AULA 1 - TEORIA DAS ESTRUTURAS II 2021-1

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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Prof.: Danielle Malvaris
Rev. 2021-1
AULA 1
Itens que serão abordados na disciplina:
✓ Determinação do grau de hiperestaticidade;
✓ Métodos e Processos:
• Método das Forças
• Método dos Deslocamentos
• Processo de Cross
✓ Linhas de Influência
✓ Modelagem e Análise de Problemas com Software Educacional
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INTRODUÇÃO
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
▪ ANDRE, Joao Cyro, BUCALEM, Miguel Luiz, MAZZILI, Carlos Eduardo Nigro. 
Lições em Mecânica das Estruturas. 1. ed., OFICINA DE TEXTOS, 2011.
▪ MARTHA, Luiz Fernando. Conceitos e Métodos Básicos de Análise de 
Estruturas. Ed. Elsevier. Rio de Janeiro, 2010.
▪ SORIANO, Humberto Lima; LIMA, Silvio de Souza. Análise de estruturas: 
método das forças e método dos deslocamentos. 2. ed. atual. Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2006
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
▪ CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1985.
▪ FILGUEIRAS, M. V. M. Problemas de teoria das estruturas. Rio de janeiro: UGF, 
1992. 
▪ SOUZA, J. C. A. O. Introdução a análise matricial de estruturas. São Carlos: 
Escola de Engenharia de São Carlos, 1994. 
▪ SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. Porto Alegre: Globo, 1994, v.1, v.2 
e v.3. 
▪ SOUZA, J.C.A.O., ANTUNES, H.M.C.C. Processos gerais da hiperestática 
clássica. São Carlos, EESC-USP, 1990. 3
AULA 1 INTRODUÇÃO
AVALIAÇÃO DATA
A1 (N1+N2) 08/04
FERIADO 03/06
A2 17/06
A3 01/07
AULA 1 AVALIAÇÕES
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Estruturas Isostáticas são aquelas que apresentam o número
exato de reações necessárias para impedir o movimento desta
estrutura. Ou seja, a estrutura ficará estática e conseguiremos
determinar exatamente o valor destas reações somente utilizando as
equações de equilíbrio (forças e momentos).
Caso você inclua mais reações (redundâncias) essa viga
continuará estável, mas se tornará hiperestática. Para resolver
precisaremos de mais equações do que as de equilíbrio.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Existem basicamente 3 outros métodos para resolver estruturas
hiperestáticas:
➢ Método das Forças
➢ Método dos Deslocamentos
➢ Processo de Cross
Existem ainda métodos computacionais mas ainda derivados das
técnicas acima descritas, tal com o utilizado em Análise Matricial das
Estruturas.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
O Método das Forças é um dos métodos básicos para análise
dos problemas hiperestáticos que utiliza incógnitas principais forças e
momentos e é também chamado Método da Compatibilidade visto
que as equações finais são equações de compatibilidade.
O Método dos Deslocamentos é um segundo método de
análise para estruturas que utiliza como incógnitas principais do
problema deslocamentos e rotações, podendo ser utilizado para
resolver problemas isostáticos e hiperestáticos. O método também é
chamado de Método do Equilíbrio, pois as equações finais, são
equações de equilíbrio.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Considerações:
✓ Condições de equilíbrio;
✓ Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
✓ Condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA: G
G < 0 → estrutura hipostática
G = 0 →estrutura isostática
G > 0 → estrutura hiperestática
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AULA 1 INTRODUÇÃO
TEORIA DAS ESTRUTURAS 1
TEORIA DAS ESTRUTURAS 2
• CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA
❑ ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS:
❑ ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS:
❑ ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS:
Nº DE INCÓGNITAS < Nº DE EQUAÇÕES 
Nº DE INCÓGNITAS = Nº DE EQUAÇÕES 
Nº DE INCÓGNITAS > Nº DE EQUAÇÕES 
É aquela cujos vínculos não são
suficientes para manter o equilíbrio
estático, assim sendo, são
inadequadas às construções.
É aquela que possui o nº de vínculos
estritamente necessário para manter
o equilíbrio estático.
É aquela que possui mais vínculos
que o necessário para manter o
equilíbrio estático.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
Grau de estaticidade:
• g = nº reações – nº eq. Equilibrio –
(nº barras/rótulas -1) + nº tirantes
0 0
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001
0
AULA 1 INTRODUÇÃO
GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA
g = gi +ge
1. Estruturas externamente hiperestáticas
ge = r – e – nr + t
r – número de ações
e – número de equações de estática
nr – número de equações provenientes de rótula
t – numero de tirantes
nr = b - 1
b – número de barras ligadas à rótula
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AULA 1 INTRODUÇÃO
GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA
2. Estruturas internamente hiperestáticas
gi = número de esforços internos necessários ao traçado do diagrama,
conhecidas as reações
EXEMPLOS:
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AULA 1 INTRODUÇÃO
O MÉTODO DAS FORÇAS tem como objetivo determinar um
conjunto de reações e/ou esforços solicitantes superabundantes ao
equilíbrio estático de uma estrutura hiperestática, permitindo que
outras reações e/ou esforços sejam calculados com as equações da
estática.
Em resumo, devemos somar uma série de soluções básicas que
satisfazem as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições
de compatibilidade da estrutura original, para que, na superposição,
restabeleçam as condições de compatibilidade.
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1. MÉTODO DAS FORÇAS
AULA 1 MÉTODO DAS FORÇAS
ROTEIRO PARA O MÉTODO DAS FORÇAS
1. Escolher um sistema estrutural isostático, que vamos chamar de
sistema principal do método das forças, por retirada de um conjunto
de redundantes estáticas da estrutura hiperestática. Essas
redundantes serão as incógnitas primárias que vamos determinar.
2. Calcular os coeficientes de flexibilidade e de carga.
3. Montagem e resolução do sistema de equações de compatibilidade
de deslocamentos para obtenção das redundantes;
4. Obtenção dos esforços finais.
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AULA 1 MÉTODO DAS FORÇAS
SISTEMAS PRINCIPAIS - CONCEITO
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AULA 1 MÉTODO DAS FORÇAS
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Estrutura e sua deformada Reações de apoio
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AULA 1 MÉTODO DAS FORÇAS
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Reações de apoio Sistema Principal: estrutura isostática
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AULA 1 MÉTODO DAS FORÇAS
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Reações de apoio Sistema Principal: estrutura isostática
O número de vínculos que devem ser eliminados
para transformar as estrutura hiperestática
original em uma estrutura isostática é igual ao
grau de hiperestaticidade.
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AULA 1 MÉTODO DAS FORÇAS
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Sistema Principal: estrutura isostática
X1 = MA → reação momento associada ao vínculo de apoio θA = 0; 
X2 = HB → reação horizontal associada ao vínculo de apoio ∆HB =0. 
A solução do problema pelo Método das Forças recai em
encontrar os valores que X1 e X2 devem ter para,
juntamente com o carregamento aplicado, recompor os
vínculos de apoio eliminados. Isto é, procuram-se os valores
dos hiperestáticos que fazem com que as condições de
compatibilidade violadas na criação do SP, θA = 0 e ∆
H
B =0,
sejam restabelecidas.
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AULA 1 MÉTODO DAS FORÇAS
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
A determinação de X1 e X2 é feita através da superposição de casos básicos,
utilizando o SP como estrutura para as soluções básicas. O número de casos básicos é
sempre igual ao grau de hiperestaticidade mais um (g + 1).
No exemplo, isso resulta nos casos (0), (1) e (2) que são mostrados a seguir.
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP
O caso básico 0 isola o efeito da solicitação externa (carregamento aplicado) no
SP. A rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20, nas direções dos vínculos eliminados
para a criação do SP, são chamados de termos de carga. Um termo de carga é definido
formalmente como:
δ i0 →termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado
associado ao hiperestático Xi quando atua a solicitação externa isoladamente no SP
(com hiperestáticos com valores nulos).
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AULA 1 INTRODUÇÃO
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
O sinal negativo da rotação δ10
indica que a rotação tem o
sentido contrário do que é
considerado para o hiperestáticoX1 no caso (1) a seguir.
Analogamente, o sinal positivo de
δ20 indica que este deslocamento
tem o mesmo sentido que é
considerado para o hiperestático
X2 no caso (2) a seguir.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no
SP
O hiperestático X1 é colocado em
evidência, já que ele é uma incógnita
do problema. Considera-se um valor
unitário para X1, sendo o efeito de X1
= 1 multiplicado pelo valor final que
X1 deverá ter. A rotação δ11 e o
deslocamento horizontal δ21
provocados por X1 = 1, nas direções
dos vínculos eliminados para a criação
do SP, são chamados de coeficientes
de flexibilidade.
Formalmente, um coeficiente de
flexibilidade é definido como:
δij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo
eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do hiperestático Xj
atuando isoladamente no SP.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado
no SP
De maneira análoga ao caso
(1), o hiperestático X2 é colocado em
evidência, considerando-se um valor
unitário multiplicado pelo seu valor
final. A rotação δ12 e o deslocamento
horizontal δ22 provocados por X2 = 1,
nas direções dos vínculos eliminados
para a criação do SP, também são
coeficientes de flexibilidade. As
unidades destes coeficientes, por
definição, são unidades de
deslocamento ou rotação divididas
pela unidade do hiperestático X2.
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AULA 1 INTRODUÇÃO
APLICAÇÃO:
RESTABELECIMENTO DAS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE
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AULA 1 INTRODUÇÃO
APLICAÇÃO:
VALORES E SENTIDOS HIPERESTÁTICOS DA ESTRUTURA
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AULA 1 INTRODUÇÃO
APLICAÇÃO:
MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DE TERMOS DE CARGA
O sistema de equações de compatibilidade da solução do Método das Forças do exemplo 
anterior pode ser escrito da seguinte forma:
Visto isso, no caso geral de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g , 
podemos ter:
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AULA 1 INTRODUÇÃO
APLICAÇÃO:
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS
Utiliza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços 
internos (ou deslocamentos) finais. 
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AULA 1 INTRODUÇÃO