝑥0 = 2. 
 
02. Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ no ponto 𝑥0 = 2. 
 
03. Calcule a derivada da função produto 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 1) ∙ (𝑥4 + 2). 
 
04. Calcule a derivada da função quociente 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
𝑥3+1
. 
 
05. Calcule a devida da função 𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑒3𝑥. 
 
06. Calcule a devida da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 
2
𝑥
)3. 
 
07. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥𝑦, por derivação implícita. 
 
08. Calcule a deriva a seguir por derivação logarítmica 
 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³. 
 
09. Calcule as retas tangente e a reta normal à função 𝑦 = 2𝑥3 + 1 no ponto 𝑥0 = 1. 
 
10. Calcule a reta tangente e a reta normal à função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) no ponto 𝑥0 =
𝜋
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resoluções passo a passo 
01. Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 1 no ponto 𝑥0 = 2. 
Resolução: 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(2𝑥2 − 1) − (7)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
2𝑥2 − 8
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
2(𝑥 + 2) = 
𝑓′(2) = 2(2 + 2) = 
𝑓′(2) = 8 
Portanto a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 1 é derivável, ou diferenciável no ponto 𝑥0 = 2 e tem valor 
𝑓′(2) = 8. 
 
02. Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ no ponto 𝑥0 = 2. 
Resolução: 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑥3 − 8
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2𝑥 + 4) = 
𝑓′(2) = 2² + 2 ∙ 2 + 4 = 
𝑓′(2) = 12 
 
 
 
 
 
03. Calcule a derivada da função produto 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 1) ∙ (𝑥4 + 2). 
Resolução: 
Usando a tabela de devidas e as regras de derivação, temos que 
𝑓′(𝑥) = (𝑥3 + 1)(4𝑥3) + (3𝑥²)(𝑥4 + 2) = 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥6 + 4𝑥3 + 3𝑥6 + 6𝑥² 
𝑓′(𝑥) = 7𝑥6 + 4𝑥3 + 6𝑥² 
 
04. Calcule a derivada da função quociente 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
𝑥3+1
. 
Resolução: 
Usando a tabela de devidas e as regras de derivação, temos que 
𝑓′(𝑥) =
(2𝑥)(𝑥3 + 1) − (𝑥2 + 1)(3𝑥2)
(𝑥3 + 1)²
 
𝑓′(𝑥) =
2𝑥4 + 2𝑥 − 3𝑥4 − 3𝑥2
(𝑥3 + 1)²
 
𝑓′(𝑥) =
−𝑥4 − 3𝑥2 + 2𝑥
(𝑥3 + 1)²
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. Calcule a devida da função 𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑒3𝑥. 
Resolução: 
Usando a regra da cadeia, 
𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑒3𝑥 = 
𝑓(𝑥) = (1 + 2𝑒3𝑥)
1
2 = 
Para efeito de cálculo consideraremos 𝑢 = 1 + 2𝑒3𝑥. Portanto, teremos: 
𝑓(𝑥) = (𝑢)
1
2 
E nesse caso, seguindo a fórmula 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
, ficamos com 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=
1
2
(𝑢)
1
2
−1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥 
Assim, 
𝑓′(𝑥) =
1
2
(𝑢)
1
2
−1 ∙ (2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
2
(𝑢)−
1
2 ∙ (2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
(2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥)
2√𝑢
 
Substituindo o valor de 𝑢 = 1 + 2𝑒3𝑥 
𝑓′(𝑥) =
2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥
2√1 + 2𝑒3𝑥
 
𝑓′(𝑥) =
3 ∙ 𝑒3𝑥
√1 + 2𝑒3𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. Calcule a devida da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 
2
𝑥
)3. 
Resolução: 
Usando a regra da cadeia, 
Aplicando 𝑢 = 𝑥 − 
2
𝑥
= 𝑥 − 2𝑥−1 
𝑓(𝑥) = (𝑢)3 
Aplicando 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3(𝑢)2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 − 2𝑥−2 
Portanto, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(𝑢)2 ∙ (1 − 2𝑥−2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(𝑥 − 
2
𝑥
)2 ∙ (1 − 2𝑥−2) 
𝑓′(𝑥) = 3 (𝑥 − 
2
𝑥
)
2
∙ (1 −
2
𝑥²
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥𝑦, por derivação implícita. 
Resolução: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥 + 3𝑥𝑦) 
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥
(3𝑥𝑦) 
 
Nesse ponto identificamos duas derivadas de produto de funções. 
Portanto, 
 
(𝑒𝑦) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + (𝑒𝑦 ∙ 𝑦′) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 + 3𝑥𝑦′ + 3𝑦 
 
Separando termos com 𝑦′, 
 
𝑒𝑦 ∙ 𝑦′ ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑥 ∙ 𝑦′ = 2 + 3𝑦 − 𝑒𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Evidenciando 𝑦′, 
 
𝑦′(𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑥) = 2 + 3 𝑦 − 𝑒𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Isolando 𝑦′, 
 
𝑦′ =
2 + 3𝑦 − 𝑒𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08. Calcule a deriva a seguir por derivação logarítmica 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³. 
Resolução: 
𝑦 = (2𝑥2 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³ 
ln [𝑦] = ln [(2𝑥2 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³] 
ln(𝑦) = ln(2𝑥2 − 2)² + ln (𝑥4 + 2)³] 
ln(𝑦) = 2 ln(2𝑥2 − 2) + 3ln (𝑥4 + 2)] 
Derivando implicitamente 
1
𝑦
𝑦′ =
2
(2𝑥2 − 2)
(4𝑥) +
3
(𝑥4 + 2)
(4𝑥3) 
 
1
𝑦
𝑦′ =
8𝑥
(2𝑥2 − 2)
+
12𝑥3
(𝑥4 + 2)
 
 
1
𝑦
𝑦′ =
8𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(2𝑥2 − 2)
(2𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
 
 
𝑦′ = 𝑦 ∙ [
8𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(2𝑥2 − 2)
(2𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
] 
Substituindo o valor original de y (enunciado) 
𝑦′ = (2𝑥2 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³ ∙ [
8𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(2𝑥2 − 2)
(2𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
] 
 
𝑦′ = (2𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2)² ∙ [8𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(2𝑥2 − 2)] 
 
𝑦′ = (2𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2)² ∙ [8𝑥5 + 16𝑥 + 24𝑥5 − 24𝑥³] 
 
𝑦′ = (2𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2)² ∙ [32𝑥5 − 24𝑥³ + 16𝑥] 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. Calcule as retas tangente e a reta normal à função 𝑦 = 2𝑥3 + 1 no ponto 𝑥0 = 1. 
Resolução: 
1° passo. 
Por se tratar de um ponto precisamos calcular a ordenada 𝑦0. 
𝑦0 = 2(1)
3 + 1 
𝑦0 = 3 
2° passo. 
Derivar a função 
𝑦 = 2𝑥3 + 1 
𝑦′ = 6𝑥² 
3° passo. 
Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo o valor de 𝑥0 = 1 na derivada da 
função. 
𝑦′ = 6(1) 
𝑦′ = 6, esse é o valor do coeficiente angular (𝑚𝑡 = 6) da reta tangente no ponto (1, 3) 
4° passo. 
Calcular a reta tangente pelo feixe de retas. 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 3 = 6(𝑥 − 1) 
𝑦 − 3 = 6𝑥 − 6 
𝑦 = 6𝑥 − 3 (Reta tangente ao ponto) 
 
Cálculo da reta normal. 
Como a reta normal é perpendicular à reta tangente, podemos definir que (𝑚𝑁 = − 
1
𝑚𝑡
). 
Portanto, 𝑚𝑁 = −
1
6
. 
Aplicando no feixe de retas, 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 3 = −
1
6
(𝑥 − 1) 
6(𝑦 − 3) = −(𝑥 − 1) 
6𝑦 − 18 = −𝑥 + 1 
6𝑦 = −𝑥 + 19 
𝑦 =
−𝑥 + 19
6
 
𝑦 = −
𝑥
6
+
19
6
 (Reta normal ao ponto) 
 
10. Calcule a reta tangente à função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) no ponto 𝑥0 =
𝜋
3
. 
Resolução: 
1° passo. 
Por se tratar de um ponto precisamos calcular a ordenada 𝑦0. 
𝑦0 = 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
3
) 
𝑦0 =
√3
2
. 
2° passo. 
Derivar a função 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑥(𝑥) 
𝑦′ = cos (𝑥) 
3° passo. 
Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo o valor de 𝑥0 =
𝜋
3
 na derivada da 
função. 
𝑦′ = cos (
𝜋
3
) 
𝑦′ =
1
2
, esse é o valor do coeficiente angular (𝑚𝑡 =
1
2
) da reta tangente no ponto (
𝜋
3
, 
√3
2
) 
4° passo. 
Calcular a reta tangente pelo feixe de retas. 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 −
√3
2
=
1
2
(𝑥 −
𝜋
3
) 
𝑦 −
√3
2
=
1
2
𝑥 −
𝜋
6
 
𝑦 =
1
2
𝑥 −
𝜋
6
+
√3
2
 (Reta tangente ao ponto)