calculo diferencial vetorial

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Lista I - Cálculo Diferencial Vetorial Métodos de Física Teórica I 
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I. Derivada direcional e o gradiente 
 
1 – Encontre as derivadas direcionais para as funções abaixo no ponto P e nas direções especificadas. 
a) 2 2( , )f x y x y no ponto (1,1)P e na direção ˆ ˆ ˆ2 4b i j . 
b) ( , , )f x y z xyz no ponto ( 1,1, 3)P e na direção ˆ ˆ ˆ ˆ2 2b i j k . 
c) ( , ) cosxf x y e y no ponto (2, , 0)P e na direção ˆ ˆ ˆ2 3b i j . 
 
2 – O fluxo de calor em um campo escalar de temperatura ocorre na direção de máximo decréscimo de 
temperatura. Encontre essa direção na forma geral e depois nos pontos especificados. 
a) 2 2( , , )
z
f x y z
x y
. (0,1,2)P . b) 
1
cos cosh cos . ( ). P ( 2,1)
2
y yx y x e e . 
 
3 – Suponha que o potencial eletrostático seja dado por 2 2 2( , , ) 100V x y z x y z . Em que direção ele 
cresce mais rapidamente no ponto (3, 4,5)P . 
 
4 – O vetor unitário (versor) normal a uma dada superfície ou a uma dada curva de nível, pode ser 
encontrado a partir do gradiente. Encontre-os para as funções abaixo, nos pontos especificados. 
a) 
4 2
3 3
y x em (2,2)P . b) 2 2 25x y em (3, 4)P . c) 2 2z x y em 
(6,8,10)P . 
 
II. Divergente 
 
1 – Mostre que 3div r . 
 
2 – Encontre divA se: 
a) 2 2ˆ ˆ ˆ2xy xyz zxA i j k . b) ˆ ˆ ˆ( cos ) ( cos ) ( cos )x yz y xz z xyA i j k . 
c) ˆ ˆ( cos )xe y senyA i j . d) ˆ ˆ ˆ2x xe ye zsenhxA i j k . 
 
3 – Mostre que ( ) ( ) ( ). . .f f fV V V . 
 
 
III. Rotacional 
 
1 – Dado o campo vetorial 2 2 ˆ ˆ( ) 2x y xyA i j , encontrar rotA . 
2 – Encontre A quando 2 2ˆ ˆ ˆ2xy xyz zxA i j k . 
3 – Calcule A para ˆ ˆ( cos )xe y senyA i j . 
4 – Mostre que se f é uma função escalar, então ( ) ( ) ( )f f fA A A . 
5 – Se a densidade de um fluido é constante, o fluxo é chamado incompressível. Neste caso, ( )div v é 
nulo. 
a) Verifique se o fluxo é incompressível quando ˆ ˆy xv i j . 
b) E para ˆ ˆ ˆ2 2x y zv i j k ? 
c) Algum desses fluxos é irrotacional? 
6 – A velocidade de um líquido bidimensional é dada por ˆ ˆ( , ) ( , )u x y v x yV i j , onde u(x,y) e v(x,y) são 
funções escalares. Se o fluido é incompressível e o fluxo é irrotacional, mostre que: 
u v
x y
 e 
u v
y x
. 
 
 
 
 
 
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IV. Coordenadas esféricas 
 
1 – Os versores θ φˆ ˆ,̂r , podem ser expressos em termos dos versores fixos ˆ ˆ ˆ, ,i j k : 
ˆ ˆ ˆ(̂ , ) cos cossen sen senr i j k 
θ̂ ˆ ˆ ˆ( , ) cos cos cos sen seni j k 
φ ˆ ˆˆ( ) sen cosi j 
a) – Mostre que: 
θ θ φ
θ φ φ θ
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, , , cos , cossen sen
r r
r r 
Você pode ter alguma dificuldade com a expressão 
φ̂
: tente multiplicar ˆ por senr e θ̂ por cos e 
somá-las. 
b) – Mostre que ˆ ˆ ˆ, ,i j k são dados em termos dos versores θ φˆ ˆ,̂r , pelas expressões: 
θ φ
θ φ
θ
ˆ ˆ ˆˆ cos cos cos
ˆ ˆ ˆˆ cos cos
ˆ ˆˆcos
sen sen
sen sen sen
sen
i r
j r
k r
 
 
2 – Foi demonstrado em II-1 que 3div r r em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas 
também se obtém o mesmo resultado? O que isso pode sugerir? 
 
3 – Certo vetor ( , , )rA não possui componente radial. Seu rotacional não tem componentes tangenciais. 
O que esses dois fatos implicam sobre a dependência radial das componentes tangenciais ( , , )A r e 
( , , )A r ? 
 
4 – São dados os versores em coordenadas esféricas ˆ ˆ ˆˆ cos cossen sen senr i j k e 
φ ˆ ˆˆ cossen i j . 
a) qual o valor de ˆ ˆk r ? 
b) considere o vetor 0 2
ˆ ˆ
4
m
r
A k r . Expressar esse campo em função de r e θ. 
c) mostre que θ0 3
ˆˆ(2cos )
4
m
rot sen
r
A r . 
 
V. Coordenadas cilíndricas 
 
1 – Encontre A e A para ρ ρρ φ2 2 ˆˆ ˆz sen zA k . 
 
2 – Determine A e A quando o vetor ρ ˆˆ cosA k . 
 
3 – Calcule o gradiente de ambas as funções escalares obtidas no 1º e no 2º problemas. 
 
4 – Certa função vetorial é dada em coordenadas cilíndricas por ρ φˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )V VV . Mostre 
que V só tem componente na direção z. 
 
5 – Um vetor qualquer pode ser escrito em coordenadas cilíndricas. O vetor posição pode ser escrito como 
ρρ ˆˆ zr k . Mostrar que 3.r e r 0 . 
 
6 - Suponha que o vetor r seja função do tempo. Encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em 
coordenadas cilíndricas. 
 
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7 – A equação de NAVIER-STOKES da hidrodinâmica contem um termo não-linear, [ ( )]v v onde 
v é a velocidade do fluido. Considere um fluido se movendo no sentido de k: ρ ˆ( )vv k . 
I – escolha uma função simples para v considerando o escoamento real de um fluido em um tubo 
cilíndrico. Esboce um gráfico dessa função escolhida. 
II – mostre que para esse caso, [ ρ ˆ( )vv k ], o termo não-linear [ ( )]v v se anula. 
 
8 – Um fio condutor ao longo do eixo z é percorrido por uma corrente I. O vetor potencial magnético A é 
dado por ˆ/2 ln 1/IA k . O campo magnético devido a esta corrente é dado por B A . 
Mostre que este campo vale φ̂/2I . Esta é a lei circuital de Ampère para a magnetostática. 
 
VI. Aplicações sucessivas do operador del 
 
1 – Calcule o Laplaciano em coordenadas esféricas. 
 
2 – Calcular o Laplaciano para as funções escalares: 
 
 (a) 2 2ln( )x y (b) 2 2 2( )xy x y z (c) 2 2 2ln( )x y z . 
 
 Respostas: (a) zero; (b) 14xy; (c) 2 2 2 2
2 2
x y z r
 
 
3 – Esse exercício pretende mostrar como pode, às vezes, ocorrerem pequenos deslizes. Sabe-se que o 
valor 2f INDEPENDE do sistema de coordenadas, ou seja: se o item (a) do segundo exercício se anulou 
para coordenadas cartesianas, ele deve se anular para cilíndricas e esféricas. Calcule o Laplaciano de (a) 
em coordenadas cilíndricas e esféricas. 
 
4 – Resolva a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas para a função ( ) . 
 
5 – Mostre que 
1 22 2
1
( , )f z
z
 é uma solução da equação de Laplace. Estamos supondo que 
2 2z seja diferente de zero.