Microsoft Word - EPS 5102 - P1_A doc

Prévia do material em texto

UFSC / CTC / DEPS 
EPS5102 – Introdução à Pesquisa Operacional 
 
Questão 1 
 
A Motorauto S/A fabrica 3 modelos de automóveis nas suas fábricas: XL, XLS e EXS. Um conflito trabalhista faz 
prever uma greve prolongada na fábrica 1 num futuro muito próximo. Para fazer face a esta situação, a direção da 
empresa decidiu preparar um plano excepcional de produção e vendas para o próximo período, pressupondo que 
não haverá produção na fábrica 1 durante este período. Neste mesmo período, a capacidade de produção da 
fábrica 2 será de 4.000 unidades do XL, ou 3.000 unidades do XLS ou 2.000 unidades do EXS ou qualquer 
combinação apropriada destes 3 modelos. Analogamente a fábrica 3 tem capacidade para 3.000 unidades do XL 
ou 8.000 unidades do XLS ou qualquer combinação apropriada destes 2 modelos, não sendo o EXS produzido 
nesta fábrica. Cada automóvel XL é vendido por $11.500, cada unidade do XLS é vendido por $14.500 e cada 
unidade do EXS é vendido por $18.000. O custo de produção na fábrica 2 é de $8.750, $12.000 e $14.500 para 
cada unidade produzida dos modelos de XL, XLS e EXS respectivamente. Por sua vez o custo de produção na 
fábrica 3 é de $9.000 para cada unidade do XL e de $11.000 para cada unidade do XLS. A empresa assumiu 
compromissos que a obrigam a fornecer 1.000 unidades do modelo EXS para exportação. Por outro lado, dada a 
queda na procura pelos modelos XL e EXS, o departamento comercial estima em 1.000 e 2.500 unidades as 
vendas máximas destes 2 modelos no mercado nacional, respectivamente. Como o modelo XLS é atualmente um 
grande sucesso comercial, não existe limitação para suas vendas. No início do período, os estoques dos 3 modelos 
são de 200 unidades do XL, 600 unidades do XLS e 200 unidades do EXS. É possível, dados os últimos acordos 
assinados, importar da Argentina até 500 unidades do XL. Cada modelo importado custará $11.000. Considerando 
que o objetivo da Motorauto é maximizar seus lucros, formule um modelo de programação linear para o problema. 
 
Questão 2 
 
Resolva e interprete a solução do problema de programação linear abaixo. 
 
0,
164
1532
92
5
82:.
1510
21
21
21
21
21
21
21
≥
≥+
≥+
≥+
≥+
≥+
+=
xx
xx
xx
xx
xx
xxas
xxzMin
 
 
Questão 3 
 
Resolver o seguinte problema de transportes: 
 
0,,,,,
120
100
70
50
60:.
91318121510
232221131211
232221
131211
2313
2212
2111
232221131211
≥
≤++
≤++
≥+
≥+
≥+
+++++=
xxxxxx
xxx
xxx
xx
xx
xxas
xxxxxxzMin
 
 
 
 
GABARITO 
 
Questão 1: Considerando os seguintes dados: 
 
Modelos XL XLS EXS 
Capacidade da fábrica 2 (produção máxima de cada modelo) 4.000 3.000 2.000 
Capacidade da fábrica 3 (produção máxima de cada modelo) 3.000 8.000 - 
Preço de venda $11.500 $14.500 $18.000 
Custo de produção na fábrica 2 $8.750 $12.000 $14.500 
Custo de produção na fábrica 3 $9.000 $11.000 - 
Compromissos com exportação - - 1.000 
Venda máxima no mercado interno 1.000 Sem limite 2.500 
Estoque inicial 200 600 200 
Importação da Argentina 500 - - 
Custo do modelo importado da Argentina $11.000 - - 
 
 
32 , XLXL = quantidade de automóveis do modelo XL produzido nas fábricas 2 e 3, respectivamente; 
32 , XLSXLS = quantidade de automóveis do modelo XLS produzido nas fábricas 2 e 3, respectivamente; 
2EXS = quantidade de automóveis do modelo EXS produzido na fábrica 2; 
A
XL = quantidade de automóveis do modelo XL importado da Argentina. 
Lucro = contribuição ao lucro total da Motorauto. 
 
 
Max +−+−+−= 222 )50,1400,18()00,1250,14()75,850,11( EXSXLSXLLucro 
 +−+− 33 )00,1150,14()00,950,11( XLSXL 
 
A
XL)00,1150,11( − 
 
s.a: 12000643 222 ≤++ EXSXLSXL (capacidade de produção da fábrica 2) 
 2400038 33 ≤+ XLSXL (capacidade de produção da fábrica 3) 
 500≤
A
XL (restrição de importação) 
 8002 ≥EXS (compromissos com exportação do modelo EXS) 
80032 ≤+ XLXL (demanda máxima do modelo XL) 
33002 ≤EXS (demanda máxima do modelo EXS) 
 0,,,, 3232 ≥XLSXLSXLXLXL A (restrições de não-negatividade) 
Questão 2: É mais conveniente construir o dual do problema originalmente formulado, resolvendo-o, e 
posteriormente apresentar a solução. 
 
Base Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 R1 R2 Xb Razão 
R1 0,00 1,00 1,00 2,00 2,00 4,00 1,00 0,00 10,00 2,50 
R2 0,00 2,00 1,00 1,00 3,00 1,00 0,00 1,00 15,00 15,00 
Z 1,00 -8,00 -5,00 -9,00 -15,00 -16,00 0,00 0,00 0,00 
 *** 
 
 
Base Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 R1 R2 Xb Razão 
Y5 0,00 0,25 0,25 0,50 0,50 1,00 0,25 0,00 2,50 5,00 
R2 0,00 1,75 0,75 0,50 2,50 0,00 -0,25 1,00 12,50 5,00 
Z 1,00 -4,00 -1,00 -1,00 -7,00 0,00 4,00 0,00 40,00 
 *** 
 
 
Base Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 R1 R2 Xb 
Y5 0,00 -0,10 0,10 0,40 0,00 1,00 0,30 -0,20 0,00 
Y4 0,00 0,70 0,30 0,20 1,00 0,00 -0,10 0,40 5,00 
Z 1,00 0,90 1,10 0,40 0,00 0,00 3,30 2,80 75,00 
 
 
Solução ótima do problema primal: 
 
Var. 
Primal 
Var. 
Dual 
Assoc. 
Valor 
Primal 
Valor 
Dual 
X1 R1 3,30 0,00 
X2 R2 2,80 0,00 
S1 Y1 0,90 0,00 
S2 Y2 1,10 0,00 
S3 Y3 0,40 0,00 
S4 Y4 0,00 5,00 
S5 Y5 0,00 0,00 
Z Z 75,00 - 
 
Portanto, o valor ótimo das variáveis primais são: 3,31 =x e 8,22 =x . Haverá folga nas 3 primeiras restrições, 
iguais a: 9,01 =S , 1,12 =S e 4,03 =S . O valor da função objetivo para esta solução é de 75=Z . Dos valores 
das variáveis duais conclui-se que se houver uma variação uma unidade a mais no valor do RHS da quarta 
restrição, o valor da função objetivo sofrerá um incremento de 5 unidades. 
Questão 3: Por tratar-se de um problema de transportes, é conveniente resolvê-lo como tal. Usando o método 
de Voguel para obter uma solução inicial viável, tem-se: 
 
 
 D1 D2 D3 Dfic Oferta Penal 
10 15 12 0 
O1 
 60 *** *** 40 
100 10 / 2 / 3 
18 13 9 0 
O2 
 *** 50 70 *** 
120 9 / 4 / 4 
Demanda 60 50 70 40 
Penal 8 2 3 0 
 
 
 
 D1 D2 D3 Dfic Oferta Ui 
10 15 12 1 0 
O1 
 60 eps *** 40 
100 0 
18 10 13 9 0 2 
O2 
 *** 50 70 *** 
120 -2 
Demanda 60 50 70 40 
Vj 10 15 11 0 
 
 
 
Solução ótima: 
 
Origem Destino Custo Quant Quant Custo Total 
O1 D1 10 60 - 600 
O1 D2 15 0 - 0 
O1 D3 12 - 1 0 
O1 Dfic - 40 - 0 
O2 D1 18 - 10 0 
O2 D2 13 50 - 650 
O2 D3 9 70 - 630 
O2 Dfic - - 2 0 
Soma do Custo Total 1.880 
 
Portanto, a origem O1 entregará 60 unidades para o destino D1 e deixará de produzir 40 unidades. A origem O2, 
por sua vez, 50 unidades para o destino O2 e 70 unidades para o destino D3. Esta solução estará associada à um 
custo total de 1.880 unidades monetárias.