VISTAS E PLANIFICAÇÕES

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Filipe Serpa
assunto: ViSão eSpacial
frente: MateMática iV
OSG.: 121032/17
AULA 25
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Simetria de Figuras Geométricas
Para realizar a simetria em torno de um eixo AB, basta obter a 
imagem da figura como se o próprio eixo AB fosse um espelho; Logo, 
para simplificar a resolução, basta realizar um giro de 180º em torno 
do eixo AB, conforme ilustra figura a seguir:
A A’
B B’
Quando a simetria é em torno de um ponto O, ou de um vértice, 
primeiro se faz um giro de 180° na vertical e depois outro na horizontal:
O
Giro
de
180º
Giro
de
180º
A figura a seguir representa a simetria direta em torno do 
ponto O:
O
Noções de visão espacial com 
dobraduras e giros
Vejamos alguns exemplos resolvidos que ilustram tal tema:
(Canguru/2016) Rita decorou seu tambor para uma festa. Exatamente 
quatro das figuras a seguir mostram seu tambor em diferentes 
posições. Qual é a figura que não mostra o tambor de Rita?
A) B) 
C) D) 
E) 
Resolução:
Podemos concluir que o tambor está pintado com seis faixas: uma 
branca, uma preta, uma com três linhas, uma preta com linhas brancas 
e duas cinzentas. Uma das duas figuras, (A) ou (E) não representa 
o tambor, pois a faixa com três linhas está entre duas cinzentas na 
primeira e entre uma preta e uma cinzenta na outra. A figura (E) é 
compatível com as demais, pois vemos na ordem horária a faixa preta, 
a faixa com as três linhas, uma faixa cinzenta, uma faixa branca, uma 
faixa preta com linhas brancas e outra cinzenta. Logo, a primeira figura 
não representa o tambor. 
Gabarito: A
(Canguru – 2016) Ana dobra três vezes uma folha de papel circular, 
como na figura. Depois disso, ela faz um corte na folha dobrada, ao 
longo da linha pontilhada na figura abaixo.
dobra dobra dobra
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Módulo de estudo
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Ao desdobrar os pedaços, como irá aparecer a parte central da folha?
A) B) 
C) D) 
E) 
Resolução:
Depois da terceira dobra, há oito camadas de papel. O corte feito 
na folha dobrada vai destacar quatro pedaços de papel, limitando as 
possibilidades à primeira ou à quarta figura. Como a linha pontilhada 
do corte é de 45° com a dobra horizontal, ao desdobrar os quatro 
pedaços cortados, teremos setores circulares de 90°. 
GABARITO: E
(Canguru/2016) Qual das figuras a seguir não pode ser formada com 
os dois quadrados iguais abaixo?
A) B) 
C) D) 
E) 
Resolução:
Colocando um quadrado sobre o outro, podemos formar as figuras 
em (B), (C), (D) e (E). Entretanto, a figura em (A) não pode ser feita, 
porque ela é composta de dois quadrados diferentes, já que um deles, 
aquele com dois lados horizontais, tem seu lado igual à diagonal do 
outro, aquele que está inclinado e na parte superior da figura.
(Canguru/2015) Quando Gabriel esteve na Austrália, comprou um 
guarda-chuva que, aberto, mostrava a palavra canguru, em inglês, 
conforme figura a seguir. 
Qual das figuras abaixo não mostra o mesmo guarda-chuva?
N
A
G A
K
R
O
O
A) 
N
AG
 B) 
O O
K
C) 
N
R G D) GA N
E) 
RO A
Resolução:
Gabarito: E
PROJEÇÃO ORTOGONAL
Projeção ortogonal das figuras geométricas sobre um plano nada mais 
é que a projeção ponto a ponto de forma ortogonal da figura em 
relação a um plano dado. Compara-se isso como a sombra dessa figura 
no horário em que o sol está mais alto no dia. Desta forma, a sombra 
possui dimensões iguais às do objeto, mas sem profundidade alguma.
Vejamos um exemplo já abordado no Enem.
(Enem/2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma 
tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central 
(pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades 
e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a 
extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. 
Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B 
são equidistantes do pivô:
A
Pivô
B
Foto Reprodução
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Módulo de estudo
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano 
do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:
A) 
A B
• •
B) 
A B
C) 
A B
D) 
A B
E) 
A B
Resolução:
Utilizando o conceito explicado, o giro no plano da figura seria 
representado pelo item C, porém, como a projeção ortogonal é relativa 
ao solo, os pontos A e B possuem apenas um movimento de vai e volta 
na horizontal, logo, o item B é o gabarito da questão.
Exercícios
01. Para a maioria das pessoas, a ideia de simetria está ligada mais 
a pensamentos sobre Arte e natureza do que sobre Matemática. 
De fato, algumas ideias de beleza estão intimamente relacionadas 
a princípios de simetria, que são encontrados por toda parte no 
mundo que nos rodeia. Observe a Figura 1 a seguir, que apresenta 
simetria em relação ao ponto P.
Figura 1 Figura 2
P
L
 Desse modo, qual a simétrica da figura 2 em relação ao ponto L?
A)
 
B)
 
C) 
 
D) 
 
E) 
02. Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras 
em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura 
a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em 
relação ao ponto O.
Figura original
 A imagem que representa a nova figura é:
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
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Módulo de estudo
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03. Uma folha de papel retangular foi dobrada em três partes 
congruentes, conforme ilustra a Figura 1.
 A dobradura ficou com um formato retangular; de tal retângulo, 
foram recortados um semicírculo e um triângulo retângulo 
isósceles, conforme a Figura 2.
Figura 2
 Após desdobrar a folha com os cortes realizados, ela obteve a 
configuração
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D)
 
E)
 
04. Simetrias são encontradas, frequentemente, em nosso dia a dia. 
Elas estão nas asas de uma borboleta, nas pétalas de uma flor ou 
em uma concha do mar. Em linguagem informal, uma figura no 
plano é simétrica quando for possível dobrá-la em duas partes, 
de modo que essas partes coincidam completamente.
 De acordo com a descrição anteriores, qual das figuras a seguir 
é simétrica?
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
05. Um triângulo equilátero ABC gira uma vez em torno do vértice C 
e outra vez em torno do vértice B, sempre se apoiando em uma 
reta, como mostra a sequência de figuras abaixo.
 Qual das alternativas representa a trajetória descrita pelo ponto A?
A) B) 
 
C) D) 
 
E) 
 
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06. Quando é feita uma rotação de 360º de um retângulo em torno 
de um de seus lados, obtém-se um sólido denominado cilindro 
reto, conforme mostra a figura.
 Já a rotação de 360º de um triângulo retângulo em torno de um 
de seus catetos gera um sólido cujo nome é cone reto, conforme 
a figura.
 Para obter uma esfera, basta rotacionar o círculo da figura em 
torno do eixo e.
e e
 Qual o ângulo de rotação mínimo para se obter essa esfera?
A) 720º 
B) 540º
C) 360º 
D) 180º
E) 90º
07. A arte e a arquitetura islâmica apresentam os mais variados e 
complexos padrões geométricos. 
 Na Mesquita de Córdoba, na Espanha, podemos encontrar um 
dos mais belos exemplos dessa arte. O esquema geométrico da 
figura 1 é um dos muitos detalhes dessa magnífica obra.
Figura 1
BROUG, Eric. Islamic: Geometric Patterns. 
Londres. Thames & Hudson, 2008. 
Adaptado.
 Assinale a alternativa que apresenta o padrão geométrico cuja 
repetição compõe a Figura 1.
A) 
 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E)
 
08. Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto 
de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. 
Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à 
base ABC, para, em seguida, caminhar toda a diagonal da face 
ADCG, e finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta 
reversa a CG.
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 A formiga chegou ao vértice
A) A. B) B.
C) C. D) D.
E) E.
09. Alberto recortou de uma folha de papel A4 um octógono regular.
 Dobrou-a ao meio três vezes, como indicado na imagem, obtendo-se 
uma forma triangular. Depois, cortou segundo um ângulo reto, 
como mostra a imagem.
 Qual das imagens ele obteve quando desdobrou o papel?
A)
 
B) 
 
C) 
 
 
D) 
 
E)
 
10. Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura 
para uma aula ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou 
que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de 
guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira 
fechada.
 Qual é o esboço obtido pelos alunos? 
A)
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D)
 
 
E) 
 
11. Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade 
onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. 
 A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma 
de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.
 
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Módulo de estudo
 Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto 
deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice 
B. Deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do 
vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram 
feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos.
 A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a 
base ABCD é dada por 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
12. A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os 
pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um 
mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. 
É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, 
passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o 
paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre 
o meridiano que passa por B e C.
 Considere que o plano a é paralelo à linha do equador na figura.
 
 A projeção ortogonal, no plano a, do caminho traçado no globo 
pode ser representada por 
A) B)
 
 
 
 
C) D) 
 
 
 
 
E) 
 
 
13. O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de 
uma escada circular (escada caracol), representada na figura. 
Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente 
espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa 
escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão 
do ponto A até o ponto D.
C E
D B
A
P
 A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso 
da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é: 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
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Módulo de estudo
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14. João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria 
descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria 
desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da 
pirâmide.
 
 O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, 
sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto 
E ao ponto M, e depois de M a C.
 O desenho que Bruno deve fazer é 
A) 
 
D
A B
C
B) 
 
D
A B
C
C) 
 
D
A B
C
D) 
 
D
A B
C
E) 
 
D
A B
C
15. O caleidoscópio consiste em um prisma regular de base triangular, 
obtido da união de três espelhos planos retangulares, todos com 
as suas faces espelhadas voltadas uma para as outras (desenho 1). 
Em uma das bases triangulares, é colado um material translúcido, 
enquanto a outra base é opaca, contendo apenas um furo em seu 
centro. Dentro do caleidoscópio encontram-se pequenos objetos 
soltos, tais como contas ou pedacinhos de papel.
 Ao olharmos para o interior do caleidoscópio, através do furo 
da base opaca, podemos ver as imagens obtidas pelas inúmeras 
reflexões dos objetos nos espelhos.
60º
60º 60º
desenho 1
 Desejando construir seu caleidoscópio, João o fez com papel 
cartão escuro (desenho 2).
aba de colagem
furo
abas de 
colagem
abas de 
colagem
material
translúcido
desenho 2
COLE O ESPELHO AQUI
COLE O ESPELHO AQUI
COLE O ESPELHO AQUI
 João colou dois espelhos consecutivos, bem como as abas 
correspondentes das laterais nas bases formadas com os triângulos 
equiláteros. Enquanto esperava a cola secar, decidiu olhar as 
imagens de um botão que ele segurou entre esses dois espelhos. 
Como o caleidoscópio ainda não estava fechado completamente, 
ele pôde olhar diretamente para as faces refletoras dos espelhos.
 O número de imagens distintas (N) que se formam de um objeto 
colocado entre dois espelhos pode ser calculado pela relação 
N
medidas do ngulo entre
as refletoras
=
°




−
360
1
â
ísuperf cies
 O número máximo de imagens distintas do botão, que podem 
ser vistas por João é 
A) uma 
B) duas 
C) três 
D) cinco 
E) seis 
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Resoluções
01. 
L
Resposta: B
02. O único item em que a simetria é contemplada é o E.
0 0
Ro
ta
çã
o 
de
 1
80
º
Resposta: E
03. 
A
A D
B CB C D
Resposta: B
04. 
Resposta: B
05. Como em um compasso, o giro de um ponto em torno de outro 
é sempre um arco de circunferência. Como o ponto A gira duas 
vezes, a primeira vez em torno de C e a segunda em torno de 
B, sua trajetória será a união dos arcos de duas circunferências. 
Logo, somente as alternativas A e B podem estar certas. 
A alternativa B é facilmente descartada, pois ao terminar o primeiro 
giro, o ponto A não fica sobre a reta que apoia o triângulo. Assim, a 
figura que aparece na alternativa A, sendo a união de dois arcos de 
circunferência de 120°, é a que representa a trajetória do ponto A.
 Resposta: A
06. Quando é feita a rotação do círculo em torno de e, segundo 
ângulos de 720º, 540º e 360º, também são obtidas esferas. Porém, 
o intuito é obter a esfera fazendo uma rotação mínima, e isso 
ocorre quando a rotação for de 180º. Ao rotacionar apenas 90º 
não é obtida uma esfera.
 Resposta: D
07. É fácil perceber que o padrão geométrico repetido é o da 
alternativa E.
 Resposta: E
08.
 
D
A
C
G
E
B
 O primeiro trajeto da formiga é do vértice G para o vértice C, em 
seguida, do vértice C para o vértice D e, finalmente, do vértice D 
para o vértice E, pois DE é uma reta reversa a CG.
 Resposta: E
09. Trace as diagonais conforme figura a seguir.
 Seguindo o padrão do corte mostrado no texto-base, conclui-se 
que a imagem obtida ao se desdobrar o papel é a que está em 
cinza na figura a seguir.
Resposta: C
10. Observando que as pernas da cadeira irão assumir a posição 
vertical, e que há uma travessa horizontal unindo cada par de 
pernas, podemos concluir que a alternativa C é a que melhor 
representa a vista lateral de uma cadeira fechada.
 Resposta: C
11. Sabendo que o caminho de comprimento mínimo corresponde à 
linha poligonal ABEC, e que a face EBC é perpendicular ao plano 
ABCD, podemos concluir que a resposta é a figura apresentada 
na alternativa E.
 Resposta: E
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12. Desde que o arco AB pertence a um plano paralelo a a, sua 
projeção ortogonal sobre a também é um arco. Ademais, como B 
e C não são simétricos em relação ao plano que contém o equador 
e o arco BC pertence a um plano perpendicular a a, sua projeção 
ortogonal sobre a é um segmento de reta. Em consequência, a 
melhor representação é a da alternativa E. 
 Resposta: E
13. A projeção ortogonal sobre o piso da casa, do caminho percorrido 
pela mão da pessoa, do ponto A até o ponto E, corresponde 
a uma circunferência. Logo, do ponto A ao ponto D, temos 
aproximadamente 
3
4
 de uma circunferência, o que corresponde 
à figura da alternativa C.
 Resposta: C
14. Supondo que a pirâmide é regular, temos que a projeção ortogonal 
do deslocamentono plano da base da pirâmide está corretamente 
descrita na figura da alternativa C.
 Resposta: C
15. Do enunciado, o número máximo de imagens distintas do botão, 
que podem ser vistas por João é dado por:
N
N
=
°
°
−
=
360
60
1
5
 Resposta: D 
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Filipe Serpa
DIG.: Samuel – REV.: Cristina/Katiary