Questão 3 letra E Álgebra II

Prévia do material em texto

Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Data: 19/06/2021
Disciplina: Álgebra II
Professor: Cristian Novoa
Alunos: Gisele de Souza
 João Vitor Alves Rodrigues
 José Abreu
 Neuza Nonato
 Victor Emanuel
Questão 3 letra E Álgebra II
Calcule Aut G para os seguintes grupos G:
Letra e) G = , +
Solução:
Teorema: Classificamos agora os grupos de ordem 6. Como veremos a seguir, existem apenas duas possibilidades: o grupo cíclico de ordem 6 ou o grupo das permutações de 3 elementos.
O teorema nos diz seja G um grupo de ordem 6. Então G = ou G = 
Demonstração: As possíveis ordens para elementos de G são 1, 2, 3 ou 6. Mas podemos ser mais precisos:
Afirmação: Existem elementos x e y em G tais que o(x) = 3 e o(y) = 2.
De fato se g ϵ G e tal que o(g) = 6, então e . Logo podemos supor que G não possui elementos de ordem 6. Para demonstramos a afirmação, basta mostrar que nenhuma das possibilidades abaixo ocorre.
Todo elemento de G \ {1} possui ordem 2: tome g, h ∈ G distintos. Então gh ∈ {1, g, h} e, como gh tem ordem 2, segue-se que gh = hg. Fica então fácil verificar que {1, g, h, gh} é um subgrupo de G de 4 elementos, o que não é possível pelo Teorema de Lagrange.
Todo elemento de G \ {1} possui ordem 3: tome x, y, z ∈ G distintos entre si e de ordem 3. Então:
‹x› ∩ ‹y› = ‹x› ∩ ‹z› = ‹y› ∩ ‹z› = {1}
Logo G possui pelo menos sete elementos distintos, o que não é possível.
A afirmação fica assim demonstrada. Agora, a classificação de G fica subordinada a análise de duas possibilidades:
1ª xy = yx
Aqui G e um grupo cíclico. Com efeito, defina g := xy. Não é muito trabalhoso verificar que para cada a = 1, . . . , 5. Logo os seis elementos:
São distintos entre si, constituindo assim o grupo G. Concluímos assim que G = ‹g› e portanto, 
2ª xy ≠ yx
Nesse caso, temos que, pois esses seis elementos são necessariamente distintos entre si. Também,
Com efeito, basta provar que o que é facilmente verificado utilizando o fato que . Logo todo elemento de G pode ser escrito (de maneira única) na forma com i = 0,1,2 e j = 0,1. Por outro lado usamos a indução e obtemos:
 (s,t ≥ 0)
E logo um produto de dois elementos de G é da forma:
Isso mostra que só existe, a menos de isomorfismos, um grupo de ordem 6 satisfazendo as condições do segundo caso. Mais precisamente, se H é um grupo de ordem 6 com elementos α e β tais que:
 o(α) = 3, o(β) = 2 e αβ ≠ βα
então G = H, isso implica que todas as considerações aplicadas em G se aplica em H; em particular . Mas ainda, a aplicação G → H dada por e um homomorfismo (bijetor), pois a relação se verifica ao substituirmos x por α e y por β.
Agora sejam ) elementos do grupo Então o(σ) = 3, o(τ ) = 2 e στ ≠ τσ. Como possui ordem 6, concluímos que todo grupo que se enquadra no segundo caso e isomorfo a .