T5 Fonte de Tensão, Corrente e Resistência - Exercícios com Resolução

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Fonte de Tensão, Corrente e Resistência 
Lista de Exercícios 
Básicos 
1. Suponha que um fio de cobre conduz uma corrente até uma lâmpada. O fio de cobre tem um raio 
de 0,815 𝑚𝑚 e conduz uma corrente de 1 𝑚𝐴 . Sendo a densidade de elétrons livres do cobre 
tipicamente da ordem de 1 × 1029 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠/𝑚3. Calcule: 
a. A velocidade de deriva dos elétrons livres nesse fio. 
b. O tempo que o elétron leva para percorrer 1 cm de fio. 
a) A corrente é a taxa de variação da carga e pode ser descrita pela equação: 
𝑖 = 𝑞𝑛𝐴𝑣𝑑 
A velocidade de deriva é a velocidade de deslocamento dos elétrons no condutor. Isolando: 
𝑣𝑑 =
𝑖
𝑞𝑛𝜋𝑅2
 
Substituindo os valores, lembrando de fazer a conversão 1 𝑚𝐴 = 1 × 10−3 𝐴 e 0,815 𝑚𝑚 = 8,15 ×
10−4𝑚: 
𝑣𝑑 =
1 × 10−3
1,6 × 10−19 . 1 × 1029 . 𝜋 (8,15 × 10−4)2
 
𝑣𝑑 = 3 × 10
−8 𝑚/𝑠 
b) Considerando que o elétron se desloca com velocidade constante, temos: 
𝛥𝑡 =
𝛥𝑥
𝑣𝑑
 
Substituindo os valores sem esquecer de converter as unidades (1 𝑐𝑚 = 1 × 10−2 𝑚) 
𝛥𝑡 =
1 × 10−2
3 × 10−8
 
𝛥𝑡 = 3,33 × 105 𝑠 
2. Calcule a corrente na parte externa do fio, entre as distâncias radiais 𝑅/2 e 𝑅 em um fio cilíndrico 
de raio 𝑅 = 2 𝑚𝑚 quando: 
a. A densidade de corrente é uniforme ao longo da seção reta e igual a 2 × 105 𝐴/𝑚2. 
b. A densidade de corrente varia com a distância radial 𝑟 de acordo com a equação 𝐽 = 𝑎𝑟2 
onde 𝑎 é uma constante de valor 3 × 1011 𝐴/𝑚4 e 𝑟 está em metros. 
a) Dada a densidade de corrente, a corrente pode ser determinada pela relação: 
𝑖 = ∫ 𝐽 . �̂� 𝑑𝐴 
No caso mais simples, onde a distribuição da corrente ao longo da seção reta é homogênea, com os 
portadores de carga se deslocando perpendicularmente à normal temos 𝐽 �̂� = 𝐽. 
𝑖 = ∫ 𝐽 𝑑𝐴 
Sendo a densidade de corrente 𝐽 constante: 
𝑖 = 𝐽𝐴 
A área de interesse é apenas a do anel superior, compreendido entre 𝑅/2 e 𝑅: 
 
Note que não é metade da área total. A área de um anel é dado por 𝐴 = 𝜋𝑅𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
2 − 𝜋𝑅𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
2 : 
𝑖 = 𝐽 [𝜋𝑅2 − 𝜋 (
𝑅
2
)
2
] 
Manipulando algebricamente para torna-la mais simples: 
𝑖 = 𝐽 [𝜋𝑅2 −
𝜋𝑅2
4
] 
𝑖 = 𝐽
3
4
𝜋𝑅2 
Substituindo os valores, fazendo a conversão da unidade R = 2 mm = 2 × 10−3 m: 
𝑖 = 2 × 105 .
3
4
 𝜋 (2 × 10−3)2 
𝑖 = 1,88 𝐴 
b) Partir novamente da equação que relaciona 𝑖 e 𝐽: 
𝑖 = ∫ 𝐽 . �̂� 𝑑𝐴 
Nessa segunda situação, os portadores de carga continuam fluindo perpendicularmente à seção reta de 
área A (𝐽. �̂� = 𝐽). Porém, ela não será mais constante: 
𝑖 = ∫ 𝐽 𝑑𝐴 
De acordo com o enunciado, 𝐽 = 𝛼𝑟2: 
𝑖 = ∫ 𝑎𝑟2 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑅
𝑅/2
 
Manipulando para torna-la mais simples temos: 
𝑖 = 2𝜋𝑎 ∫ 𝑟3𝑑𝑟
𝑅
𝑅/2
 
A integração é trivial: ∫ 𝑟3 =
𝑟4
4
. Aplicando os limites de integração: 
𝑖 = 2𝜋𝑎
𝑟4
4
|
𝑅
𝑅/2
 
𝑖 = 2𝜋𝑎 [
𝑅4
4
−
(𝑅/2)4
4
] 
E simplificando a equação: 
𝑖 = 2𝜋𝑎 [
𝑅4
4
−
𝑅4
244
] 
𝑖 = 2𝜋𝑎 [
16𝑅4 − 𝑅4
64
] 
𝑖 =
15
32
𝜋𝑎𝑅4 
Substituindo os valores: 
𝑖 =
15
32
𝜋 . (3 × 1011) . (0,002)4 
𝑖 = 7,07 𝐴 
3. Uma amostra de ferro (𝜌 = 9,68 × 10−8 Ω . 𝑚) em forma de paralelepípedo tem dimensões 
1,2 𝑐𝑚 × 1,2 𝑐𝑚 × 15 𝑐𝑚. Uma diferença de potencial é aplicada à amostra entre faces paralelas e 
de tal forma que as faces são superfícies equipotenciais. Determine a resistência da amostra se as 
faces paralelas forem: 
a. As extremidades quadradas (1,2 𝑐𝑚 × 1,2 𝑐𝑚). 
b. As extremidades retangulares (1,2 𝑐𝑚 × 15 𝑐𝑚). 
a) A resistência, em termos das variáveis fornecidas pelo enunciado, é dada por: 
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
 
Para essa primeira situação a configuração descrita corresponde à figura abaixo: 
 
Sendo a área do quadrado 𝐴 = 𝑙2 e fazendo a conversão das unidades (1,2 𝑐𝑚 = 1,2 × 10−2 𝑚 e 15 𝑐𝑚 =
15 × 10−2 𝑚) 
𝑅 =
9,68 × 10−8 . 15 × 10−2
(1,2 × 10−2)2
 
𝑅 = 1,01 × 10−4 Ω 
b) Para a segunda situação: 
 
A área, agora, é a de um retângulo 𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎: 
𝑅 =
9,68 × 10−8 . 1,2 × 10−2
15 × 10−2. 1,2 × 10−2
 
𝑅 = 6,45 × 10−7Ω 
4. Calcule a resistência equivalente das associações de resistores abaixo, sendo 𝑅1 = 100 Ω, 𝑅2 =
120 Ω, 𝑅3 = 150 Ω, 𝑅4 = 220 Ω, 𝑅5 = 100 Ω, 𝑅6 = 120 Ω. 
 
a) A diferença de potencial é aplicada 
entre os pontos A e B. 
 
b) 
 
 
a) Lembre-se que quando há apenas um caminho possível de ser percorrido por uma carga entre dois 
resistores eles estão em série e, se houver uma bifurcação ou mais caminhos entre os resistores 
(como nos pontos A e B) eles estão em paralelo. 
 
Para simplificar o circuito, primeiramente notamos que entre os nós A e B, temos os pares em série 
𝑅1com 𝑅2 e 𝑅4 com 𝑅5. Assim: 
𝑅12 = 𝑅1 + 𝑅2 
𝑅12 = 100 + 120 
𝑅12 = 220 Ω 
E 
𝑅45 = 𝑅4 + 𝑅5 
𝑅45 = 220 + 100 
𝑅45 = 320 Ω 
Desse modo, o circuito se simplifica para: 
 
Estando os três resistores em paralelo: 
1
Req
=
1
R12
+
1
R3
+
1
R45
 
1
Req
=
1
220
+
1
150
+
1
320
 
Req = 69,74 Ω 
b) Para simplificar esse circuito, começamos pelos resistores mais internos, o 𝑅4 e o 𝑅5 que estão em 
paralelo: 
1
𝑅45
=
1
𝑅4
+
1
𝑅5
 
1
𝑅45
=
1
220
+
1
100
 
Req = 68,75 Ω 
E o circuito se simplifica para: 
 
Os resistores 𝑅3 e 𝑅45 estão em série: 
𝑅345 = 𝑅3 + 𝑅45 
𝑅345 = 150 + 68,75 
𝑅345 = 218,75 
E o circuito fica: 
 
Finalmente, lembrando que sempre simplificamos o circuito a partir dos resistores mais internos, 
encontramos a resistência equivalente entre 𝑅2 e 𝑅345: 
1
𝑅2345
=
1
𝑅2
+
1
𝑅345
 
1
𝑅2345
=
1
120
+
1
218,75
 
1
𝑅2345
=
1
120
+
1
218,75
 
𝑅2345 = 77,49 
E o circuito se simplifica para: 
 
Finalmente, como os três resistores estão em série: 
𝑅𝑒𝑞 = 100 + 77,49 + 120 
𝑅𝑒𝑞 = 297,49 𝛺 
5. Um pedaço de fio resistivo, feito de uma liga de níquel, cromo e ferro, tem uma resistência de 
72 Ω. Determine a taxa com a qual a energia é dissipada: 
a. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada às extremidades do fio. 
b. O fio é cortado pela metade e cada um dos dois pedaços é submetido a uma diferença de 
potencial de 120 V. 
a) A potência dissipada é dada por: 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
 
A solução é trivial, uma vez que todos os dados são fornecidos no enunciado: 
𝑃 =
1202
72
 
𝑃 = 200 𝑊 
b) 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
 
Uma vez que 𝑅 ∝ 𝐿 (𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
, sendo 𝐴 igual nas duas situações e, portanto, é constante), se o fio é cortado 
no meio, a resistência de cada fio será a metade do original. 
𝑃 =
1202
36
 
𝑃 = 400 𝑊 
Esse é o valor para cada metade. Considerando as duas metades: 
𝑃2 = 800 𝑊 
6. Um resistor de 11 Ω é conectado a uma bateria de fem 6 𝑉. Determine: 
a. A potência fornecida pelas reações químicas da bateria. 
b. A potência entregue ao resistor externo. 
a e b) Como é um circuito simples, formado apenas pela bateria e pelo resistor, toda a potência fornecida 
pela bateria será entregue ao resistor. Assim, em ambos os casos: 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
 
𝑃 =
62
11
 
𝑃 = 3,27 𝑊 
Contextuais 
1. Uma bateria de celular de fem 3,8 𝑉 tem a sua capacidade descrita como tendo 4000 𝑚𝐴ℎ. Quanta 
energia, em joules, ela é capaz de armazenar? 
A energia total que a bateria consegue armazenar é igual ao trabalho total que ela consegue executar: 
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑊 
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑞ℰ 
Lembrando que 𝑖 =
Δ𝑞
Δ𝑡
, tal que Δ𝑞 = 𝑖Δ𝑡, se em uma hora (3600 s), a bateria fornece 𝑖 = 4000 mA =
4 A = 4 C/s, então: 
𝑞 = 4 . 3600 
𝑞 = 1,44 × 104 𝐶 
Assim, sendo 𝜀 = 3,8 𝑉: 
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1,44 × 10
4 . 3,8 
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5,47 × 10
4 𝐽 
2. Você está fazendo um lanche para você e seus amigos para uma longa noite de estudos. No 
cardápio, você coloca mistos quentes, pipoca e café. Você liga a torradeira e o põe a pipoca no 
micro-ondas. Como o edifício do seu apartamento é antigo, você sabe que o fusível pode queimar 
quando você liga muitos aparelhos elétricos ao mesmo tempo. Analisando os aparelhos, você 
verifica que a torradeira consome900 W, o micro-ondas, 1200 W, e a cafeteira, 600 W. O fusível 
ligado à cozinha tem 20 A e a tensão da rede é de 110 V. Você pode ligar a cafeteira? 
Lembrando que a potência elétrica é dada por: 
𝑃 = 𝑖𝑉 
𝑖 =
𝑃
𝑉
 
Assim: 
𝑖𝑡𝑜𝑟𝑟𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 =
900
110
= 8,18 𝐴 
𝑖𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜−𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠 =
1200
110
= 10,9 𝐴 
𝑖𝑐𝑎𝑓𝑒𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 =
600
110
= 5,45 𝐴 
Como os aparelhos ficam ligados em paralelo, a corrente exigida para ligar os três aparelhos ao mesmo 
tempo será: 
𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑖𝑡𝑜𝑟𝑟𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 + 𝑖𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜−𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠 + 𝑖𝑐𝑎𝑓𝑒𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 
𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8,18 + 10,9 + 5,45 
𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 24,5 𝐴 
Ou seja, é melhor deixar para fazer o café depois.