Superfície de Resposta na Engenharia Mecânica

Prévia do material em texto

Andando na Superfície de 
resposta 
Profa Daniele Toniolo Dias F. Rosa 
 
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/danieletdias 
danieletdias@utfpr.edu.br 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PPGEM 
Sumário 
• Metodologia de superfície de resposta 
• (a) Modelagem inicial 
• (b) Como determinar o caminho de máxima inclinação 
• (c) Localização do ponto ótimo 
• A importância do planejamento inicial 
• Um experimento com três fatores e duas respostas 
• Planejamentos compostos centrais 
Metodologia de superfícies de 
resposta 
• A metodologia de superfícies de resposta (ou RSM, de 
Response Surface Methodology) é uma técnica de otimização 
baseada em planejamentos fatoriais que foi introduzida por 
G. E.P. Box nos anos cinquenta. 
• A RSM tem duas etapas distintas – modelagem e 
deslocamento-, que são repetidas tantas vezes quantas forem 
necessárias, com o objetivo de atingir uma região ótima da 
superfície investigada. 
• A modelagem normalmente é feita ajustando-se modelos 
simples (lineares ou quadráticos) a respostas obtidas com 
planejamentos fatoriais ou com planejamentos fatoriais 
ampliados. 
 
• O deslocamento se dá sempre ao longo do caminho de 
máxima inclinação de um determinado modelo, que é a 
trajetória na qual a resposta varia de forma mais 
pronunciada. 
• Exemplo numérico: 
• Supondo que um pesquisador esteja avaliando o efeito de 
dois fatores, concentração de um reagente e velocidade de 
agitação, no rendimento de uma reação. 
• Ele já sabe que o processo vem funcionando há algum tempo 
com os valores desses fatores fixados em 50% e 100 rpm, e 
que os rendimentos médios são obtidos em torno de 68%. 
• Agora ele gostaria de saber se não seria possível melhorar o 
rendimento, escolhendo outros níveis para os fatores. 
(a) Modelagem inicial 
• O 1º passo, para atacar o problema, é investigar a superfície 
de resposta em torno das condições habituais de 
funcionamento do processo, usando um: 
• Planejamento fatorial de dois níveis com ponto central. 
Com três níveis 
podemos 
verificar se há 
ou não falta de 
ajuste para um 
modelo linear. 
• A Tabela 6.1 mostra a matriz de planejamento e os 
rendimentos observados experimentalmente em cada 
combinação de níveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Ao todo foram realizados 7 ensaios com 3 repetições no 
ponto central. 
• Começaremos nossa análise admitindo que a superfície de 
resposta na região investigada é uma função linear dos 
fatores. 
• Portanto a resposta pode ser estimada pela equação: 
 
em que b0, b1 e b2 são os estimadores dos parâmetros do 
modelo e x1 e x2 representam os fatores codificados. 
• É visto no Exercício 5.4, que os valores de b0, b1 e b2 podem 
ser obtidos pelo método dos mínimos quadrados. 
• Neste caso a matriz X será dada por 
,ˆ 22110 xbxbby  (6.1) 
.
001
001
001
111
111
111
111

























X
A 1ª coluna corresponde ao termo 
b0, e as outras duas contêm os 
valores codificados dos fatores. 
• Teremos também 
 
 
 
 
• Seguindo o procedimento usual, calculamos 
 
 
 
• Usando a Eq. (5.12) temos então 
.
69
66
68
67
78
59
69






















y











400
040
007
XX
t











17
21
467
yX
t
e 
 


































25,4
25,5
00,68
17
21
476
4/100
04/10
007/1
1
yXXXb
tt
(6.2) 
• Dos três ensaios repetidos no ponto central, calculamos 
s2=2,33 como uma estimativa da variância das observações. 
• Substituindo este valor na Eq. (5.30), obtemos uma estimativa 
da variância dos elementos do vetor b: 
 
 
 
• Fazendo as raízes quadradas chegaremos aos erros padrão de 
b0, b1 e b2. Com eles e com as estimativas obtidas na Eq. (6.2) 
podemos finalmente escrever a equação do modelo ajustado: 
 
 
• O tamanho relativamente pequeno dos erros indica que este 
modelo é significativo (para um tratamento quantitativo, veja 
os Exercícios 6.2 e 6.4). 
• A análise da variância encontra-se na Tabela 6.2. 
 
    .
58,000
058,00
0033,0
33,2
4/100
04/10
007/1
ˆ 21























stXXbV
     
.25,425,500,68ˆ
76,0
2
76,0
1
58,0 
 xxy (6.3) 
• Como o valor de MQfaj/MQep não é estatisticamente 
significativo (0,42/2,34=0,18), não há evidência de falta de 
ajuste. 
• Tabela 6.2 ANOVA para o ajuste do modelo 
aos dados da Tabela 6.1. (n=7, p=3 e m=5) 
Fonte de 
variação 
Soma 
Quadrática 
No de g. l. Média Quadrática 
Regressão 182,50 p-1= 2 91,25 
Resíduos 5,50 n-p= 4 1,38 
F. Ajuste 0,83 m-p= 2 0,42 
Erro puro 4,67 n-m= 2 2,34 
Total 188,00 n-1= 6 
% de variação explicada: 97,07% 
% máxima de variação explicável:97,52 
22110ˆ xbxbby 
R2=SQR/SQT coef. de determinação 
(SQT – SQep)/SQT 
• Na região investigada, a superfície de resposta é descrita 
satisfatoriamente pela Eq. (6.3), que define o plano 
representado em perspectiva na figura abaixo. 
• Plano descrito pela Eq. (6.3), .25,425,500,68ˆ 21 xxy 
Sentido ascendente 
C 
v 
Exercícios 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4 
• Podemos obter uma representação bidimensional da 
superfície modelada desenhando suas curvas de nível, que 
são linhas em que a resposta é constante. 
• As curvas de nível de um plano são segmentos de retas. 
• Por ex, se fizermos na Eq. (6.3) chegaremos à expressão: 
 
que descreve uma reta sobre a qual o valor de deve ser 
igual a 70, de acordo com o modelo ajustado. 
• Fazendo o mesmo para outros valores de obteremos outras 
curvas de nível, que em conjunto darão uma imagem da 
superfície de resposta na região investigada (ver próxima Fig). 
• Podemos ver claramente, tanto numa figura quanto na outra, 
que se trata de um plano inclinado obliquamente em relação 
aos eixos, e com sentido ascendente indo da direita para a 
esquerda. 
,47,024,1 12  xx
70ˆ y
ŷ
ŷ
• Assim se desejarmos obter maiores rendimentos, devemos 
deslocar a região experimental para menores valores de x1 e 
maiores valores de x2. 
• Curvas de nível do plano descrito pela Eq. 6.3. Os valores 
entre parênteses são as respostas determinadas 
experimentalmente. 
O progresso será 
mais rápido se o 
deslocamento for 
realizado ao longo 
da uma trajetória 
perpendicular às 
curvas de nível, isto 
é, se seguirmos um 
caminho de máxima 
inclinação da 
superfície ajustada. 
(b) Como determinar o caminho de 
máxima inclinação 
• O caminho de máxima inclinação saindo do ponto central do 
planejamento está indicado pela linha tracejada na figura 
anterior. 
• Ele pode ser determinado algebricamente a partir dos 
coeficientes do modelo. 
• Para termos a máxima inclinação, devemos fazer 
deslocamentos ao longo dos eixos x2 e x1 na proporção b2/b1. 
• Da Eq. 6.3 temos b2/b1=4,25/(-5,25)=-0,81, o que significa que 
para cada unidade recuada no eixo x1 devemos avançar 0,81 
unidades ao longo do eixo x2. 
 
• As coordenadas de vários pontos ao longo dessa trajetória 
estão na Tabela 6.3, tanto nas variáveis codificadas quanto 
nas unidades reais de concentração e velocidade de agitação. 
 
• Tabela 6.3 Caminho de máxima inclinação para o modelo das 
figuras anteriores. 
 
 
 
 
 
 
Etapa x1 x2 C(%) v(rpm) y(%) 
Centro 0 0,00 50 100,0 68, 66, 69 
Centro+ -1 0,81 45 108,1 77 
Centro+2 -2 1,62 40 116,2 86 
Centro+3 -3 2,43 35 124,3 88 
Centro+4 -4 3,24 30 132,4 80 
Centro+5 -5 4,05 25 140,5 70 
Obtida pela Eq (6.3) usando as 
codificações de máxima 
inclinação 
• Podemos traçá-lo usando o seguinte procedimento: 
1. Escolhemos um dos fatores, digamos i, como base e 
mudamos seu nível numa certa extensão, para mais ou para 
menos, dependendo do sinal de seu coeficiente e do objetivo 
do experimento – maximização ou minimização da resposta. 
Recomenda-seescolher o fator de maior coeficiente, em 
módulo, no modelo ajustado. Tipicamente, o seu 
deslocamento inicial é de uma unidade (na escala codificada). 
2. Determinamos os deslocamentos dos outros fatores ji, 
em unidades codificadas, através de 
 
 
3. Convertemos os deslocamentos codificados de volta às 
unidades originais, e determinamos os novos níveis dos 
fatores. 
i
i
j
j x
b
b
x  (6.4) 
• Vejamos um exemplo com 3 fatores: Num estudo para avaliar 
a influência de alguns nutrientes na produção de quitina pelo 
fungo Cunninghamella elegans (Andrade et al., 2000) utilizou-
se um planejamento fatorial 23 com os níveis da Tabela 6.4, 
cujos resultados se ajustaram ao modelo 
 
em que a resposta y é o teor de quitina produzido. 
• Tabela 6.4 Níveis de um planejamento 23 com ponto central, 
para estudar como o teor de quitina produzido pelo fungo 
varia com as concentrações de glicose, asparagina e tiamina 
no meio de cultura. 
Fator Nível 
-1 0 +1 
G(x1) D-glicose (g L
-1) 20 40 60 
A(x2) L-asparagina (g L
-1) 1 2 3 
T(x3) Tiamina (mg L
-1) 0,02 0,05 0,08 
,5,20,50,28,19ˆ 321 xxxy  (6.5) 
• Como os coeficientes do modelo são todos positivos e o 
objetivo do estudo era maximizar a produção de quitina, 
devemos aumentar os níveis de todos os fatores. 
• Partindo do fator x2 (o de maior coeficiente) teríamos, como 
deslocamentos para localizar o 1º ponto ao longo do caminho 
de máxima inclinação, 
 
 
 
• Nas unidades verdadeiras, onde o ponto central é dado por 
(G, A, T)=(40, 2, 0,05), isto corresponde às seguintes 
condições experimentais: 
 
 
  4,01
5
2
1 x 1)1(
5
5
2 x   5,015
5,2
3 x
    11 48204,04040G
 gLGx
    12 31122A
 gLAx
    13 065,003,05,005,005,0T
 mgLTx
,i
i
j
j x
b
b
x 
321 5,20,50,28,19ˆ xxxy Lembrando que: 
Exercício 6.5 
• Imagine que, no exemplo da C. elegans, os 
pesquisadores tenham preferido tomar a 
concentração de glicose como fator de partida para 
determinar o caminho de máxima inclinação, com 
um deslocamento inicial de +25 gL-1 (note que estas 
são as unidades reais). Calcule as coordenadas do 
3º ponto ao longo do novo caminho, e use a Eq. 6.5 
para fazer uma estimativa do rendimento de quitina 
nessas condições. 
• Voltamos agora ao 1º exemplo. 
 
• Tendo realizado a modelagem inicial e determinado o 
caminho de máxima inclinação, passamos à etapa de 
deslocamento ao longo desse caminho. 
• E vamos realizando experimentos nas condições especificadas 
na Tabela 6.3. 
• Com isso obtemos os resultados da última coluna da tabela, 
que também estão indicados na próxima figura. 
 
• Resultados dos ensaios realizados na trajetória de máxima 
inclinação da figura anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Inicialmente os rendimentos aumentam, mas depois do 3º 
ensaio começam a diminuir. 
“morro” 
• Podemos interpretar esses resultados imaginando que a 
superfície de resposta é como um morro. 
• Pelos valores iniciais, começamos a nos deslocar ladeira 
acima, mas depois do 3º ensaio já estamos começando a 
descer o morro pelo lado oposto. 
• É hora, portanto, de parar com os deslocamentos e examinar 
a região que apresentou melhores rendimentos. 
• Para isso fazemos um novo planejamento, idêntico ao 
primeiro, porém centrado em torno do melhor ensaio, que é 
o terceiro (35 % e cerca de 125 rpm). 
• A nova matriz de planejamento é apresentada na Tabela 6.5, 
juntamente com as novas respostas observadas. 
 
• Resultados de um novo planejamento 22 com ponto central. 
x1 e x2 agora representam os valores das variáveis codificadas 
pelas equações x1 = (C-35)/5 e x2 =(v-125)/10. 
 
 
 
 
 
 
 
• O ajuste de um modelo linear aos dados da Tabela 6.5 resulta 
na equação 
 
onde os erros padrão foram calculados a partir de uma 
estimativa conjunta da variância, combinando os ensaios 
repetidos dos dois planejamentos. 
Ensaio C(%) v(rpm) x1 x2 Y(%) 
1 30 115 -1 -1 86 
2 40 115 1 -1 85 
3 30 135 -1 1 78 
4 40 135 1 1 84 
5 35 125 0 0 90 
6 35 125 0 0 88 
7 35 125 0 0 89 
     
,25,225,171,85ˆ
65,0
2
65,0
1
49,0 
 xxy (6.6) 
Exercício 6.6 
• Use os erros dos coeficientes na Eq. 6.6 para 
calcular intervalos de 95% de confiança para 
0, 1 e 2. Esses parâmetros são 
estatisticamente significativos? 
• Em comparação com os valores dos coeficientes, os erros são 
bem mais importantes do que no caso da Eq. (6.3), e a 
dependência linear da resposta em relação a x1 e x2 já não 
parece segura. 
• A Tabela 6.6, mostra que a situação agora é bem diferente. 
• E o valor de MQfaj/MQep subiu para 34,46 que é maior que F2,2 
(19,0 no nível de 95 % de confiança). Portanto, 
• na região onde o caminho de máxima inclinação indicou, o 
modelo linear não descreve a superfície de resposta. 
• Tabela 6.6 ANOVA para o ajuste do modelo 
aos dados da Tabela 6.5. 
Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática 
Regressão 26,50 2 13,25 
Resíduos 70,93 4 17,73 
F. Ajuste 68,93 2 34,46 
Erro puro 2,00 2 1,00 
Total 97,42 6 
% de variação explicada: 27,20% 
% máxima de variação explicável:97,95 
22110ˆ xbxbby 
(c) Localização do ponto ótimo 
• Como o modelo linear não serve mais, devemos partir para 
um modelo quadrático, cuja expressão geral para duas 
variáveis é: 
 
• Este modelo tem seis parâmetros, e o nosso planejamento 
tem apenas 5 “níveis” (5 diferentes combinações de valores 
da concentração e da velocidade de agitação). 
• Como não é possível determinar as estimativas quando há 
mais parâmetros do que níveis, precisamos ampliar o 
planejamento. 
• A ampliação pode ser feita de várias maneiras, sendo a mais 
comum a construção do chamado planejamento em estrela. 
.ˆ 2112
2
222
2
11122110 xxbxbxbxbxbby  (6.7) 
• Para fazer um planejamento em estrela, acrescentamos ao 
planejamento inicial um planejamento idêntico, porém girado 
de 45 graus em relação à orientação de partida. 
• O resultado é uma distribuição octogonal (ver figura abaixo). 
• Planejamento em estrela para duas variáveis codificadas, 
correspondente à tabela 6.7. 
Os novos pontos, 
assim como os 
primeiros, estão a 
uma distância de 
unidades codificadas 
do ponto central. 
Todos eles estão 
sobre uma 
circunferência de 
raio 
2
.2
Coordenadas 
dos pontos 
em estrela. 
Valores já 
mostrados 
na Tabela 
6.5. 
• O vetor y agora terá onze valores, e a matriz X terá dimensões 
11 X 6, com suas seis colunas correspondendo aos seis termos 
do modelo quadrático. 
• Para obter as colunas referentes a x1
2, x2
2 e x1x2, elevamos ao 
quadrado ou multiplicamos as colunas apropriadas na matriz 
de planejamento da Tabela 6.7. Assim podemos escrever 








































020201
002021
020201
002021
000001
000001
000001
111111
111111
111111
111111
X



































87
86
80
81
89
88
90
84
78
85
86
ye 
• Resolvendo as Eqs. (5.12) (algoritmo para os coeficientes) e 
(5.30) (algoritmo para a variância dos coeficientes), obtemos: 
 
 
 
• Os erros padrão foram novamente calculados a partir de uma 
estimativa conjunta da variância, obtida de todos os ensaios 
repetidos, inclusive os da Tabela 6.1. 
• A nova análise da variância está na Tabela 6.8. 
           
.75,181,281,236,225,100,89ˆ
65,0
21
54,0
2
2
54,0
2
1
46,0
2
46,0
1
75,0 
 xxxxxxy (6.8) 
• O valor de MQfaj/MQep agora é apenas 0,25, não havendo 
evidência de falta de ajuste do modelo quadrático. 
• Isto quer dizer que o valor de 0,55 para a média quadrática 
residual total, MQr, também poderia ser usado como uma 
estimativa da variância, com cinco graus de liberdade. 
• Tabela 6.8 ANOVA para o ajuste do modelo 
 aos dados da Tabela 6.7. 
Fonte de variaçãoSoma Quadrática No de g. l. Média Quadrática 
Regressão 144,15 5 28,83 
Resíduos 2,76 5 0,55 =s2 
F. Ajuste 0,76 3 0,25 
Erro puro 2,00 2 1,00 
Total 146,91 10 
% de variação explicada: 98,12% 
% máxima de variação explicável:98,64 
22110ˆ xbxbby 
2112
2
222
2
111 xxbxbxb 
• (a) Superfície quadrática descrita pela Eq.(6.7). (b) Suas 
curvas de nível. O rendimento máximo (89,6%) ocorre em 
x1=0,15 e x2=-0,37 (C=3 6% e v=121 rpm). 
Valor de acordo com a Eq. (6.8). E 
representa uma melhora de 32 % 
em relação ao valor de partida, que 
era 68 %. 
• Como localizamos a região do máximo, a investigação termina 
por aqui. 
• Poderia ter acontecido, no entanto, que a superfície de 
resposta ajustada aos dados segundo planejamento fosse 
uma nova ladeira, em vez de pico. 
• Nesse caso, deveríamos nos deslocar novamente, seguindo o 
novo caminho de máxima inclinação, e repetir todo o 
processo de modelagem  deslocamento  modelagem... 
Até atingir a região procurada. 
• Na prática não deve haver muitas dessas etapas, porque o 
modelo linear se torna menos eficaz à medida que nos 
aproximamos de um ponto extremo, onde a curvatura da 
superfície evidentemente passará a ter importância. 
Exercícios 6.7 e 6.8 
• Use os dados da Tabela 6.8 para calcular um valor 
que mostre que a Eq. 6.8 é estatisticamente 
significativa. 
• Uma representação gráfica, embora seja sempre 
conveniente, não é necessária para localizarmos o 
ponto máximo de uma superfície de resposta. Isso 
pode ser feito derivando-se a equação do modelo 
em relação a todas as variáveis e igualando-se as 
derivadas a zero. (a) Use esse procedimento para a 
Eq. 6.8, para confirmar os valores citados no texto. 
(b) O que aconteceria se você tentasse fazer o 
mesmo com a Eq. 6.6? Por quê? 
A importância do planejamento inicial 
• Uma questão muito importante na RSM é a escolha da faixa 
inicial de variação dos fatores, que determinará o tamanho do 
primeiro planejamento e consequentemente a escala de 
codificação e a velocidade relativa com que os experimentos 
seguintes se deslocarão ao longo da superfície de resposta. 
• Suponhamos, por ex., que na Tabela 6.1 tivéssemos escolhido 
para o segundo fator – a velocidade de agitação - os limites 
de 95 e 105 rpm (ao invés de 90 e 110). Essa decisão teria as 
seguintes consequências: 
1. O coeficiente de x2 na Eq. 6.3 se reduziria de 4,25 para 2,125, 
porque a variação unitária em x2 agora corresponderia, em 
unidades reais, a 5 rpm, e não mais a 10 rpm. 
2. Com este novo coeficiente teríamos, na Eq. (6.4), 
 
 
3. Consequentemente, o deslocamento x2 correspondente a 
x1 =-1 seria +0,405, que equivaleria agora a v=+0,4055= 
0,203 rpm. Ou seja: em termos da velocidade de agitação, 
cada deslocamento seria apenas um quarto do deslocamento 
do planejamento original. Quando chegássemos à etapa 
Centro+5, ainda estaríamos com uma velocidade de 110,1 
rpm. 
.405,0
25,5
125,2
112 xxx 


• Se, ao contrário, tivéssemos preferido uma escala mais 
ampliada, evidentemente o deslocamento passaria a ser 
mais rápido. No entanto, também estaríamos correndo 
riscos. 
• Dependendo da ampliação, poderíamos sair da região linear 
da superfície, ou mesmo encontrar “o outro lado do morro” 
já no 1º deslocamento, e assim perder a oportunidade de 
descobrir a direção do ponto ótimo. 
 
 
• Como fazer, então para determinar a melhor escala? 
• Infelizmente a resposta não está em nenhum livro de 
estatística, porque depende de cada problema, e muitas vezes 
não pode ser conhecida a priori. 
• Os pesquisadores devem apoiar-se em todo o conhecimento 
disponível sobre o sistema em estudo e procurar escolher 
deslocamentos nem tão pequenos que não produzam efeitos 
significativos na resposta, nem tão grandes que varram faixas 
exageradas dos fatores. 
• Deve-se fazer os experimentos de forma sequencial e 
iterativa. 
• Caso a análise dos primeiros resultados nos leve a fazer 
modificações nos planejamentos originais, o prejuízo será 
menor se não nos apressarmos em fazer muitos 
experimentos logo de saída. 
 
Um experimento com três fatores e 
duas respostas 
• Na metodologia de superfícies de resposta o número de 
fatores não é uma restrição, nem o número de respostas. 
• A RSM pode ser aplicada a qualquer número de fatores, 
assim como pode modelar várias respostas ao mesmo 
tempo. 
• Esta é uma característica importante, porque muitas vezes 
um produto ou processo tem de satisfazer mais de um 
critério, como digamos, apresentar o máximo de rendimento 
com o mínimo de impurezas, ou ter custo mínimo porém 
mantendo os parâmetros de qualidade dentro das 
especificações. 
• Para ilustrar essa flexibilidade da RSM, será apresentada uma 
aplicação real, cujo objetivo era a maximização simultânea de 
duas respostas distintas. 
• R. A. Zoppi (Unicamp), realizou uma série de experimentos de 
síntese de polipirrol numa matriz de borracha de EPDM. 
• O polipirrol é um polímero condutor mas é muito quebradiço, 
o que prejudica o seu uso em aplicações de interesse prático. 
• O objetivo era conseguir um produto que tivesse ao mesmo 
tempo propriedades elétricas semelhantes às do polipirrol e 
propriedades mecânicas parecidas com as da borracha EPDM. 
EPDM – Etileno Propileno Dieno 
• Os fatores escolhidos para o estudo foram o tempo de reação 
(t), a concentração do agente oxidante (C) e a granulometria 
das partículas do oxidante (P). 
• O pesquisador (que não tinha instrução formal em técnicas de 
planejamento de experimentos) decidiu realizar 27 ensaios 
em quadruplicata, seguindo o planejamento fatorial 33 da 
Tabela 6.9. 
• Para cada ensaio foram registrados o rendimento da reação e 
os valores de várias propriedades mecânicas do produto final, 
entre as quais o Módulo de Young. 
A respostas são as médias e os 
desvios padrão dos quatro 
ensaios (em alguns casos três) 
realizados para cada 
combinação de níveis dos 
fatores, num total de 106 
ensaios. 
Observe que o tamanho das 
partículas não é definido de 
forma precisa. Os 3 níveis 
representam intervalos 
granulométricos, e não 
tamanhos específicos. 
• Após a análise da Tabela 6.9 o pesquisador percebeu que, 
com 27 ensaios diferentes, pode-se ajustar uma função com 
até 27 parâmetros. 
• As funções lineares e quadráticas de 3 variáveis são definidas 
por apenas quatro e dez parâmetros, respectivamente. 
• Se as usarmos para modelar os dados da tabela, ainda 
teremos muitos graus de liberdade sobrando para estimar a 
falta de ajuste. 
• Os coeficientes do modelo e seu erros padrão foram 
calculados como de costume, por meio das equações 5.12 e 
5.30. 
• Para o Módulo de Young, o emprego do modelo linear 
resultou na equação 
 
 
enquanto o modelo quadrático produziu a Eq. 6.10: 
       
,15,074,001,013,1ˆ
04,004,004,003,0 
 PCtM
                   
.18,001,007,005,044,002,016,074,001,086,0ˆ
05,005,007,007,0
2
07,0
2
07,0
2
04,004,004,009,0 
 CPtPtCPCtPCtM
(6.9) 
(6.10) 
• A análise da variância para os dois ajustes está na Tabela 6.10. 
• Os valores de MQR/MQr são 141,5 (linear) e 171,4 
(quadrático). 
• Comparando com F3,102=2,71 e F9,96=2,00 , no nível de 95% de 
confiança, vemos que os dois modelos são altamente 
significativo. 
• Tabela 6.10 ANOVA- ajuste de modelos linear e quadráticos 
(em parênteses) aos valores de M dados na Tabela 6.9. 
Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática 
Regressão 37,34 (43,23) 3 (9) 12,45 (4,80) 
Resíduos 8,44 (2,55) 102 (96) 0,088 (0,028) 
F. Ajuste 6,76 (0,87) 23 (17) 0,29 (0,051) 
Erro puro 1,68 79 0,023 
Total 45,78 105 
% de variação explicada: 81,56% (94,43) 
% máxima de variação explicável:96,33 
• Embora não pareça haver muita diferença entre os dois 
modelos, um exame maisdetalhado da Tabela 6.10 mostra 
que devemos preferir o modelo quadrático. 
• Enquanto para o modelo linear a razão MQfaj/Mqep é igual a 
12,61, valor bem superior a F23,79=1,67, o modelo quadrático 
tem MQfaj/Mqep =2,22, que está apenas um pouco acima de 
F17,79=1,75. 
• A diferença entre os modelos fica ainda mais evidente nos 
gráficos dos resíduos (próxima figura). 
 
• (a) Resíduos deixados pelo ajuste de um modelo linear aos 
valores do M dados na Tabela 6.9. (b) Resíduos deixados pelo 
ajuste de um modelo quadrático aos mesmos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
• (a) apresenta uma curvatura. Os valores passam de positivos 
para negativos e depois se tornam positivos novamente. 
• (b) os resíduos parecem flutuar aleatoriamente em torno de 0 
• (a) e (b) a variância residual aumenta com o valor da resposta. 
• A preferência pelo modelo quadrático é confirmada pelos 
valores dos coeficientes de C2 e CP na Eq. (6.10), 0,44 e -0,18. 
• Eles são significativamente superiores aos seu erros padrão e 
os dois termos devem ser incluídos no modelo. 
• Como eles estão ausentes no modelo linear, o gráfico dos 
resíduos apresenta um comportamento sistemático. 
• Após a validação estatística do modelo, podemos tentar 
interpretar a Eq. 6.10, para entender melhor o 
comportamento do Módulo de Young (propriedades 
mecânicas) das amostras em questão. 
                   









 05,005,007,007,0
2
07,0
2
07,0
2
04,004,004,009,0
18,001,007,005,044,002,016,074,001,086,0ˆ CPtPtCPCtPCtM
• Os resultados mostram que o Módulo de Young só depende 
da concentração do oxidante e do tamanho de suas partículas 
(Exercício 6.10). 
• Nenhum dos termos envolvendo o tempo de reação é 
estatisticamente significativo. 
• Numa primeira aproximação, portanto, podemos eliminar os 
termos em t, reduzindo o modelo a 
 
 
• A forma da superfície de resposta gerada por esta expressão é 
revelada pela próxima figura. 
• Trata-se de uma espécie de vale, situado quase perpendicular 
ao eixo das concentrações. 
 
         
.18,044,016,074,086,0ˆ
05,007,0
2
04,004,009,0 
 CPCPCM (6.11) 
• (a) Superfície de resposta descrita pela Eq. 6.11, que relaciona 
o Módulo de Young com a concentração e a granulometria do 
oxidante. (b) Curvas de nível para a superfície do item (a). Os 
valores entre parênteses são as respostas médias observadas. 
Exercícios 6.9 e 6.10 
• Use os dados da Tabela 6.10 para calcular uma 
estimativa do erro experimental com mais de 
79 graus de liberdade. 
• Sabendo que a estimativa do erro padrão foi 
obtida a partir do valor de MQep na Tabela 
6.10, determine, no nível de 95% de 
confiança, quais são os coeficientes 
estatisticamente significativos na Eq. (6.10). 
• A utilidade da Eq. (6.11) e da superfície é nos ajudar a prever 
que condições experimentais resultarão num valor de 
interesse para o Módulo de Young. 
• A Tabela 6.11 mostra uma comparação dos valores médios 
observados com os valores previstos pela Eq. (6.11). 
• A concordância é muito boa. 
Erro médio 
absoluto 
não chega 
a 4 % da 
faixa de 
variação 
da Tabela 
6.9. 
• Isto comprova que quase toda a variação observada nos 
valores do Módulo de Young pode ser explicada pelas 
mudanças feitas na concentração e na granulometria. 
• Se o objetivo é obter um produto com um alto valor de M, a 
figuras anteriores indicam que devemos usar um nível de 
concentração de cinquenta partes por cem e partículas com 
granulometria mais fina >150 mesh (partículas menores). 
• Caso o modelo possa ser extrapolado, podemos obter valores 
ainda maiores continuando a aumentar a concentração e a 
diminuir a granulometria das partículas. 
• Para obter pequenos valores de M devemos usar uma baixa 
concentração de oxidante, cerca de 10 ppc. 
• Nesse caso, o tamanho da partícula não tem importância. 
• Todos os resultados experimentais obtidos com 10 ppc estão 
no fundo do vale (granulometria varia sem afetar a resposta). 
• Como o tempo de reação não alterou M, podemos usar 
qualquer valor entre 8 e 24 h. 
• Se só estivermos interessados nesta resposta, não precisamos 
nos importar com o tempo. 
 
• Porém, os pesquisadores também queriam aumentar o 
rendimento da reação, e fizeram para ele um ajuste 
semelhante ao M. Daí resultou a equação: 
 
onde somente aparecem os termos estatisticamente 
significativos. Nessa expressão o tempo é um fator 
importante. 
• Todos os termos em t têm coeficientes positivos, o que 
significa que tempos mais longos produzirão maiores 
rendimentos. Colocando o tempo no seu valor máximo: 
 
• A superfície de resposta descrita por esta expressão está 
representada na próxima figura. 
,26,128,147,181,693,124,9ˆ 2 tCCPCtR 
.28,147,107,817,11ˆ 2CPCR  (6.12) 
• Superfície de resposta e curvas de nível para a Eq. 6.12, 
mostrando o rendimento após 24 h de reação, em função da 
concentração (C) e da granulometria do oxidante (P). 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Comparando com as anteriores podemos constatar que a 
região que produz altos M (canto inferior direito do gráfico de 
curvas de nível) também produz altos rendimento. 
• E no fundo do vale: valores de M da ordem de 0,50 MPa 
correspondem a rendimentos baixos, de cerca de 5 %. 
• O planejamento descreveu adequadamente as superfícies de 
resposta na região estudada, mas poderíamos chegar às 
mesmas conclusões com um planejamento mais econômico. 
• Inicialmente, poderíamos fazer um planejamento fatorial com 
apenas dois níveis e tentar demarcar uma região de fatores 
para um estudo mais detalhado. 
• Dependendo dos resultados poderíamos: 
(a) ampliar o planejamento inicial com mais ensaios para 
transformá-lo num planejamento em estrela, ou 
(b) deslocar os experimentos para uma região mais 
promissora, a ser investigada com um novo fatorial. 
• Entretanto os experimentos apresentados foram feitos de 
acordo com um planejamento sistemático, que permitiu 
caracterizar a influência dos fatores investigados. 
• Esse modo de proceder é superior à maneira intuitiva que 
ainda prevalece em muitos laboratórios de pesquisa. 
Planejamentos compostos centrais 
• O planejamento em estrela é um exemplo de planejamento 
composto central para dois fatores. 
Planejamentos compostos centrais 
• Em geral, um planejamento composto central para k fatores, 
devidamente codificados como (x1,..., xk), é formado de três 
partes: 
1. Uma parte chamada de fatorial (ou cúbica), contendo um 
total de nfat pontos de coordenadas xi=-1 ou xi=+1, para todos 
os i=1,...,k; 
2. Uma parte axial (ou em estrela), formada por nax=2k 
pontos com todas as coordenadas nulas exceto uma, que é 
igual a um certo valor  (ou -); 
3. Um total de ncentr ensaios realizados no ponto central, 
onde, é claro, x1=...xk=0. 
 
• Para realizar um planejamento composto central, precisamos 
definir como será cada uma dessas três partes. 
• Precisamos decidir quantos e quais serão os pontos cúbicos, 
qual o valor de , e quantas repetições faremos no ponto 
central. 
• No planejamento da Tabela 6.7, por exemplo, temos k=2. 
• A parte cúbica é formada pelos quatro primeiros ensaios, a 
parte em estrela pelos quatro últimos (com ), e 
existem três ensaios repetidos no ponto central. 
• O caso de três fatores é mostrado na próxima figura, onde 
podemos perceber a origem da terminologia empregada para 
as três partes do planejamento. 
2
• Planejamento composto central para três fatores. As bolas 
cinzas são a parte cúbica – os ensaios de um fatorial 23. As 
bolas pretas representam a parte em estrela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Os pontos cúbicos são idênticos ao de um planejamento 
fatorial de dois níveis. 
Parte axial, nax=2k=6 
• Na Tabela 6.7 usamos um planejamento fatorial completo, 
mas isso não seria estritamente necessário. 
• Dependendo do número de fatores, poderia nem ser 
aconselhável, porque produziria um número de ensaios 
inconvenientementegrande. 
• O total de níveis distintos num planejamento composto 
central é nfat + 2k +1. Lembrando que nfat é o número de 
pontos da parte fatorial (ou cúbica) do planejamento. 
• Portanto para fatorial da Tabela 6.7, nove níveis seriam 
suficientes. 
• O modelo quadrático completo para k fatores é dado pela Eq. 
6.13, que contém (k+1)(k+2)/2 parâmetros. 
 
 
 
• Com dois fatores, temos 6 parâmetros. 
• O planejamento da Tabela 6.7 tem 9 diferentes combinações 
de níveis, e a rigor poderíamos estimar todos os parâmetros 
do modelo usando apenas dois pontos cúbicos, 
correspondentes a uma das duas frações 22-1. 
.20   
 ji j
jiij
i
iii
i
ii xxxxy (6.13) 
• Para um 22, a economia é muito pouca e dificilmente 
justificaria a destruição da simetria da porção cúbica. 
• Entretanto, à medida que o número de fatores aumenta, 
escolher os pontos cúbicos como os de um planejamento 
fracionário e não de um planejamento completo torna-se 
cada vez mais indicado. 
• Do ponto de vista da resolução, é recomendável usar um 
fatorial fracionário de resolução V, que permitirá estimar os 
efeitos principais e as interações de dois fatores com um 
confundimento relativamente baixo. 
• Se decidirmos usar frações menores, porém, a escolha da 
fração apropriada não é trivial. 
• Uma lista das frações mais adequadas pode ser encontrada 
em Wu e Hamada (2.000), Capítulo 9. 
• O valor de  costuma ficar entre 1 e . Quando 
como na Tabela 6.7, os pontos cúbicos e os pontos axiais 
ficam sobre a superfície de uma (hiper)esfera, e o 
planejamento é chamado de esférico. 
• Na Tabela 6.7, por ex., todos os pontos periféricos estão sobre 
a mesma circunferência. 
k ,k
• No outro extremo, quando =1, os pontos axiais se localizam 
nos centros das faces do (hiper)cubo definido pela parte 
cúbica do planejamento. 
• Este tipo de planejamento é vantajoso quando o espaço 
experimental é cúbico, o que ocorre de forma natural quando 
os fatores são variados independentemente uns dos outros. 
• Tem ainda a vantagem de só precisar de três níveis dos 
fatores, o que pode ser de grande ajuda no caso de algum 
fator ser qualitativo. 
• Se escolhermos estaremos colocando os pontos em 
estrela cada vez mais distantes do ponto central, à medida 
que o número de fatores for crescendo. 
• Essa escolha deve ser feita com muito cuidado, porque 
estaremos correndo o risco de deixar a região intermediária 
sem ser investigada. 
• Com nove fatores, por ex.,  seria igual a 3. Não ficaríamos 
sabendo de nada sobre o comportamento da superfície de 
resposta no intervalo 1-3 ao longo de cada eixo. 
,k
• Box e Hunter (1957) propuseram o conceito de rotabilidade 
como critério para escolher o valor de . 
• Um planejamento é chamado de rodável se a variância de 
suas estimativas, , só depender da distância em relação 
ao ponto central, isto é, se a precisão da resposta prevista for 
a mesma em todos os pontos situados numa dada 
(hiper)esfera com centro no próprio centro do planejamento. 
 yV ˆ
• A Tabela 6.13 mostra como podemos construir planejamentos 
rodáveis para três (nax =2k= 6) e quatro (nax = 8) fatores. 
kCoordenadas: centrais nulas e axiais iguais a