Introdução à Probabilidade em Análises Contábeis

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ESTATÍSTICA APLICADA ÀS 
ANÁLISES CONTÁBEIS 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
A probabilidade é utilizada por qualquer pessoa que precisa tomar uma decisão 
em uma situação de incerteza ou em situações em que precisamos conhecer a 
possibilidade de determinado evento ocorrer no futuro. 
Frequentemente usamos expressões como "Improvável”, “Impossível” ou 
“provavelmente”, o que demonstra que em alguns momentos não sabemos qual o 
resultado de uma situação, mas conseguimos ter a noção da sua ocorrência. Você se 
recorda de algum fato ou momento do seu cotidiano que utilizou algumas destas 
expressões? 
CONTEXTUALIZANDO 
“A ideia de probabilidade ocorre sempre que nos deparamos com situações nas 
quais não sabemos exatamente o que pode ocorrer, mas temos uma ideia dos possíveis 
resultados” (Aula 5, S.d.). Por exemplo, verificamos a probabilidade de chover em um 
determinado dia, a probabilidade de ganhar na loteria, probabilidade do nosso time 
favorito ganhar o jogo, probabilidade de certo candidato ganhar ou não uma eleição, 
probabilidade de um produto ser vendido, probabilidade de um investimento ser mais 
lucrativo do que outro e a probabilidade de bons lucros em uma determinada operação 
ou compra de ações. 
Segundo Castanheira (2010), o termo Probabilidade é usado de modo muito 
amplo na conversação diária para sugerir certo grau de incerteza sobre o que ocorreu 
no passado, o que ocorrerá no futuro e o que está ocorrendo no presente. Martins (2010) 
comenta que a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisões em 
situações de incerteza e que ela nos indicará uma medida de quão provável é a 
ocorrência de determinado evento. 
Pelos exemplos e pelas definições, percebemos que são inúmeras as situações 
nas quais a probabilidade está presente, mas como calcular a probabilidade e quais os 
seus principais conceitos? 
TEMA 1 – PROBABILIDADE 
Probabilidade é a possibilidade, chance de ocorrência ou medida de 
ocorrência, de um evento definido sobre um espaço amostral, que por sua vez 
está relacionado a algum experimento aleatório. 
Experimento Aleatório (E) é aquele que podemos repetir sob as mesmas 
condições indefinidamente e antes do experimento não podemos dizer qual será 
o resultado, mas somos capazes de relatar os possíveis resultados. Por 
 
 
3 
exemplo, no lançamento de uma moeda ou um dado podemos realizar o 
lançamento quantas vezes julgarmos necessário e antes do lançamento 
conhecemos os possíveis resultados: 
Resultados possíveis da moeda = cara ou coroa 
Resultados possíveis de um dado = 1,2,3,4,5 e 6 
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento 
chamamos de Espaço Amostral (S). Em um espaço amostral, quando os pontos 
amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrerem, eles são considerados 
equiprováveis. No exemplo da moeda e do dado temos: 
Lançamento de uma moeda: espaço amostral S = {cara, coroa}. 
Lançamento de um dado: espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5,6}. 
Outro elemento que utilizamos no cálculo da probabilidade é o evento, 
definido como qualquer conjunto de resultados de um experimento. É um 
subconjunto do espaço amostral e indicado por qualquer letra maiúscula do 
alfabeto. No lançamento de um dado temos que o espaço amostral é S = 
{1,2,3,4,5,6} e podemos ter vários eventos, como: 
A = {sair número maior que 5} = {6} 
B = {sair número par} = {2,4,6} 
C = {sair número ímpar} = {1,3,5} 
D = {ocorrência de valor par ou ímpar} = {1,2,3,4,5,6} 
E = {ocorrência de valor par e ímpar} = { } 
F = {ocorrência de valor maior que 6} = { } 
Obs.: { } representa um conjunto vazio, sem elementos e também pode 
ser representado por Ø. 
Observando os eventos anteriores, verificamos que o evento A é formado 
por apenas um elemento e os eventos B e C são formados por três elementos. 
Quando o evento possui apenas um elemento recebe o nome de evento simples 
e quando possui mais de um elemento são denominados de evento composto. 
O evento D possui todos os elementos do espaço amostral logo é chamado de 
evento certo. Os eventos E e F não possuem elementos, pois não temos 
números que sejam ao mesmo tempo par e ímpar e também em um dado não 
temos elementos maiores que seis, desta forma os dois eventos são chamados 
de evento impossível. 
Segundo Catanheira (2010), a probabilidade de um acontecimento é a 
relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. 
 
 
4 
Designamos por S o número de casos possíveis e por A o número de casos 
favoráveis, temos a probabilidade P, definida por: 
 
ou seja, 
 
Para calcular a probabilidade precisamos primeiro conhecer o espaço 
amostral e o evento para depois aplicarmos a fórmula. O valor de P(A) é sempre 
uma fração compreendida entre 0 (zero) e 1 (um) ou podemos multiplicar o 
resultado por 100 e obter o valor do percentual que será entre 0% (zero) e 
100%.Quando temos uma probabilidade igual a zero (P(A)=0) temos um evento 
impossível e quando ocorrer P(A) = 1 ou P(A) = 100% temos um evento certo. 
Exemplo 1: Em um lançamento de um dado, calcular a probabilidade de 
sair: 
a) O número 5. 
b) Um número par. 
c) Um número menor que 5. 
Para encontrar a probabilidade precisamos encontrar o espaço amostral 
e o evento. Como o experimento é o lançamento de um dado o espaço amostral 
é S = {1,2,3,4,5,6}, espaço amostral formado por 6 elementos. 
Agora vamos encontrar os eventos: 
a) O número 5: 
O exercício solicita o número 5, então este é o nosso evento que vamos 
chamar de evento A: 
A = {5} 
Verificamos que o evento é formado apenas por 1 elemento, pois só temos 
o número 5 e o espaço amostral formado por 6 elementos S = {1,2,3,4,5,6}. Com 
estas informações conseguimos calcular a probabilidade: 
 
 
5 
 
P(A) = 0,16667 x 100 = 16,66667 = 17% 
b) Um número par: 
Como queremos um número par o nosso evento, que chamaremos de B, 
será formado pelos elementos pares que podem ocorrer quando lançamos o 
dado: 
B = {2,4,6} 
Verificamos “a quantidade de elementos que temos no evento B, neste 
caso, há 3 elementos” (Aula 5, S.d.). Com estas informações conseguimos 
calcular a probabilidade: 
 
P(B) = 0,5 x 100 = 50% 
c) Um número menor que 5: 
O exercício solicita um número menor que 5, então este é o nosso evento 
que vamos chamar de evento C: 
C = {1,2,3,4} 
O evento C é formado por 4 elementos, assim a probabilidade será:
 
P(C) = 0,66667 x 100 = 66,66667% = 67% 
Exemplo 2: Escolhendo número, ao acaso, entre 1 e 7. Calcule as seguintes 
probabilidades: 
a) Saída do número 3; 
b) Saída de um número par; 
c) Saída de um número ímpar; 
d) Saída de um número menor que 6. 
 
 
6 
Inicialmente encontramos o espaço amostral. Como temos que 
escolher número entre 1 e 7, nosso espaço amostral é igual a: 
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
Agora definimos os eventos e calculamos a probabilidade de 
ocorrência: 
a) Saída do número 3: 
A = {3} 
P(A) = 
Número de algarismos 3 existentes 
= 
1 
Total dos algarismos 7 
 
P(A) = 0,14286 x 100 = 14,28571% 
 
b) Saída de um número par: 
A = {2,4,6} 
P(A) = 
Número de algarismos pares 
 = 
3 
Total dos algarismos 7 
 P(A) = 0,42857 x 100 = 42,85714% 
c) Saída de um número ímpar: 
A = {1, 3, 5, 7} 
P(A) = 
Número de algarismos impares 
 = 
4 
Total dos algarismos 7 
 
P(A) = 0,57143 x 100 = 57,14286% 
d) Número menor que 6: 
A = {1, 2, 3, 4, 5} 
 
P(A) = 
número de algarismos menores que 6 
= 
5 
Total dos algarismos 7 
 
 
 
7 
P(A) = 0,71429 x 100 = 71,42857% 
Exemplo 3: Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas 
amarelas. Tirando-se uma bola, calcule as seguintes probabilidades: 
a) sair bola azul 
b) sair bola vermelha 
c) sair bola amarela 
O primeiro passo é encontrar o espaço amostral, que neste caso é o total 
de bolas que temos. Assim, devemos somar a quantidade debolas azuis, 
vermelhas e amarelas. 
Azuis + Vermelhas + Amarelas = 6+10+4 = 20 
Após encontramos o evento calculamos as probabilidades: 
a) sair bola azul: 
O evento é o total de bolas que temos da cor azul, neste caso são 6 bolas. 
P(A) = 
20
6
 = 0,30 x 100 = 30% 
b) sair bola vermelha: 
P(A) = 
20
10
 = 0,50 x 100 = 50% 
c) sair bola amarela: 
 
P(A) = 
20
4
 = 0,20 x 100 = 20% 
 
Exemplo 4: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma 
peça, calcule: 
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa; 
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa; 
O nosso espaço amostral é o total de peças, ou seja, 12 peças. Agora 
encontramos os eventos e calculamos a probabilidade: 
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa: 
 
 
8 
Sabemos pelo enunciamos que do total de 12 peças temos 4 defeituosas, 
assim: 
P(A) = 
12
4
 = 0,33333 x 100 = 33,333% 
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa: 
Como temos de um total de 12 peças 4 peças defeituosas, conseguimos saber 
quais não são defeituosas, ou seja, 12 – 4 = 8 peças não defeituosas. Logo a 
probabilidade será: 
P(A) = 
12
8
 = 0,66667 x 100 = 66,66667% 
TEMA 2 – EVENTOS EXCLUSIVOS 
Dois eventos são considerados mutuamente exclusivos quando a 
ocorrência de um exclui a realização do outro, isso significa que os eventos não 
podem ocorrer simultaneamente. Quando lançamos uma moeda temos os 
eventos "cara" e "coroa" que são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar 
um deles, o outro não se realiza. O mesmo ocorre no lançamento de um dado, 
se temos os eventos sair número 5 e sair o número 6, quando retiramos o número 
5 automaticamente o número 6 não pode ocorrer. 
Considerando dois eventos exclusivos, a probabilidade de que um ou 
outro se realize é igual a soma das probabilidades individuais, ou seja: 
)()()( BPAPBAP  
Exemplo 1: No lançamento de um dado qual a probabilidade de tirar o número 
3 ou o número 4? 
Ao lançar o dado se sair o número 3 automaticamente o número 4 não vai 
ocorrer, desta forma temos eventos exclusivos. Para calcular a probabilidade 
precisamos encontrar a probabilidade de cada evento ocorrer separadamente: 
Espaço Amostral S = {1,2,3,4,5,6} 
Sair número 3: 
P(A) = %66667,1610016667,0
6
1
 x 
 
 
9 
Sair número 4: 
P(B) = %66667,1610016667,0
6
1
 x 
Agora aplicamos a fórmula: 
)()()( BPAPBAP  
 )( BAP 16,66667% + 16,66667% = 33,33334% 
Exemplo 2: Uma caixa contém 5 bolas verdes, 3 pretas e 4 brancas. 
Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Qual é a probabilidade de sair uma bola 
verde ou uma bola preta? 
Os dois eventos são mutuamente exclusivos, pois não conseguimos 
retirar uma bola que ao mesmo tempo seja verde e preta, ou seja, não temos 
uma bola que tenha duas cores ao mesmo tempo. Calculando as probabilidades 
de cada evento temos: 
Bola Verde: 
P(A) = %66667,4110041667,0
12
5
 x 
Bola Preta: 
P(B) = %2510025,0
12
3
 x 
)()()( BPAPBAP  
 )( BAP 41,66667% + 25% = 66,66667% = 67% 
TEMA 3 – EVENTOS NÃO EXCLUSIVOS 
São eventos que podem ocorrer simultaneamente. Quando A e B são 
eventos não mutuamente exclusivos temos: 
       BAPBPAPBAP  
 
 
10 
em que,  BAP  é a interseção, ou seja, a probabilidade dos eventos ocorreram 
simultaneamente e é calculado por: 
     BPAPBAP . 
Se considerarmos o lançamento de dois dados e os eventos sair número 
2 e número 5 teremos eventos não exclusivos, pois temos dois dados e pode 
sair o número 2 no primeiro dado e número 5 no segundo, ou seja, os dois 
eventos podem ocorrer ao mesmo tempo. O mesmo ocorre com a venda de dois 
produtos, se a venda de um não impede a venda do outro temos eventos não 
exclusivos. 
Exemplo 1: Se dois dados forem lançados, qual a probabilidade de sair o 
nº 5 no 1º dado e o nº 3 no 2º dado? 
Como temos dois dados os eventos são não exclusivos e para calcular a 
probabilidade precisamos encontrar a probabilidade de cada evento 
separadamente: 
 Sair número 5: 
S= {1,2,3,4,5,6} 
A={5} 
P(A) = 1667,0
6
1
 
 Sair número 3: 
B={3} 
P(B) = 1667,0
6
1
 
Agora calculamos a probabilidade simultânea, ou seja,  BAP  : 
     BPAPBAP . 
  0278,01667,0.1667,0 BAP 
 
 
11 
Já temos todos os valores necessários e vamos calcular a probabilidade 
dos eventos ocorrem: 
 
Exemplo2: Em uma disputa, a probabilidade do jogador 1 atingir o alvo é 
de ½ e do jogador 2 atingir 3/5. Qual a probabilidade do alvo ser atingido, se 
ambos atirarem? 
Temos dois eventos o jogador 1 e o jogador 2 e o exercício já fornece a 
probabilidade do alvo ser atingido por cada jogador, assim: 
 Jogador 1: 
P (A) = 5,0
2
1
 
 Jogador 2: 
P (B) = 6,0
5
3
 
Não temos  BAP  , desta forma calculamos pela fórmula: 
     BPAPBAP . 
  3,06,0.5,0  BAP 
Agora calculamos a probabilidade de ocorrência dos eventos: 
       BAPBPAPBAP  
  3,06,05,0  BAP 
  %8010080,0  xBAP 
Exemplo3: Uma pesquisa indicou que as probabilidades de que uma 
pessoa selecionada ao acaso tenha um celular, um notebook ou ambos são 
respectivamente 0,92, 0,53 e 0,48. Qual a probabilidade de selecionar uma 
pessoa e essa possuir um celular, um notebook, ou ambos? 
%56,303056,00278,01667,01667,0)( BAP
 
 
12 
Neste exemplo temos 3 valores: 
 Probabilidade Celular = 0,92 
 Probabilidade Notebook = 0,53 
 Probabilidade Ambos = 0,48 
A probabilidade de ambos significa a probabilidade simultânea, ou seja, 
 BAP  . 
Como o enunciado nos fornece as três informações necessárias para o 
cálculo, aplicamos a fórmula da probabilidade direta: 
       BAPBPAPBAP  
  48,053,092,0  BAP 
  %9710097,0  xBAP 
TEMA 4 – PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Na Probabilidade Condicional temos dois eventos, nos quais calculamos 
a probabilidade do segundo evento ocorrer depois que o primeiro evento tiver 
ocorrido. Dados dois eventos podemos calcular a probabilidade condicionada de 
ocorrer o evento A quando o evento B já tiver ocorrido, ou seja, estamos 
interessados no cálculo da probabilidade do evento A sabendo que o evento B 
já ocorreu. 
Segundo Castanheira (2010), dois eventos, A e B, de um espaço amostral 
S, denota-se por P (A/B) a probabilidade condicionada de ocorrer o evento A 
quando o evento B já tiver ocorrido. P (A/B) é igual à probabilidade do evento A, 
sabendo que B ocorreu, ou probabilidade condicional de A em relação a B e 
calculada pela fórmula: 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

 
ou seja, 
 
 
13 
 
Lembrando que BA é a ocorrência simultânea, ou seja, dois eventos 
ocorrendo ao mesmo tempo. 
Exemplo 1: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos: 
 A={sair o número 2} 
 B={sair um número par} 
Calcule a probabilidade de que ocorra A, condicionada à ocorrência do 
evento B. 
Para resolver o exercício precisamos encontrar os eventos A e B após a 
interseção dos eventos, pois o enunciado solicita a probabilidade de ocorrer A 
condicionada a B. 
A={sair o número 2} = {2} 
B={sair um número par} = {2,4,6} 
 2BA , ou seja, o número que aparece nos dois conjuntos ao mesmo 
tempo. 
Após encontrar os três valores aplicamos a fórmula: 
 
P(A/B) = 0,3333 x 100 = 33,33% 
Exemplo 2: De uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20, 
retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de ocorrer um número par, 
dado que ocorreu um número maior que 10? 
Como no enunciado solicita um número par dado que ocorreu um número 
maior que 10 temos um exemplo de probabilidade condicional, pois algo já 
ocorreu, neste caso o número maior que 10. 
 
 
14 
 BAP 
Para resolver precisamos encontrar os eventos A,B e a interseção, sendo 
que o B é o evento que já ocorreu. 
A = {sair par} = {2,4,6,8,10,12, 14, 16, 18, 20} 
B={sair número maior que 10} = {11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} 
 20,18,16,14,12BA 
 
P(A/B) = 0,5x 100 = 50% 
TEMA 5 – REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 
Como consequência da definição de Probabilidade Condicional, podemos 
calcular a probabilidade da ocorrência conjunta de dois eventos, ou seja, cálculo 
da ocorrência simultânea de dois eventos (). 
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B são iguais 
ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, 
ou seja, 
     BAPBPBAP /. 
[Ao] analisar um experimento e calcular a probabilidade da ocorrência 
simultânea podemos ter experimentos com reposição ou sem 
reposição. Em experimentos em que ocorre reposição, o elemento 
retirado é devolvido à população, podendo ser escolhido novamente, 
ou seja, não há redução de elementos no espaço amostral e/ou evento. 
Se não houver reposição, o elemento, uma vez escolhido, não é 
devolvido à população, não podendo, assim, ser escolhido novamente. 
No caso do experimento ocorrer sem reposição realizamos o desconto 
do item no espaço amostral e em alguns momentos no evento (Aula 5, 
S.d.). 
Exemplo 1: Retiram-se sem reposição duas peças de um lote de 10 
peças, no qual apenas 4 são boas. Qual a probabilidade de que ambas sejam 
defeituosas? 
Como temos 4 peças boas em 10, conseguimos calcular o número de 
peças defeituosas: 10 – 4 = 6 peças defeituosas. 
 
 
15 
A = {1ª Defeituosa} = 
10
6 = 0,6 
Agora vamos calcular a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa, 
lembrando que o experimento ocorre sem reposição. Tínhamos 6 peças 
defeituosas, mas já retiramos uma sem reposição, assim sobraram 5 peças 
defeituosas e no total tínhamos 10 peças, mas retiramos uma sem reposição 
sobrando 9 peças. Com estes dados calculamos a probabilidade de a segunda 
ser defeituosa: 
B = {2ª Defeituosa} = 
9
5= 0,5556 
Com as probabilidades individuais calculadas vamos calcular a 
probabilidade simultânea, ou seja, aplicar a regra da multiplicação: 
     BAPBPBAP /. 
  %34,331003334,05556,0.6,0  xBAP 
Exemplo 2: Considere que temos 9 lâmpadas, 3 defeituosas e 6 boas. Do 
conjunto das nove foram escolhidas 2 lâmpadas ao acaso sucessivamente sem 
reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas. 
A = {1ª Boa} = 
9
6 = 0,6667 
B = {2ª Boa} = 
8
5=0,6250 
“Descontamos uma peça na segunda retirada, pois o enunciado considerar 
o experimento sem reposição” (Aula 5, S.d.). 
     BAPBPBAP /. 
  %67,411004167,06250,0.6667,0  xBAP 
 
 
16 
Exemplo 3: 
Retirar, sem reposição, 3 bolas de uma caixa com 10 bolas brancas e 
5 pretas. Calcular a probabilidade de tirar 1ª branca, 2ª preta e 3ª 
branca. 
Primeiro encontramos a probabilidade da retirada de cada bola 
separada lembrando que o experimento ocorre sem reposição. Após 
calcular a probabilidade de ocorrência simultânea. 
 
1ª branca 
2ª preta 
3ª branca 
TROCANDO IDEIAS 
 Vimos que a probabilidade pode ocorrer em pequenos detalhes do nosso 
dia-a-dia desde que levantamos e verificamos a probabilidade de chover ou sair 
sol até em situações mais complexas. A probabilidade é sempre utilizada para 
tomada de decisão em situações de incerteza. Você se recorda de alguma 
situação em que utilizou os conceitos de probabilidade ou se recorda de alguma 
aplicação que tenha visto dentro de uma empresa? 
NA PRÁTICA 
A Probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em 
situações de incerteza, desta forma podemos citar várias aplicações como a 
utilização da probabilidade na tomada de decisão e em análise de investimento. 
Uma área em que a Teoria das Probabilidades é muito utilizada é a área 
de seguros. Quando fazemos um contrato com uma seguradora, o prêmio a 
pagar à companhia foi determinado em função da maior ou menor probabilidade 
de sinistro com o veículo. Vamos verificar alguns exemplos da aplicação de 
probabilidade: 
6667,0
15
10

3571,0
14
5

6923,0
13
9

%48,161001648,06923,03571,06667,0  xxx
 
 
17 
 ESTADÃO. Saiba como é calculado o valor do seguro de veículos, 8 
abr. 2003. Disponível em: 
<http://economia.estadao.com.br/noticias/geral,saiba-como-e-calculado-
o-valor-do-seguro-de-veiculos,20030408p15592>. Acesso em: 30 set. 
2019. 
 INFOMONEY. Preço do seguro empresarial depende dos riscos e 
probabilidades de lesões, 24 abr. 2014. Disponível em: 
<http://www.infomoney.com.br/minhas-
financas/seguros/noticia/3307636/preco-seguro-empresarial-depende-
dos-riscos-probabilidades-lesoes>. Acesso em: 30 set. 2019. 
Dentro das empresas ou em investimento, a análise de risco pode utilizar 
informações referentes à probabilidade para auxiliar na tomada de decisão. 
Vamos verificar alguns exemplos da probabilidade na análise de risco: 
 QUANTIFICAÇÃO da análise de riscos em investimentos usando 
medidas de dispersão. Abepro, S.d. Disponível em: 
<http://www.abepro.org.br/biblioteca/ENEGEP2001_TR34_0667.pdf>. 
Acesso em: 30 set. 2019. 
 DICIONÁRIO FINANCEIRO. Análise de riscos financeiros. Disponível 
em: <https://www.dicionariofinanceiro.com/analise-de-riscos-
financeiros/>. Acesso em: 30 set. 2019. 
FINALIZANDO 
 Nesta aula apresentamos os principais conceitos da Probabilidade como 
espaço amostral, evento e a fórmula para calcular a probabilidade de um evento 
ocorrer. Vimos também a diferença entre Evento Exclusivo e Não exclusivo, as 
definições e cálculo da Probabilidade Condicional, encerrando com as definições 
e cálculo da Regra da Multiplicação. 
 
 
 
18 
REFERÊNCIAS 
AULA 5: Estatística. Passei Direto, S.d. Disponível em: 
<https://www.passeidireto.com/arquivo/40616712/aula-5>. Acesso em: 7 out. 
2019. 
CASTANHEIRA, N. P. Estatística Aplicada a Todos os Níveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2012. 
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2. edição. São Paulo: Pearson, 
2004. 
MARTINS, G. de A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
MORETTIN, L. G. Estatística Básica: probabilidade e inferência. São Paulo, 
Pearson, 2010.