GRA1767 GEOMETRIA_ DESENHO E FORMA GR1312211 - unidade 1

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GEOMETRIA: DESENHO E FORMAGEOMETRIA: DESENHO E FORMA
GEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANA
Autor: Drª . Roberta Paye Bara
Revisor : Roberta Paye Bara
I N I C I A R
introdução
Introdução
Nesta unidade, será apresentada a disciplina “Geometria: desenho e forma”. Após a
apresentação, serão listados alguns softwares livres pertinentes para acompanhar
as atividades e aperfeiçoar suas habilidades, e, em seguida, iremos de�nir os tópicos
de geometria plana que serão fundamentais em toda a disciplina.
A parte da geometria plana que será abordada neste capítulo trata dos detalhes de
de�nição e construção dos elementos primitivos (ponto, reta e plano) para, em
seguida, utilizá-los na análise de medidas, distâncias, ângulos e na construção de
circunferências, bem como de polígonos.
A compreensão das �guras planas, suas de�nições e o método de construção, seja
este manual ou digital, é fundamental na aplicação pro�ssional de engenheiros,
arquitetos e designers de produto.
Vamos começar!
A palavra geometria vem da união das palavras gregas: terra (geo) e medir (métron).
A etimologia da palavra geometria fornece uma hipótese de origem dessa área da
matemática. E essa nomenclatura grega se difundiu juntamente com a expansão
europeia, por meio das colonizações. Contudo, não se pode a�rmar que em outros
povos e continentes já não ocorresse o estudo da geometria, com outro nome e
outras técnicas. Tales de Mileto (624 a.C.-546 a.C.) é considerado o precursor da
geometria na Grécia Antiga, no entanto é impossível não criar a hipótese de que, na
África, já existia um profundo conhecimento sobre geometria séculos antes. O fato
que reforça isso é a datação da construção das pirâmides, como a pirâmide de
Queóps, com data de 2560 a.C. (BOYER; MERZBACH, 2012; MLODNOW, 2004).
O matemático e �lósofo grego Pitágoras (aproximadamente 570 a.C.-495 a.C.)
passou muitos anos no Egito, estudando e aprendendo antes de publicar seu
Geometria: Desenho e FormaGeometria: Desenho e Forma
teorema. Pitágoras disseminava o conhecimento com outras pessoas que, em
algumas referências, chamam de pitagóricos ou discípulos de Pitágoras. Outros
consideravam os encontros rituais religiosos, talvez por isso tenham sido
perseguidos (MLODNOW, 2004).
Euclides estruturou e organizou todo o conhecimento que havia disponível na época
sobre geometria e, assim, desenvolveu novas informações que são a base para a
geometria euclidiana até hoje. As contribuições de Euclides se deram na
demonstração e dedução de toda a base da geometria. Tudo isso foi publicado em
sua obra Os elementos, com 13 volumes, sendo os seis primeiros sobre geometria
plana e com um rigor de demonstração e dedução que fez com que muitos não
acreditassem que havia sido escrito por uma única pessoa.
Além de toda a base da geometria euclidiana, ele desenvolveu a geometria esférica e
pesquisas no campo da física. Também é conhecido como “Euclides de Alexandria”,
pois foi em Alexandria onde lecionou por anos, embora existam indícios que tenha
nascido na Síria. Não há certeza sobre seu nascimento e falecimento, e algumas
pessoas ao longo da história não acreditam que ele tenha existido. Estimam que
tenha nascido por volta de 330 a. C., e que tenha trabalhado como professor de
matemática, em Alexandria, e que sua obra Os elementos tenha sido publicada por
volta de 300 a. C. (BOYER; MERZBACH, 2012).
Atualmente, a geometria é de�nida como a área da matemática que estuda o espaço
e as formas nele contidas.
Quando observamos os detalhes arquitetônicos e estruturais utilizados no passado,
a riqueza dos detalhes mostra o uso da geometria para planejar a construção.
Assim, o fato de terem resistido ao tempo mostra a qualidade do projeto estrutural.
Temos como exemplo a Cisterna Basílica de Istambul, uma obra do império
Romano, que acreditam ter sido construída entre 527-564 d.C. A cisterna possui uma
área de 140x70m, contando com 336 colunas de mármore. Muitas dessas colunas
com uma riqueza de detalhes mostram que o material foi reutilizado de templos de
povos dominados pelos romanos, como as colunas que possuem cabeças de
medusa.
Além de construções históricas, obras de arte também são fontes de inspiração,
contribuindo para a análise de desenhos e formas utilizadas.
saiba mais
Saiba mais
Há construções com arquitetura inspirada em polígonos e poliedros, o que as torna
pontos turísticos em suas localidades. Para ver alguns exemplos, assista ao vídeo.
ASS I ST IR
Figura 1.3 - Cisterna Basílica de Istambul 
Fonte: qwesy / Wikimedia Commons.
Geometria Dinâmica
A tecnologia permite agilidade na construção de projetos arquitetônicos, na
elaboração do design de peças e objetos, e também trouxe agilidade e e�ciência na
simulação das informações projetadas. A geometria dinâmica é o estudo da
geometria por meio de softwares que permitem uma análise dinâmica das �guras
construídas, por exemplo: construir um triângulo e, com o mouse, arrastar um dos
vértices desse triângulo e assim analisar as mudanças na �gura.
Antes da existência de softwares com essa funcionalidade, seria necessário
desenhar manualmente cada uma das opções de alteração no triângulo.
Existem diversos softwares que podem ser utilizados no estudo da geometria plana,
espacial e na geometria descritiva. A seguir, serão apresentados três softwares livres
que você poderá utilizar para treinar os exercícios desta disciplina, de forma
dinâmica. Inclusive, as imagens das �guras geométricas utilizadas nesta disciplina
foram criadas utilizando esses softwares.
Recomendamos que abra cada um dos softwares, explore as funções, os botões e
depois escolha qual sente mais interesse em utilizar. Há softwares pagos que
possuem mais funcionalidades que esses, e que você poderá testar por um tempo
limitado como estudante ou ter contato no seu futuro ambiente pro�ssional, visto
que algumas empresas adquirem a licença de uso para seus funcionários. Os mais
saiba mais
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É possível realizar visitas virtuais em museus e construções históricas para poder
observar os detalhes arquitetônicos. Por exemplo, visitar on-line pelo Google Maps a
pirâmides de Gizé e o Museu Oscar Niemeyer (localizado em Curitiba). Outros locais
possuem tour virtual em seus sites próprios, como no site do museu do Louvre, em 
e a Capela Sistina no Museu do Vaticano.
ACESSAR
http://m.museivaticani.va/content/museivaticani-mobile/en/collezioni/musei/cappella-sistina/tour-virtuale.html
utilizados no campo de projetos de objetos e projetos arquitetônicos são o AutoCad
e o Revit da Autodesk.
Software Tabulae
O software Tabulae apresenta ferramentas para a construção de �guras planas,
como os três primeiros botões da barra da esquerda: criar ponto, criar reta e criar
círculo. Em criar ponto, é possível alterar a formatação do ponto, como cor e estilo.
Em “criar reta”, usa-se a de�nição: para de�nir uma reta, são necessários dois
pontos. O mesmo ocorre para criar a reta no Tabular; precisa-se de�nir dois pontos.
Assim como para desenhar uma circunferência, é preciso primeiro clicar no local
onde será o centro da circunferência e depois o segundo click de�ne o raio.
Software GeoGebra
No software GeoGebra, há a possibilidade de visualização com eixos cartesianos,
grade ou tela em branco. Além disso, existe a possibilidade de “visualizar na janela
3D” para �guras tridimensionais. Os botões possuem várias opções de formatação e
também seguem a linha de construção de elementos conforme de�nição.
Figura 1.4 - Tela inicial do software Tabulae 
Fonte: Elaborada pela autora.
Software Sweet Home 3D
O software Sweet Home 3D possui ferramentas especí�cas para a criação de
projetos arquitetônicos. Observe que, no primeiro quadrante à esquerda, há pastas
com as seguintes opções: banheiro, cozinha, escadas, iluminação, portas e janelas,
quarto, sala de estar e variados.
Cada uma das pastas possui algumas opções de itens. Além das opções da barra de
ferramentas superior, é possível clicar com o botão direito do mouse sobre o objeto
e alterar cores, dimensõese importar imagens para estampar os objetos. Para
inserir um item no projeto, basta clicar no nome do item na pasta, arrastar para a
tela com a grade e posicionar. Na tela a seguir, é possível mudar o ângulo de
visualização 3D.
Na visualização 3D, a imagem pode ser rotacionada em diversas direções, utilizando
o botão com as setas (no canto superior esquerdo da janela de visualização 3D).
praticar
Vamos Praticar
Figura 1.7 - Exemplo de elaboração de projeto no software Sweet Home 3D 
Fonte: Elaborada pela autora.
A palavra geometria tem origem grega, com Tales de Mileto (624 a.C.-546 a.C.), considerado
o precursor da geometria na Grécia Antiga, mesmo sendo impossível a�rmar a data exata
da origem da geometria. Considerando isso, assinale a alternativa correta que explica por
que Euclides de Alexandria é considerado o pai da geometria:
a) Ele não é considerado o pai da Geometria, e alguns nem acreditam que ele existiu.
b) Porque ele organizou, estruturou, deduziu e demonstrou toda a base da geometria.
c) Porque, graças às suas contribuições em Os elementos, foi possível construir a pirâmide de Quéops.
d) Porque ele organizou todas as publicações de geometria publicadas até aquele momento.
e) Porque ele estruturou e organizou todas as publicações de geometria publicadas até aquele momento.
A geometria plana, como o próprio nome indica, trata do estudo das �guras
geométricas planas. A compreensão da geometria plana é fundamental para a
compreensão futura da geometria espacial.
Elementos Primitivos da Geometria Plana
Os elementos primitivos da geometria plana são: ponto, reta e plano. A partir da
combinação desses, será possível construir as demais �guras geométricas planas.
Recomendamos que, para cada elemento primitivo de geometria plana e suas
combinações que forem apresentadas, recrie a imagem no software livre de
geometria dinâmica de sua escolha ou manualmente com instrumentos de desenho
no papel.
Ponto
O ponto é um elemento geométrico de dimensão zero, e sua representação em
desenho geométrico, quando feita manualmente no papel, é o encontro de duas
pequenas semirretas, visto que o encontro de duas retas não congruentes é
de�nido por um único ponto. Nos softwares de geometria, há várias representações,
porque não existe o risco da imprecisão que ocorre no desenho geométrico manual.
Os pontos são nomeados por letras latinas maiúsculas (LEITE; CASTANHEIRA, 2014). 
Geometria PlanaGeometria Plana
Reta
A reta possui in�nitos pontos, mas, para de�nir uma reta, bastam dois pontos
de�nidores do sentido da reta e sua posição. A reta é um elemento de dimensão 1
(elemento linear, não possui área e é maior que um ponto). A identi�cação da reta é
feita escrevendo uma letra minúscula (do alfabeto latino), em uma das extremidades
de sua representação visível, já que não é possível visualizar em um pequeno espaço
os in�nitos pontos que a compõem (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Plano
É um elemento geométrico primitivo com in�nitos pontos, dimensão 2 (veja que a
área de um plano geralmente corresponde à unidade de medida ao quadrado). É
representado por letras minúsculas do alfabeto grego posicionadas em seu interior
em um dos cantos de sua representação. Para de�nir um plano, são necessários três
pontos, ou suas combinações (um ponto e uma reta ou duas retas) (LEITE;
CASTANHEIRA, 2014).
Figura 1.8 - Representação de um ponto 
Fonte: Elaborada pela autora.
Posição Entre Retas
A posição entre as retas refere-se à direção das retas e à existência de ponto ou
pontos em comum. Quando as retas estão no mesmo plano, são denominadas
coplanares.
Segue a classi�cação da posição entre retas:
a. Paralelas: são retas coplanares, com mesma direção e nenhum ponto em
comum.
b. Concorrentes: são retas coplanares, com diferente direção e um ponto em
comum.
c. Perpendiculares: são retas coplanares, um ponto em comum, diferente
direção de tal forma em que o ângulo entre as retas seja 90°.
d. Congruentes: são retas coplanares, com mesma direção e todos os pontos
em comum.
e. Reversas: são retas não coplanares, com direções diferentes e nenhum
ponto em comum.
f. Ortogonais: são retas não coplanares, nenhum ponto em comum, com
direções diferentes formando um ângulo reto (90°) entre as retas.
A posição entre retas na geometria plana não contém a posição reversa e ortogonal,
já que são posições entre retas que estão em planos distintos, por isso só ocorrem
na geometria espacial.
Resolução de Problemas de Equidistância
Figura 1.11 - Posição entre retas 
Fonte: Elaborada pela autora.
Equidistância signi�ca mesma distância. Para veri�car se as distâncias são iguais, é
necessário calcular a distância. Caso seja entre três pontos, basta traçar segmentos
de reta unindo esses pontos (nos softwares já irá aparecer a medida), pois a menor
distância entre dois pontos é um segmento de reta que os contém. Para calcular a
distância entre um ponto e uma reta, é preciso traçar uma reta que passe por esse
ponto e seja perpendicular à reta dada.
No Geogebra, tendo o ponto A e a reta f, basta ir ao botão de inserir reta, selecionar
a opção reta perpendicular e clicar no ponto A e na reta f que a reta g será criada.
Deve-se ir ao botão de ângulo e selecionar a opção medição, clicar no ponto A e no
ponto de interseção entre as retas g e f.
Resolução de Problemas de Paralelismo
Problemas de paralelismo só vão ocorrer na análise da posição entre retas. Para
isso, use a de�nição: mesma direção e nenhum ponto em comum. Também pode
utilizar que a distância entre qualquer ponto de uma das retas em relação à outra
reta sempre será a mesma (porque a distância entre retas paralelas é constante). O
que cai no problema de distância entre ponto e reta.
Resolução de Problemas de Perpendicularismo
Problemas de perpendicularismo só ocorrem na relação de posição entre duas
retas. Para isso, além de analisar que entre as duas retas há um único ponto em
comum, é necessário provar que o ângulo formado entre as duas retas é um ângulo
reto (90°).
No GeoGebra, basta ir na opção ângulo da barra superior e selecionar as duas retas
f e g.
Teorema de Tales
Tales de Mileto observou que as sombras dos objetos eram proporcionais às suas
respectivas alturas e, com isso, elaborou seu teorema no qual a�rma que: feixes de
retas paralelas cortadas ou intersectadas por retas transversais formam segmentos
de retas proporcionais.
Ângulos
Ângulo é a medida da abertura entre duas retas concorrentes. Essa graduação pode
ser de�nida em graus ou em radianos. Uma volta completa equivale a 360° (em
graus) ou 2π (em radianos).
Classi�icação dos Ângulos
Os ângulos são classi�cados conforme o seu valor independente da unidade
utilizada (graus ou radianos).
Ângulo reto: quando a medida do ângulo forma 90° ( radianos).
Ângulo agudo: quando o ângulo é maior que 0° e menor que 90°.
Ângulo obtuso: quando o ângulo é maior que 90° e menor que 180°.
Ângulo raso: quando o ângulo é 180° (π radianos).
Transporte de Ângulos
No transporte de ângulos e no transporte de medidas, utilizam-se o conceito de
circunferência e, manualmente, o compasso. A�nal, a ponta seca do compasso
corresponde ao centro da circunferência e a abertura do compasso corresponde ao
raio. Também são utilizados os conceitos de lugar geométrico (que será visto a
seguir).
Para transferir um ângulo formado por duas retas, deve-se, primeiramente, colocar
a ponta seca do compasso no encontro das retas e com uma abertura qualquer
riscar uma curva de forma que corte as duas retas (r e s) em dois pontos (1 e 2). Para
transferir esse ângulo, desenhe uma reta (r’) e marque um ponto para que este seja
o vértice. Com a mesma abertura usada antes (para traçar 1 e 2), risque uma curva
com a ponta seca do compasso nesse novo vértice (na reta r’). Em seguida, retorne
com o compasso nas retas r e s, ponta seca na intersecção 1 e abertura na
interseção 2; transporte essa medida para a nova reta, de�nindo o segundo ponto
da reta s’ (porque para de�nir uma reta são necessários dois pontos, e o primeiro éo vértice); e �nalize marcando a reta s’.
Divisão de Ângulos
π
2
A divisão de um ângulo remete a de�nição do lugar geométrico denominado de
bissetriz, conforme de�nição que será exposta a seguir.
Lugares Geométricos
Seja para analisar distâncias, posições ou para construir �guras, os problemas de
geometria resumem-se a obter pontos. E, para de�nir um ponto, é necessário e
su�ciente encontrar o cruzamento de duas retas que contém esse ponto. Existe o
método de lugares geométricos, em que cada lugar geométrico possui uma
propriedade. Logo, se o ponto pertencer a esse lugar geométrico, então ele também
terá essa propriedade. Assim como vale a recíproca: todo ponto que possui essa
propriedade pertencerá a esse lugar geométrico. E isso é utilizado para construir
novas �guras e resolver problemas de geometria. A seguir, serão listados alguns
lugares geométricos (LEITE; CASTANHEIRA, 2014; PUTNOKI, 1990; PUTNOKI, 2007).
Circunferência
É o lugar geométrico em que todos os pontos são equidistantes de um único ponto
denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da
circunferência, que manualmente é construída utilizando o compasso, de�nindo o
centro da circunferência onde será inserida a ponta seca do compasso, e a abertura
do compasso corresponde ao raio da circunferência. Os softwares de geometria
possuem a função circunferência e/ou função compasso.
Mediatriz
É a reta perpendicular a um segmento de reta, passando pelo ponto médio desse
segmento de reta. Logo, qualquer ponto da mediatriz é equidistante das
extremidades do segmento de reta.
No GeoGebra, basta selecionar na opção Reta Mediatriz e clicar no segmento de
reta.
Bissetriz
Bissetriz é a reta que divide um ângulo em duas partes iguais e passa pelo vértice
desse ângulo. Todo ponto da bissetriz é equidistante das retas que formam o ângulo
que ela divide.
No GeoGebra, será necessário inserir um ponto no vértice do ângulo (ponto E),
selecionar a opção Reta Bissetriz e clicar em uma das retas que forma o ângulo, no
ponto do vértice e na outra reta que forma o ângulo.
praticar
Vamos Praticar
A circunferência é o lugar geométrico em que todos os pontos são equidistantes de um
único ponto denominado centro da circunferência, e essa distância é denominada raio da
circunferência. Com o compasso, é possível construir uma circunferência. Assinale a
alternativa correta em relação ao objetivo de de�nir lugares geométricos:
a) Para definir e compreender cada figura geométrica no plano.
b) Para suporte na construção de instrumentos de desenho geométrico como o compasso.
c) Somente para caracterizar cada figura geométrica.
c) Somente definir as propriedades que caracterizam cada lugar geométrico.
e) Definir as propriedades que caracterizam cada lugar geométrico para utilizá-las para definir outros ou
resolver problemas.
As linhas poligonais são �guras planas formadas por pontos e segmentos de reta
que podem ou não ser regulares (todos os segmentos de reta com mesma medida).
São classi�cadas conforme a posição entre os pontos e os segmentos de reta: linha
poligonal aberta simples, linha poligonal fechada simples, linha poligonal aberta não
simples e linha poligonal fechada não simples. Uma linha poligonal é dita aberta
quando há pontos que não são interceptados por dois segmentos de reta. E é
denominada linha poligonal simples quando os segmentos de reta que a compõem
não se interceptam. 
PolígonosPolígonos
Polígonos
A palavra polígono vem do grego polloí, que signi�ca muitos, e goníes, que signi�ca
ângulos. É composto de uma linha poligonal simples e fechada, ou seja, todos os
pontos são interceptados por dois segmentos de reta e nenhum segmento de reta
que compõe a linha poligonal intercepta outro segmento de reta. Logo, também é
possível de�ni-lo como uma �gura plana que possui o número de lados igual ao
número de ângulos.
Polígonos Regulares
Polígonos regulares são �guras planas em que o número de ângulos é igual ao
número de lados e a medida dos lados é igual, bem como todos os ângulos
possuem a mesma medida. Essa igualdade entre os ângulos e entre os segmentos
de reta caracterizam um polígono regular. O nome de cada polígono tem relação
com o número de ângulos formados.
Construção de Polígonos
Para a construção de polígonos regulares, basta dividir uma circunferência em
partes iguais. Utilizando o GeoGebra, basta clicar no botão Polígono Regular e de�nir
dois pontos que irão formar um dos lados. Contudo, muitos problemas de
geometria partem da construção de um polígono a partir de uma circunferência
dada. Nesse caso, é possível realizar a construção exata de polígonos ou a
construção de polígonos a partir da divisão de uma circunferência em partes iguais.
Recomendo que siga as orientações dos passos descritos e construa os polígonos
primeiro manualmente e depois utilizando softwares.
Construção Exata de Polígonos Regulares
A divisão exata de polígonos consiste em processos em que é possível obter a
medida do lado de alguns polígonos regulares a partir de uma circunferência dada
que, por hipótese, está circunscrita ao polígono que se deseja obter.
Para obter o quadrado, basta traçar uma reta qualquer que corte a circunferência
em dois pontos e passe pelo centro da circunferência. Assim, terá um segmento de
reta correspondente ao diâmetro, que divide a circunferência em duas partes.
Desenhando uma reta perpendicular a esse diâmetro passando pelo centro da
circunferência, terá dividido a circunferência em quatro partes (também pode
construir a mediatriz do diâmetro). E se construir a bissetriz dos quatro quadrantes
formados, terá dividido a circunferência em oito partes iguais.
Na imagem, os traços realizados pelo movimento do compasso estão representados
em tracejado. No processo exato de construção do pentágono e do decágono, é
necessário realizar passos em que no �nal serão obtidas as medidas do lado do
pentágono e do decágono inscritos na circunferência dada. Para construir cada um
desses polígonos, basta transportar a medida obtida utilizando o compasso a partir
de um vértice, obtendo o vértice seguinte, e sucessivamente transportar a medida
para obter o vértice seguinte até obter todos os vértices.
O método consiste em dividir a circunferência dada em quatro partes (como descrito
anteriormente), escolher um dos segmentos que representam o raio e obter o ponto
médio M e traçar uma circunferência de centro nesse ponto médio e raio igual à
distância entre esse ponto médio e o vértice anteriormente de�nido e que não seja
colinear à reta que contém o ponto médio (que não pertence à mesma reta). Dessa
forma, terá obtido as medidas do lado do pentágono (L5) e do lado do decágono
(L10), conforme a �gura a seguir:
Para construir um hexágono inscrito a uma circunferência dada, basta pegar a
medida do raio da circunferência com o compasso (pode partir da divisão da
circunferência em duas partes) e usar essa medida para desenhar mais duas
circunferências com centro nas extremidades do diâmetro e assim obter os vértices
seguintes. Esse processo também serve para construir o triângulo inscrito; basta
unir dois vértices não consecutivos obtidos no processo do hexágono.
Divisão de Circunferência
Além dos processos exatos da divisão da circunferência, existe um método geral,
que se baseia na proporção de segmentos, descrita no teorema de Tales na
de�nição de circunferência como lugar geométrico. Porém, pode ocorrer imprecisão
na construção manual, pois depende do transporte de retas e muitos outros passos.
O transporte de retas usando instrumentos de desenho como régua e esquadro
consiste em posicionar um dos esquadros na reta que deseja deslocar, de forma que
o ângulo de 90° do esquadro esteja com um dos catetos sobre a reta (a que deseja
transportar). Em seguida, posicione uma régua ou o outro esquadro encostado na
hipotenusa. Tanto faz se será a régua ou o qualquer lado do outro esquadro, porque
servirão como apoio para deslocar a reta. Em seguida, deslize o esquadro
posicionado sobre a reta paradesenhar outra com mesma direção. Assim, é possível
deslocar a reta e construir uma reta paralela só utilizando esquadro e régua.
O método geral consiste em dividir a circunferência em duas partes, desenhar uma
reta concorrente à reta do diâmetro (segmento de reta entre A e B), passando por
um dos vértices já de�nidos. O ângulo que essa reta concorrente forma é livre,
abertura qualquer (pois será usada a proporcionalidade). Em seguida, com uma
medida qualquer no compasso, divida essa reta concorrente no número de parte
em que deseja dividir a circunferência (se deseja um undecágono, divida a reta
concorrente em 11 partes iguais). Em seguida, una o último ponto de�nido na reta
concorrente com o vértice (B) da circunferência. Com transporte de retas, você irá
dividir o diâmetro em partes iguais (nesse caso 11). Em seguida, obtenha os pontos
C e D a partir da construção de duas semicircunferências de raio igual ao diâmetro e
centro nos pontos A e B. Considerando o ponto A um dos vértices, trace retas entre
o ponto D e os pontos pares obtidos na divisão do segmento AB, de forma a cortar a
circunferência no lado oposto à diagonal, pois estes pontos serão os vértices do
polígono. Faça o mesmo processo a partir do ponto C para obter os demais vértices
do polígono.
Em desenho geométrico, quando se trata de realizar uma construção geométrica
manual utilizando instrumentos de desenho (régua, compasso e esquadro),
considera-se que, quanto maior o número de passos para a realização de um
desenho, maior será a chance de ocorrer uma imprecisão no �nal, pois uma
pequena imprecisão inicial pode se acumular durante os passos da construção.
praticar
Vamos Praticar
A palavra polígono vem do grego polloí, que signi�ca muitos, e goníes, que signi�ca ângulos.
Também é possível de�nir como uma �gura plana que possui o número de lados igual ao
número de ângulos. Dessa forma, assinale a a�rmativa correta em relação a qual tipo de
linha poligonal um polígono regular é composto:
a) Por uma linha poligonal perfeita e fechada.
b) Por uma linha poligonal não simples aberta.
c) Por uma linha poligonal não simples fechada.
d) Por uma linha poligonal simples e fechada cujos segmentos são congruentes.
e) Por uma linha poligonal aberta e simples.
Figuras planas são todas as �guras geométricas de dimensão 2, em que é possível
calcular a área que ocupam no espaço (como são �guras planas, não possuem
volume). As �guras planas podem ser triangulares (três lados), quadrangulares
(quatro lados) e circulares (não há lados).
A circunferência não tem perímetro (que é a soma dos lados de uma �gura plana),
pois não tem lado nem vértice. Mas é possível calcular o comprimento da
circunferência (2πR ou πD) e a área do círculo ( ), sendo R o raio e D o diâmetro
(pois ). Pois o círculo é uma �gura plana, formada por todos os pontos 
cuja distância até o centro O da circunferência será (menor ou
igual ao raio).
Figuras Triangulares
As �guras triangulares possuem 3 lados e 3 ângulos. Quando os 3 lados são iguais,
denomina-se triângulo equilátero. Quando somente dois lados são iguais,
denomina-se triângulo isósceles. E quando um dos ângulos internos do triângulo é
um ângulo reto (90°) é denominado triângulo retângulo.
A área de um triângulo é igual o lado multiplicado pela altura do triângulo (altura em
relação a esse lado), divididos por 2.
Figuras PlanasFiguras Planas
πR2
2R = D
(x,y)   d (O, (x,y)) ≤ R
Figuras Quadrangulares
Figuras quadrangulares são �guras planas que possuem quatro lados e quatro
ângulos. Quando a �gura plana possui quatro lados e quatro ângulos iguais, temos o
retângulo. Quando a �gura possui quatro ângulos iguais e quatro lados iguais,
temos o quadrado. Quando a �gura possui os quatro lados iguais, mas não possui
os quatro ângulos iguais, temos o losango regular. E existe também o trapézio, que
possui dois lados paralelos e dois lados concorrentes.
Área do quadrado é igual a lado vezes lado: 
Área do retângulo é igual à base vezes a altura: 
Área do losango é igual à diagonal maior vez diagonal menor dividido por
dois: 
Área do trapézio é igual à base maior mais base menor, vezes a altura, tudo
isso dividido por dois: 
Cálculo da Área de Figuras Planas
Para calcular a área de qualquer �gura plana, basta dividir em formas de �guras
geométricas planas em que é conhecida a forma de obtenção do cálculo da área.
l2
b.h
D.d
2
(B+ ).hbm
2
Por exemplo, a �gura a seguir, que pode ser dividida em quadrado,
semicircunferência e triângulo:
É possível calcular a área de polígonos regulares, como decágono, octógono e vários
outros, dividindo o polígono em triângulos. Basta traçar diagonais que passem pelo
centro (centro dos polígonos regulares é o mesmo que o centro da circunferência
inscrita ou circunscrita).
praticar
Vamos Praticar
Quando se trata do cálculo da área de qualquer �gura plana, basta dividir em formas de
�guras geométricas planas onde é conhecida a forma de obtenção do cálculo da área.
Considerando isso, assinale a alternativa correta que corresponde à área de uma �gura
plana.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Figura 1.27 - Figura plana 
Fonte: Elaborada pela autora.
l +2 (B+ ).hbm
2
2
l + (B+ ).hbm
2
2
πR +2 (B+ ).hbm2
l +3 (B+ ).hbm
2
2
2πR + (B+ ).hbm2
indicações
Material Complementar
FILME
Euclides como o pai da geometria
Ano: 2011
 Comentário: o vídeo é disponibilizado pelo canal Khan
Academy Brasil e aborda algumas das frases utilizadas por
Euclides, entre outros detalhes acerca da obra Os elementos.
T R A I L E R
LIVRO
A janela de Euclides
Leonard Mlodinow
Editora: Geração
Comentário: é um livro sobre história da Matemática, em
especí�co, sobre história da Geometria. Relata várias
curiosidades com leve toque de humor. A leitura é agradável
e muito interessante. O autor é PhD em Física e Matemática.
conclusão
Conclusão
O estudo da geometria teve seu início séculos atrás, antes do início do cristianismo.
Tinha como objeto de estudo a medição de distâncias, depois a análise de formas e
teve como consolidador de todo o processo de de�nição e demonstração dos
elementos geométricos Euclides de Alexandria, que é considerado o pai da
geometria. As características das �guras geométricas contribuem para a de�nição
das propriedades dos lugares geométricos, que possibilitam a construção e a
demonstração de outras �guras e propriedades.
referências
Referências Bibliográ�cas
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher,
2012.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba:
InterSaberes, 2014.
MLODNOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao
hiperespaço. São Pauo: Geração Editorial, 2004.
PUTNOKI, J. C. Elementos de geometria e desenho geométrico. São Paulo:
Scipione, 1990. v. 1.
PUTNOKI, J. C. Elementos de geometria e desenho geométrico.São Paulo:
Scipione,  2007. v. 2.