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Funções especiais: Chebyshev
Métodos Matemáticos
Amanda e Eduarda 
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Função de Chebyshev
Considere a seguinte equação diferencial, conhecida como equação de Chebyshev
A equação de Chebyshev acima pode ser escrita na forma padrão:
Com: 
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Função de Chebyshev
Inserindo-se equação 1 – equação 2, obtém-se a equação 3
Obtém-se: 
equação 3
equação 1
equação 2
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Função de Chebyshev
I e II são dadas como em equação I e equação II, que são da equação de legendre respectivamente:
E, portanto, equação 3 fica:
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Ou seja,
Como (n - 1)n + n = n², obtemos o seguinte conjunto de equações
equações recursivas para os coeficientes cn 
 
 
Função de Chebyshev
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Podemos expressar todos os coeficientes cn com n par em
termos de c0 e todos os coeficientes cn com n ímpar em termos de c1. Mais precisamente, tem-se:
Para λ ∈ C genérico concluímos que a solução geral da equação de Chebyshev é da forma: 
Função de Chebyshev
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Onde,
Função de Chebyshev
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Polinómios de Chebyshev de primeira espécie 
Os polinómios de Chebyshev1 de primeira espécie, representados por Tn(x) com
n ∈ N0, são polinómios em x de grau n, definidos pelas identidades 
Como o domínio da variável x está definido no intervalo [-1, 1], podemos considerar que o domínio de definição da variável θ é o intervalo [0, π]. Estes intervalos são percorridos em sentidos contrários visto que x = -1 corresponde a θ = π e x = 1 corresponde a θ = 0.
É possível exprimir cos nθ como soma de potências de cos θ de expoentes entre 0 e n. Vejamos os cálculos dos primeiros seis elementos da sucessão {cos nθ}∞ n=0. neste processo, vamos usar várias identidades trigonométricas que se encontram reunidas no anexo B. 
Função de Chebyshev
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Se n = 0, então
Se n = 1, então 
Se n = 2, então
Se n = 3, então 
 
 
Função de Chebyshev
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Se n = 4, então
Então, os primeiros polinómios de Chebyshev serão: 
 
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Função de Chebyshev
Se n = 5, então 
 
Estão representados os gráficos dos primeiros polinómios de Chebyshev da primeira
espécie. 
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Função de Chebyshev
Relação de recorrência
A obtenção dos polinómios de Chebyshev de grau mais elevado a partir da definição trigonométrica envolve cálculos fastidiosos. Em alternativa, vamos reescrever as identidades (1.4) - (1.7) de forma a encontrar uma regularidade que nos permita calcular estes polinómios mais facilmente de forma recursiva. Assim notemos que: 
Os polinómios de Chebyshev de primeira espécie podem ser gerados pela seguinte relação recursiva de ordem 2, com as correspondentes condições iniciais: 
 
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Função de Chebyshev
Demonstração. Pela Definição apresentada no slide 8, demonstrar que a equação do slide anterior gera os polinômios de Chebyshev da primeira espécie é equivalente a demonstrar que a relação 
é verdadeira. Assim: 
Assim sendo, está provado que a fórmula acima é verdadeira, logo, prova-se também que a relação do slide 12 gera os polinómios de Chebyshev de primeira espécie.
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Função de Chebyshev
Realcemos o facto de que em (formula slide 12) , a variável x pode assumir qualquer valor real, não necessita de pertencer ao intervalo [-1, 1]. Assim a relação recursiva e as suas condições iniciais produzem um prolongamento analítico a R dos polinómios de Chebyshev definidos trigonometricamente por slide 8. 
Vamos escrever Tn(x) na base canónica com coeficiente denotados por an,k, como:
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Função de Chebyshev
Os coeficientes an,k dos polinómios de Chebyshev de primeira espécie podem ser calculados usando a seguinte relação de recorrência
cujas condições iniciais são:
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Função de Chebyshev
Consideremos a relação recursiva dos polinómios de Chebyshev de primeira espécie, dada em slide 12, Vamos reescrever a fórmula slide 12 usando a equação do slide 14, isto é
Assim obtemos:
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Função de Chebyshev
Identificando em ambos os membros da igualdade do slide anterior os coeficientes das potências de x de igual grau, temos a seguinte relação de recorrência entre os coeficientes do slide 14
cujas condições iniciais são:
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Função de Chebyshev
O coeficiente do termo principal dos polinómios de Chebyshev de primeira espécie,
onde as reticências representam os termos de grau inferior a n, é dado pela fórmula,
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Função de Chebyshev
Vamos fazer a demonstração usando o método de indução finita. Seja n = 1; procuramos mostrar que a1,1 = 21-1 = 1. Como T1(x) = x decorre imediatamente o facto. Vamos supor que para n = k, o termo principal de
pode ser escrito como
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Função de Chebyshev
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Função de Chebyshev
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Função de Chebyshev
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Função de Chebyshev
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Função de Chebyshev
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Usando a definição da forma cosseno do polinômio de Chebyshev, exploraremos como produzir algumas ondas periódicas interessantes a partir de uma onda cosseno básica. 
Síntese de Ondas Periódicas
A síntese de onda periódica significa criar formas de onda que repetem um padrão de maneira previsível. Um exemplo familiar é a onda senoidal. Normalmente, a variável no polinômio Chebyshev é x . 
 Aplicação física dos polinômios de Chebyshev.