Matemática - Exercícios globais

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Ficha de preparação para o teste n.º 4 
Geometria no Espaço, Funções 
 
Cursos Científico-Humanísticos Ano letivo 2020/2021 
Nome: ................................................ Nº .......... Ano/Turma ………. 
 
1. Na Figura 1, está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, 
o cubo [OPQRSTUV]. Os pontos, P, R e T pertencem aos 
semieixos positivos. 
Sabe-se que 𝑉𝑄̅̅ ̅̅ = 4. 
 
1.1. Indica as coordenadas dos vértices do cubo. 
1.2. Indica um ponto pertencente à face [𝑄𝑅𝑆𝑉]. 
1.3. Define uma condição do plano mediador [𝑇𝑉]. 
1.4. Escreve uma equação vetorial da reta que contém o ponto 𝑉 e é paralela à reta 𝑈𝑆. 
1.5. Escreve uma equação da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo. 
 
2. Considere, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, a reta 𝑡 definida por 
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 2, 3) + 𝑘(0,1,0), 𝑘 ∈ ℝ 
 
Qual das condições seguintes também define a reta t? 
(A) 𝑥 = −1 ∧ 𝑦 = 2 
(B) 𝑦 = 2 ∧ 𝑧 = 3 
(C) 𝑥 = −1 ∧ 𝑧 = 3 
(D) 𝑥 = 0 ∧ 𝑧 = 0 
 
3. Na Figura 2, estão representadas graficamente as funções 𝑓 e 𝑔, de domínio ℝ, definidas, 
respetivamente, por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = |𝑥|. 
 
3.1. Determina os pontos de interseção das funções 𝑓 e 𝑔. 
3.2. Indica o conjunto de solução da inequação 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥). 
 
 
4. Na Figura 3, estão representadas, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦, duas semirretas de declives 
simétricos e de origem no ponto de coordenadas (−1, 0), cuja união é o gráfico de uma 
função ℎ, de domínio ℝ. 
Uma das semirretas intersecta o eixo 𝑂𝑦 no ponto de ordenada 1. 
 
 Define a função ℎ por ramos. 
 
5. Na Figura 4, está representado, num referencial o. n. 𝑂𝑥𝑦, o gráfico de uma função 𝑓, de 
domínio ]−2, 2[. 
 
Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função 𝑓? 
(A) Tem três zeros, não tem máximo nem mínimo, não é par. 
(B) Tem exatamente dois zeros, não tem máximos nem mínimos, é crescente no seu domínio. 
(C) Tem máximo e tem mínimo, é crescente no seu domínio, o contradomínio é ]−1, 1[. 
(D) É par, tem exatamente três zeros, o contradomínio é ]−1, 1[. 
 
6. Na figura 5 está representado, em referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, o prisma triangular não regular 
[𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹]. Sabe-se que: 
 as bases são triângulos isósceles(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ ) 
 a base [𝐴𝐵𝐶] está contido no plano 𝑂𝑥𝑦 
 as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases 
 o ponto 𝐴 tem coordenadas (4, 0, 0) 
 o ponto 𝐸 tem coordenadas (0, 3, 8) 
 o ponto 𝐹 é o simétrico do ponto 𝐸, relativamente ao plano 𝑂𝑥𝑧 
 
6.1. Determina uma equação vetorial da reta 𝐷𝐹. 
6.2. Determina a área lateral do prisma. 
6.3. Determina o volume do prisma. 
7. Na Figura 6, está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦, parte da parábola que é o gráfico 
Figura 5 
de uma função f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que: 
 a parábola intersecta o eixo 𝑂𝑦 no ponto de coordenadas (0, 1) 
 o ponto 𝑉, vértice da parábola, tem coordenadas (2, −1) 
 
7.1. Sejam 𝑔, ℎ , e 𝑗 as funções, de domínio ℝ, definidas, respetivamente, por 
𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥), ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 3, e 𝑗(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 1) 
Indica os contradomínios das funções 𝑓, 𝑔, ℎ , e 𝑗. 
Nota – Não necessita de apresentar cálculos. 
 
7.2. A função 𝑓 pode ser definida por uma expressão do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde 
𝑎, ℎ e 𝑘 são números reais. Indica o valor de ℎ e o valor de 𝑘, e determina o valor de 𝑎. 
7.3. Determina os zeros da função 𝑓. 
7.4. Indica o conjunto de solução da inequação 𝑓(𝑥) > 3. 
 
 
 
 
 
 Bom Trabalho 
Figura 6