RACIOCÍNIO LÓGICO CRÍTICO E ANALITICO CONTABIL AULA3

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RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E 
ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote Quinsler 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Você sabe o que são conjuntos e quais os conjuntos numéricos 
existentes? Um conjunto pode ser uma coleção de objetos, números, pessoas e 
que possui uma característica em comum. Constantemente, trabalhamos com 
esta teoria, mas quais as relações e as operações que são utilizadas na teoria 
de conjuntos? 
Em algumas situações não trabalhamos com um único valor, mas com um 
conjunto de valores que estão em um intervalo. Na previsão do tempo falamos 
em temperatura em um intervalo com valor máximo e mínimo; podemos também 
falar de um intervalo de preço de um produto ou intervalo de faturamento. 
Nesta aula estudaremos a teoria de conjuntos, suas representações, as 
relações de pertinência e inclusão, subconjuntos, operações envolvendo 
conjuntos, além dos conjuntos numéricos e os intervalos. 
CONTEXTUALIZANDO 
A todo o momento trabalhamos com números para realizar contagens, 
pagamentos, fazer uma medida, mas você já parou para pensar como surgiram 
os números? Vamos assistir a um vídeo que conta como tudo começou. 
Vídeo 
Assista ao vídeo “Como surgiram os números”. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=G-0mhe2x1lc>. Acesso em: 9 out. 2019. 
Agora que já sabemos como surgiram os números vamos conhecer um 
pouco mais sobre conjuntos, os conjuntos numéricos e os intervalos. 
TEMA 1 – CONJUNTOS E SUAS RELAÇÕES 
Conjuntos são indicados por letras maiúsculas do alfabeto e definidos 
como uma coleção de objetos, números, pessoas que possuem alguma 
característica em comum. Os itens que constituem um conjunto são chamados 
de elementos e indicados por letras minúsculas ou algarismos. 
Um conjunto pode ser representado entre chaves com seus elementos 
separados por vírgula ou podemos representá-los por um diagrama chamado 
 
 
3 
Diagrama de Venn, que reúne os elementos em uma curva fechada. Vamos 
verificar as duas representações considerando o conjunto A. 
Representação entre chaves com seus elementos separados por vírgula: 
A = {1, 2, 3, 4, 5} 
Representação pelo Diagrama de Venn: 
A 
 
 
Quando trabalhamos com conjuntos, podemos ter diferentes tipos deles: 
 Conjunto unitário: é aquele que contém apenas um único elemento. 
Exemplo: A={2} 
 Conjunto vazio: aquele que não tem elementos. Podemos representar 
esse conjunto pelo símbolo { } ou  (phi). 
 Conjunto universo: formado por todos os elementos do contexto com o 
qual se está trabalhando. Exemplo: quando estudamos a população 
humana, o conjunto universo é formado por todos os seres humanos. 
Dados dois conjuntos que possuem os mesmos elementos em qualquer 
ordem, dizemos que eles são iguais, assim, os conjuntos A={2,5,4} e B={2,4,5} 
são conjuntos iguais, pois possuem os mesmos elementos, ou seja, (A =B). 
Quando trabalhamos com conjuntos consideramos a relação de 
pertinência e a relação de inclusão. A relação de pertinência relaciona elemento 
com um conjunto já a relação de inclusão relaciona um conjunto com outro 
conjunto. 
Segundo Leite e Castanheira (2014), a palavra pertinência nos transmite 
a ideia de pertencer, ou seja, quando dizemos que um elemento faz parte de um 
conjunto, podemos dizer que tal elemento pertence ao conjunto. A relação de 
pertinência utiliza os símbolos (pertence) e  (não pertence). 
Vamos considerar o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, o número 5 pertence ao 
conjunto A; logo, 5  A; já o número 6 não pertence ao conjunto assim 6  A. 
Dessa forma, quando queremos indicar que um elemento pertence ao conjunto 
A escrevemos x  A, e quando o elemento não pertence x  A, em que x é uma 
variável que representa todos os elementos do conjunto A. Exemplos: 
1 3 5 
2 4 6 
 
 
4 
1. A = {conjuntos dos números pares} 
2  A 
3  A 
2. B = {conjuntos das cidades do Paraná} 
Curitiba  B 
Campinas  B 
A relação de inclusão, utilizamos sempre que um conjunto pode conter ou 
não conter outro conjunto. Essa relação é representada pelos símbolos  (está 
contido) e  (não está contido). 
Considerando o conjunto A={1, 2, 3} e o conjunto B={0,1,2,3,4} percebemos que 
todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Dessa 
forma, AB, ou seja, A está contido em B. Exemplos: 
3. AB 
 
4. AB 
 
O conjunto A não está contido no conjunto B, pois no conjunto A temos o 
número 2, que não está no conjunto B. 
Para representar a noção de inclusão podemos utilizar também os 
símbolos  (contém) e ⊅ (não contém). Assim, AB ou BA, ou seja, A está 
contido em B ou B contém A. 
Considerando as relações de pertinência e inclusão temos: 
 Relação de pertinência: 
Elemento  Conjunto 
Elemento  Conjunto 
 Relação de inclusão: 
Conjunto  Conjunto 
Conjunto  Conjunto 
 
 
5 
Tabela 1 – Símbolos de conjuntos e suas respectivas descrições 
Símbolo Descrição 
 Pertence 
 Não pertence 
 Está contido 
 Não está contido 
 Contém 
⊅ Não contém 
TEMA 2 – SUBCONJUNTO 
Já estudamos a relação de inclusão, em que relacionamos um conjunto a 
outro, e agora veremos que dessa relação surge a noção de subconjunto. 
De acordo com Macedo, Castanheira e Rosa (2006), dados dois conjuntos 
A e B, podemos dizer que o conjunto A é subconjunto do conjunto B, quando 
todo elemento do conjunto A for também elemento do conjunto B. Assim, 
dizemos que A está contido em B (A ⊂ B), ou seja, A é subconjunto de B. 
Podemos representar um subconjunto utilizando o seguinte diagrama: 
 
Considerando o conjunto A={2,7} e o conjunto B={2,3,4,5,6,7,8,9}, temos 
que os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, assim, A ⊂ 
B e A é subconjunto de B. Exemplos: 
1. A ⊂ B, então A é subconjunto de B. 
 
 
 
 
6 
2. A  B, então A não é subconjunto de B, pois o elemento 2 pertence ao 
conjunto A, mas não é elemento do conjunto B. 
 
Segundo Macedo, Castanheira e Rocha (2006), os elementos de um 
conjunto A que satisfazem a uma dada propriedade constituem um subconjunto 
de A, definido por essa propriedade. Considerando que qualquer um dos 
elementos de um conjunto pode ser chamado de variável e representado por x, 
podemos formar subconjuntos por meio de propriedades. 
Analisando o conjunto A={1,2,3,4,5,6}, a notação x  A indica que x pode 
assumir qualquer um dos valores 1,2,3,4,5 ou 6, e a partir desse conjunto 
podemos encontrar o conjunto B formado pelos elementos de A que são pares, 
logo: B = {x  A | x é par }. 
Portanto, B é um conjunto formado pelos elementos que pertencem ao 
conjunto A tais que x é um número par. Assim: B = {2,4,6}. Exemplos: 
3. Considerando o seguinte conjunto A encontrar os subconjuntos B e C 
definidos pelas propriedades: 
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
B = { x ∈ A | x é ímpar} 
B = {1,3,5,7,9} 
C= { x ∈ A | x≤ 3} 
C = {1,2,3} 
TEMA 3 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
Estudamos os conjuntos e os subconjuntos e agora vamos trabalhar com 
as operações de união, interseção, diferença e complementar. 
Considerando dos conjuntos A e B, na união ou reunião temos um 
conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B, ou seja, é um 
conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um desses 
conjuntos sem repetir os elementos que aparecem nos dois conjuntos ao mesmo 
 
 
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tempo. A união de dois ou mais conjuntos é representada pelo símbolo U. 
Exemplos: 
1. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos indicar a 
união de A com B (AUB): 
AUB = {1,2,3,4,5,6} 
2. Considerando os conjuntos A={-1,0,3} e B = {-3,0,5,6}, vamos indicar a 
união de A com B (AUB): 
AUB = {-3,-1,0,3,5,6} 
Podemos representar a união de dois conjuntos pelo seguinte diagrama: 
 
A interseção de dois ou mais conjuntos é um conjunto composto pelos 
elementos que aparecem simultaneamente, ou seja, pelos elementos comuns a 
todos os conjuntos. Representamosa interseção pelo símbolo  e verificamos 
sua representação pelo diagrama seguinte, em que a área em azul representa a 
interseção dos conjuntos A e B: 
 
Vamos considerar o conjunto A={5,6,7} e o conjunto B={7,8,9}; o conjunto 
interseção AB vai ser formado pelo número 7, pois esse número aparece nos 
dois conjuntos, ou seja, AB = {7}. Exemplos: 
3. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos descrever 
a interseção de A com B (AB). Como os números 3 e 4 pertencem a dois 
conjuntos, temos AB = {3,4}. 
 
 
8 
4. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {5,6,7,8}, vamos descrever 
a interseção de A com B (AB). Como não temos elementos que 
pertencem aos dois conjuntos simultaneamente, o conjunto interseção 
será um conjunto vazio, logo AB = { }. 
Considerando dois conjuntos A e B, a diferença entre esses dois conjuntos 
é representada por A-B e formada pelos elementos que aparecem no conjunto 
A, mas que não pertencem ao conjunto B. A diferença é representada pela parte 
verde do seguinte diagrama: 
 
Exemplos: 
5. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos encontrar 
A-B formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
Os números 1 e 2 pertencem apenas ao conjunto A, então A-B = {1,2}. 
6. Vamos encontrar a diferença entre os conjuntos A={0,1,2} e B={0,1,2,6,7}. 
Observamos que todos os elementos de A também pertencem ao 
conjunto B, assim A-B é igual ao conjunto vazio, A-B ={ }. 
Nossa última operação é o conjunto complementar, considerando dois 
conjuntos A e B, em que A está contido em B, chamamos de complementar a 
diferença B – A ou ABC , que indica o complementar de A em relação a B. 
Exemplo: 
7. Considerando os conjuntos A={4,5,6} e B = {3,4,5,6,7}, vamos encontrar 
B-A formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. 
Observamos que A está contido em B (A⊂B), pois todos os elementos de 
A aparecem no conjunto B. Assim, os números 3 e 7 pertencem apenas 
ao conjunto B, então: 
A
BC =B – A = {3,7} 
 
 
 
9 
TEMA 4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os números podem ser classificados e separados nos seguintes 
conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e 
complexos. 
O primeiro conjunto numérico a surgir foi o conjunto dos números naturais, 
advindo da necessidade do ser humano de realizar contagens. Esse conjunto é 
representado pela letra N, começa com zero e ao acrescentar sempre uma 
unidade obtemos todos os elementos: 
N = {0,1,2,3,4,5,…}. 
O conjunto dos números naturais apresenta uma limitação sempre que 
subtraímos uma quantidade maior que a existente, por exemplo, 5 – 10. Diante 
dessa necessidade surgiram os números inteiros que são formados pelos 
números naturais mais os respectivos simétricos, ou seja, temos os números 
positivos e os números negativos. Esse conjunto é representado pela letra Z: 
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} 
O conjunto dos números inteiros resolveu a limitação apresentada pelo 
conjunto dos números naturais, mas apresentava uma limitação sempre que 
ocorresse uma divisão que não tivesse um resultado inteiro, por exemplo, ¾. 
Assim surgiu o conjunto dos números racionais, que contém os números que 
podem ser escritos na forma de divisão. Esse conjunto é representado pela letra 
Q e formado pelos números na forma 
𝑎
𝑏
 , em que a e b são números inteiros e b 
um número diferente de zero. Assim: 






 0,,, bZbZa
b
a
Q 






 ,...
2
3
.1,
5
3
,0,
3
1
,
4
5
,2...,Q 
Temos também o conjunto dos números irracionais que é formado por 
números que não podem ser escritos na forma de uma fração e é representado 
pela letra I. Esses números são os decimais infinitos e não periódicos, por 
exemplo, √2 = 1,4142135…, π = 3,1415926535… 
I = {…, -π,…, -√3,…, -√2,…, √3,…, π,…} 
O nosso último conjunto é o conjunto dos números reais representado por 
R e formado pelos números racionais com os números irracionais. Dessa forma, 
 
 
10 
os números reais são: todos os números irracionais, racionais, inteiros e naturais. 
Podemos representar este conjunto por: 
R = Q U I = {x | x Q ou x I} 
Além dos números reais, há outros números como a raiz de índice par de 
um número negativo. Por exemplo, é impossível nos números reais resolver a 
raiz quadrada de – 4 (√−4 ), pois não existe número real que elevado ao 
quadrado dê um número negativo, assim surgem os números complexos ou 
imaginários. 
TEMA 5 – INTERVALOS 
Muitas vezes não trabalhamos com um único valor mais com um conjunto 
de valores. Sempre que um conjunto numérico precisa ser representado com 
uma quantidade infinita de valores, usamos os intervalos. 
De acordo com Leite e Castanheira (2014), sejam a e b dois números 
reais tais que a<b, chama-se intervalo entre a e b o conjunto de todos os 
números reais desde a até b, sendo a e b os extremos do intervalo. O número a 
pode ser chamado de limite inferior do intervalo e b de limite superior. 
Para representar os intervalos utilizamos os seguintes símbolos: 
 ( ): indica que os extremos não estão incluídos no intervalo. 
 [ ]: indica que os extremos estão incluídos no intervalo. 
 ] [: indica que os extremos não estão incluídos no intervalo. 
 : bolinhas vazias significam que os valores informados junto a elas não 
fazem parte do intervalo. 
 : bolinhas cheias significam que os valores informados junto a elas fazem 
parte do intervalo. 
Os intervalos podem ser classificados nos seguintes tipos: 
 Intervalo fechado: conjunto de todos os números reais compreendidos 
entre a e b, inclusive a e b. Representamos esse intervalo da seguinte 
maneira, em que as bolinhas cheias indicam que os extremos pertencem 
ao intervalo: 
 
Assim, {x R | a bx  } ou [a,b]. 
 
 
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 Exemplo: 
1. Uma pesquisa realizada indica que um candidato possui 60% das 
intenções de voto com uma margem de erro de 2% para mais ou para 
menos. Assim as intenções de voto desse candidato variam entre 58% e 
62%. Podemos representar o resultado dessa pesquisa utilizando 
intervalos: 
58%  x 62% 
[58%, 62%] 
 
 Intervalo aberto: conjunto de todos os números reais compreendidos 
entre a e b, não considerando a e b. Representamos esse intervalo da 
seguinte maneira, em que as bolinhas abertas indicam que os extremos 
não pertencem ao intervalo. 
 
Assim, {x R | a < x < b} ou ]a,b[ ou (a,b). 
Exemplo: 
2. Uma pesquisa indica que a taxa de juros para compra de imóveis ficará 
entre 6,5% e 9,5% ao ano. Podemos representar o resultado desta 
pesquisa por meio de intervalo observando que a taxa de juros ficará entre 
os valores, assim não inclui os extremos. Portanto: 
6,5 < x < 9,5 
]6,5,9,5[ 
 
 Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda ou semiaberto à 
direita: temos os números entre a e b, incluindo o valor de a e não 
incluindo b, ou seja, a  x < b. Podemos representar esse intervalo por 
[a,b[ ou [a,b). 
 
 
 
 
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Exemplo: 
3. Uma loja de utensílios domésticos vende itens a partir de R$ 1,99 até 
valores inferiores a R$ 30. Podemos representar a faixa de preço dos 
produtos por meio de intervalo considerando que tenho produtos com 
preço inicial de R$ 1,99 até inferiores a R$ 30, ou seja, considera-se no 
intervalo R$ 1,99, mas o R$ 30 não pertence ao intervalo. Assim: 
 
 
 Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda ou semiaberto à 
esquerda: neste intervalo não incluímos o valor de a e consideramos o 
valor de b, ou seja, a < x  b. Podemos representar esse intervalo por 
]a,b] ou (a,b]. 
 
 Intervalo infinito ou semifechado: quando não definimos um dos 
extremos ou os dois extremos do intervalo. Podemos representar esse 
intervalo das seguintes maneiras: 
 
 
 
 
O conjunto dos números reais pode ser representado pelo intervalo: 
 ]- , + [ ou (- , ). 
 
 
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Considerando os diferentes tipos de intervalos, temos os dados da Tabela 2.Tabela 2 – Representação dos diferentes tipos de intervalos 
 
TROCANDO IDEIAS 
Nesta aula vimos os diferentes conjuntos numéricos e os intervalos que 
estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano. Você se recorda de 
alguma situação em que utilizou ou podemos utilizar os intervalos numéricos? E 
onde utilizamos os diferentes conjuntos numéricos? 
NA PRÁTICA 
Diariamente utilizamos os diferentes tipos de conjuntos numéricos em 
nossas atividades ou analisamos intervalos numéricos que representam 
determinada situação. Podemos analisar o intervalo da temperatura, o intervalo 
de taxa de juros, o intervalo de preço de um determinado item ou até mesmo o 
intervalo de faturamento ou lucro de uma organização. Com esses conceitos 
nossas análises e decisões são cada vez mais assertivas. 
Vamos assistir a um vídeo (indicado a seguir) que mostra algumas 
aplicações envolvendo conjuntos. 
 
 
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Vídeo 
Assista ao vídeo “Os números irracionais, reais e suas aplicações”. 
Disponível em: <https://edulivre.org.br/videos/13388/os-numeros-irracionais-
reais-e-suas-aplicacoes>. Acesso em: 9 out. 2019. 
Agora que já conhecemos as diferentes operações envolvendo conjuntos, 
vamos resolver o seguinte exercício que trata destes conceitos. 
1. Em uma escola de idiomas que possui 510 estudantes, 350 estudam inglês e 
220, espanhol. Com base nos dados apresentados calcule: 
a. Quantos alunos estudam inglês e espanhol? 
Se somarmos a quantidade de alunos apresentados temos: 
350 + 220 = 570 
Avaliando o valor obtido, percebemos que é maior que 510 que é o 
número total de estudantes da escola; isso ocorre porque temos os alunos que 
fazem ambos os cursos assim precisamos descontar esse valor da quantidade 
total: 
570 – 510 = 60 
Logo temos 60 alunos que estudam inglês e espanhol. 
b. Quantos alunos estudam apenas inglês? 
Temos que 350 estudantes estudam inglês, mas sabemos que 60 fazem 
ambos os cursos, então precisamos descontar essa quantidade para 
encontrarmos a quantidade de estudantes que fazem apenas inglês, assim: 
350 – 60 = 290 
Logo, 290 estudantes fazem apenas inglês. 
c. Quantos alunos estudam apenas espanhol? 
Temos que 220 estudantes estudam espanhol, mas sabemos que 60 
fazem ambos os cursos então precisamos vamos descontar esta quantidade 
para encontrarmos a quantidade de estudantes que fazem apenas espanhol, 
assim: 
220 – 60 = 160 
Logo, 160 estudantes fazem apenas espanhol. 
Podemos representar esse problema pelo seguinte diagrama: 
 
 
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FINALIZANDO 
Estudamos aqui os principais conceitos envolvendo conjuntos e 
trabalhamos os seguintes temas: 
 
 
Conjuntos
Relação 
pertinência
Relação 
inclusão
Subconjunto
Operações
União
Interseção
Diferença
Complentação
Conjuntos 
numéricos
Intervalos
Inglês Espanhol 
 
 
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REFERÊNCIAS 
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Teoria dos números e teoria dos 
conjuntos. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática 
Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006.