11 - Regra de tres composta e simples

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REGRA DE TRÊS 
Regra de três composta 
 
 
 
 
Professor Cezar 
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A regra de três será composta quando envolver mais de duas grandezas. 
 
Tomemos o seguinte exemplo: 
 
Em 18 dias, 12 homens trabalhando 8 horas por dia, fabricam 9 máquinas. Em quantos dias 8 homens, 
trabalhando 6 horas por dia fabricariam 15 máquinas? 
 
Solução: regra prática 
 
Utilizaremos uma regra prática para a solução de problemas de regra de três composta, explicando, a 
seguir, passo a passo, os procedimentos adotados. 
 
 
 
 
 
 
 
dias 60 x 
968
1581218
 x 1581218968x 


 
 
Os procedimentos adotados são os seguintes: 
 
1.dispomos as grandezas envolvidas em colunas, de modo que cada coluna contenha as grandezas 
semelhantes (dias, homens, horas por dia e máquinas); 
 
2.ao lado da coluna que contém a incógnita (x), colocamos uma flecha para baixo (por convenção). 
Esta coluna serve com referência (em nosso caso, é a grandeza dias) 
 
3.Verificamos, para cada uma das demais grandezas, se elas são direta ou inversamente proporcionais 
à grandeza de referência. Sendo diretamente proporcional colocamos ao lado da coluna 
correspondente uma flecha no mesmo sentido daquela da coluna da incógnita, ou seja uma flecha 
para baixo. Sendo inversamente proporcional, colocamos uma flecha em sentido contrário ao da 
flecha da coluna de referência, ou seja, uma flecha para cima. 
 Para tanto, desdobramos o problema como se fossem vários problemas de regra de três simples. 
Assim, analisamos cada grandeza em relação à grandeza d referência, supondo constante as demais 
grandezas, como segue: 
 grandeza homens: é inversamente proporcional à grandeza dias, porque MENOS homens 
necessitarão de MAIS dias para fabricar a mesma quantidade de máquinas, trabalhando a mesma 
quantidade de horas por dia. 
 grandeza horas por dia: é inversamente proporcional à grandeza dias porque trabalhando MENOS 
horas por dia, serão necessários MAIS dias para se fabricar as máquinas (para a mesma quantidade 
de homens e a mesma quantidade de máquinas) 
 grandeza máquinas: é diretamente proporcional à grandeza dias porque para se fabricar MAIS 
máquinas, são necessários MAIS dias (para uma mesma quantidade de homens, trabalhando a 
mesma quantidade de horas por dia) 
 
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Regra de três composta 
 
 
 
 
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4.A seguir, reescrevemos as colunas, invertendo a ordem dos elementos das colunas das grandezas 
inversamente proporcionais à grandeza de referência. Na prática, como a grandeza de referência tem 
flecha par baixo, invertemos a ordem dos elementos das colunas cujas flechas apontam para cima 
(aliás, essa é a utilidade das flechas: facilitar a visualização). 
 
5.após ordenar os elementos, escrevemos a equação através do seguinte procedimento: multiplicamos 
os elementos da mesma linha, sendo que nas vizinhanças da coluna da incógnita, a multiplicação se 
faz em cruz. Fazemos esse procedimento para os dois membros da equação. 
 
 Assim: x  8  6  9 = 12  8  15 
 
 (os tacos indicam o caminho da multiplicação) 
 
Observação: 
 
 
 ou 
 
 
Seja qual for a posição da coluna da incógnita, basta seguir a regra prática: Na vizinhança do x, 
multiplica-se em cruz, caso contrário, multiplica-se em linha. 
 
6.Resolvemos a equação e determinamos o valor de x. 
 
Exemplo 2: 
 
A terça parte de uma obra pode ser executada por 36 máquinas, funcionando 8 horas por dia, durante 
30 dias. Em quanto dias se executa a obra inteira, com 15 máquinas, funcionando 12 horas por dia? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
dias 144 x 
1215
3308361
 x 308361x1215
3
1



 
 
Comentários: 
 
1.a grandeza dias, corresponde à incógnita, é tomada como referência (flecha para baixo). 
 
2.Analisamos as demais grandezas, em relação à grandeza de referência, supondo constante as demais 
grandezas, com segue: 
 grandeza obra: é diretamente proporcional à grandeza dias, porque quanto MAIS obras a realizar, 
MAIS dias serão necessários (considerando uma mesma quantidade de máquinas, funcionando a 
mesma quantidade de horas por dia). 
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Regra de três composta 
 
 
 
 
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 grandeza máquinas: é inversamente proporcional à grandeza dias, porque quanto MENOS 
máquinas funcionarem, MAIS dias serão necessários para a obra ficar pronta (considerando 
constantes as demais grandezas) 
 grandeza horas por dia: é inversamente proporcional à grandeza dias, porque quanto MAIS horas 
por dia as máquinas funcionarem, em MENOS dias farão a obra (considerando constantes as 
demais grandezas). 
 
3.as flechas nas colunas máquinas e horas por dia apontam para cima porque essas grandezas são 
inversamente proporcionais à grandeza dias, que é nossa referência (e cuja flecha aponta para baixo). 
 
4.a flecha na coluna obra aponta para baixo porque essa grandeza é diretamente proporcional à 
grandeza de referência dias, cuja flecha também aponta para baixo. 
 
 
 
Exercícios 
 
01. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantos 
dias gastarão 20 homens, para asfaltar 2 km de estrada, trabalhando 12 horas por dia? (Resposta: 24 
dias) 
 
02. Um pecuarista comprou uma quantidade de ração necessária para alimentar 30 bois durante 20 
dias. Se tivesse comprado o dobro de ração, quantos bois poderia alimentar em 25 dias? (Resposta: 
48 bois) 
 
03. Em 12 minutos, uma roda d�água, com 10 metros de diâmetro, dá 300 voltas. Quantas voltas daria 
a roda d�água, em 20 minutos, se seu diâmetro fosse reduzido à metade? (Resposta: 1.000 voltas) 
 
04. Com 20 máquinas de costura uma tecelagem fabrica 2.400 camisetas em 15 dias, trabalhando 8 
horas por dia. Quantas camisetas irá fabricar a tecelagem, em 10 dias, com o mesmo número de 
máquinas e a mesma jornada de trabalho? (Resposta: 1.600 camisetas) 
 
05. As máquinas de uma fábrica funcionam, ininterruptamente, das 10 horas às 18 horas. Sabe-se que 5 
máquinas produzem 2.000 unidades de um produto, após 40 horas de funcionamento. O fabricante 
recebeu uma encomenda de 600 unidades do produto, e dispõe apenas de 2 máquinas para produzi-
los. Sabendo-se que a produção começou às 10 horas do dia 03 de outubro, em que dia e hora ficará 
pronta? (Resposta: 6 de outubro, às 16 horas) 
 
06. Um grupo de n operários, trabalhando h horas por dia, produzem em 2n dias n2h unidades de um 
produto. Quantas unidades do produto produzirão 10 operários, em 5 dias, se trabalharem 6 horas 
por dia? (Resposta: 150 unidades) 
 
07. Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1 h 30 min. Em quanto 
tempo o mesmo automóvel percorrerá 
5
3
 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial? 
(Resposta: 3h 36 min) 
 
 
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