Memorial Pontes

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
1 CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE PILARES, LONGARINAS E 
LAJES DE UMA PONTE COM VÃO CENTRAL DE 30 METRO, 4 APOIOS EM 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fabiano de Carvalho – 16772075 
Jéssica Silveira – 23274417 
Jonatas Marques - 20361408 
 
 
 
BRASILIA - DF, 30 DE OUTUBRO DE 2020 
2 
 
1. CONSIDERAÇÕES GERAIS 
1.1 INFORMAÇÕES FORNECIDAS PREVIAMENTE 
 
Vão central da ponte = 20,00 m 
Vão em cada extremidade da ponte = 4,50 m 
Largura da ponte = 8,60 m 
Quantidade de apoios = 4 
Classe da ponte = 45 
Peso total do veículo tipo = 450 KN 
Quantidade de rodas do veículo tipo = 6 
Peso por roda = 75 KN 
Carga distribuída no passeio = 3 KN/m² 
Carga distribuída na pista de rolamento = 5 KN/m² 
 
1.2 INFORMAÇÕES DO MATERIAL 
 
1.2.1 CONCRETO 
 
γc = 25 KN/m³ 
Concreto das longarinas fck = 30MPa 
Concreto placas de tabuleiro fck = 30 Mpa 
Concreto laje de tabuleiro moldada “in-loco” fck = 30 Mpa 
 
1.2.2 AÇO 
 
fyk = 500 MPa 
γs = 1,15 
fyd = 434,78 MPa 
Es = 210.000 MPa 
Peso = 78,5 kN/m³ 
 
1.3 CORTES 
 
1.3.1 LONGITUDINAL 
 
Características Classes de concreto 
fck 
(MPa) 
γc 
fcd 
(MPa) 
fct,m 
(MPa) 
fctk,inf 
(MPa) 
fctk,sup 
(MPa) 
Eci 
(MPa) 
Ecs 
(MPa) 
Peso 
(kN/m³) 
30 1,4 21,429 2,896 2,028 2,636 36807 32206 25 
3 
 
1.3.2 TRANSVERSAL 
 
1.4 PESO PRÓPRIO 
 
1.4.1 TABULEIRO 
 
Espessura = 0,35 
Comprimento total = 29,00 
Largura = 8,60 
 
P.P. = v . γ = (0,35 m.29,00 m.8,60 m).25 KN/m³ = 2182,25 KN 
 
1.4.2 LONGARINAS 
 
Largura = 0,40 m 
Altura = 2,00 m 
Comprimento = 29,00 m 
 
P.P. = v . γ = (0,40 m.29,00 m.2,00 m).25 KN/m³ = 580,00 KN 
 
1.4.3 TRANSVERSINAS 
 
Largura = 0,40 m 
Altura = 2,00 m 
Comprimento = 5,05 m 
 
P.P. = v . γ = (0,40 m.5,05 m.2,00 m).25 KN/m³ = 101,00 KN 
 
1.4.4 VIGAS DE TRAVAMENTO 
 
Largura = 0,40 m 
Altura = 1,20 m 
Vão entre pilares = 3,20 m 
 
P.P. = v . γ = (0,40 m.1,2 m.3,20 m).25 KN/m³ = 38,40 KN 
 
 
4 
 
1.4.5 GUARDA-CORPO 
 
Área 1 = 0,8 . 0,15 = 0,12 m² 
Área 2 = (
0,3+0,2
2
) . 0,25 = 0,0625 m² 
Área 3 = (
0,2+0,15
2
) . 0,4 = 0,07 m² 
Camada de regularização = 0,185 m² 
Comprimento = 29,00 m 
 
P.P.= v . γ = ((0,12 m² + 0,065 m² + 0,07 m² + 0,187 m²). 29,00 m). 25 KN/m³ = 318,64 KN 
 
1.4.6 PILAR P1 
 
Volume 1 = (
𝜋 .32
4
) . 0,2 = 1,41 m³ 
Volume 2 = (
𝜋 .1,22
4
) . 10,65 = 12,40 m³ 
Volume 3 = (
𝜋 .1,152
3
) . (1,52 + 1,5 . 0,6 + 0,62) = 4,23 m³ 
 
P.P. = v . γ = (1,41 m³ + 12,4 m³ + 4,23 m³) . 25 KN/m³ = 442,14 KN 
 
1.4.7 PILAR P2 
 
Volume 1 = (
𝜋 .1,22
4
) . 7,65 = 8,65 m³ 
Volume 2 = (
𝜋 . 3²
3
) . 0,20 = 1,41 m³ 
Volume 3 = (
𝜋 .1,152
3
) . (1,52 + 1,5 . 0,6 + 0,62) = 4,23 m³ 
 
P.P. = v . γ = (8,65 m³ + 1,41 m³ + 4,23 m³) . 25 KN/m³ = 357,25 KN 
QUADRO RESUMO 
 QUANTIDADE CARGA CARGA TOTAL 
TABULEIRO 1 2.182,25 KN 2.182,25 KN 
LONGARINAS 2 580,00 KN 1.160,00 KN 
TRANSVERSINAS 2 101,00 KN 202,00 KN 
GUARDA-CORPO 2 318,64 KN 637,28 KN 
VIGA DE TRAVAMENTO 2 38,40 KN 76,80 KN 
PILAR P1 2 442,14 KN 884,28 KN 
5 
 
PILAR P2 2 357,00 KN 714,00 KN 
SOMATORIO TOTAL 5.856,61 KN 
SOMATÓRIO DE CARGAS ACIMA DO NEOPRENE 4.181,53 KN 
 
Para se obter o carregamento distribuído em cada longarina divide-se o valor do somatório cargas 
encontradas acima do Neoprene pelo vão total da ponte e pela quantidade de longarina. Essa carga 
será utilizada como peso próprio na montagem do trem-tipo no ftool. 
 
4181,53
20
2
= 72,10 𝐾𝑁 
 
1.5 CARGAS MOVEIS 
 
1.5.1 SOMATÓRIO DE MOMENTOS NA VIGA 2 CONSIDERANDO A FAIXA 
FORA DO TREM-TIPO 
 
 
 
ΣM(v2) = 0 
 
V1 = 
(3 .0,5).(6,15+0,25)+(5 .6,15) .(
6,15
2
)
5,3
= 19,65 KN/m 
 
Carga distribuída aplicada na montagem do trem-tipo na área da ponte onde o veículo não está 
posicionado. 
 
1.5.2 SOMATÓRIO DE MOMENTOS NA VIGA 2 CONSIDERANDO CARGAS 
DISTRIBUIDAS NA FAIXA DO TREM-TIPO 
 
 
 
ΣM(v2) = 0 
6 
 
 
V1 = 
(3,65 . 5) . (
3,65
2
)
5,3
= 6,28 KN/m 
 
Carga distribuída aplicada na montagem do trem-tipo na área da ponte onde o veículo está 
posicionado. 
 
1.5.3 SOMATÓRIO DE MOMENTOS NA VIGA 2 CONSIDERANDO CARGAS 
CONCENTRADAS NA FAIXA DO TREM-TIPO 
 
 
 
ΣM(v2) = 0 
 
 
V1 = 
(75 . 6,15)+ (75 . 4,15)
5,3
= 145,76 KN/m 
 
Carga concentrada aplicada na montagem do trem-tipo na área da ponte onde o veículo está 
posicionado, essas cargas estão espaçadas entre si a 1,5 m. 
 
1.5.4 TREM-TIPO CARREGADO 
 
 
 
Simplificando as cargas para que não seja preciso lidar com cargas distribuídas 
diferentes: 
 
∆P = 
(19,65−6,28) .6
3
= 26,74 KN 
 
Esse valor é subtraido das cargas concentradas aplicadas na montagem do trem-tipo na área da 
ponte onde o veículo está posicionado, resultando em uma carga uniformimente distribuída de 
19,65 KN/m e em três cargas concentradas de 145,76 KN. 
7 
 
 
 
 
 
1.6 DIAGRAMAS FTOOL 
 
Os pontos plotados estão distantes entre si 2 m exceto as extremidade que distam 4,5 m do apoio. 
 
1.6.1 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE PARA CARGA PERMANENTE 
FTOOL 
 
 
 
1.6.2 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE PARA CARGA MOVEL FTOOL 
 
 
 
1.6.3 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR PARA CARGA PERMANENTE 
 
8 
 
 
 
 
 
1.6.4 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR PARA CARGA MOVEL 
 
 
 
1.7 ENVOLTORIA DE ESFORÇOS 
 
Coeficiente de impacto = 1,4 – 0,007 . 29 = 1,60 
 
 
 
1.8 CARGAS HORIZONTAIS 
 
1.8.1 PILAR P1 - RIGIDEZES 
 
Coeficiente lateral do terreno = m = 6.000 KN/m 
 
αi = 0,8 + 0,2 .
Fck
80
= 0,8 + 0,2 .
30
80
= 0,875 MPa 
 
Eci = α𝑒 . 5600 . √𝐹𝑐𝑘 = 1 . 5600 . √30 = 30.672,46 MPa 
9 
 
 
• Módulo de elasticidade secante: 
 
E = αi . Eci = 0,875 . 30672,46 = 26.838,40 MPa = 26.838.400 KPa 
 
• Inércia: 
 
I =
π . r4
4
=
π
4
 . (
d
2
)
4
= π .
d4
64
= 𝟎, 𝟏𝟎 𝐦𝟒 
 
• Coeficiente K: 
 
K =
m . b
E . I
=
6000 . 1,2
26838400 . 0,10
= 𝟐, 𝟔𝟒 𝐱 𝟏𝟎−𝟑 𝐦−𝟏 
 
• Rigidez da parte enterrada: 
 
Re1 =
1 + 0,01407 . K . h5
h
12 . E . I
 . (2 . h + π h0) . (2 . h + 3 . h0)
 
 
Re1 =
1 + 0,01407 . 2,64x10−3. 7,65
7,65
12. 26838405 . 0,10
 . (2 . 7,65 + π . 3). (2 . 7,65 + 3 .3)
 
= 𝟏𝟒. 𝟎𝟔𝟐, 𝟎𝟔 
 
• Rigidez da parte livre 
 
Rl1 =
3EI
h0
3 = 3 . 26838405 .
0,10
33
= 303.535,20 
 
• Rigidez equivalente 
 
1
Req
=
1
Re1
+
1
Rl1
→ Req =
Rl1 . Re1
Re1 + Rl1
=
14062,06 . 303535,20
14062,06 + 303535,20
= 𝟏𝟑. 𝟒𝟑𝟗, 𝟒𝟒 𝐊𝐍/𝐦 
 
 
1.8.2 PILAR P2 - RIGIDEZES 
 
Coeficiente lateral do terreno = m = 6.000 KN/m 
 
αi = 0,8 + 0,2 .
Fck
80
= 0,8 + 0,2 .
30
80
= 0,875 MPa 
 
Eci = α𝑒 . 5600 . √𝐹𝑐𝑘 = 1 . 5600 . √30 = 30.672,46 MPa 
 
• Módulo de elasticidade secante: 
 
E = αi . Eci = 0,875 . 30672,46 = 26.838,40 MPa = 26.838.400 Kpa 
 
 
 
10 
 
• Inércia: 
 
I =
π . r4
4
=
π
4
 . (
d
2
)
4
= π .
d4
64
= 𝟎, 𝟏𝟎 𝐦𝟒 
 
• Coeficiente K: 
 
K =
m . b
E . I
=
6000 . 1,2
26838400 . 0,10
= 𝟐, 𝟔𝟒 𝐱 𝟏𝟎−𝟑 𝐦−𝟏 
 
• Rigidez da parte enterrada: 
 
Re1 =
1 + 0,01407 . K . h5
h
12 . E . I
 . (2 . h + π h0) . (2 . h + 3 . h0)
 
 
Re1 =
1 + 0,01407 . 2,64x10−3. 4,65
7,65
12. 26838405 . 0,10
 . (2 . 7,65 + π . 3). (2 . 7,65 + 3 .3)
 
= 𝟐𝟐. 𝟐𝟑𝟐, 𝟑𝟑 
 
• Rigidez da parte livre 
 
Rl1 =
3EI
h0
3 = 3 . 26838405 .
0,10
33
= 303.535,20 
 
• Rigidez equivalente 
 
1
Req
=
1
Re1
+
1
Rl1
→ Req =
Rl1 . Re1
Re1 + Rl1
=
22232,33 . 303535,20
22232,33 + 303535,20
= 𝟐𝟎. 𝟕𝟏𝟓, 𝟎𝟔 𝐊𝐍/𝐦 
 
1.8.3 RIGIDEZ DO NEOPRENE 
 
a = 0,80 m 
b = 0,30 m 
h = 0,012 m 
Z = 3 
G = 1.000 KN/m² 
 
An = a . b = 0,80 . 0,30 = 0,24 m² 
 
Rn =
G . An
Z . h
=
1000 . 0,24
3 . 0,012
= 𝟔. 𝟔𝟔𝟕, 𝟔𝟕 𝐊𝐍/𝐦 
 
1.8.4 RIGIDEZ FINAL 
 
É o resultado da combinação entre a rigidez do pilar e a rigidez do neoprene 
 
• P1 
 
RP1f =
RP1 . Rn
RP1 + Rn
=
13439,44 . 6666,67
13439,44 + 6666,67
= 𝟒𝟒𝟓𝟔, 𝟏𝟕 𝐊𝐍/𝐦 
11 
 
 
• P2 
 
RP2f =
RP2 . Rn
RP2 + Rn=
20715,06 . 6666,67
20715,06 + 6666,67
= 𝟓. 𝟎𝟒𝟑, 𝟓𝟐 𝐊𝐍/𝐦 
 
1.8.5 CARGA DE FENAGEM E ACELERAÇÃO 
 
Para a carga a ser distribuída nos pilares adota-se o maior valor entre 5% . ρ . Atab e 30% . Peso 
do veiculo, no primeiro caso obtemos um valor de 35 KN, já na segunada equação se tem 135 
KN, portanto optou-se pela força de 135 KN. Essa força einda se divide pela quantidade de 
longarinas que resulta numa força de 67,50 KN descarregada em cada longarina, que por sua vez 
descarrega nos pilares levando em consideração a rigidez de cada um. 
 
PILAR R R/ΣR
P1 4.456,17 0,47
P2 5.043,52 0,53
DISTRIBUIÇÃO DA CARGA DE ACELERAÇÃO E 
FRENAGEM NOS PILARES
F = q . (R/ΣR)
31,66 KN
35,84 KN 
 
1.8.6 CARGA DE FENAGEM E ACELERAÇÃO 
 
• Centro de gravidade das rigidezes tendo P2 como referencia 
 
Xg =
RP2 . 20
RP1 + RP2
=
5043,52 . 20
4456,17 + 5043,52
= 10,62 m 
 
Variação de temperatura do concreto (∆t) = 15º C 
 
Coeficiente de dilatação temica do concreto = 10-5 ºC-1 
 
• Força em cada pilar 
 
FP1 = RP1 . 10
−5 . ∆t . Xg = 4456,17 . 10
−5 . 15º . 10,62 = 𝟕, 𝟏𝟎 𝐊𝐍 
 
FP2 = RP2 . 10
−5 . ∆t . (20 − Xg) = 5043,52 . 10
−5 . 15º . (20 − 10,62) = 𝟕, 𝟏𝟎 𝐊𝐍 
 
PILAR ẋ F
P1 10,62 7,10 KN
P2 9,38 7,10 KN
r
4.456,17 
DISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS DE TEMPERATURA 
NOS PILARES
5.043,52 
 
1.8.7 CARGA DE VENTO 
 
Hcarro = 2 m 
Hlongarina = 2 m 
Htabuleiro = 0,35 m 
Hguarda-corpo = 0,80 m 
 
12 
 
Para o calculo da força proveniente do vento considera-se duas situações, em uma a ponte esta 
carregada e uma carga distribuída de 1 KN/m² e em outra a ponte está descarregada e é assumida 
uma carga distribuída de 1,5 KN/m², dentre as duas situações adota-se a que gerar maior força. 
 
• Ponte carregada 
 
Fv = (Hcarro + Hlongarina + Htabuleiro) . 29 . 1 = (2 + 2 + 0,35) . 29 . 1 = 𝟏𝟐𝟔, 𝟏𝟓 𝐊𝐍 
 
• Ponte descarregada 
 
Fv = (Hguarda−corpo + Hlongarina + Htabuleiro) . 29 . 1,5 
Fv = (0,80 + 2 + 0,35) . 29 . 1,5 = 𝟏𝟑𝟕, 𝟎𝟐 𝐊𝐍 
 
Adotou-se então Fv = 137,02, para conseguir o valor dessa força que atua em cada pótico basta 
dividir a força encontrada pela quantidade de pórtico. 
 
Fv =
137,02
2
= 𝟔𝟖, 𝟓𝟏 𝐊𝐍 𝐞𝐦 𝐜𝐚𝐝𝐚 𝐩ó𝐫𝐭𝐢𝐜𝐨 
 
PILARES CARGAS ORIGEM SENTIDO
P1 38,76 KN
ACELERAÇÃO E FENAGEM/EFEITO DA 
TEMPERATURA
LONGITUDINAL
P1 68,51 KN EFEITO DO VENTO TRANSVERSAL
P2 42,93 KN
ACELERAÇÃO E FENAGEM/EFEITO DA 
TEMPERATURA
LONGITUDINAL
P2 68,51 KN EFEITO DO VENTO TRANSVERSAL
QUADRO RESUMO
 
 
1.9 DIMENDIONAMENTO DOS PILARES 
 
• Pórtico P1 
 
m = 6.000 KN/m4 E = 26.838.405,32 KPa 
b = 4,20 m I = 0,10 m4 
h = 7,65 m h0 = 3,00 m 
H = 38,76 KN HT = 68,51 KN 
 
 - ESFORÇOS LONGITUDINAIS 
 
Ac =
π d2
4
=
π 1,22
4
= 1,13 m2 
 
K =
m b
E I
=
6000 . 1,2
26838405,32 . 0,10
= 2,64x10−3 
 
β =
6 . (1 + 0,01407 . k . h5)
k . (2 . h + 3 . h0) . h4
=
6 . (1 + 0,01407 . 2,64x10−3 . 7,655)
2,64x10−3 . (2 . 7,65 + 3 . 3). 7,654
= 5,39x10−2 
 
A partir da observação da tabela ξ, ẞ da bibliografia base obtemos um valor de ξ = 0,56 
 
13 
 
Xm = ξ . β = 0,56 .5,39x10
−2 = 4,28 m 
 
Mmáx = −H(h0 + (h − Xm) = −38,76 (3 + (7,65 − 4,28)) = −𝟐𝟒𝟔, 𝟕𝟓𝐊𝐍𝐦 
 
Me = (
5,559268x10−2 . k. (2. h + 3. h0). h
5
6. (1 + 0,01407. k. h5)
− (h + h0)) . H 
 
Me = (
5,559268x10−2. 2,64x10−3. (2.7,65 + 3.3 )7,655
6. (1 + 0,01407.2,65x10−3. 7,655 )
− (7,65 + 3)) 38,76 = −𝟏𝟎𝟓, 𝟑𝟏 𝐊𝐍𝐦 
 
M0 = h0 . H = 3 . 38,76 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟐𝟖 𝐊𝐍𝐦 
 
 - ESFORÇOS TRANSVERSAIS 
 
MT =
1
2
 𝐻𝑇 (
ℎ0 + ℎ
2
) =
1
2
 . 68,51 . (
3 + 7,65
2
) = 𝟏𝟖𝟐, 𝟒𝟏 𝐊𝐍𝐦 
 
MS = MT (
h − h0
h + h0
) = 182,41 . (
7,65 − 3
7,65 + 3
) = 𝟕𝟗, 𝟔𝟓 𝐊𝐍𝐦 
 
M0 = MS 
 
h′0 =
−M 0
(
HT
2 )
=
−79,65
(
68,51
2 )
= −2,33 m 
 
β =
6 . (1 + 0,01407 . k . h5)
k . (2 . h + 3 . h′0) . h4
=
6 . (1 + 0,01407 . 2,64x10−3 . 7,655)
2,64x10−3 . (2 . 7,65 + 3 . (−2,33)). 7,654
= 1,57x10−1 
 
A partir da observação da tabela ξ, ẞ da bibliografia base obtemos um valor de ξ = 0 
 
Me = (
5,559268x10−2 . k. (2. h + 3. h′0). h
5
6. (1 + 0,01407. k. h5)
− (h + h′0)) . H 
 
Me = (
5,559268x10−2. 2,64x10−3. (2.7,65 + 3. (−2,33) )7,655
6. (1 + 0,01407.2,65x10−3. 7,655 )
− (7,65 − 2,32)) 38,76 
 
M𝑒 = −𝟏𝟕𝟖, 𝟔𝟐 𝐊𝐍𝐦 
 
ξ = 0, logo Me = Mmáx 
 
 - ESFORÇOS VERTICAIS 
 
FNmáx = VP1D
+ − VP1E
+ = 1579,77 − (−1037,22) = 𝟐. 𝟔𝟏𝟔, 𝟗𝟗 𝐊𝐍 
 
FNmin = VP1D
− − VP1E
− = 619,38 − (−1037,22) = 𝟏. 𝟔𝟓𝟔, 𝟔𝟎 𝐊𝐍 
 
V. T. =
MT
5,30
=
182,41
5,30
= 𝟑𝟒, 𝟒𝟐 𝐊𝐍 
14 
 
 
P. P. TUBULÃO = 𝟒𝟒𝟐, 𝟏𝟒 𝐊𝐍 
 
Nmáx = FNmáx + V. T. +P. P. TUBULÃO = 2616,99 + 34,42 + 442,14 = 𝟑. 𝟎𝟗𝟑, 𝟓𝟒 𝐊𝐍 
 
Nmin = FNmin + V. T. +P. P. TUBULÃO = 1656,60 + 34,42 + 442,14 = 𝟐. 𝟏𝟑𝟑, 𝟏𝟔 𝐊𝐍 
 
 - ÁREA DE AÇO 
 
K = 2 
 
Mr = 𝟑𝟎𝟒, 𝟔𝟐 𝐊𝐍𝐦 
 
Me = Nsd . (0,015 + 0,03 . b) = 𝟐𝟐𝟎, 𝟖𝟖 𝐊𝐍𝐦 
 
leb = √h0 + 1,8 . (
EI
m
)
5
= √3 + 1,8 . (
26838405 . 0,10
6000
)
5
= 𝟑, 𝟎𝟎 𝐦 
 
lef = leb . K = 3 . 2 = 𝟔, 𝟎𝟎 𝐦 
 
ν =
Nsd
Ac . fcd
=
1,4 .2805,71
1,13 .(
30000
1,4
)
= 0,16 
 
1
𝑟
=
0,005
(𝜈 + 0,5). 𝑏
=
0,005
(0,16 + 0,5). 1,2
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟐 
 
M2d = Nsd .
(lef )
2
10
 .
1
r
 = 𝟔𝟓, 𝟎𝟏 𝐊𝐍𝐦 
 
Mdtot = Mr + Me + M2d = 𝟓𝟗𝟎, 𝟓𝟏 𝐊𝐍𝐦 
 
𝜇 =
𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡
𝐴𝑐 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑑
= 0,01 
 
Observando o Ábaco de flexão composta normal da bibliografia base temos uma taxa de armadura 
ρ de 0,4% 
 
As = ρ . Ac =
0,4
100
 . 11300 = 𝟒𝟓, 𝟐𝟎 𝐜𝐦² 
 
Adotando a barra de 25 mm que tem 4,909 cm² de área se obtem a quantidade de barras dividindo 
a área de aço encontrada a cima pela área da seção transversal da barra de 25 mm. 
 
Qntϕ =
45,2
4,909
= 9,20 adota − se 𝟏𝟎𝛟𝟐𝟓𝐦𝐦 
 
Para estribos utiliza-se = 𝛟𝟓𝐜/𝟐𝟎 
 
 
 
15 
 
• Pórtico P2 
 
m = 6.000 KN/m4 E = 26.838.405,32 KPa 
b = 4,20 m I = 0,10 m4 
h = 4,65 m h0 = 3,00 m 
H = 34,54 KN HT = 92,14 KN 
 
 - ESFORÇOS LONGITUDINAIS 
 
Ac =
π d2
4
=
π 1,22
4
= 1,13 m2 
 
K =
m b
E I
=
6000 . 1,2
26838405,32 . 0,10
= 2,64x10−3 
 
β =
6 . (1 + 0,01407 . k . h5)
k . (2 . h + 3 . h0) . h4
=
6 . (1 + 0,01407 . 2,64x10−3 . 4,655)
2,64x10−3 . (2 . 7,65 + 3 . 3). 4,654
= 2,88x10−1 
 
A partir da observação da tabela ξ, ẞ da bibliografia base obtemos um valor de ξ = 0 
 
Xm = ξ . β = 0 m 
 
Mmáx = M0 , pois ξ = 0 
 
Me = (
5,559268x10−2 . k. (2. h + 3. h0). h
5
6. (1 + 0,01407. k. h5)
− (h + h0)) . H 
 
Me = (
5,559268x10−2. 2,64x10−3. (2.7,65 + 3.3 )4,655
6. (1 + 0,01407.2,65x10−3. 4,655 )
− (4,65 + 3)) 42,93 = −𝟐𝟖𝟗, 𝟔𝟏 𝐊𝐍𝐦 
 
M0 = h0 . H = 3 . 42,93 = 𝟏𝟐𝟖, 𝟖𝟎 𝐊𝐍𝐦 
 
 - ESFORÇOS TRANSVERSAIS 
 
MT =
1
2
 𝐻𝑇 (
ℎ0 + ℎ
2
) =
1
2
 . 68,51 . (
3 + 7,65
2
) = 𝟏𝟖𝟐, 𝟒𝟏 𝐊𝐍𝐦 
 
MS = MT (
h − h0
h + h0
) = 182,41 . (
7,65 − 3
7,65 + 3
) = 𝟕𝟗, 𝟔𝟓 𝐊𝐍𝐦 
 
M0 = MS 
 
h′0 =
−M 0
(
HT
2 )
=
−79,65
(
68,51
2 )
= −2,33 m 
 
 
β =
6 . (1 + 0,01407 . k . h5)
k . (2 . h + 3 . h0) . h4
=
6 . (1 + 0,01407 . 2,64x10−3 . 4,655)
2,64x10−3 . (2 . 4,65 + 3 . (−2,33)). 4,654
= 7,71x10−1 
 
16 
 
A partir da observação da tabela ξ, ẞ da bibliografia base obtemos um valor de ξ = 0 
 
Me = (
5,559268x10−2 . k. (2. h + 3. h′0). h
5
6. (1 + 0,01407. k. h5)
− (h + h′0)) . H 
 
Me = (
5,559268x10−2. 2,64x10−3. (2.7,65 + 3. (−2,32) )7,655
6. (1 + 0,01407.2,65x10−3. 7,655 )
− (7,65 − 2,32)) 42,93 
 
M𝑒 = −𝟐𝟑𝟖, 𝟗𝟓 𝐊𝐍𝐦 
 
Como o ξ é igual a 0 o Me = Mmáx 
 
 - ESFORÇOS VERTICAIS 
 
FNmáx = VP1D
+ − VP1E
+ = 𝟐. 𝟔𝟏𝟔, 𝟗𝟗 𝐊𝐍 
 
FNmin = VP1D
− − VP1E
− = 𝟏. 𝟔𝟓𝟔, 𝟔 𝐊𝐍 
 
V. T. =
MT
5,30
= 𝟐𝟒, 𝟕𝟐 𝐊𝐍 
 
P. P. TUBULÃO = 𝟑𝟓𝟕, 𝟎𝟎 𝐊𝐍 
 
Nmáx = FNmáx + V. T. +P. P. TUBULÃO = 𝟐. 𝟗𝟗𝟖, 𝟕𝟏 𝐊𝐍 
 
Nmin = FNmin + V. T. +P. P. TUBULÃO = 𝟐. 𝟎𝟑𝟖, 𝟑𝟐 𝐊𝐍 
 
 - ÁREA DE AÇO 
 
K = 2 
 
Mr = √(129,8)2 + (−238,95)2 = 𝟐𝟕𝟏, 𝟒𝟓 𝐊𝐍𝐦 
 
Me = Nsd . (0,015 + 0,03 . b) = 𝟐𝟏𝟒, 𝟏𝟏 𝐊𝐍𝐦 
 
leb = √h0 + 1,8. (
EI
m
)
5
= √3 + 1,8 . (
26838405 . 0,10
6000
)
5
= 𝟑, 𝟎𝟎 𝐦 
 
lef = leb . K = 3 . 2 = 𝟔, 𝟎𝟎 𝐦 
 
ν =
Nsd
Ac . fcd
= 0,17 
 
1
𝑟
=
0,005
(𝜈 + 0,5). 𝑏
=
0,005
(0,16 + 0,5). 1,2
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟐 
 
M2d = Nsd .
(lef )
2
10
 .
1
r
 = 𝟔𝟑, 𝟐𝟐 𝐊𝐍𝐦 
 
17 
 
Mdtot = Mr + Me + M2d = 𝟓𝟒𝟖, 𝟕𝟖 𝐊𝐍𝐦 
 
𝜇 =
𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡
𝐴𝑐 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑑
=
548,22
1,13 . 1,2 . (
30000
1,4 )
= 0,01 
 
Observando o Ábaco de flexão composta normal da bibliografia base temos uma taxa de armadura 
ρ de 0,4% 
 
As = ρ . Ac =
0,4
100
 . 11300 = 𝟒𝟓, 𝟐𝟎 𝐜𝐦² 
 
Adotando a barra de 25 mm que tem 4,909 cm² de área se obtem a quantidade de barras dividindo 
a área de aço encontrada a cima pela área da seção transversal da barra de 25 mm. 
 
Qntϕ =
45,2
4,909
= 9,20 adota − se 𝟏𝟎𝛟𝟐𝟓𝐦𝐦 
 
Para estribos utiliza-se = 𝛟𝟓𝐜/𝟐𝟎