Apostila de teoria dos jogos

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Estratégia aplicada – Teoria dos 
jogos 
 
Apostila-texto com os conteúdos de aula. 
 
IPESU-2009.2 
 
Professora Ianara Teixeira 
 
 
Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009 
 
Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com 
A Origem dos Jogos 
É preciso compreender a importância dos jogos em uma nova dinâmica, não 
somente na forma habitual que conhecemos, quando nos reunimos para assistir o nosso time 
favorito na televisão ou quando jogamos com nossos amigos, praticando o nosso esporte 
preferido. Na nossa infância tivemos contato com algum tipo de jogo: jogos eletrônicos, jogos 
de salão, jogos de tabuleiro ou outra modalidade. A grande questão, é que muitos de nós não 
consideramos os jogos como algo que possa ser estudado de forma mais profunda. 
 No dicionário entende-se a palavra jogo como sendo ( Aurélio ): 
1) Atividade física ou mental fundada em sistema de regras que 
definem a perda ou o ganho. 
2) Passatempo. 
3) V. jogo de azar. 
4) O vício de jogar. 
5) Série de coisas que forma um todo, ou coleção. 
6) Conjugação harmoniosa de peças mecânicas com o fim de 
movimentar um maquinismo. 
7) Balanço, oscilação. 
Para nós a representação do jogo está na situação de competição ou conflito entre 
dois ou mais oponentes. Estes oponentes são usualmente chamados de jogadores (um jogador 
pode ser um time composto de mais de uma pessoa, como num jogo de carta de duplas. 
Alguns exemplos de jogos são: 
• Jogos de salão, como cara-e-coroa, jogo da velha, damas ou 
xadrez; 
• Competição econômica; 
• Conflitos militares ou guerras. 
Sabemos que cada jogador tem certo número de escolhas, finito ou infinito, 
chamadas de estratégias. Um jogador supostamente escolhe sua tática sem qualquer 
conhecimento prévio da estratégia escolhida pelos outros jogadores. A partir das escolhas dos 
jogadores, o jogo fornece o resultado, ou saída, definindo quanto cada jogador ganhou ou 
perdeu. Cada jogador faz sua escolha de modo a aperfeiçoar o resultado. 
Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009 
 
Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com 
Em determinado momento de nossas vidas percebemos que a palavra “jogo” 
passa a ter outra dimensão, quando utilizamos em expressões do tipo “o jogo político dos 
candidatos”, “jogo das grandes multinacionais” etc., começamos a compreender que a palavra 
passa a ter um sentido de estratégia. Percebemos que existe algo em comum entre uma 
partida de xadrez e decisões empresarias ou políticas, onde se busca chegar a um resultado 
através de uma interação estratégica. 
Os primeiros aspectos da teoria dos jogos foram explorados pelo matemático 
francês Émile Borel que escreveu várias folhas informativas sobre as hipóteses e teorias do 
jogo. No entanto, o conhecido mestre desta teoria é o matemático John Von Neumann que, 
entre as décadas de 20 e 30, estabeleceu uma armação matemática para todos os 
subseqüentes desenvolvimentos técnicos, ou seja, ele desenvolveu uma teoria matemática 
para todos os jogos de estratégias onde pode se sentir a presença do comportamento racional. 
Em 1944, Von Neumann, juntamente com Oskar Morgenstern publicaram “The Theory of 
Games and Economic Behavior” que fechou definitivamente a questão quanto a descrição da 
Teoria matemática dos jogos. Mais recentemente, o matemático John Nash fez um novo 
estudo sobre o tema, apresentado no artigo: “Os Jogos”, o que lhe rendeu em 1994 o prêmio 
Nobel de economia. 
A teoria dos jogos é uma teoria que trata os aspectos gerais de situações 
competitivas. Ela, a teoria, dá ênfase especial ao processo de tomada de decisão dos 
competidores. Os problemas reais sobre economia ou exércitos em guerra são muito bem 
sucedidos quando da aplicação das técnicas dos jogos de estratégia que apontam soluções 
analíticas bastante satisfatórias. A teoria dos jogos classifica os jogos em muitas categorias que 
determinam que método pode ser usado para resolvê-los. Algumas das categorias mais 
comuns são: 
• Jogos de Soma nula: são jogos em que a soma total dos benefícios colhidos por todos 
os jogadores é sempre igual a zero (ou seja, um jogador só pode ganhar se outro 
perder). O Xadrez e o Poker são jogos de soma zero porque cada jogador ganha 
precisamente o que o outro perde. A economia e a política, por exemplo, não são 
jogos de soma zero porque alguns desfechos podem ser bons (ou maus) para todos os 
jogadores ao mesmo tempo; 
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• Jogos de Soma não-nula: São os que não possuem a propriedade acima, como o 
Dilema do Prisioneiro, em que o payoff total é 2 anos de prisão se ambos ficam em 
silêncio e 4 anos se os dois prisioneiros confessam. 
• Jogos Cooperativos: são jogos em que os jogadores podem comunicar e negociar 
entre si; 
• Jogos Transparentes (de informação perfeita): são jogos em que todos os jogadores 
têm acesso à mesma informação. O Xadrez é um jogo transparente, mas o Poker não 
é. 
Podemos também categorizar da seguinte maneira: 
1. Tipos de saída 
a) Determinada - as saídas são precisamente definidas, dadas as estratégias tomadas. 
b) Probabilística - as probabilidades das diferentes saídas são conhecidas, dadas as estratégias 
tomadas. 
c) Indeterminada - as saídas possíveis são conhecidas dadas as estratégias tomadas, mas não 
suas probabilidades. 
2. Número de jogadores 
a) Um jogador - estes jogos são chamados de jogos contra a natureza. Se a estratégia da 
natureza é determinada, o jogo é trivial; se a estratégia da natureza é probabilística, estes 
jogos são chamados de problemas de decisão; se é indeterminada, pode-se tratar o jogo como 
sendo de duas pessoas se for atribuída alguma perversidade à natureza. 
b) Dois jogadores. 
c) n jogadores (n maior que 2). 
3. Natureza dos pagamentos 
a) Soma zero - a soma de todos os pagamentos é zero. 
b) Soma constante - a soma de todos os pagamentos é constante e diferente de zero. 
c) Soma variável - não há nenhuma relação entre os pagamentos dos jogadores. 
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4. Natureza da informação 
a) Informação perfeita - conhecimento total de todos os movimentos anteriores. 
b) Informação imperfeita. 
A Estratégia da Teoria dos Jogos 
Primeiro precisamos entender que estratégia ( Aurélio ): 
Vem do grego. strategía, pelo latim. strategia. 
1. Arte militar de planejar e executar movimentos e operações de tropas, navios 
e/ou aviões, visando a alcançar ou manter posições relativas e potenciais bélicos favoráveis a 
futuras ações táticas sobre determinados objetivos. 
 2. Arte militar de escolher onde, quando e com que travar um combate ou uma 
batalha. [Cf., nesta acepç., tática (2).] 
 3. P. ext. Arte de aplicar os meios disponíveis com vista à consecução de 
objetivos específicos. 
 4. P. ext. Arte de explorar condições favoráveis com o fim de alcançar objetivos 
específicos. 
 5. Fig. Fam. V. estratagema (2). 
Estratégia é algo que um jogador faz para alcançar seu objetivo. Um jogador 
sempre procura uma estratégia que aumente seus ganhos ou diminua as perdas. Em um jogo 
de pôquer um jogador pode baixar suas cartas ao começo de cada rodada, diminuindo suas 
perdas dessa forma. Ele não obterálucros, mas pode evitar ter que explicar como perdeu a 
poupança em uma noite. 
A grande questão ao se escolher uma estratégia, então, é tentar prever os ganhos 
e as perdas potenciais que existem em cada alternativa. Grande parte do problema reside no 
fato de prever-se o que os outros participantes irão fazer ou estão fazendo (informações 
completas sobre os concorrentes são um luxo de que nem sempre se dispõe em jogos de 
estratégia). O jogador “A” não analisa somente a melhor linha de ação que ele deve tomar, 
mas também as prováveis linhas de ação do jogador “B”, seu competidor. Isso cria o dilema de 
que, se “B” sabe que “A” vai tentar prever suas ações, “B” pode optar por uma linha de ação 
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alternativa, buscando surpreender seu opositor. Claro que “A” pode prever isso também, 
entrando numa seqüência interminável de blefes e previsões sobre a estratégia inimiga. 
RESULTADOS 
Jogadores sempre recebem pagamentos, representados por um valor. No entanto, 
o valor absoluto não é tão importante quanto à proporção entre as opções. Em determinado 
jogo, por exemplo, pode-se representar a morte de um jogador por -100, enquanto continuar 
vivo pode ser representado por 0. 
DILEMA DO PRISIONEIRO 
Para analisar um jogo, é comum o uso de gráficos como o seguinte: 
 Jogador 2 
 Caro Barato 
Jogador 1 
Caro 11,15 2,25 
Barato 20,4 6,55 
 
O gráfico representa uma situação em que dois jogadores concorrem no mesmo 
mercado. Ambos oferecem serviços similares e têm a opção de cobrar caro ou barato. 
Existem dois números dentro de cada quadrado: esses são os resultados que cada jogador 
recebe por sua estratégia. Tradicionalmente, o primeiro valor é quanto o jogador da esquerda 
recebe e o segundo, quanto o de cima recebe. 
Esse quadro pode representar, por exemplo, os dois únicos oculistas de uma 
pequena cidade do interior e os números multiplicados por R$1.000,00 os lucros ao final do 
mês. Há algum tempo, existia somente o jogador 1 na cidade e seus preços eram altos devido 
à falta de opções. Então chega o jogador 2 e abre um consultório em frente ao do jogador 1. O 
jogador 2 agora deve definir quanto cobrar por seus serviços. Se ele se nivelar ao preço do 
concorrente, receberá um retorno de 10; o primeiro, por já estar estabelecido, fica com um 
retorno mais alto. O novo dentista também tem a opção de cobrar um preço mais barato que 
o primeiro. Isso fará com que grande parte da clientela mude de oculista, e agora o lucro dele 
é bastante alto, enquanto o dentista inicial passa a viver com R$2.000,00 reais mensais. Uma 
ação dessas não ficará sem reação, e o primeiro oculista pode também baixar seus preços. 
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Dessa vez, ambos estão ganhando menos, mas para o jogador 1, seis é melhor do que dois. É 
fácil ver nesse exemplo a dinâmica de uma guerra de preços. O oculista número dois abaixa 
um pouco seus preços, aumentando seu lucro até receber a resposta de seu concorrente. 
Poder-se-ia questionar por que o segundo oculista mantém seus preços altos logo de início, ou 
por que os dois não entram em acordo e levantam seus preços juntos. Mas os dois são 
concorrentes e a motivação para qualquer um deles reduzir o preço é muito alta. O primeiro 
oculista pode resolver abaixar seus preços, atraído pela perspectiva de ter seus lucros quase 
dobrados, enquanto seu competidor fica com mil reais por mês. O que ocorre nesse jogo é 
uma dinâmica conhecida por “dilema do prisioneiro”. O exemplo clássico consiste em dois 
prisioneiros em face de entregar o outro ou alegar inocência. Se ambos negarem o crime, os 
dois saem livres, se um apontar o outro, o acusado recebe uma pena pesada e o delator uma 
leve, e se ambos acusarem um ao outro, os dois pegam penas pesadas. Infelizmente os 
prisioneiros estão fadados a ficarem presos na pior opção possível, pena máxima para ambos, 
pois os incentivos para trair o outro são muito altos. Como os participantes nesses jogos 
sabem que as chances de serem traídos pelo outro lado são muito altas, podem acabar traindo 
por antecipação como forma de proteção. 
O mercado da aviação é um exemplo do dilema do prisioneiro na área empresarial. 
Como todo serviço, o problema com a passagem aérea é que, uma vez que o avião levanta 
vôo, cada assento não vendido é uma perda. Não é possível estocar a vaga para vendê-la 
depois. Além de deixar de ganhar com mais uma venda, as empresas aéreas ainda têm de 
arcar com o prejuízo de colocar o avião no ar, que não muda muito pela lotação. Portanto, a 
motivação para uma empresa baixar seus preços, principalmente em vôos difíceis de vender, é 
muito alta. Como a maioria das pessoas não faz distinção de companhias aéreas, desde que 
chegue a seu destino, a empresa com preços mais baixos tende a voar com a maior lotação 
possível, enquanto as concorrentes agonizam com os prejuízos. Essa dinâmica pode chegar ao 
extremo de empresas competindo por clientes enquanto sabidamente têm prejuízo em alguns 
vôos, simplesmente por ser pior para elas voarem vazias do que com um prejuízo diminuído. 
Assim como os oculistas ou os prisioneiros, as empresas aéreas poderiam entrar num acordo, 
mas os benefícios de trapacear o concorrente são muito altos. O dilema do prisioneiro sugere 
que se tome muito cuidado quando os concorrentes começam a baixar os preços. Sem um 
diferencial, corre-se o risco de ser forçado a uma guerra de preços. Pode-se observar o mesmo 
fenômeno em uma dinâmica inversa, como por exemplo, quando dois competidores passam a 
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oferecer cada vez mais vantagens facilmente copiáveis aos clientes. Para usar o mercado de 
aviação, pode-se observar esse efeito com os programas de milhagem e serviços adicionais. 
Antecipando os movimentos 
Nos jogos de estratégia em geral, prever como os competidores reagirão aos 
movimentos e antecipar-se às suas próximas ações constitui uma enorme vantagem. É sob 
esta ótica que a Teoria dos Jogos adquire especial importância, uma vez que seu meio analítico 
visa a permitir a identificação dos movimentos mais adequados a se realizar, de acordo com a 
movimentação da concorrência. 
Segundo BRANDENBURGER e NALEBUFF (1995), o jogo dos negócios deve ser 
jogado utilizando-se da observação e da análise dos movimentos passados do jogo, para 
determinar qual é a ação que, se tomada hoje, poderá conduzir a organização a uma 
determinada posição no futuro. 
Ou seja: "olhar para a frente, repensando o passado". 
Nesse sentido, MAITAL (1991) complementa afirmando que "olhar para a frente, 
repensando o passado" implica que se deva inicialmente escolher a situação final que nos 
pareça a mais interessante para, depois, traçar o caminho de volta identificando qual é a 
estratégia capaz de nos conduzir à situação desejada. 
A Teoria dos Jogos e Michael Porter 
Entre todas as ciências que avaliam comportamento, a microeconomia é a mais 
próxima ao estudo da competição e do comportamento competitivo entre as firmas 
(Hirshleifer, 1980). Infelizmente o conceito de competição ainda é bastante diverso dentro da 
microeconomia, já que diferentes escolas usam estes conceitos de formas substancialmente 
diferentes e por caminhos independentes (Barney,1986). 
Três grandes escolas de pesquisa em microeconomia são as mais influentes na pesquisa de 
estratégia. São elas: 
- Industrial Organization Economics (Bain, 1956; Mason, 1939) 
- Chamberlinian Economics (Chamberlin, 1933) 
- Schumpeterian Economics (Schumpeter, 1934, 1950; Nelson & Winter, 1982) 
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Provavelmente o conceito de competição apresentado pela Economia de 
Organizações Industriais(Industria Organization - IO) foi o mais incorporado ao estudo de 
estratégia. Isso aconteceu devido ao extenso e reconhecido trabalho de Michael Porter; que é 
baseado nos conceitos de IO. 
Porter, de certa forma, percebeu que o desenvolvimento de seu trabalho 
caminhava consistentemente no sentido de "olhar para dentro das empresas", ao invés de 
manter o foco voltado para o conjunto das empresas que compõem o setor industrial. A partir 
desse momento, sua obra trilhou um caminho dissonante daquele pelo qual enveredou a IO, já 
que ele não optou pelo uso da Teoria dos Jogos para fornecer os insights que necessitava. 
Segundo FOSS (1996), o fato de a evolução do pensamento de Porter estar baseada em um 
referencial eclético resultou em várias adaptações em seu trabalho. Recentemente, seu 
pensamento vem sofrendo influência de novas abordagens, que tem sido uma importante 
fonte de complementaridade para a sua tipologia. 
A influência da IO Economics e da New IO 
Michael Porter apresenta sua tese de doutorado – Consumer Behavior, Retail Power, and 
Manufacturer Strategy in Consumer Goods Industry –, marco inicial de seus estudos que 
relacionam a Estratégia Empresarial com a Economia Industrial. Diversos conceitos 
incorporados por Porter, por exemplo o conceito de barreira de entrada, foram desenvolvidos 
na IO Economics (YIP, 1982). 
Sete anos mais tarde, esse autor publica seu livro Competitive Strategy, que se tornaria um 
clássico, revolucionando os estudos de Estratégia de Negócios. Em PORTER (1985), o próprio 
autor relata, com clareza, a essência de seu primeiro livro: 
"Meu livro anterior, ‘Estratégia Competitiva’, apresentou uma metodologia para a análise de 
indústrias e da concorrência. Ele também descreveu três estratégias genéricas para se alcançar 
uma vantagem competitiva: liderança de custo, diferenciação e enfoque". Esta obra foi muito 
influenciada pela IO Economics – que foi desenvolvida anteriormente por diversos autores, 
como Joe Bain e Edward Mason. 
FOSS (1996) recorre a um trecho do livro Industrial Organization (1959), de Bain, para mostrar 
que o foco de estudos da IO naquela época exerceu forte influência sobre o primeiro livro de 
Porter: 
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“Estou preocupado com o ambiente no qual as empresas operam e como elas se comportam 
dentro desse contexto como produtoras, vendedoras ou compradoras. Em contraste, eu não 
opto por uma abordagem interna, mais apropriada para o campo da administração de 
empresas (...) minha unidade primária de análise é a indústria na qual um grupo de firmas 
compete, ao invés de analisar uma firma individualmente ou o agregado de empresas 
presentes na economia.” 
A IO de Bain e Mason era empírica por natureza; contudo, a partir do final da 
década de setenta, a IO foi revolucionada pela introdução da Teoria dos Jogos e de seu 
poderoso ferramental analítico, passando a ser chamada de New IO. GHEMAWAT (1997) 
constatou que, a partir de 1980, mais de 60% de todos os artigos sobre IO publicados nos 
principais periódicos econômicos mundiais trataram do desenvolvimento e teste de modelos 
criados à luz da teoria dos jogos. 
A New IO, em contraposição à antiga, é fundamentalmente teórica. Encontrou nos 
trabalhos The Theory of Industrial Organization (1988), de Jean Tirole, e no Handbook of 
Industrial Organization (1989), organizado por Richard Schmalensee e Robert Willig, a direção 
que tem guiado os estudos desse campo até os dias de hoje. 
Apesar de ter sido escrito no período de transição da Old IO para a New IO, conforme faz notar 
FOSS (1996), a Competitive Strategy de Michael Porter já incorpora algumas das contribuições 
da Teoria dos Jogos, como: sinalização de mercado, barreiras de saída e comprometimento por 
meio de investimentos de caráter irreversível. 
Aplicação da Teoria dos Jogos na New IO 
GHEMAWAT (1997) ressalta que a New IO poderia aproximar ainda mais a 
Economia Industrial da Estratégia de Negócios, já que a Old IO possui algumas diferenças com 
o Campo Estratégico que poderiam ser reduzidas graças à aplicação da Teoria dos Jogos. São 
elas: 
I. Bem-estar público versus lucros privados – o desenvolvimento de estratégias de 
maximização de lucros para jogos de soma não zero aproximou a IO da análise da 
lucratividade privada, em detrimento do antigo foco em bem-estar público; 
II. Lucros médios versus lucros diferenciados – a Old IO tinha a lucratividade como a 
principal forma de mensurar a performance, concentrando-se na rentabilidade média do 
setor industrial. Já a New IO se detém na análise dos aspectos estruturais e estratégicos 
que permitem que algumas empresas do setor industrial tenham lucros diferenciados 
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das suas competidoras; iii) Similaridades versus diferenças entre as indústrias – ao 
contrário da Old IO, que valorizava as semelhanças estruturais de cada setor, de modo 
que caminhasse na direção de uma generalização, a New IO é sensitiva às idiossincrasias 
de cada indústria; 
III. Determinismo estrutural versus endogenidade – a New IO se opõe ao determinismo 
estrutural aceito pela Old IO, reconhecendo que os diversos elementos componentes da 
estrutura da indústria não podem ser tratados como exógenos, e, graças à Teoria dos 
Jogos, consegue torná-los endógenos; 
IV. Análise estática versus análise dinâmica – a Teoria dos Jogos conseguiu introduzir algum 
dinamismo na IO, reduzindo o caráter estático da Old IO. 
Face ao exposto até agora, seria razoável esperar que a Teoria dos Jogos também 
provocasse um furor nos estudos de Estratégia de Negócios, uma vez que parecia estreitar 
ainda mais os laços entre esses dois campos de estudo. Contudo, para a surpresa de muitos, 
tal tendência não se verificou por uma série de motivos. 
Críticas à aplicação da Teoria dos Jogos na Administração Estratégica 
Em seu artigo Towards a Dynamic Theory of Strategy, PORTER (1991) diz que os 
modelos da Teoria dos Jogos falham em representar as escolhas simultâneas relacionadas com 
um conjunto maior de variáveis. Esses modelos se concentram apenas em um pequeno 
número de variáveis, tratando-as de forma seqüencial e forçando, assim, uma homogeneidade 
de estratégias. Para ele, as distintas posições competitivas só podem ser definidas a partir dos 
trade-offs, das interações e da representação das muitas variáveis que compõem a cadeia de 
valor. 
Por fim, PORTER (1991) alerta que os modelos da Teoria dos Jogos mantêm fixas 
várias variáveis que, sabidamente, mudam, o que, segundo ele, é uma ironia, já que esses 
modelos exploram a dinâmica de um mundo quase que estático. Ou seja, o "jogo das 
empresas" é muito complexo para que os modelos aplicados da Teoria dos Jogos – 
homogêneos, seqüenciais, simplificados e lentos – possam produzir resultados válidos. 
Mesmo as abordagens mais completas, opostas às simplificações do fato, seriam ineficientes. 
Esta também é a posição de GRUCA e SUDHARSHAN (1995), que, mesmo 
considerando a aplicação da Teoria dos Jogos apenas ao entry deterrence, julgam que esta seja 
limitada. Eles citam especificamente as seguintes deficiências: mercado normalmente reduzido 
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a um duopólio, dificuldade de modelar a assimetria de informações e racionalidade 
questionável. 
A Escolha Racional 
A racionalidade na teoria dos jogos procura perceber como os jogadores (sejam 
eles indivíduos, empresas, organizações, países etc.) tomam suas decisões em situações de 
interação estratégica. A teoria dos jogos visa a elucidar como esses jogadores fazem as suas 
escolhas. Analisando como os jogadores tomam as suas decisões, temos de considerar as 
prioridades desses jogadores, pois essas preferências é que irão orientaras escolhas dos 
jogadores. Utilizaremos a teoria da escolha racional, ou seja, a teoria que parte das prioridades 
dos jogadores para entender suas escolhas, assumindo como um princípio básico a idéia de 
que os jogadores são racionais. 
A teoria da escolha racional tem de se iniciar por uma diferenciação das 
preferências dos jogadores e do que entendemos exatamente por racionalidade. 
Primeiramente temos que encontrar uma maneira de expressar às prioridades que norteiam 
as escolhas dos jogadores. 
Para expressar essas preferências, precisamos do conceito de relação (Binária). 
O estudo das relações binárias é a base para a compreensão do estudo de funções. Sejam dois 
conjuntos A e B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B é dita Relação Binária de A 
em B. Se n(A) = m e n(B) = p, então, o número de relações binárias possíveis é dado por 2m.p. 
Escrevemos, R: A → Β para representar uma relação binária de A em B e neste caso, A é dito 
conjunto de partida e B o conjunto de chegada. Os elementos do conjunto A, que participarem 
de uma relação R, formam o domínio desta relação, D(R), e os elementos do conjunto B que 
estão nesta mesma relação, formam a imagem de R, Im(R). 
Assim, suponha um conjunto que chamaremos de Capitais: 
Capitais = {Brasilia, Quito, Buenos Aíres} 
E suponha um outro conjunto que chamaremos de Países : 
Paíse da America do Sul = {Argentina, Brasil, Equador} 
A idéia de relação está associada à presença de um vínculo entre os elementos 
analisados, ou de uma relação de pertinência. Assim, poderíamos estabelecer a relação R1 
entre os elementos do conjunto Capitais e os elementos do conjunto Países da America do Sul: 
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R1 = {(Buenos Aires, Argentina), (Brasilia, Brasil),(Quito, Eguador)} 
Se chamarmos o primeiro elemento da relação de x e o segundo elemento de y o 
conjunto R1 expressa a relação “x é a capital de y”. 
Como um outro exemplo, suponha um conjunto S = {3,4}. Poderíamos definir a relação xR2y = 
“x maior ou igual a y” e que poderia ser representada por x ≥ y, sendo tanto x como y 
elementos do conjunto S, com o que obteríamos: 
R2= {(3, 3), (4, 3), (4, 4)} 
Neste caso, em que temos uma relação entre os membros de um mesmo conjunto 
(o conjunto S), diz-se que a relação xRy define uma relação sobre S. 
Uma relação de preferência é, então, uma relação particular, representada por 
 (lê-se “ao menos tão bom quanto”). 
Vamos ilustrar esse tipo de relação com um exemplo. Suponha um conjunto 
qualquer L das opções de lazer de fim de semana para um indivíduo. Se, dados dois elementos 
quaisquer a, b ∈ L (por exemplo, praia e futebol com os amigos), for verdade que a b, isso 
significa que para esse indivíduo a opção a (praia) é pelo menos tão boa quanto a opção b 
(futebol com os amigos). 
Percebemos que a relação de preferência não nos permite dizer com exatidão 
se a supera b nas preferências de um agente, ou se há indiferença entre as duas opções, sendo 
uma opção tão boa quanto a outra. Na verdade, podemos derivar duas relações binárias a 
partir de , a relação de preferência estrita > e a relação de indiferença ~ . 
Define-se a relação de preferência estrita como sendo: 
x > y � x y mas não y x 
 
O símbolo (�) acima é lido como “se, e somente se”. Utilizamos esse símbolo 
lógico quando duas proposições ocorrerem sempre juntas. Assim, a ���� b significa que a é 
verdade somente se b for verdade, e que b é verdade somente se a for verdade, ao mesmo 
tempo. 
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O que a expressão anterior nos informa é que x é “estritamente preferível” ( > ) a y 
se, e somente se, x for tão bom quanto y, mas y não for tão bom quanto x. Então, obtemos a 
relação de preferência estrita se eliminarmos da relação de preferência a possibilidade de que 
um elemento seja tão bom quanto o outro. 
Define-se a relação de indiferença como sendo: 
x ~ y � x y e y x 
O que a expressão acima nos informa é que x é “indiferente” ( ~ ) a y se, e somente 
se, x for tão bom quanto y e y for tão bom quanto x. Como a relação de preferência estrita 
exclui justamente a possibilidade de que x seja tão bom quanto y e y seja tão bom quanto x, 
segue-se então que o que há entre x e y é indiferença. 
Não podemos confundir a relação binária (“ao menos tão bom quanto”) com a 
relação binária ≥ (“maior ou igual”). As duas relações dizem respeito a comparações de 
natureza distinta. A relação ≥ diz respeito à comparação de uma mesma dimensão entre 
elementos (peso, altura, somas monetárias etc.). Não faz sentido algum, portanto dizer que 
uma temperatura de 300C é maior ou igual a 8kg. Já a relação , ao representar preferências, 
pode obviamente admitir que sejam comparados elementos de dimensões totalmente 
distintas. Pode ser que para alguém 3 horas de cinema sejam ao menos tão boas quanto uma 
pizza de Mussarela. 
Existe também o fato de que a relação ≥ obedece à condição: 
Se a ≥ b e b ≥ a então a = b 
Já a relação obedece à condição: 
Se a b e b a então a ~ b 
Na relação de indiferença não exige que a e b sejam iguais, mas apenas que haja 
indiferença na escolha entre eles: pode acontecer uma situação em que alguém considere 
igualmente bons uma pizza calabresa e uma pizza quatro queijos. 
Vimos que os jogadores são supostamente racionais, ao menos para grande parte 
dos modelos de teoria dos jogos. Agora estamos em condições de especificar com maior 
Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009 
 
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precisão o que significa afirmar que os jogadores são racionais. Afirmar que os jogadores são 
racionais em teoria dos jogos significa afirmar que as suas preferências são racionais. 
Conforme a formulação de Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston e Jerry R. 
Green, no livro Microeconomic Theory (Nova York, Oxford University Press, 1995 afirmar que 
uma relação de preferência é racional significa que a relação binária de preferência 
apresenta as seguintes propriedades: 
a) A relação de preferência sobre um conjunto de escolhas possíveis A é completa: para 
qualquer x, y ∈ A, temos que x y, y x, ou ambos. Essa propriedade implica que, 
entre duas escolhas possíveis, sempre é aceitável dizer se a primeira é ao menos tão boa 
quanto à segunda, se a segunda é ao menos tão boa quanto à primeira, ou se as duas coisas 
ocorrem ao mesmo tempo, o que significa dizer que há indiferença entre as duas. Em 
outros termos, os agentes são capazes de definir suas preferências em relação a qualquer 
escolha possível. 
b) A relação de preferência sobre um conjunto de escolhas possíveis A é transitiva: para 
quaisquer x, y, z ∈ A, temos que se x y e y z, então x z. Essa propriedade 
significa que há integração nas escolhas: caso praia seja tão bom quanto futebol e futebol 
seja tão bom quanto cinema, praia tem de ser tão bom quanto ir ao cinema. 
A hipótese de que a relação de preferência é completa nos permite afirmar 
que os jogadores são sempre aptos em expressar uma preferência estrita entre quaisquer duas 
possibilidades (uma é efetivamente melhor para o jogador do que a outra) ou, ao menos, são 
indiferentes entre as duas possibilidades. Em outras palavras, nenhum dos jogadores ficaria 
paralisado no momento de fazer sua escolha por não saber como avaliar as possibilidades. 
A hipótese de que a relação de preferência é transitiva impede que o jogador 
esteja sujeito a um comportamento irracional, o qual permitira que esse jogador fosse 
explorado por outro jogador. Para entender como isso se daria, imagine um jogador que 
prefira A a B, B a C, mas prefira C a A, ou seja, que suas preferências não fossem transitivas. 
Vamos chamá-lo de jogador 1. Imagine agora algum outro jogador — vamos chamá-lo de 
jogador 2 , que saiba que as preferênciasdo jogador 1 não são transitivas e decida explorá-lo: 
o que ele faria? 
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Suponha que o jogador 1 possua C, que ele menos prefere. O jogador 2 poderia 
oferecer a troca de C por B , depois propor a 1 trocar B por A. Como o jogador 1 prefere C a A, 
ele aceitará trocar A, mais uma pequena soma de dinheiro, por C, com o jogador 2. E então o 
jogador 1 terminaria com C ( com que começou o jogo), menos uma pequena quantidade de 
dinheiro. 
Se o jogador 2 for bastante paciente para repetir o mesmo ciclo tantas vezes 
quantas forem necessárias, o jogador 1 acabará sem nenhum dinheiro. Daí o apelido que este 
tipo de situação ganhou na literatura: “bomba de dinheiro” (em inglês, money pump), por 
relação a uma bomba d’água. 
Preferências completas e transitivas são chamadas de preferências ordinais, uma 
vez que elas ordenam as preferências de um jogador com relação a determinados resultados. É 
por intermédio desse tipo de preferências que iremos caracterizar, daqui por diante, o fato de 
que os jogadores são racionais. 
Como Aplicar a Teoria na Prática 
Saber a importância da aplicação da Teoria dos Jogos na realidade do cotidiano 
das empresas vai ajudar a identificar os pontos fortes da teoria para a vida real. 
Uma montadora do seguimento automotivo ao decidir se reduz o preço do 
modelo de seu carro com menos vendas, num mercado que existem poucas montadoras e 
cada qual tem uma participação significativa no mercado, a tomada de sua decisão terá 
conseqüências sobre as vendas das empresas que produzem modelos concorrentes do seu. 
Deve-se considerar, pois ao decidir reduzir o preço do modelo poderá levar as empresas 
competidoras a também reduzirem seus preços. Por outro aspecto, as outras empresas 
devem considerar, ao definirem os preços de seus modelos, a possibilidade de a empresa em 
questão reduzir o preço de seu modelo cujas vendas não vão bem. 
Observamos um jogo de interesse entre as montadoras , quando a montadora de 
automóveis que está decidindo se reduz ou não o preço do modelo com vendas insatisfatórias, 
tem que analisar as possíveis respostas de seus concorrentes sem dúvida alguma há uma 
interação entre as decisões da montadora e as de suas concorrentes. 
Além disso, a montadora em questão tentará se comportar de 
forma racional, empregando os meios de que dispõe para tomar sua decisão da melhor forma 
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possível, dado seu objetivo, que é maximizar os lucros, tentará antecipar quais serão as 
possíveis reações de suas concorrentes no momento de tomar sua decisão. 
A Guerra pelo pioneirismo em automóveis “verdes” determinara os vencedores da indústria 
automotiva mundial,( Revista Exame, edição 906, pagina 142 ) 
A Toyota hoje colhe os lucros pelo pioneirismo na venda de automóveis verdes com 77% do 
mercado de veículos híbridos, seguida pela Honda, com 16%. Enquanto as concorrentes 
americanas vêm tendo perdas sucessivas no faturamento, os lucros da Toyota vêm 
crescendo. Muitos especialistas afirmam que as indústrias irão seguir a Japonesa. Até o final 
de 2009, estima-se 17 fabricantes vão oferecer 72 modelos com motor híbrido. 
Um país-membro da Opep (a associação mundial dos produtores de petróleo) 
avalia se vale a pena restringir sua produção de petróleo para sustentar o preço do produto. 
Os líderes da Opep, por sua vez, consideram a possibilidade de os países-membros 
desrespeitarem suas cotas no momento de reduzir a produção. 
Neste caso, a interação se dá entre a Opep e os próprios países-membros. Se a 
organização decidir reduzir excessivamente a produção total dos países-membros, visando a 
obter um preço muito elevado para o petróleo, é provável que as cotas de produção assim 
fixadas sejam desrespeitadas por vários países produtores, que teriam a ganhar produzindo 
mais com o preço elevado. 
Por outro lado, cada país-membro tem de considerar os custos e os benefícios 
antes de decidir se obedeceram as cotas definidas pela Opep. Se decidir obedecer, corre o 
risco de sacrificar sua receita da venda de petróleo, ao passo que os países que eventualmente 
desesperarem a cota podem se beneficiar do preço mais alto, ao mesmo tempo em que 
vendem mais. Contudo, se todos os países-membros raciocinarem da mesma forma, ninguém 
cumpre as cotas e a tentativa de aumentar o preço fracassa. Obviamente, um problema de 
interação estratégica. 
Opep promete abastecimento "suficiente e confiável" de petróleo ( Portal UOL ) 
A Organização de Países Exportadores de Petróleo (Opep) comprometeu-se neste 
domingo ( 18/11/07) a abastecer os mercados de forma "suficiente e confiável", segundo 
comunicado da cúpula de Riad: "Decidimos continuar assegurando o abastecimento do 
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mercado de petróleo de modo a responder às necessidades mundiais." A organização 
também destacou a importância da paz mundial para manter a estabilidade dos mercados. 
 O comunicado assinala que a Opep entende trabalhar com todas as partes "para 
assegurar o equilíbrio mundial com preços convenientes para garantir melhor qualidade de 
vida no planeta".Os preços do petróleo vêm registrando fortes altas nos últimos meses. No 
início do mês, o barril negociado em Nova York atingiu o valor recorde de US$ 98,62. A 
desvalorização do dólar, a chegada do inverno no hemisfério norte e principalmente as 
tensões geopolíticas em regiões produtoras, como o Irã e a Turquia, têm exercido forte 
influência sobre o preço do combustível. 
"Reconhecemos o papel primordial da Opep para satisfazer as necessidades 
mundiais de energia, aí compreendidos os países em desenvolvimento, e para assegurar o 
fornecimento de energia aos consumidores de maneira econômica e contínua, preservando o 
direito dos produtores a rendimentos aceitáveis, estáveis e justos, assim como aos 
investidores", diz também o texto. 
Os países membros da Opep possuem 77% das reservas de petróleo verificadas 
no planeta e o cartel fornece quase 40% do ouro negro mundial. Com a chegada do Equador, 
que se tornou o menor membro da Opep na conferência de Riad, a organização volta a ter 
dois membros latino-americanos. 
As situações apresentadas demonstram que existe uma interação estratégica, 
podemos estudá-las com o auxílio da teoria dos jogos. A vantagem de analisar cada uma 
dessas situações como um jogo é que os fatores determinantes das decisões dos agentes 
podem ser bem mais compreendidos do que seriam se apenas nos limitássemos a estudar 
caso a caso e, assim, a lógica por trás de cada decisão pode ser entendida e comparada com 
caso semelhantes. Estaremos assim, mais capacitados para entender o que existe de geral e de 
específico em cada caso de interação estratégica no mundo empresarial e na economia como 
um todo. 
Vimos que situações de interação estratégica entre indivíduos e organizações 
podem ser tratadas como um jogo e assim analisadas. Falta analisarmos, no que diz respeito à 
modelagem de um jogo, a questão dos objetivos do jogador, e de como ele busca esses 
objetivos. Essa é uma questão muito importante e que tem dado origem a um grande número 
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de confusões, pois se trata de definir qual será o comportamento dos jogadores, um elemento 
essencial para determinar o resultado de um jogo. Para isso precisamos saber algo acerca dos 
objetivos desses jogadores. 
Com efeito, podemos ter resultados muito distintos ao modelar um processo de 
interação estratégica dependendo dos objetivos que tenhamos atribuído aos jogadores. 
Apenas para ilustrar, considere o caso, onde a equipe Ferrari no campeonato de 2007 foi 
precisa em sua estratégia. Na volta 50º,na parada de box, Raikkonen assumiu a liderança da 
prova que, até então, pertencia tranquilamente ao brasileiro Felipe Massa, o pole position. 
Invertidas as posições coube a Massa o papel de ser o escudeiro de Raikkonen e conduzi-lo até 
a vitória na prova e o campeonato. Se Massa falhasse nessa delicada missão, Fernando Alonso 
chegaria em 2º e seria tricampeão mundial. Para Massa o principal objetivo era ser campeão 
no Brasil entretanto isso tiraria da Ferrari a possibilidade de ter uma piloto campeão na 
temporada. 
Observamos neste caso também a estratégia aplicada pela concorrente McLaren 
no decorrer do ano, avalizou todas as estratégias onde tinha os melhores resultados, porém 
sofreu depois de uma vexatória condenação por espionagem industrial. A duas corridas do 
final, depois do GP do Japão, a McLaren tinha como praticamente definida a disputa entre 
Lewis Hamilton e Fernando Alonso, em favor do inglês. De Raikkonen nem se falava. Depois da 
prova da China, Ron Dennis deixou escapar uma frase perigosa: que o adversário a ser batido 
era Alonso (rompido com a escuderia) e não Raikkonen. Ron Dennis, então, estava errado. Era 
Raikkonen que deveria ser batido e não foi. O resultado final foi o que se viu em Interlagos. 
Kimi Raikkonen chegar na frente e superar os dois pilotos da McLaren por um ponto. 
O que não podemos deixar de considerar é a questão da racionalidade quando um 
piloto como Felipe Massa entrega uma corrida ganha e um experiente estrategista como Ron 
Dennis não consegue analisar fatos a mais. 
Ocorre que isso nada tem haver com racionalidade. Na verdade, a racionalidade 
não esta relacionada aos objetivos dos jogadores, sejam eles egoístas ou altruístas. Um 
indivíduo altruísta pode ser tão racional (ou irracional) quanto um indivíduo egoísta – e vice-
versa – dados os seus objetivos. Isso porque a racionalidade aqui será entendida como a 
coerência entre o meio e os fins dos agentes. 
 
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EQUILÍBRIO DE NASH 
No equilíbrio de Nash, nenhum jogador se arrepende de sua estratégia, dadas as 
posições de todos os outros. Ou seja, um jogador não está necessariamente feliz com as táticas 
dos outros jogadores, apenas está feliz com a tática que escolheu em face das escolhas dos 
outros. No filme “Uma Mente Brilhante” sobre a vida de John Nash popularizou-se o termo e 
levou ao conhecimento do público a Teoria dos Jogos, mas infelizmente, como o economista 
James Miller coloca, a única indicação sobre o assunto no filme está errada. 
No filme, cinco garotas, dentre elas uma especialmente atraente entram em um 
bar, e Nash tem a idéia de, junto com três amigos, ir conversar com as quatro garotas e evitar 
tanto a competição pela mais bonita quanto o ciúme das outras garotas. No filme está 
subentendido que essa seria a base do equilíbrio de Nash. O problema é que o equilíbrio de 
Nash ocorre quando não há arrependimento, e vendo a mulher mais bonita do bar sair 
sozinha, alguém poderia se arrepender de não ter ido conversar com ela em primeiro lugar. O 
equilíbrio de Nash se daria se um dentre os quatro fosse conversar com a mais bonita e os 
outros evitassem a competição partindo cada um para uma garota diferente. 
O que percebemos é que a genialidade do equilíbrio de Nash vem da sua 
constância sem os jogadores estarem cooperando. Por exemplo, seja uma estrada de cem 
quilômetros, de movimento igual nas duas direções, representada por uma linha graduada de 
0 a 100. Coloquem-se nessa estrada dois empreendedores procurando um local para abrir 
cada qual um posto de gasolina. Pode-se assumir que cada motorista irá abastecer no posto 
mais próximo de si. Se “A” coloca seu posto no quilometro 40, e “B” exatamente no meio, “B” 
ficará com mais clientes que “A”. O jogo ainda não está em equilíbrio, pois “B” pode se 
arrepender de não estar mais perto de “A”, roubando mais clientes. O equilíbrio de Nash será 
“A”=X+1 e “B”=X-1. Se um posto estiver um pouco fora do centro, seu competidor vai ganhar 
mais da metade dos consumidores, colocando-se ao seu lado, mais próximo ao centro. 
A Teoria dos Jogos consegue explicar por que, nos grandes centros urbanos, 
farmácias, locadoras e outros competidores da mesma indústria tendem a ficar próximos uns 
aos outros. Sempre que um jogador se encontra em uma situação em que até poderia estar 
melhor, mas está fazendo o melhor possível dada a posição de seus competidores, existirá um 
equilíbrio de Nash. 
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Em 1964, o cineasta Stanley Kubrick Lançava “Dr. Strangelove”. Nele, um oficial 
americano ordena um bombardeio nuclear à União Soviética, cometendo suicídio em seguida 
e levando consigo o código para cancelá-lo. O presidente americano busca o governo soviético 
na esperança de convencê-lo de que o evento é um acidente e por isso não deve haver 
retaliação. É então informado de que os soviéticos programaram uma arma de fim do mundo 
(uma rede de bombas nucleares subterrâneas), que funciona automaticamente quando o país 
é atacado ou quando alguém tenta desarmá-la. O Dr. Strangelove, estrategista do presidente, 
aponta uma falha: se os Soviéticos dispunham de tal arma, por que a guardavam em segredo? 
Por que não contar ao mundo? A resposta do inimigo: a máquina seria anunciada na reunião 
do partido na próxima segunda-feira. 
Podemos analisar a situação criada no filme sob a ótica da Teoria dos Jogos: uma 
bomba nuclear é lançada pelo país A ao país B. A política de B consiste em rebater com todo 
seu arsenal, capaz de destruir a vida no planeta, se atacado. O raciocínio que levou B a tomar 
essa decisão é bastante simples: até o país mais fraco do mundo está seguro se criar uma 
“máquina de destruição do mundo”, ou seja, ao ter sua sobrevivência seriamente ameaçada, o 
país destrói o mundo inteiro (ou, em seu modo menos drástico, apenas os invasores). Ao 
elevar os custos para o país invasor, o possuidor dessa arma garante sua segurança. O 
problema é que de nada adianta um país possuir tal arma em segredo. Seus inimigos devem 
saber de sua existência e acreditar na sua disposição de usá-la. O poder da máquina do fim do 
mundo está mais na intimidação do que em seu uso. 
Atualmente nos temos o caso do Irã (TEERÃ (AFP) — O ministro iraniano da Defesa, 
Mostafá Mohamad Najar, anunciou nesta terça-feira( 22/11/07) que seu país construiu 
um novo míssil balístico com um alcance de 2.000 quilômetros, denominado "Ashura", 
em um clima de forte tensão com os países ocidentais devido às ambições nucleares de 
Teerã. O novo míssil, batizado com o nome da maior cerimônia de luto e penitência dos 
mulçumanos xiitas, tem em teoria o alcance suficiente para atingir as bases americanas 
da região e Israel, a cerca de 1.000 quilômetros do país. 
O conflito nuclear fornece um exemplo de uma das conclusões mais 
surpreendentes dentro da Teoria dos Jogos. O economista Thomas Schelling percebeu que, 
apesar do sucesso geralmente ser atribuído a uma maior inteligência, planejamento, 
racionalidade dentre outras características que retratam o vencedor como superior ao 
vencido, o que ocorre muitas vezes é justamente o oposto. Até mesmo o poder de um jogador, 
considerado no senso comum como uma vantagem, pode atuar contra seu detentor. Schelling 
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criou o termo “brinksmanship” (de brink, extremo) à estratégia de deliberadamente levar uma 
situação às suas conseqüências extremas. 
Um exemplo usado por Schelling é bem conhecido: “O jogo do frango”, que 
consiste em dois indivíduos acelerarem seus carros na direção um do outro em rota de colisão; 
o primeiro a virar o volante e sair da pista, é o perdedor. 
Pode-se ver na tabela a seguir os resultados desse jogo: 
 MOTORISTA2 
 RETO DESVIA 
MOTORISTA 1 RETO -100, -100 1,-1 
 DESVIA -1,1 0,0 
 
Se ambos forem reto, os dois jogadores pagam o preço mais alto com sua vida. No 
caso de os dois desviarem, o jogo termina em empate. Se um desviar e o outro for reto, o 
primeiro será o “frango” e o segundo, o vencedor. Schelling propôs que um participante desse 
jogo deve retirar o volante de seu carro e atirá-lo para fora, fazendo questão de mostrá-lo a 
todas as pessoas presentes. Ao outro jogador caberia a decisão de desistir ou causar uma 
catástrofe. Um jogador racional optaria pela opção que lhe causasse menos perdas, sempre 
perdendo o jogo. O mesmo ocorre ao decidir invadir um país sem medo de usar armas 
nucleares. É possível ver no dumping entre concorrentes uma aplicação direta da “máquina do 
fim do mundo”. Uma empresa pode decidir vender com prejuízo caso seu concorrente 
ultrapasse determinados limites. 
O exemplo de Schelling fornece ainda uma instância em que, ao se retirar o 
volante, e, portanto, o poder de decidir, o jogador tem suas chances de ganhar aumentadas. 
Em situações de negociação é comum se abrir mão do poder e ainda assim sair ganhando. 
Muitas vezes advogados dizem que estão autorizados por seus clientes a ir 
somente até um valor, enquanto vendedores atribuem aos gerentes a decisão de não fornecer 
desconto. Se a outra parte acredita na limitação desses profissionais, o limite de preço imposto 
ganha credibilidade. 
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Eliminar opções pode ser útil em situações como, por exemplo, negociar um 
aumento. Por que deveria um superior conceder um aumento caso acredite que seu 
empregado não possui outra opção melhor? Se o empregado ameaçar ir embora caso não 
receba um aumento, pode-se simplesmente dizer não, pois a ameaça não é confiável. 
Uma forma de o empregado tornar a ameaça digna de crédito seria espalhar a notícia de que, 
caso não receba um aumento, sairá da firma, a todos que trabalham na empresa. O objetivo 
do empregado é tornar a sua estada na firma sem um aumento totalmente humilhante, 
obrigando-o a pedir demissão. Agora sua ameaça faz efeito, e o chefe será obrigado a 
conceder um aumento ou procurar outro para o serviço. Ao arriscar sua própria credibilidade 
com os colegas, o empregado aumenta as chances de um resultado favorável. 
Limitar as opções pode significar simplesmente cortar as comunicações. Durante 
as negociações, para convencer um vendedor a aceitar um preço, um comprador pode fazer 
uma oferta e em seguida tornar-se propositalmente indisponível. Ao não aceitar ligações, estar 
sempre em reuniões ou em viagens, o comprador aumenta a credibilidade de sua ameaça. 
Uma ligação atendida sinaliza interesse e pode fazer com que a ameaça seja ignorada. 
Quando pensaram em utilizar os jogos de estratégia para analisar o mundo social, 
Von Neumann e Morgenstein retornaram a uma prática milenar para entender e estudar o 
mundo. Ao fazer isso, criaram uma ciência com uma grande capacidade de generalização e 
precisão matemática. A Teoria dos Jogos promete tornar-se um prisma cada vez mais 
poderoso sob o qual as relações humanas podem ser analisadas. Praticantes e acadêmicos de 
administração, rodeados rotineiramente pelos conflitos e complexidade da sociedade somente 
tem a ganhar com essa visão. Ou, como disse certa vez o fundador da Atari, Alan Bushnell: “A 
área de negócios é um bom jogo – muita competição e um mínimo de regras”. 
Necessitamos de um conceito mais geral de solução de jogos simultâneos, que permita tratar 
tanto de jogos que possuem estratégias estritamente dominadas e que, portanto, podem ser 
resolvidos pela eliminação iterativa de estratégias c~tritamente dominadas, corno tarnbern de 
jogos nos quais não é possível identificar stratégias dominadas. Esse conceito é o chamado 
equilíbrio de Nash: 
[‘T~J Diz -se que uma combinação de estratégias constitui um equilíbrio de 
Nash quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias 
dos demais jogadores, e isso é verdade para todos os jogadores. 
 
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Em seu artigo “An EconomicAnalysis of Aspects of Petroleum and Military Security 
in the Persian Gulf” (Contemporary Economic Polky, vol. 19, n~ 4, October 2001, p. 37 1-381), 
Duane Chapman e Neha Khanna propõem explicar a estabilidade do preço internacional do 
petróléo entre 1986 e 1999, quando este se situou de forma estável entre US$15 e US$20. 
Os autores afirmam que o custo de produção do petróleo nos países produtores de baixo custo 
(Arábia Saudita e lraque, principalmente) muito provavelmente se situa em torno de US$5. 
Assim, se o mercado internacional de petróleo fosse um mercado competitivo no período por 
eles analisado, o preço se situaria em torno desse valor. 
Por outro lado, pelos cálculos de Chapman e Khanna, se o mercado fosse um mercado 
monopolizado, o preço internacional do petróleo se situaria em tomo de US$30. No entanto, o 
preço se manteve por todo aquele período em um valor intermediário entre o preço 
competitivo e o preço de monopólio. 
Chapman e Khanna apresentam uma explicação para essa estabilidade. Segundo eles, essa 
faixa de preço que se manteve estável entre US$15 e US$20 corresponderia, no período que 
vai de 1986 a 1999, a um equilíbrio de Nash: uma situação em 
que nenhuma parte conseguiria melhorar sua situação alterando sua estratégia. De acordo 
com Chapman e Khanna, esse equilíbrio de Nash era a melhor resposta possível tanto para os 
países desenvolvidos quanto para os países produtores do Oriente Médio. 
Para os países desenvolvidos, a faixa de preço entre US$15 e US$20 representava um preço 
suficientemente alto para evitar que a produção nos Estados Unidos e no Mar do Norte fosse 
abandonada, sem ser tão elevado a ponto de gerar uma inflação indesejável Segundo 
Chapman e Khanna, o custo da produção de Petróleo nos Estados Unidos e no Mar do Norte é 
pelo menos três vezes maior do que em um produtor do Golfo Pérsico de baixo custo, e um 
preço do petróleo muito baixo ínviabilizaria a prodüção nessas áreas, além de aumentar o 
consumo e com isso a dependência desses países. 
Já para os países produtores, um preço do petróleo entre US$1 Se US$20 seria sufi-
cientemente alto para financiar seus gastos militares, dada a instabilidade da região. Um preço 
mais elevado enfrentaria resistência dos países desenvolvidos, e um preço mais baixo não 
permitira a esses países investirem o necessário em sua segurança. 
Equilíbrio de Nash e Ótimo de Pareto 
Quando a situação de pelo menos um agente melhora, sem que a situação de 
nenhum dos outros agentes piore, diz-se que houve uma melhoria paretiana, ou uma melhoria 
no sentido de Paretoi Da mesma forma, se em uma dada situação não é mais possível 
melhorar a situação de um agente sem piorar a de outro, diz-se que essa situação é um ótimo 
de Pareto, o que significa que, dadas as circunstâncias, ganhos de eficiência não são mais 
possíveis. O conceito de melhoria paretiana é muito importante para a teoria econômica, uma 
vez que permite identificar possibilidades de aumento de eficiência que não teriam, em 
princípio, razão para enfrentar nenhum tipo de oposição: se, em virtude de alguma mudança, 
alguém melhora sem que ninguém piore, por que alguém haveria de se opor a essa mudança 
que produz maior eficiência? 
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País A 
País B 
Tarifa Alta Tarifa Baixa 
Tarifa Alta 800, 800 2.300, (700) 
Tarifa Baixa (700),2.300 1.700, 1.700 
Figura 3.5 O jogo do Comércio Internacional 
O conceito de equilíbrio de Nash exige que cada jogador individualmente adote a 
melhor resposta às estratégias dos demais, mas isso não implica que a situação resultante das 
decisões conjuntas dos jogadores será amelhor possível. Por meio de uma rápida inspeção no 
jogo da Figura 3.5, podemos observar que as recompensas do equilíbrio de Nash (800, 800) são 
inferiores às recompensas que resultam da combinação de estratégias (Tarifa Baixa, Tarifa 
Baixa), em que os jogadores obtêm as recompensas (1.700, 1.700). Se os dois jogadores 
concordassem em reduzir suas tarifas simultaneamente, ambos sairiam ganhando. 
O problema é que o equilíbrio de Nash nada tem a ver com a noção de ótimo de 
Pareto: o fato de que os jogadores estão adotando as melhores respostas às escolhas dos 
demais não significa, necessariamente, que suas decisões, quando tomadas em conjunto, 
resultam na melhor situação possível. 
Com efeito, uma escolha que, do ponto de vista de um agente isoladamente pode 
ser ótima, caso seja adotada pelos outros agentes pode se revelar um problema. Impor uma 
tarifa elevada sobre as importações que chegam de outro país pode parecer uma boa idéia 
para um país isoladamente, mas se todos os países tomam a mesma decisão, o comércio 
internacional se reduz e todos saem prejudicados. 
É isso que o jogo do comércio internacional da Figura 3.5 ilustra: como o conceito 
de equilíbrio de Nash exige apenas que cada jogador adote a melhor resposta em relação aos 
demais, sem investigar a natureza da interação resultante — não há por que esperar que o 
resultado seja um ótimo de Pareto: tudo ira depender da natureza da interação entre os 
jogadores. 
O Conceito de Ponto Focal 
Considere novamente o jogo de coordenação do padrão tecnológico da Figura 3.6. 
Obviamente, na medida em que determinados resultados sejam melhores para todos os 
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agentes, abre-se espaço para a possibilidade de cooperação entre eles, no sentido preciso de 
coordenar suas ações de forma a garantir o melhor resultado possível para todos. 
Será justamente na análise da possibilidade de coordenação de agentes como 
forma de obter soluções cooperativas, que será definido o conceito de ponto focal: 
Um ponto focal é um elemento que se destaca de um contexto, e que permite 
aos jogadores coordenarem suas decisões em um dentre vários equilíbrios de Nash 
possíveis. 
Como exemplo de ponto focal, considere o seguinte: imagine dois pára-quedistas 
que, encarregados de uma missão de sabotagem, tenham saltado em determinada região, sem 
que um saiba onde o outro se localiza, sem equipamentos de comunicação (transmissões de 
rádio podem estar sendo rastreadas) e sem que tenham acordado antecipadamente onde 
iriam se encontrar. Apenas sabem que ambos têm a mesma missão e o mesmo mapa 
(conhecimento da região). 
Ainda assim, é razoável supor que os dois pára-quedistas terminariam se 
encontrando, desde que houvesse um elemento do ambiente em que os dois se encontram 
que se diferenciasse ou se destacasse dos demais, pois, para facilitar o encontro, sendo 
racionais, os pára-quedistas escolheriam um referencial único e nao ambíguo na região. 
Imagine então que os dois pára-quedistas devem executar sua missão de 
sabotagem em uma pequena cidade, próxima de onde saltaram. Se a cidade tiver várias casas 
mais ou menos parecidas, duas escolas também semelhantes e apenas uma igreja, a escolha 
mais natural é que ambos se encaminhem para a igreja que, por ser única, se destaca do 
contexto. 
Mas note que isso só é possível se os pára-quedistas conhecem a cidade e isso é 
de conhecimento comum, ou seja, é do conhecimento de ambos. Isso significa que algum 
elemento tornou as características da região de conhecimento comum entre os jogadores. 
Possivelmente, um regime de instrução e treinamento não apenas orientou os pára-quedistas 
a interpretarem o mapa da cidade da mesma forma, como tornou isso de conhecimento de 
ambos. Em outros termos, a efetividade do ponto focal como referência para a coordenação 
dos agentes exige o compartilhamento de experiências. Sem que as experiências tenham sido 
compartilhadas entre os agentes, não há razão para se supor que os diferentes elementos que 
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compõem um dado contexto terão sua proeminência avaliada da mesma forma e que os 
pontos focais escolhidos serão os mesmos. Dessa forma, conclui-se que o conceito de ponto 
focal como elemento de coordenação espontánea dos agentes se restringe essencialmente a 
pequenos grupos, dada a necessidade da familiaridade na interpretação do meio em que inte-
ragem. E essa familiaridade somente pode ser obtida por meio de experiências comuns. Não é 
por acaso que a idéia de ponto focal tem sido aplicada, com algum sucesso, á interação de 
pequenos grupos, como o de empresas em setores concentrados na formação de um cartel. 
SysOp 
AntiVírus 
Atualiza Não Atualizar 
Desenvolver 2, 1 -1, -2 
Não Desenvolver 0, -1 1, 2 
Figura 1. O jogo de Coordenação do Padrão Tecnológico. 
Um exemplo de ponto focal, nesse caso, poderia ser um colunista especializado 
em uma revista internacional de novidades em tecnologia de informação, que fosse famoso o 
suficiente para ser lido por funcionários de ambas as empresas em seus países. 
Ao divulgar informações a respeito, por exemplo, do desenvolvimento de novas 
ferramentas, poderia induzir a coordenação das duas empresas na combinação de estratégias 
em que a SysOp desenvolveria sua ferramenta e a AntiVírus atualizaria seu programa antivírus. 
Sendo nosso hipotético colunista internacionalmente famoso, ele se tornaria um ponto focal 
para as empresas coordenarem suas decisões. 
UM CASO DE MAIS DO QUE UM EQUILÍBRIO DE.NASH 
É possível que haja mais do que um equilíbrio de Nash (ou até mesmo que não 
haja um equilíbrio de Nash). Se os jogadores não alternam suas estratégias aleatoriamente, 
pode muito bem acontecer que não haja um equilíbrio de Nash. 
Vejamos um exemplo de cada um desses casos, começando pelo caso em que há 
mais de um equilíbrio de Nash. Considere o jogo a seguir: 
SysOp 
AntiVírus 
Atualiza Não Atualizar 
Desenvolver 2, 1 -1, -2 
Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009 
 
Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com 
Não Desenvolver 0, -1 1, 2 
Figura 1. O jogo de Coordenação do Padrão Tecnológico. 
O jogo da Figura 1 representa uma situação de interação estratégica em que um 
fabricante de sistemas operacionais (SysOp) tem de decidir se desenvolve ou não uma nova 
ferramenta em seu sistema operacional, e uma empresa que produz software antivírus 
(AntiVírus) tem de decidir, simultaneamente, se atualiza seu software para a nova ferramenta 
a ser introduzida no sistema operacional. 
Nesse jogo, embora as empresas não mantenham contato para coordenar suas 
decisões, ambas têm interesse em uma solução conjunta: decisões divergentes (se a SysOp 
desenvolve a nova ferramenta e a Anti Vírus não atualiza seu programa, ou se a SysOp não 
desenvolve a nova ferramenta enquanto a AntiVírus atualiza seu programa) trazem prejuízos 
para ambas (representados simbolicamente pelas recompensas com sinal negativo). 
A presença de mais de um equilíbrio de Nash é o que ocorre no jogo de coor-
denação do padrão tecnológico da Figura 1. Assim como temos um equilíbrio de Nash na 
combinação de estratégias (Desenvolver, Atualizar), temos outro equilíbrio de Nash na 
combinação (Não Desenvolver, Não Atualizar) (o leitor deve investigar por que essa 
combinação também é um equilíbrio de Nash). 
Em qualquer dos dois casos, as estratégias são as melhores respostas umas as 
outras. Contudo, é óbvio que as duas coisas não podem ocorrer ao mesmo tempo: ou bem a 
SysOp desenvolve sua ferramenta e a Anti Vírus atualiza seu software, ou bem nem a SysOp 
desenvolve sua ferramenta, nem a Anti Vírus atualiza seu software. Será que isso significa que 
o equilíbrio de Nash não é útil? 
O conceito do equilíbrio de Nash permanece útil para a compreensão e análisede 
jogos simultâneos, ainda que não produza um único resultado. De fato, sabemos que em uma 
série de situações concretas existem várias possibilidades de equilíbrio, no sentido preciso de 
situações em que os agentes não possuem qualquer estímulo para mudar suas decisões. 
Por sinal, é exatamente isso que o conceito de equilíbrio de Nash procura captar: 
situações em que os agentes não teriam estímulos para mudar suas decisões. E muitas vezes 
há mais de uma situação em que os agentes podem se “acomodar”, sem que necessariamente 
seja a melhor situação possível para aiguns deles. 
Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009 
 
Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com 
Outro exemplo pode ilustrar a importância de analisar previamente situações 
indesejadas. Considere o jogo a seguir: 
Refrescos SA 
Bebidas SA 
Adota Campanha Agressiva Não Adota Campanha 
Agressiva 
Adota Campanha Agressiva -20, -20 10, -10 
Não Adota Campanha 
Agressiva -10,10 0, 0 
Figura 2. O jogo da Campanha Publicitária. 
Na Figura 2, temos a representação de uma situasão de interação estratégica em 
que duas empresas, a Refrescos S.A. e a Bebidas S.A., têm de decidir se adotam, ou evitam, 
campanhas publicitárias agressivas. A pior situação para as duas é quando ambas decidem 
adotar campanhas publicitárias agressivas: os gastos são elevados e não há alteração 
significativa na parcela de mercado atendida por cada empresa, de tal forma que as empresas 
acabam arcando com um prejuízo de 20 milhões de reais cada uma. 
Se uma das empresas adota a estratégia da campanha agressiva, enquanto a outra 
evita o confronto, a empresa que adotou a campanha agressiva tem lucros substanciais (10 
milhões de reais), enquanto a empresa que evitou o confronto sofre perda de 10 milhões de 
reais. Finalmente, se nenhuma das duas adota campanhas agressivas, tudo fica inalterado, e as 
empresas não têm lucros ou perdas. 
Analisando essa situação a partir do conceito de equilíbrio de Nash chegamos a um 
resultado muito interessante. Temos novamente dois equilíbrios de Nash: (Adota Campanha 
Agressiva, Não Adota Campanha Agressiva) e (Não Adota Campanha Agressiva, Adota 
Campanha Agressiva). 
Isso porque a melhor resposta a uma campanha agressiva é não responder a ela, 
sob pena de aumentar suas perdas (tanto quanto as do seu competidor). E a melhor résposta a 
um competidor que não adpta uma campanha agressiva é, justamente, adotar uma campanha 
agréssiia, que irá aumentar seus ganhos até o máximo de 10 milhões de reais. 
O problema aqui é que não sabemos qual das empresas irá ceder a iniciativa da 
campanha publicitária agressiva para outra. Sem um mecanismo que influencie as decisões, de 
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Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com 
forma a evitar o resultado indesejável, dados os ganhos envolvidos, corre-se o risco de que as 
duas empresas decidam adotar campanhas agressivas maximizando seus prejuízos. 
Não cabe, portanto, exigir do conceito de equilíbrio de Nash a determinação a 
respeito de em que situação específica os agentes irão se “acomodar”, uma vez que isso 
provavelmente será determinado por fatores circunstanciais. Por outro lado, esses fatores 
circunstanciais vêm cada vez mais atraindo a atenção dos teóricos de jogos. 
Isso se deu especialmente a partir dos trabalhos de Thomas C. Schelling, um dos 
ganhadores do Prêmio Nobel de Economia de 2005. Foi Schelling quem primeiro desenvolveu 
uma das ferramentas mais importantes para estudar como pode se dar o processo de seleção 
entre múltiplos equilíbrios de Nash na prática, quando os agentés têm interesse em coordenar 
suas decisões, como no caso do jogo de coordenação do padrão tecnológico da Figura 1: o 
conceito de ponto focal, que passamos a discutir brevemente agora. 
 
Um Caso em que Não Há Equilíbrio de Nash 
Vejamos agora um caso em que não há equilíbrio de Nash. Como exemplo de um 
jogo em que não há equilíbrio de Nash, considere o jogo conhecido como jogo de combinar 
moedas (matching pennies). Nesse jogo, dois jogadores exibem, ao mesmo tempo, a moeda 
que cada um esconde em sua mão. Se ambas as moedas apresentam cara ou coroa, o segundo 
jogador dá a sua moeda para o primeiro. Se uma das moedas apresenta cara, enquanto a outra 
apresenta coroa, é a vez do primeiro jogador dar a sua moeda para o segundo. Esse jogo está 
representado a seguir: 
Jogador 1 
Jogador 2 
Atualiza Não Atualizar 
Cara 1, -1 -1, 1 
Coroa -1, 1 1, -1 
Figura 1. O jogo de Combinar Moedas. 
Não é difícil perceber que no jogo de combinar moedas não há combinação de 
estratégias que atenda aos requisitos do equilíbrio de Nash. Apenas para citar um exemplo, 
embora jogar Cara seja a melhor resposta para o Jogador 1 no caso de o Jogador 2 jogar Cara, 
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jogar Cara não é a melhor resposta para o Jogador 2 se o Jogador 1 jogar Cara. A mesma 
situação se repete em todas as outras combinações de estratégias. 
O que isso significa? 
Podemos entender esse tipo de jogo, no qual não se verifica um equilíbrio de Nash 
de forma imediata, como representando aquelas situações em que não há possibilidade de os 
jogadores se conformarem com uma dada combinação de estratégias. Assim, não haveria 
possibilidade de os jogadores terminarem acomodados com algum tipo de solução, ainda que 
intermediária: esse é um jogo de conflito permanente e não há como, diretamente, 
determinar estratégias que sejam reciprocamente as melhores respostas para cada jogador. 
Nem sempre esse tipo de jogo, conhecido como jogo estritamente competitivo ou 
jogo de soma zero, deixa de apresentar um equilíbrio de Nash. Contudo, o método de 
determinação do equilíbrio de Nash em jogos estritamente competitivos é diferente e exige 
outros métodos. 
Representação dos Jogos 
Os jogos estudados pela teoria dos jogos são objetos matemáticos bem 
definidos. Um jogo consiste de jogadores, um conjunto de movimentos (ou táticas) 
disponíveis para estes jogadores, e uma definição de pagamento para cada combinação 
de estratégia. Existem duas formas de representação de jogos que são comuns na 
literatura. 
 
 
 
 Jogador 2 escolhe esquerda Jogador 2 escolhe direita 
Jogador 1 escolhe 
para cima 
4, 3 -1, -1 
Jogador 1 escolhe 
para baixo 
0, 0 3, 4 
Um jogo na forma normal 
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Forma normal 
O jogo (ou modo estratégia) normal é uma matriz a qual mostra os 
jogadores, estratégias, e pagamentos (veja o exemplo acima ). Onde existem dois 
jogadores, um escolherá as linhas e o outro escolherá as colunas. Os pagamentos são 
registrados no seu interior. O primeiro número é o pagamento recebido pelo jogador da 
linha (Jogador 1 em nosso exemplo); e o segundo é o pagamento para o jogador da 
coluna (Jogador 2 em nosso exemplo). Suponha que o Jogador 1 obteve para cima e 
que o Jogador 2 obteve esquerda, então o Jogador 1 ganha 4, e o Jogador 2 ganha 3. 
Na verdade, sempre que empregamos o valor monetário para expressar 
diretamente as prioridades dos jogadores quanto ao resultado de um processo de interação, 
ou seja, de um jogo, estamos fazendo a hipótese subentendida de que os jogadores preferem 
mais dinheiro a menos. 
É importante destacar dois aspectos da interação que estamos modelando por 
meio da forma estratégica. O primeiro deles diz respeito ao fato de que cada jogador ignora a 
decisão do outro no momento em que toma sua decisão: um jogador não sabe o que o outro 
jogador está decidindo quanto ao seu valor. 
O segundo aspecto é o fato de que nada indica que os dois jogadores estão 
considerando possíveis desdobramentos no tempo de suas decisões: parecem considerar 
apenas as conseqüências imediatas. 
Esses dois aspectos bastam para diferenciar o jogo queapresentamos na tabela 
como um jogo simultâneo. 
Jogos Simultâneos: são aqueles em que cada jogador ignora as decisões dos demais no 
momento em que toma a sua própria decisão, e os jogadores não se preocupam com 
as conseqüências futuras de suas escolhas. 
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A forma estratégica nos fornece, assim, todas as combinações possíveis de ações 
dos jogadores, assim como os seus resultados: ela nos avisa quem fez o quê e quanto 
conseguiu, em função de suas escolhas e das dos outros jogadores. Para o caso de um jogo 
simultâneo com apenas dois jogadores, é a forma mais conveniente de modelagem. 
Mas jogos simultâneos possuem uma evidente limitação: não são adequados para 
descrever um processo de interação que se desenrola em etapas sucessivas - nesse tipo de 
interação estratégica, supor que cada jogador ignora as disposições dos demais podendo não 
ser a forma mais conveniente de se analisar o que realmente está ocorrendo. 
Quando um jogo é apresentado na forma normal, presume-se que cada jogador 
atue ao mesmo tempo ou, ao menos, sem conhecer a ação dos outros. Se os jogadores têm 
algum conhecimento acerca das escolhas dos outros jogadores, o jogo é freqüentemente 
apresentado na forma extensiva. 
Forma extensiva 
 
 
A forma extensiva de um jogo tenta capturar jogos onde a ordem é 
importante. Os jogos aqui são apresentados como árvores (como apresentado na figura 
acima ). Onde cada vértice (ou nodo) representa um ponto de decisão para um jogador. 
O jogador é especificado por um número listado no vértice. Os pagamentos são 
especificados na parte inferior da árvore. 
No jogo mostrado aqui, existem dois jogadores, Jogador 1 move primeiro 
escolhendo entre F ou U. O Jogador 2 vê o movimento do Jogador 1 e então escolhe 
entre A ou R. Suponha que o Jogador 1 escolha U e então o Jogador 2 escolha A, então 
o Jogador 1 obterá 8 e o Jogador 2 obterá 2. 
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A forma extensiva também pode capturar jogos que se movem ao mesmo 
tempo. Isto pode ser representado com uma linha tracejada ou um circulo que é 
desenhado contornando dos diferentes vértices (isto e, os jogadores não sabem a qual 
ponto eles estão). 
Jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre eventuais 
desdobramentos futuros das escolhas dos jogadores. Contudo, muitas vezes, o processo 
de interação estratégica se desenvolve em etapas contínuas. 
Desse modo, muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros 
jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre as decisões são tomadas 
desconhecendo as decisões dos demais jogadores. Da mesma forma, nesse tipo de interação, 
as escolhas presentes exigem considerar as conseqüências futuras, uma vez que os demais 
jogadores poderão retaliar em etapas posteriores do jogo. 
Modelar um jogo em forma estendida é mais complexo do que em forma 
estratégica. Isso não deve surpreender, uma vez que o jogo na forma estendida nos oferece 
mais informações do que o jogo na forma estratégica ( Normal ), já que o primeiro nos informa 
como a interação se processa sucessivamente. 
A modelagem de uma situação de interação estratégica em forma estendida por 
intermédio de uma árvore de jogos, desse modo, possui algumas regras, essenciais para que 
sejam preservadas a coerência e a inteligibilidade do modelo, assim como para permitir que o 
jogo seja analisado de forma inequívoca, e que passamos a considerar agora. 
As Regras da Arvore 
(a)Todo nó deve ser precedido por, no máximo, um outro nó apenas; nenhuma 
trajetória pode ligar um nó a ele mesmo; 
(b)Todo nó na árvore de jogos deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial. 
Jogos Simultâneos 
Precisamos começar a entender como os agentes envolvidos em situações de 
interação estratégica avaliam à situação e tomam suas decisões, para descobrirmos as 
melhores respostas em um jogo. 
Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009 
 
Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com 
Veremos como os jogadores tomam suas decisões em situações de interação 
estratégica, isto é, como se deve jogar um jogo. Para isso, precisamos determinar quais serão 
os resultados mais aceitáveis do jogo caso os jogadores ajam racionalmente. Nesse momento 
analisaremos um jogo e, nessa análise, a hipótese de que os jogadores escolhem a estratégia 
que produz os melhores resultados, dados os seus objetivos, possui essencial importância. 
Os jogos simultâneos representam uma forma de interação estratégica bastante 
simples, pode ajustar resultados bastante interessantes não apenas para explicar como muitas 
vezes se deve proceder em situação de interação estratégica, mas também para nos ajudar a 
entender algumas situações aparentemente absurdas que encontramos ao estudarmos a 
economia, estratégias empresariais e muitas outras situações de interação social. 
Uma informação do jogo é dita de conhecimento comum quando todos os jogadores 
conhecem a informação, todos os jogadores sabem que todos os jogadores conhecem a 
informação, todos os jogadores sabem que todos os jogadores sabem que todos os 
jogadores conhecem a informação e assim por diante, até o infinito. 
Existe uma razão simples para o que descrevemos acima: sempre que temos um 
processo de interação estratégica, em que a escolha de um jogador depende das escolhas de 
outro jogador, é natural que, antes de tomar suas decisões, um jogador idealize o que o outro 
jogador imagina que o jogador está imaginando que o outro jogador imagina... E assim por 
diante, tantas vezes quanto for o processo de interação entre eles. A obrigação de que essa 
cadeia se estenda até o infinito é apenas para dar conta de qualquer processo de interação, 
por mais longo que seja. 
Isso não significa que casos de interação estratégica em que as informações 
importantes não são de conhecimento comum não podem ser analisados, existem métodos 
específicos para lidar com esse tipo de situação. 
Um jogo é dito de informação completa quando as recompensas dos jogadores são de 
conhecimento comum. 
Por que temos de definir que as recompensas dos jogadores sejam de 
conhecimento comum? Como estamos supondo que os jogadores são racionais, ou seja, que 
adotarão as estratégias para elevar ao máximo suas recompensas, afirmar que as recompensas 
dos jogadores são de ciência comum significa dizer que nenhum dos jogadores possui dúvidas 
Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009 
 
Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com 
sobre o resultado que os demais estão buscando obter. Assim, cada jogador sabe exatamente 
com quem está jogando, pois sabem quais são os objetivos dos outros jogadores. 
No estudo dos jogos simultâneos, buscaremos determinar que combinação de 
estratégias os jogadores poderão adotar, isto é, quais serão suas ações e que conseqüências 
essas ações terão para os jogadores, desde que eles hajam racionalmente. 
ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS 
Algumas vezes, os jogadores têm uma ou mais opções de estratégia que 
proporcionam resultados melhores do que alguma outra estratégia, não importando o que os 
demais jogadores façam. Nesse caso, a análise do jogo fica bastante facilitada. Iremos analisar 
um exemplo, de interação estratégica do livro Teoria dos Jogos (Fiani): a empresa de sabão em 
pó Limpo tem de decidir se lança, ou não, uma marca biodegradável para competir com o 
produto biodegradável de sua concorrente, empresa Bonito. Esta última, por sua vez, tem de 
decidir se aumenta, ou não gastos de propaganda com o seu produto. Os lucros de cada 
empresa são sentados na forma estratégica na tabela a seguir, em milhões de reais. 
Limpo 
Bonito 
Aumentar os Gastos com 
Publicidade 
Não aumentar os Gastos com 
Publicidade 
Lançar o Produto 
Biodegradável 5,5 7,3 
Não lançar o Produto 
Biodegradável