Sistemas Lineares (Resumo)

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• Sistema Possível Indeterminado (SPI) → 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑘1
𝑘2
 
(retas coincidentes); 
• Sistema Impossível (SI) → 
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
≠
𝑘1
𝑘2
 (retas paralelas); 
• Sistema Possível Determinado (SPD) → 
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
 (retas 
concorrentes). 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Def1.: Equação linear é toda equação da forma: 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, no qual, 𝑥𝑖 
são as incógnitas, 𝑎𝑖 os coeficientes e 𝑏 o termo independente. 
 
Obs.: 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 é solução de 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 ⇔ 𝑎1𝛼1 + 𝑎2𝛼2 + … + 𝑎𝑛𝛼𝑛 = 𝑏. 
 
Def2.: Sistema linear 𝒎𝑿𝒏 é o conjunto 𝑆 de 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas escritas como: 
 
𝑆 = {
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
Obs.: 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 é solução do sistema, se e somente se, é solução de cada uma das equações. 
 
Def3.: Sistema lineares são equivalentes quando possui o mesmo conjunto solução. 
 
Def4.: Sistema linear é homogêneo quando o termo independente é igual a zero, isto é, 𝑏 = 0. 
 
 Classificação de um sistema 𝟐𝑿𝟐 
 
 
𝑆 = {
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑘1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑥 = 𝑘2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Um sistema homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a solução trivial (0, 0, … , 0). 
 
 Possibilidades para as posições de três planos no espaço dado um sistema 𝟑𝑿𝟑 
 
i. Os três coincidem (SPI); 
ii. Dois coincidem e o terceiro é paralelo (SI); 
iii. Dois coincidem e o terceiro intersecta segundo uma reta (SPI); 
iv. São paralelos dois a dois (SI); 
v. Dois são paralelos e o terceiro intersecta segundo retas paralelas (SI); 
vi. Os três são distinto e possuem uma reta em comum (SPI); 
vii. Intersectam dois a dois segundo retas paralelas (SI); 
viii. Os planos possuem um único ponto em comum (SPD).