Aula 02 - Projeções

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Assunto: Projeções Ortogonais 
Professor: Henrique Maia Disciplina: Matemática 
Aula: 02 
 A projeção ortogonal das figuras geométricas 
sobre um plano pode ser comparada à sombra desse 
mesmo objeto no horário em que o sol está mais alto no 
dia. Nesse horário, a sombra possui dimensões iguais às 
do objeto, mas não possui profundidade alguma. 
 As projeções ortogonais sempre são exploradas 
nas avaliações do Enem porque a única forma de 
resolver problemas sobre o possível formato de uma 
projeção é por meio de raciocínio lógico. 
Tipos de Projeções 
1. Projeção do ponto sobre o plano 
 A figura formada pela projeção ortogonal de um 
ponto P sobre o plano é o ponto P'. Essa projeção é 
definida como a extremidade do segmento de reta 
perpendicular ao plano cuja outra extremidade seja o 
ponto P. 
 Observe que um segmento de reta é 
perpendicular a um plano quando, dado o ponto P' de 
intersecção entre os dois, todas as retas pertencentes a 
esse plano que passam por esse ponto P' são 
perpendiculares ao segmento de reta dado. Para 
verificar isso, é suficiente observar duas retas 
perpendiculares contidas no plano. 
 
2. Projeção da reta sobre o plano 
 A figura formada pela projeção ortogonal de 
uma reta r sobre o plano é outra reta s. Essa projeção é 
definida como a intersecção entre o plano que contém a 
reta r e o plano que contém a reta s quando os dois são 
perpendiculares. No caso particular em que a reta r já é 
perpendicular ao plano, a sua projeção sobre esse plano 
é apenas um ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Projeção do segmento de reta sobre o plano 
 A figura formada pela projeção ortogonal de 
um segmento de reta sobre o plano é outro segmento 
de reta. Essa projeção é definida como o segmento de 
reta cujas extremidades são as projeções ortogonais 
dos pontos extremos do segmento de reta inicial. A 
imagem a seguir ilustra essa situação. 
 Os segmentos de reta também possuem uma 
particularidade: se o segmento for perpendicular ao 
plano, sua projeção ortogonal será apenas um ponto. 
 
4. Projeção de uma figura sobre o plano 
 A projeção ortogonal de uma figura 
geométrica qualquer sobre o plano é o conjunto das 
projeções ortogonais de seus pontos sobre o plano. 
Sendo assim, cada ponto dessa figura representa a 
extremidade de um segmento de reta. A outra 
extremidade está no plano, e a figura formada por todas 
essas últimas é a projeção ortogonal da figura 
geométrica. 
 
 
 A projeção ortogonal das figuras geométricas 
sobre um plano pode ser comparada à sombra desse 
mesmo objeto no horário em que o sol está mais alto no 
dia. Nesse horário, a sombra possui dimensões iguais às 
do objeto, mas não possui profundidade alguma. Como 
os sólidos são constituídos de várias superfícies, as 
projeções ortogonais são utilizadas para representar as 
formas tridimensionais através de figuras planas. 
 
 
 
 
 
WH – Cursos, Concursos e Treinamentos 
 
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Assunto: Exercícios 
01. Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais 
às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao 
final da aula, solicitou que os alunos fechassem as 
cadeiras para guarda-las. Depois de guardadas, os 
alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira 
fechada. 
 
Qual é o esboço obtido pelos alunos? 
 
02. João propôs um desafio a Bruno, seu colega de 
classe: ele iria descrever um deslocamento pela 
pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção 
desse deslocamento no plano da base da pirâmide. 
 
"O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela 
pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto 
E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C." 
O desenho que Bruno deve fazer é 
 
03. O acesso entre os dois andares de uma casa é feito 
através de uma escada circular (escada caracol), 
representada na figura. Os cincos A, B, C, D, E sobre o 
corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A 
e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma 
pessoa caminha deslizando ponto A até o ponto D. 
 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, 
sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela 
mão dessa pessoa é: 
 
 
 
04. Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua 
longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central 
(pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas 
extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para 
cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, 
assim, o movimento da gangorra. 
Considere a gangorra representada na figura, em que os 
pontos A e B são equidistantes do pivô: 
 
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, 
sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se 
encontra em movimento, é: 
 
 
 
WH – Cursos, Concursos e Treinamentos 
 
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Assunto: Exercícios 
05. Uma lagartixa está no interior de um quarto e 
começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o 
formato de um paralelepípedo retangular, é 
representado pela figura. A lagartixa parte do ponto B e 
vai até o ponto A. A seguir, de A ela se desloca, pela 
parede, até o ponto M, que é o ponto médio do segmento 
EF. Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o 
ponto H. 
 
Considere que todos esses deslocamentos foram feitos 
pelo caminho de menor distância entre os respectivos 
pontos envolvidos. A projeção ortogonal desses 
deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é 
dado por: 
 
 
 
 
06. A figura representa o globo terrestre e nela estão 
marcados os pontos A, B e C. os pontos A e B estão 
localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e 
C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho 
do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por 
B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o 
paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se 
dê sobre o meridiano que passa por B e C. 
 
Considere que o plano α é paralelo à linha do equador 
na figura. A projeção ortogonal, no plano α, do caminho 
traçado no globo pode ser representada por 
 
 
07. Um grupo de países criou uma instituição 
responsável por organizar o Programa Internacional de 
Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de 
melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede 
foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca 
oficial do programa, em três dimensões, que é formada 
por suas iniciais, conforme mostrada na figura. 
 
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de 
maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o 
mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em 
posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir. 
 
Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam 
essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras 
sobre o solo. 
 
 
 
 Gabarito 
01.C 02.C 03.C 04.B 05.B 06.E 07.E