Cálculo 4

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21/11/2021 22:04 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/?p0=390947634&user_cod=2281020&matr_integracao=201902242939 1/1
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2]
A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ?
Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6, tem como
solução e geometricamente define:
 
1.
Nenhuma das respostas anteriores
8
(-e + e -1) (pi2/8)
1
zero
 
2.
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em
subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n
tendendo a infinito.
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor
em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n
tendendo a infinito.
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor
em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n
tendendo a infinito.
Nenhuma das respostas anteriores
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em
subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n
tendendo a infinito.
 
3.
Nenhuma das respostas anteriores
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume.
Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente.
Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume.
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área.
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21/11/2021 22:06 Estácio: Alunos
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Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x está no
intervalo e y esta no intervalo . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de no 
 e . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral 
 no intevalo dado ?
Calcular o volume do sólido: dxdydz.
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os
planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano
 
1.
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1
A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4
A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6
A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2
A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4
Explicação:
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 
 e y varia no intervalo e especificar para turma o que representa o cálculo de . O que Gisele
apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral :
 Passando os limites de integração de x temos 
 Passando os limites de integração de y teremos 3 ( 2-1) = 3
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1
 
2.
3
2.5
1
2
1.5
 
3.
Nenhuma das respostas anteriores
40
35
49
48
 
4.
1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ y ≤ 2 ∫ ∫ 1dxdy
1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ y ≤ 2
∫ ∫ 1dxdy
1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ y ≤ 2 ∫ ∫ 1dxdy
∫ ∫ 1dxdy
∫ 21 ∫
4
1 1dxdy = ∫
2
1 xdy ∫
2
1 xdy = ∫
2
1 (4 − 1)dy = ∫
2
1 3dy = 3 ∫
2
1 dy
3 ∫ 21 dy = 3y
∫
1
0
∫
1 − z
0
∫
2
0
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21/11/2021 22:06 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/?p0=390947634&user_cod=2281020&matr_integracao=201902242939 2/3
xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = , ou seja, eu onde u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e 0<= y <= x
Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2 e acima do plano z = 0. Qual
foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
23/35
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1/3
216/35
45
Gabarito
Comentado
 
5.
1/2
e - 1
 
e
Nenhuma das respostas anteriores
Explicação:
 passando os limites de integracao de y temos 
chame u = x2 e du = 2x dx
 aplicando os limites de integracao encontra-se
 
6.
2 
 
 
Explicação:
O domínio D interior a interseção de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0 entao temos 0 = 4 - x2 -
y2 ou x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser
feito por integral tripla também.
V = 
ex
2
(e−1)
2
∫ 10 ∫
x
0 e
udydx onde u = x2
∫ 10 ye
x2dx ∫ 10 xe
x2dx
∫ eudu = ex21
2
1
2
= e−1
2
π
7 π
3
2 π
3
8π
3π
5
∫ ∫ 4 − x2 − y2dxdy = ∫ 2π0 ∫
2
0 (4 − r
2) r drdθ
( − )|20 θ|
2π
0 = 8π
4r2
2
r4
4
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21/11/2021 22:06 Estácio: Alunos
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Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano
xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela
parábola y2 = 2x + 6.
 
7.
4 u.v
10 u.v
5 u.v
9 u.v
1 u.v
Explicação:
Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano
x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
 Utilizando a definição dada temos 
 
8.
22
36
Nenhuma das respostas anteriores
30
56
∫ ∫[a,b]x[c,d] g(x)h(y)dxdy = ∫
b
a g(x)dx ∫
d
c h(y)dy
∫ ∫[a,b]x[c,d] g(x)h(y)dxdy = ∫
b
a g(x)dx ∫
d
c h(y)dy
∫ ∫[a,b]x[c,d] g(x)h(y)dxdy = ∫
b
a g(x)dx ∫
d
c h(y)dy ∫
1
0 ∫
1
0 2 − x − y dxdy
∫ 10 2x − x
2/2 − xy dy = ∫ 10 (3/2) − y dy = 1
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Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2 esta definida em
R = [0,1] x[0,1].
Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydzO ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como:
1.
115
105
110
125
120
 
2.
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Volume 4 u.v
Volume 1/3 u.v
Volume 3 u.v
Volume 2 u.v
 
3.
2
3
1/3
2/3
Nenhuma das respostas anteriores
 
4.
-27/4
7/4
4/27
-7/4
27/4
Explicação:
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini.
 
5.
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(1, pi/2; -2)
(1, pi/2; 2)
(1, 3pi/2; 2)
(2, pi/2; 1)
(2, pi/2; 2)
Seja definida por e o segmento de reta que une e .
Calcule 
 
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : , .
Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto
A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1).
Determine a integral de linha sendo o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2).
 
1.
 
2.
7/3
2/5
7
4/7
3/5
 
3.
5
2/5
11
5/4
10
f : R3 → R f(x, y, z) = x + 3y2 + z τ (0, 0, 0) (1, 1, 1)
∫
τ
fds
r(t) = (t, t, t) t ∈ [0, 1]
√5
√3
3√2
4√3
2√3
γ
∫
γ
(x + y)dx + (y − x)dy
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Calcule a integral em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante
compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16.
Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo
vetorial ao longo do triângulo.
Calcule , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4
com o plano x = y.
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido
gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
 
1.
 
2.
2/3
3
2
1/4
3/5
 
3.
16
10
0
 
4.
-1/2(e-1)( -1)
1/2(e-1)( -1)
(e-1)( -1)
1/2(e-1)
∮
C
x2ydx − y2xdy
20π
18π
−16π
−32π
32π
∫
C
xzdS
√8
√6
e6
e6
e6
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Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2 tendo com limites de integração y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8.
 
Calcule a integral onde C é uma semicircunferência
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. 
Encontrar o volume do tetraedro: F(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
 para mover uma partícula ao longo
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este
1/2( -1)
 
5.
- cos 64
(- cos 64 +1):3
Nenhuma das respostas anteriores
cos 64
(cos 64 + 1):3
 
6.
45
25
10
36
18
 
7.
2/3
5/6
1/6
1/2
7/6
 
8.
e6
∫
C
(x + 2y)dS
∫
1
0
∫
1
x
∫
y − x
0
→
F (x, y) = − 3y5
→
i + 5y2x3
→
j
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 ponto apenas uma vez.
70π
90π
150π
160π
180π
Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 
 e v ³ 0. Determine a equação do plano tangente a S em j (0,1).
 
Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0.
1.
5x + 4 = 0
z = 2
2x + z - 2 = 0
3x + 5z = 1
3z + x = 1
 
2.
10 u.v
16/3 u.v
9/2 u.v
18 u.v
24/5 u.v
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=
 
3.
5/4
3
3/5
2
1/2
π
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Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 
0 ≤ u ≤ 2 e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1).
A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t)
definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar:
Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy
 
4.
O vetor normal será (-2,3,-1)
O vetor normal será (0,0,-1)
O vetor normal será (2,0,1)
O vetor normal será (-2,0,-1)
O vetor normal será (0,0,0)
 
5.
2πr²
πr²
π²r
2πr
πr
 
6.
`pi+senx
`pi
`cos(2pi)-sen(pi)
`2pi
0
π
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Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O
volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do
reservatório.
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t
(k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em:
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 , x
= 0 e y = 0.
1.
7 pi /96
Nenhuma das respostas anteriores
7pi
7/96
pi/96
 
2.
2 * (14)^(1/2)
4 * (14)^(1/2)
14 * (2)^(1/2)
4
4 * (2)^(1/2)
 
3.
 
4.
(sqrt(2);pi/4 ; -1)
(sqrt(3);pi/4 ; 1)
(sqrt(2);pi/4 ; 2)
(sqrt(2);pi/4 ; 1)
(sqrt(2);2pi/4 ; 1)
 
5.
2π
2π2
π2
3π2
2π3
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3 e - 1/e
e - 1/e
-1/e
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(3/4) ( e - 1/e)
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e
cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h.
Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz
Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z)
= y2.
1.
12
10
16
14
20
 
2.
2p a2h
p a2h
22ph
8 p ah
8p a2h
 
3.
2
1-z
1
2-2z
0
 
4.
M = [ ]/4 u.m
M = [ ( 2 ) 1/2 ] u.m
M = [ ( 2 ) 1/2 ]/4 u.m
M = u.m
M = 3 u.m.
 
π
π
π
π
π
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Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1
pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.
Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro
( x - 1)2 + y2 = 1. Determine a massa dessa lâmina se a densidade no
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desseponto ao plano xy.
 
5.
3
5
-1/2
24
9
 
6.
2π u.m.
u.m.
 u.m.
k u.m.
 u.m.
k√2π
k√3
√2
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Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de:
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas y =
2x2 e y = 1 + x 2.
Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫06(4-x2)dydx
Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua
influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por
cima,
1.
16pi
9pi
4pi
64pi
8pi
Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1
 
2.
1/3
Nenhuma das respostas anteriores
32/25
32/15
36
 
3.
10
32
18
54
24
 
4.
20
3/2
5
5/2
16
 
5.
∫
2
0
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Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo
0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e.
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2)
quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de
raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.
2 pi
pi
pi/4
Nenhuma das respostas anteriores
pi / 5
Gabarito
Comentado
 
6.
10
12
22
16
8√5
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Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado
por ʃ ʃ z dS
Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0.
Determine o fluxo do campo vetorial 
 sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
 
1.
5/2 
3 /2
2
6 
 
2.
4p a3
5p a3
3 a3p
2p a3
3/5 p a3
 
3.
π
π
π
π
π
→
F (x, y, z) = z
→
i + y
→
i + x
→
k
3π
2π
π25
π23
π4
3
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