GRA1767 GEOMETRIA_ DESENHO E FORMA GR1312211 - unidade 2

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GEOMETRIA: DESENHO E FORMAGEOMETRIA: DESENHO E FORMA
CURVAS E INTRODUÇÃO ÀCURVAS E INTRODUÇÃO À
GEOMETRIA DESCRITIVAGEOMETRIA DESCRITIVA
Autor: Dra. Roberta Paye Bara
Revisor : Manuela Thomas
I N I C I A R
introdução
Introdução
Nesta unidade, serão abordadas as curvas provenientes do corte de cones por
planos, conhecido como seções cônicas. Em cálculo e geometria analítica
essas curvas são analisadas do ponto de vista algébrico, analisando as
equações que as representam ou suas aplicações no estudo das funções.
Como essas �guras planas são resultado da interseção de planos com os
cones, é uma introdução ao estudo da geometria descritiva. Na geometria
descritiva ponto, reta e plano são abordados considerando suas projeções
ortogonais nos planos de projeção, que funcionam como a sombra de cada
um desses elementos nesses planos.
Vamos iniciar!
Historiadores indicam que provavelmente foi o grego Arquimedes (288 a.C. -
212 a.C.) quem criou a palavra parábola. Os registros indicam que o grego
Apolônio de Perga (262 a.C. - 190 a.C.) foi o primeiro a indicar a parábola, a
elipse e a hipérbole como �guras obtidas na seção cônica (ele criou a
nomenclatura hipérbole e elipse). A circunferência (bem como o setor
circular), a parábola, a elipse e a hipérbole são curvas (BOYER e MERZBACH,
2012).    
Seções Cônicas
As seções cônicas são as �guras planas resultantes da interseção de planos
com dois cones dispostos no mesmo eixo e com os vértices congruentes
(denominado cone de duas folhas). A forma com que o plano intercepta os
cones vai determinar a forma da �gura gerada na seção cônica. O plano pode
interceptar os cones formando um ângulo reto com as bases dos cones, pode
interceptar só uma das bases formando um ângulo agudo, pode interceptar
um dos cones sem interceptar a base formando um ângulo agudo com o
plano da base, ou ainda um dos cones pode ser interceptado por um plano
Geometria Plana: CurvasGeometria Plana: Curvas
paralelo ao plano da base.   A seguir, a representação das quatro
possibilidades de interseção de planos e abaixo a descrição da curva que foi
gerada dessa secção (VENTURI, 2019).
Quando os planos cortam os cones, as �guras que são formadas nos planos
de corte são seções cônicas. Lembrando que os dois cones estão alinhados,
de forma que o eixo central dos cones pertence à mesma reta e suas bases
são paralelas. As imagens no GeoGebra foram criadas mantendo a “Grade” e
os “Eixos” para facilitar a visualização da posição dos pontos no plano. Para
retirar da visualização, clique na tela do GeoGebra com o botão direito do
mouse e desselecione os respectivos botões. Nessa área, também é possível
alterar cor, estilo e dimensões quando realizar esse procedimento sobre um
ponto, uma reta ou uma �gura.
Circunferência
Quando a seção cônica é formada por um plano paralelo ao plano das bases
dos cones, a �gura formada no plano é uma circunferência.
Para criar uma circunferência no GeoGebra, basta ir ao sexto botão da
esquerda para a direita na barra de ferramentas superior. Selecione a opção
“círculo dados centro e raio”.
Por de�nição, a circunferência é um lugar geométrico utilizado em todos os
casos em que o objetivo é obter pontos equidistantes de outro. No desenho
manual. utiliza-se o compasso. No GeoGebra, além da opção de desenhar a
circunferência, existe a função compasso.
Elipse
A elipse é a �gura obtida da seção cônica formada por um plano não paralelo
ao plano da base do cone de duas folhas e que não intercepta a base de
Figura 2.3 - Criando uma circunferência no GeoGebra 
Fonte: Elaborada pela autora.
nenhum dos cones. A elipse possui dois focos em vez de um único centro
como na circunferência.
Para criar uma elipse no GeoGebra, basta ir ao sétimo botão da esquerda
para a direita na barra de ferramentas superior. Selecione a opção “Elipse” e,
em seguida, clique para marcar dois pontos, A e B (os focos da elipse). Após
marcar os focos, você irá perceber que, movendo o cursor (ou o mouse), as
dimensões da elipse serão dinâmicas e só serão �xadas quando você clicar
em um ponto para de�nir um ponto na elipse.
Por de�nição, a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das
distâncias aos focos F1 e F2 é uma constante, geralmente chamada de 2a.
Na �gura acima, temos o ponto c que pertence à elipse, de forma que 
d c,F1 +d c,F2 =2ª. Ou seja, qualquer ponto c na elipse valerá essa relação, onde
a distância de c até F1  mais a distância de c até F2 será sempre igual a 2a.
Parábola
Quando o plano intercepta o cone cortando a base (do cone), forma a �gura
conhecida como parábola. O ângulo que o plano que intercepta o cone forma
com o plano da base do cone é um ângulo agudo.
( ) ( )
Figura 2.7 - Parábola a partir de uma seção cônica 
Fonte: Elaborada pela autora.
Para criar uma parábola no GeoGebra, primeiro você deve traçar uma reta,
que será a diretriz da parábola. Em seguida, deverá ir ao sétimo botão da
esquerda para a direita na barra de ferramentas superior e selecionar
“parábola”. Assim, vai aparecer a opção “selecione foco e diretriz”.
Por de�nição, a parábola é o lugar geométrico cujos pontos são equidistantes
da diretriz e do foco ao mesmo tempo, ou seja, qualquer ponto na parábola
terá a distância até a diretriz igual a distância deste ponto até o foco.
Hipérbole
A hipérbole surge quando o plano intercepta as duas folhas do cone
paralelamente ao eixo central do cone. Quando o cone de duas folhas é reto,
o ângulo formado entre o plano que intercepta o cone e o plano da base do
cone é 90°. Quando o cone de duas folhas é oblíquo, o ângulo formado será
igual ao ângulo entre o eixo central do cone e o plano da base do cone.
Para criar uma hipérbole no GeoGebra, basta ir ao sétimo botão da esquerda
para a direita na barra de ferramentas superior e selecionar “hipérbole”. Será
necessário selecionar três pontos: os dois focos e um ponto da hipérbole.
Por de�nição, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos em que o valor
absoluto da diferença de suas distâncias até os focos é uma constante 2a.
Essa regra vale para todos os pontos da hipérbole, ou seja, considerandoc um
ponto na hipérbole de focos F1   e F2  , temos que d(c,F1)− d c,F2 =2ª.  
Problemas de Tangência e Concordância
( )
Problemas de tangência e concordância envolvem resolver problemas em que
se precisa encontrar uma reta tangente à uma curva ou obter a união de retas
e curvas através de uma união harmoniosa de linhas.
Imagine a situação em que é necessário encapar um presente que consiste
em dois cilindros de raios diferentes e mesma altura. Qual é o comprimento
mínimo que deverá ter o papel de presente? Considere a largura do papel
maior que a altura dos cilindros.
Para empacotar esse presente composto por dois cilindros, o papel deverá
envolver parte dos cilindros e unir os dois, formando duas retas tangentes.
Antes de concluir essa resposta, é necessário aprofundar o entendimento
sobre tangência e concordância. Vamos lá!
Problemas de Tangência
Tangência ocorre quando uma reta tem um ponto em comum com uma curva
ou uma circunferência. Quando é uma reta tangente à uma circunferência, a
distância da reta até o centro da circunferência é igual ao raio.
Na prática pro�ssional, seja na elaboração de uma planta baixa ou de uma
peça, pode ocorrer a necessidade de passar ou construir algo que seja
tangente à uma curva. Os problemas ocorrem quando precisamos traçar uma
tangente à uma curva cujo centro da circunferência é desconhecido ou
tangente a duas circunferências com raios diferentes. Caso fossem duas
circunferências de mesmo raio e tangentes entre si, bastava ligar os centros
das circunferências e passar uma paralela com a distância do raio. Primeiro,
vamos começar traçando uma reta tangente à uma circunferência com centro
e raio conhecidos.
No GeoGebra, construa uma circunferência de�nindo centro e raio. Em
seguida, vá na barra de ferramentas e selecione “reta tangente” e clique na
circunferência onde deseja construir a tangente. Selecione ponto por onde a
tangentepassa e a circunferência que será tangente (o primeiro ponto por
onde a reta passa pode ser externo à circunferência).
Agora, como traçar uma tangente à uma curva cujo centro da circunferência é
desconhecido?
Nesse ponto, é necessário saber sobre cordas, que são retas que cortam a
circunferência em dois pontos, sem passar pelo centro da circunferência e
formando ângulo de 90° com o diâmetro da circunferência, que coincide com
a mediatriz da corda.
Logo, para obter a tangente de uma semicircunferência com centro
desconhecido, primeiro vamos obter uma corda paralela à tangente que
desejamos obter. Usando a função “compasso” no GeoGebra (ou o compasso
com gra�te no papel), construa uma circunferência de raio qualquer com
centro no ponto de tangência (primeiramente, precisa desenhar dois pontos
em alguma parte da tela para servirem de apoio para a função “compasso” e
de�nir o raio qualquer). Onde interceptar a semicircunferência, serão as
extremidades da corda. Em seguida, construa uma reta paralela à corda,
passando pelo ponto de tangência (no papel, aplique a técnica de transporte
de reta usando esquadro e régua).
Agora, como traçar retas tangentes a duas circunferências tangentes entre si,
mas com raios diferentes? Vamos resolver o problema inicial de quanto papel
de presente deve ser utilizado para encapar os dois cilindros de raios
diferentes e mesma altura.
Para resolver esse problema, existe no GeoGebra a função “Reta Tangente”.
Basta selecionar essa função e clicar nas duas circunferências.
O comprimento do papel de presente será maior que a soma dos segmentos
de reta que unem os pontos de tangência das circunferências, mais a soma do
comprimento dos arcos.
Observe que as de�nições descritas nessa disciplina, até este momento, são
utilizadas para obter novas construções e resolver problemas.
Problemas de Concordância
Nos problemas de concordância são abordadas a união de arcos com arcos
ou segmentos de reta em um traço harmonioso.
Por exemplo, como concordar 3 arcos de circunferência de raios 3 cm, 4 cm e
2 cm?
Primeiramente, deve ser de�nido um ponto para ser o centro da primeira
semicircunferência. A partir desse centro, traçar uma reta que passe pelo
centro da semicircunferência e o extremo do arco. Nessa reta estará o centro
do próximo arco, basta transportar a medida do raio usando o compasso (ou
a função “compasso” no GeoGebra).
Como concordar um segmento de reta AB com um arco que passe pelo ponto
C? Para concordar um segmento de reta com um arco é necessário aplicar
dois lugares geométricos para obter o centro do arco que passa pelo ponto C.
Primeiramente, será aplicado o conceito de perpendicular, pois o centro do
arco pertence à reta perpendicular que passa pelo extremo do segmento mais
próximo do ponto C. Mas, ainda falta de�nir o ponto do centro do arco. Para
isso, será aplicado o conceito de corda, que é a união entre o ponto C e o
extremo do segmento de reta. Em seguida, será traçada a mediatriz da corda.
Como o centro da circunferência está na mediatriz da corda e na reta
perpendicular ao extremo do segmento, o encontro entre essas duas retas
será o centro da circunferência.
Com a concordância é possível criar diversas imagens, como uma espiral. A
ideia de concordância pode ser aplicada para desenhar diversos objetos,
como peças automotivas e móveis.
Espiral
Espiral é a �gura plana composta por curvas que, em concordância, centradas
em dois pontos, formam uma �gura chamada espiral de dois centros. É
possível construir espirais a partir de três ou quatro pontos iniciais que, como
na espiral centrada em dois pontos, servirão como centro das circunferências
em concordância.
Para a construção dessa �gura é necessário iniciar desenhando a reta onde
estarão os pontos A e B, que terão papel de centro dos arcos. Para traçar o
primeiro arco, de�na o centro em B e o raio AB. O arco seguinte terá centro
em A e raio de A até o �nal do arco seguinte, e assim sucessivamente, sempre
alternando os centros entre os pontos A e B, com o raio sendo do centro até o
�nal do arco anterior.
É possível construir espirais com 3 ou 4 centros. Para construir uma espiral de
3 centros, basta desenhar um triângulo e em cada lado do triângulo desenhar
retas de apoio. E, para 4 centros, o encontro das retas de apoio deve formar
um quadrilátero, onde cada lado será prolongado para servir de reta de apoio
na construção da espiral.
praticar
Vamos Praticar
Leia o excerto a seguir:
“À guisa de apresentação consideremos um cone reto circular de duas folhas, de
vértice V e eixo (e). Qualquer reta que passe pelo vértice e está sobre a superfície
cônica chama-se geratriz (g). A palavra cônica (ou seção cônica) procede do fato que
tal curva é obtida por meio do corte de um plano  sobre o cone circular reto.”
(VENTURI, 2019, p.119)
VENTURI, J. Cônicas e Quádricas. 6. ed. Curitiba: Autores Paranaenses, 2019.
Considerando o excerto apresentado, quais são as �guras planas que podem ser
obtidas através de seções cônicas?
a) Parábola, elipse e hipérbole.
b) Parábola, circunferência e hipérbole.
c) Parábola, elipse, hipérbole e espiral.
d) Parábola, circunferência, elipse e hipérbole.
e) Parábola, circunferência e elipse.
Segundo Gaspard Monge (1803) a geometria descritiva tem como objeto de
estudo apresentar um método de representar estruturas tridimensionais em
uma imagem plana e descrever todas as informações desses objetos
tridimensionais. Todas as informações dos objetos referem-se a apresentar
no plano as verdadeiras grandezas das dimensões. 
Geometria Descritiva: Estudo doGeometria Descritiva: Estudo do
PontoPonto
Figura 2.18 - Gaspar Monge 
Fonte: Kelson / Wikimedia Commons.
O matemático francês Gaspar Monge (1746 - 1818) desenvolveu a geometria
descritiva. A partir da ideia de diedro ele rebateu os planos, como se utilizasse
2 folhas para representar o diedro, �cando as duas folhas sobrepostas
quando fechadas. Esse processo é denominado rebatimento. O rebatimento
dos planos de projeção forma uma representação plana de objetos no espaço,
de forma que a parte negativa do plano horizontal �ca sobreposta à parte
positiva do plano vertical e a parte negativa do plano vertical �ca sobreposta à
parte positiva do plano horizontal.
O plano de projeção vertical se divide em superior e inferior (abaixo da linha
de terra). O plano de projeção horizontal se divide em anterior e posterior
(atrás do plano vertical).
Importância da Geometria Descritiva
A geometria descritiva é fundamental para a representação de objetos no
espaço, seja a representação em papel ou na tela de um computador. Por
isso, todas as áreas que trabalham com planejamento de estruturas
tridimensionais utilizam os conceitos de Geometria Descritiva, como as
engenharias, o design, a arquitetura, o urbanismo e o paisagismo.
Conceito de Projeção
Figura 2.19 - Diedro e épura 
Fonte: Pedro Aguiar / Wikimedia Commons.
A representação dos objetos é feita por projeções ortogonais, como sombras
nos planos de projeção (vertical ou horizontal). O ortogonal refere-se ao fato
que a projeção forma um ângulo de 90° com os planos de projeção.
Para diferenciar uma projeção horizontal de uma projeção vertical, usa-se “
(duas aspas) para as projeções verticais e ‘ (uma aspa) para as projeções
horizontais. Essa diferenciação se aplica para a representação de todos os
elementos: pontos, retas e planos. Assim, é possível identi�car a posição do
objeto no espaço (em qual dos quadrantes do diedro).
Representação em Geometria Descritiva
A representação em geometria descritiva se baseia na projeção ortogonal dos
pontos dos objetos no espaço nos planos de projeção. Os planos de projeção
são: Plano de Projeção Vertical (π") e Plano de Projeção Horizontal (π').
Na épura, que é a representação plana dos planos de projeção vertical e
horizontal, temos uma linha horizontal com duas semirretas abaixo de suas
extremidades. Essa é a representação da linha de terra, o encontro entre os
planos de projeção.
Linha de chamada é a linha perpendicularà linha de terra, onde as projeções
de um mesmo ponto estarão sempre, porque é uma consequência da
projeção ortogonal. A linha de chamada é representada tracejada. Para isso
basta mudar o estilo em “propriedades” no GeoGebra ou, no papel, passar a
borracha para formar o tracejado.
No cotidiano, quando descrevemos um objeto tridimensional, observamos as
medidas de largura, altura e profundidade. Em geometria descritiva
observamos o que denominamos como abscissa, afastamento e cota.
A abscissa é a distância entre a linha de chamada e a origem, o encontro entre
os planos π',π" e π'". O plano π'" é chamado também de plano de per�l e dá a
verdadeira grandeza de objetos paralelos a ele.
Afastamento é a distância entre o ponto e o plano vertical (na épura, será a
medida entre a linha de terra e a projeção horizontal). A cota é a distância do
ponto até o plano horizontal (na épura, será a medida entre a linha de terra e
a projeção vertical).
O Ponto em Geometria Descritiva
Em geometria descritiva é possível saber a posição do ponto no espaço pela
representação do ponto na épura. Por exemplo, um ponto A que está no
segundo diedro terá a representação de A’ e A” na parte de cima da épura.
Um ponto B no terceiro diedro terá sua representação B acima da linha de
terra e sua representação B’ abaixo da linha de terra. Assim como em um
ponto C no quarto diedro as representações serão C e C’ abaixo da linha de
terra. Faça o rascunho dessas representações para melhor visualizar.
Os valores de um ponto de épura são sempre representados na seguinte
ordem: abscissa, afastamento e cota. Caso não exista nenhuma marcação da
origem (encontro entre os planos π',π" e π'"), basta marcar a origem em
qualquer lugar da linha de terra para servir de referencial para as medidas de
abscissa, afastamento e cota.
Problemas Descritivos Planimétricos Envolvendo
Ponto
Os problemas descritivos planimétricos envolvendo pontos exigem que se
conheça a forma de representação do ponto na épura e que se saiba
interpretar, pelas projeções, em qual diedro o ponto se encontra posicionado
no espaço.
Por exemplo:
Represente o ponto D(2,-3,-1) e descreva em qual diedro o ponto se encontra.
No programa de geometria dinâmica, a imagem �nal é mais limpa deixar a
malha visível.
Figura 2.22 - Representação do ponto D=(2,-3,-1). 
Fonte: Elaborada pela autora.
É importante realizar exercícios de representação de pontos na épura com
exemplos de pontos para cada quadrante, pois isso auxiliará na sua
compreensão futura sobre representação de retas e planos no espaço. Qual é
a representação dos pontos F(-1,2,5), I(0,-2,3) e ponto J(3,3,-5)? Tente praticar a
representação desses pontos no GeoGebra.
praticar
Vamos Praticar
O processo de representação de objetos no espaço em uma representação plana,
que é a base da geometria descritiva e de todas as representações, também é
conhecido como método mongeano, porque foi desenvolvido pelo matemático
francês Gaspar Monge. Em relação ao assunto e considerando esse método, o que
signi�ca o rebatimento? Assinale a alternativa correta.
a) É a épura.
b) É a linha de terra.
c) É o processo em que os planos de projeção ficam sobrepostos.
d) É a linha de chamada.
e) É a Projeção Ortogonal.
A reta continua sendo um elemento geométrico de dimensão 1, pois é uma
�gura linear que não ocupa área. A diferença, ao estudar a reta no espaço, é
que teremos a possibilidade da ocorrência de posições entre retas, como
ortogonal e reversa, o que não é possível quando se trata do estudo da reta
no plano.
Pontos Notáveis da Reta
A de�nição de reta no espaço não é a mesma que no plano, pois ainda
continua sendo formada por in�nitos pontos e, para de�nir sua posição no
espaço basta ter dois pontos. Por isso, é importante primeiro conhecer como
é a representação de pontos em geometria descritiva.
Quando dois pontos A e B pertencem a uma reta r, as projeções A’ e B’ vão
pertencer a projeção r’, assim como as projeções A” e B” pertencerão a
projeção r”. 
Geometria Descritiva: RetaGeometria Descritiva: Reta
Observe que, na �gura acima, temos a representação da reta AB, que está no
espaço referente ao primeiro diedro. Isso é possível de ser concluído porque
as representações das projeções são todas positivas, pois as projeções
horizontais estão abaixo da linha de terra na épura e as projeções verticais
estão acima da linha de terra.
Posições Particulares e Relativas da Reta
As posições particulares e relativas da reta no espaço relacionam suas
projeções na épura com suas posições no espaço. Assim, cada caso possui um
nome para identi�cação de suas características próprias.
Conforme a posição das retas no espaço, há uma classi�cação
correspondente, conforme Siqueira, Costa e Souza (2019):
Reta Qualquer: é uma reta oblíqua aos planos de projeção horizontal
e vertical;
Reta Horizontal: é uma reta paralela ao plano horizontal e oblíqua ao
plano vertical. A projeção horizontal apresenta verdadeira grandeza;
Reta Frontal: é paralela ao plano vertical e oblíqua ao plano
horizontal. Apresenta verdadeira grandeza na projeção vertical;
Reta Fronto-horizontal: é simultaneamente paralela ao plano
horizontal e ao plano vertical. As projeções horizontal e vertical são
Figura 2.24 - Posições particulares e relativas da reta no espaço 
Fonte: Elaborada pela autora.
paralelas à linha de terra e as duas projeções estão em verdadeira
grandeza;
Reta de Per�l: é perpendicular ao plano horizontal, apresentando
verdadeira grandeza na projeção vertical;
Reta de Topo: é perpendicular ao plano;
Reta Vertical: é paralela ao plano horizontal, apresentando verdadeira
grandeza na projeção vertical.
Conhecendo a classi�cação das possíveis posições das retas no espaço, �ca
mais fácil representá-las na épura ou identi�car qual é o tipo de reta a partir
da representação na épura. Esse é um conteúdo fundamental para a
compreensão futura sobre a posição de planos no espaço.
Problemas Descritivos Planimétricos
Os problemas descritivos planimétricos envolvendo retas abordam a
construção de retas conforme suas posições particulares e relativas. Além
disso, pode envolver analisar as projeções para identi�car se alguma dessas
projeções está em verdadeira grandeza, ou seja, se a medida do segmento de
reta em alguma das projeções apresenta a mesma medida que o segmento de
reta no espaço. Isso só ocorre quando o segmento de reta pertence à uma
reta paralela a um dos planos de projeção.
Exemplo: o segmento AB, representado abaixo, apresenta verdadeira
grandeza?
O segmento AB é paralelo ao plano horizontal anterior, o que garante que sua
verdadeira grandeza esteja representada na projeção de A’B’. Além disso, é
possível a�rmar que é uma reta horizontal.
praticar
Vamos Praticar
Características da reta no plano, como ser composta por in�nitos pontos e ser
necessário dois pontos para de�nir sua posição e direção, continuam válidas
quando se trata do estudo da reta no espaço tridimensional. Quais são as posições
relativas e particulares das retas no espaço?
a) Reta qualquer, frontal, horizontal, de topo, vertical, fronto-horizontal e de perfil.
b) Reta qualquer, frontal, horizontal, vertical, fronto-horizontal e paralela à linha de terra.
c) Reta qualquer, frontal, horizontal, de topo, vertical, fronto-horizontal e paralela à linha de terra.
d) Reta frontal, horizontal, de topo, vertical, fronto-horizontal e de perfil.
e) Reta qualquer, frontal, horizontal, de topo, vertical e de perfil.
O plano possui in�nitas retas e in�nitos pontos. Possui dimensão espacial
igual a 2, pois possui uma área. Na maioria dos exemplos e exercícios, serão
representados parte dos planos para que seja possível analisar as
características e as relações do plano com os planos de projeção.
Geometria Descritiva: Estudo doGeometria Descritiva: Estudo do
PlanoPlano
Na �gura acima, temos a representação de um plano no primeiro triedro.
Triedro, pois há a representação da terceira projeção, ou seja, temos a
presença do plano de projeção π‴, que correspondeao plano de projeção
formado pelos eixos cartesianos y e z.
O estudo do Plano em Geometria Descritiva
O estudo do plano em Geometria Descritiva retrata a classi�cação dos planos
conforme a posição destes em relação aos planos de projeção e a obtenção
da verdadeira grandeza. Só há verdadeira grandeza quando o plano é paralelo
a um dos planos de projeção. Quando não existe nenhum plano paralelo aos
planos de projeção, é necessário realizar algum procedimento, como
rebatimento ou mudança de plano, para obter a verdadeira grandeza.
Na �gura acima, foi realizado o rebatimento do plano vertical, obtendo a
projeção do ponto ?A″? _ 1 
ˆ
  na épura.
Tipos de Plano
A classi�cação dos tipos de plano nomeia cada tipo conforme a posição do
plano em relação aos planos de projeção, que pode ser paralela,
perpendicular ou oblíqua.
Temos uma classi�cação para cada tipo de plano, de acordo com a posição do
plano em relação aos planos de projeção, conforme Costa, Siqueira e Souza
(2019):
Plano Horizontal: é paralelo ao plano horizontal de projeção e
perpendicular ao plano vertical de projeção;
Plano Frontal: é paralelo ao plano vertical de projeção e
perpendicular ao plano horizontal de projeção;
Plano de Per�l: é perpendicular ao plano horizontal de projeção π',
perpendicular ao plano vertical de projeção (π'') e paralelo ao terceiro
plano de projeção (π''');
Plano Qualquer: é oblíquo a todos os planos de projeção (inclusive ao
π''');
Plano de Topo: é perpendicular ao plano vertical de projeção;
Plano Vertical: é perpendicular ao plano horizontal de projeção;
Plano Paralelo à Linha de Terra: é perpendicular ao plano da terceira
projeção (π'''), por isso é paralelo à linha de terra.
Assim como na interpretação das projeções de retas e pontos, dominar a
compreensão da representação dos diversos tipos de planos na épura auxilia
na resolução de problemas descritivos planimétricos. Também, a partir da
projeção na épura, se pode deduzir qual é o tipo de plano no espaço.
Figura 2.28 - Tipos de Plano 
Fonte: Adaptada de Costa, Siqueira e Souza (2019).
Problemas Descritivos Planimétricos Envolvendo
Planos
Os problemas planimétricos descritivos que envolvem planos também
abordam pontos, relações entre retas e sólidos geométricos.
Exemplo: representar um quadrado ABCD contido num plano horizontal α ,
sabendo que a distância do plano α até o plano horizontal de projeção é 2.
Solução: primeiro, analisar o que é o plano horizontal, que é um plano
paralelo ao plano horizontal de projeção, tendo a verdadeira grandeza na
projeção horizontal.
Esse problema poderia ser alterado para: construa o prisma de base
quadrada ABCD apoiada no plano α, sendo altura do prisma igual a 1.
Solução: a construção da base do prisma parte da mesma solução do exemplo
anterior. A diferença é que, em seguida, deve-se considerar a altura 1 para
terminar de construir as projeções do prisma. Há duas possibilidades de
solução, uma para cima do plano α e outra para baixo do plano α.
Há várias possibilidades de problemas planimétricos descritivos envolvendo
planos. O importante é ter em mente as de�nições de cada tipo de plano, pois
isso irá auxiliar na solução dos problemas.
saiba mais
Saiba mais
É possível ler a obra “Geometría Descriptiva” digitalizada, de Gaspar Monge (1803),
disponível no link abaixo.
ACESSAR
https://books.google.com.br/books?id=BDXdt9DSGUMC&dq=gaspar%20monge&hl=pt-BR&pg=PR1#v=onepage&q=gaspar%20monge&f=false
praticar
Vamos Praticar
Assim como pontos e retas, é possível representar planos na épura, já que um plano
é composto por in�nitas retas e in�nitos pontos. Conforme a posição do plano em
relação aos planos de projeção, haverá propriedades especí�cas para cada tipo de
plano e consequentemente há uma classi�cação. Qual é nome dos tipos de plano
em relação ao diedro (ou ao triedro)?
a) Horizontal, frontal, de topo, vertical, paralelo à linha de terra e qualquer.
b) Horizontal, frontal, de perfil, vertical, paralelo à linha de terra e qualquer.
c) Frontal, de perfil, de topo, vertical, paralelo à linha de terra e qualquer.
d) Horizontal, frontal, de perfil, de topo, vertical, paralelo à linha de terra e qualquer.
e) Horizontal, fronto-horizontal, de perfil, de topo, vertical, paralelo à linha de terra e qualquer.
indicações
Material Complementar
LIVRO
Introdução ao desenho técnico mecânico
para Estudantes de Engenharia
Márcio Walber e Dermeval Santos
Editora: Editora Berthier
ISBN: 978-85-7912-189-0
Comentário: É um livro de desenho técnico totalmente
direcionado para aplicações na engenharia mecânica,
mas suas construções e exemplos servem para diversas
áreas.
WEB
Desenho Técnico - Falsa espiral de 3 centros
Ano: 2018
Comentário: Nesse vídeo é apresentada a forma de
construção de uma espiral por três centros. Assista ao
vídeo completo:
A C E S S A R
https://www.youtube.com/watch?v=NNcqVj5M2oM
conclusão
Conclusão
Compreender a tangência e a concordância é fundamental para resolver
problemas no cotidiano pro�ssional de quem atua com planejamento de
ambientes, objetos e construções, bem como para construir �guras
harmoniosas resultantes da união de curvas e segmentos de reta. A
compreensão das representações desses objetos no campo tridimensional
passa pelo entendimento da representação de ponto, reta e plano no espaço
e na épura. Para representar as informações na épura, é necessário
compreender o método mongeano, que é a base da geometria descritiva
formalizada pelo matemático Gaspar Monge, onde os planos de projeção e a
projeção dos objetos é ortogonal a esses planos de projeção.
referências
Referências Bibliográ�cas
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática. 3. ed. São Paulo:
Blucher, 2012.
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