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Lista de Exercícios
Professor : Darlyn W. H. Vargas
1. A estrutura (Z, ∗, •) com as regras de composição∣∣∣∣ a ∗ b = aa • b = a+ b , para cada a, b ∈ Z
é um anel ? (Justifique resposta).
2. Mostre que para cada par de elementos a, b ∈ A, a equação
a+ x = b
tem única solução.
3. Sejam (R,+R, .R) e (S,+S , .S) dois aneis e ϕ : R→ S um homomorfismo. Prove que
i) ϕ(−a) = −ϕ(a) para cada a ∈ R,
ii) ∀n ∈ N
[
ϕ(na) = nϕ(a)
]
para cada a ∈ R.
4. Seja (R,+R, .R) um anel com identidade 1R. Prove que a função
ϕ : Z → R
k 7→ ϕ(k) = k 1R := 1R + · · ·+ 1R︸ ︷︷ ︸
k−vezes
é um homomorfismo. A função ϕ é monomorfismo ? (Justifique resposta).
5. Seja uma matriz não nula B ∈M2×2(R) tal que det(B) = 0. Mostre que
I = {A ·B : A ∈M2×2(R)}
é ideal não trivial à esquerda em M2×2(R). Toda matriz em I é singular ? (Justifique resposta).
6. Use o 1er teorema do homomorfismo para mostrarque Zn ∼= Z/nZ. (Dica: defina a função
ϕ : Z → Zn
m 7→ ϕ(m) = m (modn)
Mostre que ϕ é epimorfismo com Ker(ϕ) = nZ).