GRA1767 GEOMETRIA_ DESENHO E FORMA GR1312211 - unidade 4

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GEOMETRIA: DESENHO E FORMAGEOMETRIA: DESENHO E FORMA
GEOMETRIA ESPACIALGEOMETRIA ESPACIAL
Autor: Dra. Roberta Paye Bara
Revisor : Manuela Thomas
I N I C I A R
introdução
Introdução
Nesta unidade, serão abordados os sólidos geométricos como esfera, prisma,
cone e poliedros, contemplando os sólidos obtidos por revolução. Também
serão expostos alguns sólidos não desenvolvíveis, sua de�nição e exemplos.
Sendo assim, para cada tema será contemplada sua comparação com
elementos arquitetônicos, �nalizando esta unidade com a de�nição e
exemplo de uma estrutura helicoidal e sua relação com o projeto de escadas
circulares.
Portanto, todos os sólidos expostos nesta unidade podem ser encontrados no
cotidiano, seja em objetos com design ou em estruturas arquitetônicas. O
estudo desses sólidos permite aprofundar sua visualização espacial, bem
como uma compreensão mais aprofundada da geometria espacial, suas
formas e desenhos.
Poliedros são sólidos geométricos que possuem vértices, arestas e faces, e a
sua nomenclatura dos poliedros é de�nida pelo número de faces. Os
poliedros regulares possuem todas as faces iguais (mesma forma e mesma
medida) (MACHADO, 1986).
PoliedrosPoliedros
Figura 4.1 - Poliedros 
Fonte: OpenClipart-Vectors / Pixabay.
Dentro dos poliedros, há um subgrupo chamado de poliedros de Platão, em
que as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os vértices
possuem o mesmo número de arestas e vale a relação de Euler (número de
vértices - número de arestas + número de faces = 2). São poliedros de Platão:
tetraedro, hexaedro, octaedro, icosaedro e dodecaedro.
Considerando o contexto apresentado, vejamos a Tabela 4.1 a seguir, com
mais detalhes sobre o assunto.
Tabela 4.1 - Nomenclatura dos poliedros 
Fonte: Elaborada pela autora.
Os poliedros estrelados são sólidos geométricos apresentados como se
construíssemos pirâmides com base em cada uma das faces dos poliedros.
Observe a Figura 4.2.
Prismas
São sólidos geométricos com faces laterais, duas bases (superior e inferior),
em que as bases são congruentes e paralelas. As bases do prisma sempre
possuem uma forma poligonal.
O software livre GeoGebra possui várias ferramentas úteis no estudo de
geometria plana e tridimensional. No GeoGebra, após selecionar a opção de
janela 3D, aparecerão vários botões e recursos tridimensionais na barra de
ferramentas, como o de construir um prisma. Para isso, é necessário primeiro
construir uma base com a função “Polígono” ou “Segmento de Reta”; em
Figura 4.2 - Dodecaedro estrelado 
Fonte: J.Joel Leonardo / Wikimedia Commons.
seguida, selecione a opção “Prisma”, selecione a base e determine a altura.
Como na �gura a seguir:
Pirâmides
As Pirâmides são sólidos geométricos que possuem uma base poligonal, em
que a partir de cada lado da base da pirâmide surgem triângulos. Esses
triângulos possuem base coincidente com a aresta da base da pirâmide, e os
vértices opostos à base do triângulo se encontram em um mesmo ponto, que
irá determinar a altura da pirâmide, como na �gura a seguir:
Figura 4.4 - Prisma no GeoGebra 
Fonte: Elaborada pela autora.
No GeoGebra, é possível deixar as janelas 2D e 3D abertas ao mesmo tempo,
de forma a construir um polígono regular na janela 2D e usá-lo como base
para construir uma pirâmide (no botão “Pirâmide”, selecione o polígono como
base, clique no centro do polígono para de�nir o ponto do vértice, depois, em
con�gurações, altere o valor da coordenada z para um valor diferente de
zero).
Obtendo Verdadeira Grandeza
Quando há a representação de uma pirâmide ou de um prisma na épura, cuja
base não está paralela aos planos de projeção, é necessário realizar mudança
de plano de projeção com a �nalidade de obter a verdadeira grandeza dos
sólidos. É um processo muito comum quando a �nalidade é obter a
plani�cação do sólido representado na épura. O método de mudança de
plano rotaciona o(s) plano(s) de projeção para obter a verdadeira grandeza de
retas e planos.
Plani�icação
Já a Plani�cação é a ação de desmembrar as faces de sólidos geométricos de
forma que todas as faces �quem em um mesmo plano. Conforme
apresentado na Figura 4.6, o sólido plani�cado pode ser obtido ao dobrar e
unir a estrutura plani�cada, de forma a retornar a estrutura espacial de
origem.
Cada sólido terá sua plani�cação, porém, nem todos os sólidos poderão ser
plani�cados. Dentre todos os sólidos que podem ser plani�cados, os prismas
e as pirâmides possuem estrutura geral para plani�cação em função do
polígono da base.
Na plani�cação de superfícies prismáticas, teremos a representação das duas
bases e das faces laterais, que possuem a forma de retângulos. Contudo, o
número de faces laterais é igual ao número de lados do polígono da base.
Na plani�cação de superfícies piramidais, haverá a representação da base
poligonal e de triângulos, que é igual ao número de lados do polígono da
base.
Construindo Volumes poliédricos
No GeoGebra, é possível construir prismas e pirâmides (entre outros sólidos
geométricos), por meio das funções tridimensionais.
Utilizando-se régua, compasso e papel, é possível construir a plani�cação dos
sólidos para, depois, construir o sólido, bem como construir sólidos
geométricos com a técnica de origami.
Volumes Poliédricos na Arquitetura
Há diversas estruturas arquitetônicas históricas com estrutura poliédrica,
como as pirâmides do Egito ou as construções Maias. Na atualidade, há
diversas construções em que é possível encontrar a estrutura prismática ou
piramidal, como o obelisco de Buenos Aires, na Argentina, que possui uma
estrutura piramidal.
O obelisco de Buenos Aires possui duas estruturas piramidais, sendo a
pirâmide de base quadrada no topo e um tronco de pirâmide como base.
Para olhares desatentos, a base seria um prisma, mas observe que as
dimensões da seção transversal vão reduzindo com o aumento da altura –
por isso, é um tronco de pirâmide.
praticar
Vamos Praticar
No planejamento da construção de modelos de poliedros, prismas ou pirâmides,
uma das formas é utilizar a plani�cação para construir um modelo em escala
menor. Os poliedros, os prismas e as pirâmides possuem estruturas próprias
conforme suas características e de�nições. Nesse contexto, assinale a alternativa
que apresenta como é a descrição da plani�cação de uma pirâmide.
a) Duas bases poligonais iguais e triângulos na mesma quantidade de lados do polígono da
base.
b) Uma circunferência e um setor circular.
Figura 4.7 - Obelisco de Buenos Aires 
Fonte: Sombra Inquieta / Wikimedia Commons.
c) Duas bases poligonais iguais e retângulos na mesma quantidade de lados do polígono da
base.
d) Uma base poligonal e triângulos na quantidade menor de lados do polígono da base.
e) Uma base poligonal e triângulos na mesma quantidade de lados do polígono da base.
As superfícies curvas de revolução são resultantes da rotação de uma �gura
curva em relação a um eixo �xo a geratriz, como cilindro, esfera, cone, toro e
hiperboloide. O cone sólido é obtido pela revolução de um triângulo
retângulo, enquanto que o cilindro é resultante da revolução de um
retângulo, e a esfera vem da revolução de um semicírculo. 
A revolução pode ser realizada com linhas, como a revolução de uma reta
concorrente ao eixo geratriz, a revolução de uma reta paralela à geratriz, a
Superfícies Curvas de RevoluçãoSuperfícies Curvas de Revolução
Figura 4.8 - Cone de duas folhas, cilindro e esfera 
Fonte: Elaborada pela autora.
revolução de uma circunferência com centro na geratriz ou, ainda, a
circunferência com centro fora da geratriz ou a revolução de uma hipérbole.
Considerando o exposto, quais superfícies serão geradas com essas
revoluções? Vejamos a Figura 4.9, que apresenta alguns exemplos de curvas
de revolução. 
Sendo assim, essas curvas darão origem a superfícies curvas de revolução,
denominadas cone de duas folhas, cilindro, esfera, toro e hiperboloide. 
Cilindro
O cilindro obtido pela revolução de uma reta ou um segmento de reta
paralelo à geratriz não é sólido e não tem superfície nas bases comono
cilindro obtido pela revolução de um retângulo. Vejamos, na Figura 4.10, a
curva de revolução que descreve o cilindro. 
Plani�icação do Cilindro
No cilindro obtido pela revolução do retângulo, a plani�cação será igual a
duas bases mais o retângulo (correspondente à lateral do cilindro), com
dimensões iguais à altura do cilindro e ao comprimento da circunferência,
cujo raio é a base menor do retângulo de revolução. 
Figura 4.10 - Curvas de revolução: cilindro 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 4.11 - Plani�cação: cilindro 
Fonte: Elaborada pela autora.
A plani�cação do cilindro obtido pela revolução do segmento de reta paralelo
ao eixo da geratriz terá sua plani�cação correspondente a um retângulo com
dimensões iguais à altura do segmento de reta e ao comprimento da
circunferência, cujo raio é a distância do segmento de reta até a geratriz.
Cone
A revolução de um segmento de reta concorrente à geratriz resulta em um
cone de duas folhas; nesse caso, não há preenchimento das bases dos cones,
conforme apresentado na Figura 4.12. 
Plani�icação do Cone
A plani�cação do cone de duas folhas pode ser analisada pela plani�cação de
uma das folhas do cone, pois é só repetir o processo para obter a plani�cação
da outra folha.
Considerando o cone resultante da revolução de um triângulo, sua
plani�cação será igual ao círculo da base mais o setor circular cujo
comprimento será igual ao comprimento da circunferência da base, conforme
apresentado na Figura 4.13, que representa a plani�cação do cone. 
Já o cone resultante da revolução de um segmento de reta não terá a base, só
o setor circular. No caso do cone de duas folhas, serão dois setores circulares
cujo comprimento será igual ao comprimento da circunferência da base.
Esfera
A esfera é obtida pela revolução da circunferência com centro no eixo de
rotação. Além disso, também é possível obter uma esfera sólida por meio da
revolução de um círculo com centro no eixo de rotação (BARISON, 2019). 
Toro
Figura 4.13 - Plani�cação: cone 
Fonte: Elaborada pela autora.
O toro é uma superfície sólida obtida pela revolução de uma circunferência
externa ao eixo de rotação, semelhante ao formato de um donuts (item de
confeitaria em formato de rosquinha com confeitos), ou como um bambolê
ou como a câmara de pneu. 
Hiperboloide
O hiperboloide (também conhecido como hiperboloide de uma folha) é obtido
pela rotação da hipérbole que não tem ponto em comum com o eixo de
rotação, visto que, se mudar a orientação do eixo de rotação em relação à
hipérbole, será formada outra superfície. 
Quando o eixo de revolução passa pelo vértice da hipérbole, forma a
superfície conhecida como hiperboloide de duas folhas. 
Construindo Sólidos de Revolução
Antes da existência de softwares de geometria, era necessário recorrer a �os e
papéis para explorar as possibilidades de superfícies de revolução. Por
exemplo, desenhar no papel uma imagem e colando um �o (de barbante) no
local onde deseja simular a posição do eixo de revolução. Dessa forma,
bastava girar o barbante segurando cada ponta em uma das mãos. 
Figura 4.17 - Curvas de revolução: paraboloide hiperbólico 
Fonte: RokerHRO / Wikimedia Commons.
Sólidos de Revolução e Arquitetura
É possível encontrar construções arquitetônicas e objetos com estrutura
similar à forma de superfícies de revolução, como o Parque Futuroscope, na
França, e a Catedral de Brasília, projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer. 
Existem outros exemplos de construções arquitetônicas inspiradas em sólidos
de revolução por todo o mundo. Quando possível pesquise arquitetos que
utilizam esse tipo de inspiração arquitetônica, suas respectivas obras e analise
as construções identi�cando o sólido de revolução que inspirou. 
praticar
Vamos Praticar
As superfícies curvas de revolução são resultantes da rotação de uma �gura curva
em relação a um eixo �xo. O cone sólido é obtido pela revolução de um triângulo
retângulo, e a esfera sólida vem da revolução de um semicírculo. Nesse contexto,
assinale a alternativa que apresenta a superfície obtida da revolução de um
segmento de reta concorrente ao eixo de rotação.
a) Cone de duas folhas.
b) Esfera.
c) Cilindro.
d) Toro.
Figura 4.19 - Catedral de Brasília 
Fonte: Acarlos01.sc / Wikimedia Commons.
e) Hiperboloide.
Às superfícies em que não é possível plani�car dá-se o nome de superfícies
regradas não desenvolvíveis. Segundo Barison (2019), essas superfícies
possuem propriedades que as de�nem. São elas:
não podem ser representadas sobre um plano;
duas retas da superfície in�nitamente próximas se cruzam;
o plano tangente à superfície em um ponto contém uma reta dessa
superfície que passa por esse ponto, mas não é tangente à superfície
em outros pontos dessa reta.
Observe a estrutura do Phoenix Media Center, em Beijing, na China. Imagine
um ponto na estrutura e tente visualizar uma tangente nesse ponto. Esse
plano tangente não será tangente em outros pontos do Phoenix Center, e isso
se deve à sua estrutura singular. Essa corresponde à terceira propriedade que
de�ne as superfícies regradas não desenvolvíveis. 
Superfícies Regradas nãoSuperfícies Regradas não
DesenvolvíveisDesenvolvíveis
Há diversas superfícies regradas não desenvolvíveis, como o hiperboloide
(estudado anteriormente nesta unidade), cilindroide, conoide e paraboloide
hiperbólico.
Cilindroide
O cilindroide é uma superfície regrada não desenvolvível em que uma reta
(geratriz) se desloca por duas curvas: uma semicircunferência e uma
semielipse. 
Conoide
Figura 4.21 - Cilindroide 
Fonte: Elaborada pela autora.
O conoide é uma superfície gerada por uma reta (geratriz) que se desloca,
apoiando-se em duas diretrizes: uma reta e uma curva que não pertencem ao
mesmo plano. 
Paraboloide Hiperbólico
O paraboloide hiperbólico, também conhecido como ponto de sela, aparece
em cálculo de duas variáveis quando se busca pontos de máximo e de
mínimo, porém, o ponto de sela não é nem máximo nem mínimo, por isso
existe um método em cálculo para identi�car esses pontos de sela. 
Existe um tipo de petisco importado, à base de batata, que possui o formato
de paraboloide hiperbólico. Nesse formato, há menos fratura no alimento
durante o transporte. Vejamos a Figura 4.24. 
Construindo Sólidos não Desenvolvíveis
Para construir sólidos não desenvolvíveis, basta seguir a de�nição, por
exemplo, do conoide, que é uma superfície gerada por uma reta (geratriz) que
se desloca, apoiando-se em duas diretrizes: uma reta e uma curva que não
pertencem ao mesmo plano. É possível alterar essa curva para uma elipse,
uma parábola ou para qualquer outra curva.
Sólidos não Desenvolvíveis e a Arquitetura
Há construções arquitetônicas com estruturas inspiradas nos sólidos não
desenvolvíveis, como a Capela Nossa Senhora de Fátima, em Brasília, e o
restaurante Los Manantiales, construído em 1957, na Cidade do México. 
Figura 4.24 - Petisco de batata em formato de paraboloide hiperbólico 
Fonte: Glane23 / Wikimedia Commons.
Sendo assim, é possível observar, nesses exemplos arquitetônicos, as
características e propriedades de superfícies regradas não desenvolvíveis.
Além da beleza na estrutura arquitetônica, esse tipo de superfície pode ser
utilizada para explorar a circulação do ar ou o controle de luminosidade. 
praticar
Vamos Praticar
Figura 4.25 - Capela Nossa Senhora de Fátima, em Brasília 
Fonte: NMaia / Wikimedia Commons.
Figura 4.26 - Restaurante Los Manantiales, no México 
Fonte: Dge / Wikimedia Commons.
Às superfícies em que não é possível plani�car, dá-se o nome de superfícies
regradas não desenvolvíveis, pois não há a possibilidade de representar toda
superfície em um plano e, depois, reconstruí-la como um poliedro que pode ser
plani�cado. Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta superfícies
regradas não desenvolvíveis.
a) Paraboloide hiperbólico e pirâmide.
b) Paraboloide hiperbólico e prisma.
c) Conoide e cilindro.
d) Paraboloide hiperbólico e conoide.
e) Conoide e prisma.
As helicoides ou superfícies helicoidais sãogeradas pelo deslocamento de
uma reta em um movimento de revolução, ao mesmo tempo que ocorre uma
translação, tudo isso ao longo de um eixo central, formando a curva
conhecida como hélice.
HelicoidesHelicoides
Uma hélice é uma curva traçada internamente a um cilindro, formando
ângulos iguais com as geratrizes do cilindro, sendo rotacionadas e
transladadas ao mesmo tempo. A rotação ocorre ao redor do eixo central do
cilindro, e a translação ocorre paralela à base do cilindro.
No desenho de uma hélice, há elementos que a descrevem como ponto
gerador (ponto que descreve a trajetória da hélice), passo da hélice, eixo da
hélice, espira, raio da hélice e sentido da rotação (SOUZA, 2018).
O passo da hélice é a distância entre dois pontos da hélice pertencentes a
uma mesma reta paralela ao eixo central (distância necessária para dar uma
volta completa), já eixo da hélice é a reta que coincide com o eixo do cilindro
suporte, e a espira é o desenho da helicoide correspondente a um passo.
O raio da hélice corresponde ao raio do cilindro suporte e à distância do
ponto gerador até o eixo. O sentido da rotação pode ser para direita
(dextrorsum) – conforme a regra da mão direita (dedão representando o eixo
e os demais dedos o movimento de rotação) – ou para a esquerda
(sinistrorsum) – seguindo a regra da mão esquerda (TEIXEIRA; SILVA; SILVA,
2018).
Estruturas helicoidais também podem ser encontradas em molas, parafusos,
brocas de perfuração, hélices e turbinas.
Helicoides na Arquitetura
Na arquitetura, a estrutura helicoidal mais presente são as escadas
helicoidais, que aparecem com características distintas.
Escadas Helicoidais
Figura 4.30 - Escada espiral em pedra 
Fonte: Magnus Manske / Wikimedia Commons.
Na hora de planejar uma escada helicoidal, é necessário ter em mente cada
parte que a compõe, como: degrau, coluna (onde os degraus são �xados),
patamar (é o topo da escada sem degraus), guarda corpo (mas há modelos de
escadas helicoidais que não possuem) e corrimão (esse também é um
elemento que não está presente em todas as escadas helicoidais) (ESCADA,
2016; SOUZA, 2018).
O comprimento de cada degrau (distância do eixo até a borda do degrau)
deve �car entre 60 e 90 cm. O eixo central varia conforme modelo e
fornecedor. Uma medida muito relevante é a altura dos degraus, que deve ser
de 22 cm (ESCADA, 2016).
Para iniciar o desenho da helicoidal, deve-se de�nir o centro da circunferência
da base do cilindro imaginário que “envolve” a escada. Em seguida, deve-se
de�nir o tamanho do diâmetro do eixo central para poder dimensionar o raio
da base do cilindro, conforme o tamanho do comprimento do degrau a partir
do eixo central. É necessário ter em mente que, para cada degrau, será
traçado um segmento de reta auxiliar que irá associar a projeção horizontal
com a projeção vertical da escada. Além disso, o passo da hélice deve
respeitar uma altura mínima para que as pessoas não batam a cabeça em
nenhum degrau.
Realizar o desenho da escada considerando a projeção horizontal e a
projeção vertical é o mesmo que apresentar a imagem da escada de quem a
olha de cima e quem a observa lateralmente.
Figura 4.33 - Desenho da escada helicoidal 
Fonte: Elaborada pela autora.
praticar
Vamos Praticar
Na arquitetura, a estrutura helicoidal mais presente são as escadas helicoidais, que
aparecem com características distintas. O desenho da escada helicoidal é similar ao
desenho de uma hélice, porém, é necessário considerar algumas medidas mínimas
para garantir o conforto das pessoas que irão utilizar a escada. Nesse contexto,
assinale a alternativa que apresenta o que deve ser levado em consideração em
relação ao passo.
a) A medida do raio do cilindro de suporte.
b) Altura mínima para que as pessoas não batam a cabeça no degrau de cima.
c) A rotação do ponto gerador.
d) Comprimento entre 60 e 90 cm, para o conforto ao pisar no degrau.
saiba mais
Saiba mais
“Escadas helicoidais em concreto armado: comparação entre métodos de
dimensionamento” foi o tema do trabalho de conclusão de curso de Tiago Noal no
curso de graduação em Engenharia Civil, na Universidade Federal do Rio Grande
do Sul, no ano de 2014. Nesse contexto, acesse o conteúdo indicado e leia o artigo
indicado, em que se destacam várias informações sobre escadas helicoidais.
Fonte: Elaborado pela autora.
ACESSAR
https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/107516/000943419.pdf?sequence=1
e) A altura entre os degraus de 22 cm.
indicações
Material Complementar
LIVRO
Maquetes de Papel
Editora: Cosac & Naify
Autor: Paulo Mendes da Rocha
ISBN: 978-8575036259
Comentário: No livro indicado, o autor descreve seu
processo de criação destacando a importância da
criação de maquetes durante o desenvolvimento de um
projeto arquitetônico, com vários modelos relacionados
à plani�cação de prismas e outros poliedros.
WEB
Abstract: The Art of Design
Ano: 2017
Comentário: É uma série, com mais de uma
temporada, criada e disponibilizada pela Net�ix.
Contempla aspectos do design de produto, da
arquitetura e apresenta a perspectiva de vários
pro�ssionais da área. A primeira temporada foi lançada
em 2017 e existem as versões dubladas e legendadas.
A C E S S A R
https://youtu.be/DYaq2sWTWAA
conclusão
Conclusão
A geometria espacial reúne elementos da geometria plana e da geometria
projetiva para de�nir e construir sólidos e superfícies, como os que foram
vistos nesta unidade: poliedros, superfícies de revolução, superfícies regradas
não desenvolvíveis e helicoides. Esses sólidos e essas superfícies possuem
aplicações no cotidiano pro�ssional de engenheiros, designers e arquitetos,
como a superfície helicoidal. A superfície helicoidal aparece na construção de
turbinas de hidrelétricas, escadas em espiral, brocas de perfuração e
parafusos. Superfícies obtidas por revolução ou as superfícies regradas não
desenvolvíveis também são utilizadas, como os exemplos de arquitetura que
foram expostos nesta unidade.
Por isso, é importante conhecer essas superfícies, suas de�nições e suas
características, para que se tenha condições de utilizá-las na sua futura
prática pro�ssional.
referências
Referências Bibliográ�cas
BARISON, M. B. Geométrica: desenho, geometria e arquitetura on-line.
Departamento de Matemática Universidades Estadual de Londrina. Disponível
em: http://www.mat.uel.br/geometrica. Acesso em: 25 dez. 2019.
http://www.mat.uel.br/geometrica
ESCADA caracol/ espiral: medidas, projetos e modelos! Revista Casa e
Construção, 2016 Disponível em:
https://casaeconstrucao.org/escadas/escada-caracol/. Acesso em: 25 dez.
2019.
MACHADO, A. Geometria descritiva. 26. ed. São Paulo: Projeto Editores
Associados, 1986.
ROCHA, P. M. Maquetes de papel. São Paulo: Cosac & Naify, 2007.
SOUZA, Eduardo. Como calcular e projetar escadas helicoidais. 2018.
Disponível em: https://www.archdaily.com.br/br/896472/como-calcular-e-
projetar-escadas-helicoidais. Acesso em: 25 dez. 2019.
TEIXEIRA, F. G.; SILVA, R. P.; SILVA, T. L. K. Modelagem paramétrica para o
estudo de superfícies helicoidais em geometria descritiva. Revista Educação
Grá�ca, Vol. 22, agosto de 2018, p. 1-20. Disponível em:
https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/188103/001086199.pdf?
sequence=1. Acesso em: 25 dez. 2019.
https://casaeconstrucao.org/escadas/escada-caracol/
https://www.archdaily.com.br/br/896472/como-calcular-e-projetar-escadas-helicoidais
https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/188103/001086199.pdf?sequence=1