Unidade 5 - Integrais Múltiplas

Prévia do material em texto

1 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS 
Engenharia Civil - CEATEC 
Complementos de Cálculo Diferencial e Integral C 
Prof. Miro 
valdomiro.santos@puc-campinas.edu.br 
 
Unidade 5 – Integrais Múltiplas 
 
Avaliações 
T1 P1 T2 P2 P3 (Rec) 
17/03 07/04 19/05 16/06 23/06 
 
Exercícios para aula 
 
Integrais duplas sobre regiões retangulares 
 
Teorema de Fubini 
 
Seja R o retângulo definido pelas desigualdades 
, a x b c y d    
Se ( , )f x y for contínua neste retângulo, então 
( , ) ( , ) ( , )
d b b d
c a a c
R
f x y dA f x y dxdy f x y dydx= =     
Obs: os dois membros à direita são chamados de 
integrais iteradas. 
 
1) Determine o volume do sólido que está abaixo da 
superfície 
2 2
( , ) 6
10 5
x y
z f x y= = − − e acima do 
retângulo R=[0, 4]x[0, 3], conforme figura. 
 
 
a) Calcule a área da face lateral do sólido que é 
determinada pelo plano y = 3. 
 
2) Calcule a integral dupla ( )
R
x y dA+ , onde R é o 
retângulo [0, 2] [0,1]R =  . 
Resposta: 3. 
 
3) Calcule o volume do sólido S que está abaixo da 
superfície dada pela função
2z xy= e acima do 
retângulo [0, 2] [0, 3]R =  . 
Resposta: 18. 
4) O galpão da figura tem a superfície da sua 
cobertura dada pela função de duas variáveis 
2
( , ) 3 2
3
x
f x y x= + − , cujas medidas na ilustração 
são dadas em metros. 
a) Determine a região de integração, no plano 
xy, para se calcular o volume do galpão (utilize 
a referência pontilhada no desenho). 
b) Quando se calcula primeiro a integral em x, 
obtém-se um número. O que esse número 
representa? 
c) Calcule o volume do galpão. 
 
Respostas: 
a) [0, 6] [0,10]R =  
b) a área de uma seção do galpão perpendicular 
ao eixo y. 
c) 300 m3. 
 
5) Calcule o volume do sólido S que está abaixo do 
cilindro 
21z x= − e acima do retângulo
[ 1,1] [0,1]R = −  do plano xy, conforme figura 
abaixo. 
 
Resposta: 4/3 u.v. 
 
 
 
 
2 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
Integrais duplas sobre regiões genéricas 
 
Região do tipo I: curvas acima e abaixo 
 
É uma região delimitada à esquerda pela reta vertical 
x a= , à direita pela reta vertical x b= , por baixo pela 
curva contínua 1( )xy g= e por cima pela curva 
contínua 2 ( )xy g= . 
 
 
Neste caso: a integral dupla é dada por: 
2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
b g x b g x
a g x a g x
f x y dydx f x y dy dx =
     
 
 
6) Calcule o volume do sólido S que está abaixo da 
superfície 10 2 4z x y= + + e acima da região R 
dada pelo trapézio de vértices A(0,0), B(0,6), 
C(2,4) e D(2,0). 
 
7) Calcule 6
R
xydA , onde R é a região delimitada 
pelas retas verticais 2x = e 4x = , abaixo pela 
curva 
1
2
y x= e acima pela curva 2y x= . 
 
 
8) Calcule o volume do sólido S que está abaixo da 
superfície 12 3 2z x y= − − e acima da região R 
dada pelo triângulo de vértices A(0,3), B(2,3) e 
C(0,6). 
 
9) Use integral dupla para calcular o volume do 
tetraedro limitado pelos planos coordenados e 
pelo plano 6 2z x y= − − . Dica: faça uma 
ilustração do tetraedro para identificar a região de 
integração R no plano xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrais triplas sobre caixas retangulares 
 
TEOREMA (Teorema de Fubini): Seja G a caixa 
retangular definida pelas desigualdades 
, , a x b c y d k z l      
Se ( , , )f x y z for contínua na região G, então 
( , , ) ( , , )
b d l
a c k
G
f x y z dV f x y z dzdydx=    
 
Obs.: a ordem no 2º membro pode ser alterada. 
 
10) Calcule a integral tripla 
2 3
12
G
xy dVz 
na caixa retangular G definida pelas desigualdades 
 
0 2, 0 3, 0 2x y z      . 
 
 
Coordenadas polares 
 
Um sistema de coordenadas polares em um plano 
consiste em um ponto O fixo, chamado de polo (ou 
origem) e de um raio que parte do polo, chamado de 
eixo polar. Assim, podemos associar a cada ponto P 
do plano um par de coordenadas polares ( , )r  , 
onde r é a distância de P ao polo e  é o ângulo entre 
o eixo polar e o raio OP. 
:r coordenada radial 
: coordenada angular 
 
 
 
11) Desenhe o ponto (4, / 6)P  dado em 
coordenadas polares. 
 
12) Considere a curva : 2, 0C r  =   descrita 
em coordenadas polares. 
a) Desenhe essa curva. 
b) Como seria a descrição dessa curva em 
coordenadas cartesianas? 
 
13) Considere a região R do plano xy dada por 
: 0 2, 0 / 2R r      descrita em 
coordenadas polares. 
a) Desenhe essa região no plano xy . 
b) Como seria a descrição dessa região em 
coordenadas cartesianas? 
 
 
 
 
 
 
 
3 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
Relação: coordenadas polares  retangulares 
 
 
 
 
Integrais duplas em coordenadas polares 
 
14) Calcule o volume do sólido S limitado acima pelo 
plano 4z y= − e abaixo pela região R do plano 
xy contida no círculo 
2 2 4x y+ = . Veja os passos 
na dica a seguir. 
 
 
 
 
 
Passos para a mudança de coordenadas 
 
❖ Logo, a função de integração é ( , ) 4f x y y= − 
❖ Escreva a função ( , )f x y em coordenadas 
polares ( cos , )f r rsen  . Para isso, faça: 
❖ cosx r = e y rsen= e conclua que: 
( , ) 4 4( cos , )f x y y f r rsen rsen  = −−  = 
❖ Verifique que o volume é dado por 
2 2
0 0
(4 ) (4 )
R
y dA rsen rdrd

 − = −   
 
15) O sólido que fica abaixo da superfície do 
paraboloide 
2 2
6( , ) x yf x y − −= e acima do círculo 
do plano xy dado por 
2 2 4x y+  está 
representado na figura abaixo. Calcule o volume 
desse sólido. 
 
 
 
Exercícios propostos para prática e aplicações 
 
1) Calcule 
4 1
2
2 0
x ydxdy  . 
 
2) Calcule o volume do sólido da figura delimitado 
acima pelo plano 4z x y= − − e abaixo pelo 
retângulo [0,1] [0, 2]R =  . 
 
 
 
3) Calcule o volume do sólido S que está abaixo da 
superfície dada pela função z xy= e acima do 
retângulo [0, 2] [0, 4]R =  . 
 
4) O sólido a seguir está abaixo da superfície 
2 2( , ) 8 0,3 0,3z f x y x y= = − − e acima do 
retângulo [0,4] [0,3]R =  . As faces laterais 
deste sólido são determinadas pelos planos 0x =
, 4x = , 0y = e 3y = . Considere que as 
medidas dos eixos são dadas em metros. 
a) Calcule o volume desse sólido. 
 
b) Calcule a área da face lateral do sólido que é 
determinada pelo plano 3y = . 
 
4 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
5) Calcule o volume do sólido S que está abaixo da 
superfície dada pela função
2z x y= e acima do 
retângulo [0, 3] [1, 2]R =  . 
 
6) Calcule o volume do sólido S que está abaixo do 
plano 2x y z+ + = e acima do retângulo
[0,1] [0,1]R =  do plano xy, conforme figura 
abaixo. 
 
7) A edificação representada na figura a seguir tem 
base retangular ABCG com dimensões AG =6 m e 
CG = 10m. O teto é plano e é representado pelo 
quadrilátero DEFH. Sabe-se que AD = 4 m, CF = 
4m e GH = 6m. 
 
a) Determine a função de duas variáveis que 
representa o plano da superfície do teto. 
Veja dica no gabarito. 
b) Determine o volume dessa edificação. 
c) Determine a altura da coluna BE. 
 
8) Calcule 6
R
xydA , onde R é a região delimitada 
pelas retas verticais 2x = e 4x = , abaixo pela 
curva 
1
2
y x= e acima pela curva y x= . 
 
 
 
9) Calcule (15 30 )
R
x y dA+ , onde R é a região 
limitada pelas parábolas 
2
2y x= e 
2
1y x= + . 
Dica 1: faça um esboço da região R. 
Dica 2: determine as intersecções das duas 
curvas. 
 
10) Use integral dupla para calcular o volume do 
tetraedro limitado pelos planos coordenados e 
pelo plano 4 4 2z x y= − − .11) Use integral dupla para calcular o volume do 
tetraedro limitado pelos planos coordenados e 
pelo plano 12 2z x y−= − . 
 
12) Determine o volume do sólido que está abaixo do 
plano 4z y= − e acima da região R representada 
a seguir. 
 
 
13) Calcule a integral tripla 
2
12
G
xyz dV 
na caixa retangular G definida pelas desigualdades 
0 1, 1 2, 0 3x y z  −     . 
 
14) Calcule a integral tripla 
3 0 2
0 1 1
( 2 4 )x y z dxdydz
−
+ +   
 
15) Calcule a integral tripla 
 
1 2 3
2 2
0 1 1
(6 5 )x z xy dzdxdy
−
+   
 
 
 
5 Complementos Cálculo C – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2021 
16) Descreve a região dada a seguir usando 
coordenadas polares. 
 
 
 
17) Calcule o volume do sólido S que está abaixo do 
paraboloide circular 
2 2z x y= + , no interior do 
cilindro circular reto 
2 2 4x y+ = e acima do plano 
xy , como mostra a figura abaixo. 
 
 
18) Usando integral dupla por coordenadas polares, 
calcule o volume do sólido que está abaixo do 
paraboloide 
2 2
( , ) 4f x y x y= + + e acima do 
círculo 
2 2
1x y+ = . 
 
19) Usando integral dupla por coordenadas polares, 
calcule o volume do sólido que está abaixo do 
paraboloide 
2 2
( , ) 4f x y x y= − − e acima do 
plano 0z = (plano coordenado xy ). 
 
Dica: para identificar a região de integração R, 
faça uma ilustração do sólido descrito. 
 
Gabarito dos exercícios propostos 
 
1) 2 
2) 5 u. v. 
3) 16 u.v. 
4) Respostas 
a) 66 m3 
b) 14,8 m2 
5) 13,5 u.v. 
6) 1 u. v. 
7) Respostas 
Dica: se a superfície é um plano, então é da forma 
z ax by c= + + . Pelo enunciado, passa pelos 
pontos H(0,0,6), D(6,0,4) e F(0,10,4). 
Substituindo esses pontos na equação do plano, 
tem-se 
a) 6
3 5
x y
z = − − ou ( , ) 6
3 5
x y
f x y = − − 
b) V = 240 m3 (integrar a função do item “a”) 
c) 2 m. 
8) 11 
9) 32 
10) 4/3 u. v. 
11) 144 u. v. 
12) 112/15 u. v. 
13) 81 
14) 39/2 
15) 77 
16) :1 2; 0 2R r      
17) 8 u. v. 
18) 9 / 2 u. v. 
19) 8 u. v. 
 
 
 
Leituras sugeridas e referências bibliográficas 
 
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo – v. 2. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002. V. II