Lista 3- JORCELAN PEREIRA DA ROCHA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
Instituto de Tecnologia 
Ciência e Engenharia dos Materiais 
 Faculdade de Engenharia Civil 
 
 
Introdução a Ciência e Engenharia de Materiais 
 
Data de entrega: 04/05/2021 
 
PROFESSOR: Bernardo Borges Pompeu Neto; 
 
EMAIL: pompeu@ufpa.br; 
2021.1. 
NOME DO ALUNO: Jorcelan Pereira da Rocha. 
 
LISTA 3: Estruturas Cristalinas 
 
 
1- Diferencie materiais cristalinos de materiais não-cristalinos em termos de arranjamento 
atômico. 
 
Um material cristalino é aquele em que átomos estão situados de acordo com uma matriz que se 
repete ou que é periódica, ao longo de grandes distâncias atômicas e os não-cristalinos não existe 
periodicidade. 
 
2- Quais são as estruturas cristalinas mais comuns encontradas nos materiais metálicos? 
 
Cúbica de corpo centrado (CCC), cúbica de face centrada (CFC) e hexagonal compacta (HC). 
 
3- O que você entende como “fator de empacotamento atômico” e de que depende? 
 
É um índice que varia de 0 a 1 e representa a fração do volume de uma célula unitária que 
corresponde a esferas sólidas, assumindo o modelo da esfera atômica rígida. Tem como objetivo 
informar quantos átomos podem ser organizados numa estrutura cristalina e determinar a qualidade no 
empilhamento, portanto depende da estrutura cristalina. 
 
4- a- O ferro tem estrutura cúbica de corpo centrado a temperatura ambiente. Calcule o 
parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições. 
 
Dados: 
 
A temperatura ambiente: R = 0,1241 nm; 
Estrutura cristalina CCC: 2 átomos inteiros em uma célula unitária. 
 
a = 4R / √3; a = 4* 0,1241 / √3; a = 0,2866 nm 
 
FE = Volume de átomos em uma célula unitária / Volume total da célula unitária; 
 
FE = 2 átomos * (4/3 * π * R³) / (4R/√3)³; FE = 0,68. 
 
b- A 910 C o ferro passa de estrutura cúbica de corpo centrado para estrutura cúbica de 
face centrada. Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o 
ferro nestas condições. 
 
Dados: 
 
A temperatura 910ºC: R = 0,1292 nm; 
Estrutura cristalina CFC: 4 átomos inteiros em uma célula unitária. 
 
a = 2R / √2; a = 2* 0,1292 / √2; a = 0,365 nm 
 
FE = Volume de átomos em uma célula unitária / Volume total da célula unitária; 
 
FE = 4 átomos * (4/3 * π * R³) / (4R/√2)³; FE = 0,74. 
 
c - Calcule a densidade para o ferro ccc e para o ferro cfc. 
 
Para ferro CCC: 
 
 = n*A / Vc * Na; 
 
 = 4 * 55,85 / (2 * 0,1241 * √3)³ * 6,022 * 10^23 * 10^-21;  = 7,88 g/cm³. 
 
Para ferro CFC: 
 
 = n*A / Vc * Na; 
 
 = 4 * 55,85 / (2 * 0,1292 * √2)³ * 6,022 * 10^23 * 10^-21;  = 7,60 g/cm³. 
 
d- Há variação de volume quando o ferro é aquecido, ou seja, na passagem da estrutura 
ccc para cfc? Em caso afirmativo calcule a % de variação de volume. 
Dados: RFe= 1,24 x10
-8
 cm, A= 55,8 g/mol 
 
Existe variação de volume, e a percentagem de variação do volume é: 
 
Vccc = a³/2 = 4R/√3; 
 
Vccc = (4 * 0,1241 / √3)³; 
 
Vccc = 0, 023540378 nm³; 
 
Vccc = 0, 023540378 / 2 átomos; 
 
Vccc = 0,011770189 nm³. 
 
 
Vcfc = (2 * 0,1241 / √2)³; 
 
Vcfc = 0, 0432 nm³; 
 
Vcfc = 0, 04324644 / 4 átomos; 
 
Vcfc = 0,01081161 nm³. 
 
 
V (%) = (0,011770189 - 0,01081161) / 0,01081161; 
 
V (%) = 0,88*100; V (%) = 8,8 %. 
 
5- Sabendo que o Pb cristaliza no sistema cfc, calcule o parâmetro de rede para o Pb e o seu 
raio atômico. 
Dados: A= 207 g/mol, = 11,34 g/cm
3 
 
 = n*A / Vc * Na; 
 
11,34 = 4 átomos * 207 / Vc * 6,022*10^23; Vc = 1,212*10^-22 cm³ ou 0,1212 nm³; 
 
Vc = a³; a = a√Vc; a = 0,4950 nm; 
 
a = 2R * √2; R = a/2√2; R = 0,4950/2√2; R = 0,175 nm. 
 
6- O que é polimorfismo ou alotropia? Quais as consequências deste fenômeno nas 
propriedades dos materiais? Cite 2 exemplos de materiais que exibem polimorfismo. 
 
Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura cristalina dependendo da 
temperatura e pressão. Esse fenômeno é conhecido como polimorfismo. Geralmente as 
transformações poli mórficas são acompanhadas de mudanças na densidade e mudanças de 
propriedades físicas. São exemplos de materiais que mostram polimorfismo o Ferro, o Titânio e o 
Carbono (grafite e diamante). 
 
7- a- Como são representadas uma única direção e uma família de direções cristalográficas? 
 
Uma direção cristalográfica é definida com um a linha entre dois pontos, ou um vetor, passando 
pela origem do sistema de coordenadas. Uma família de direção é representada por colchetes 
angulados. 
Única direção: [uvw]; família de direções: <uvw>. 
 
b- Como são representados um único plano e uma família de planos cristalográficos? 
 
O sistema de coordenadas com três eixos escrita com parênteses, a família é representada 
por chave com plano {h k l}. 
Plano = (hkl); família de Planos: {110}. 
 
8- O que você entende por anisotropia? 
 
É um fenômeno em virtude do qual certas propriedades físicas de um mesmo corpo dependem 
da direção em que são medidas. 
 
9- a- No sistema cúbico, qual das seguintes famílias de direções corta os vértices das faces do 
cubo: <110>, <111> ou <100>? 
 
 <100> 
b- No sistema cúbico, qual das seguintes direções corta as diagonais das faces do cubo: 
<110>, <111> ou <100>? 
 
 <110> 
 
c- No sistema cúbico, qual das seguintes direções corta a diagonal do cubo: <110>, 
<111> ou <100>? 
 
 <111> 
 
10- a- Qual a família de direções e família de planos cristalográficos de maior empacotamento 
atômico para a estrutura ccc? 
 
 111 e 110, nessa sequência. 
 
b- Qual a família de direções e família de planos cristalográficos de maior 
empacotamento atômico para a estrutura cfc? 
 
 110 e 111, nessa sequência. 
 
11- a- Qual o plano cristalino perpendicular à direção [111]? 
 
 (111) 
 
b- Qual o plano cristalino perpendicular à direção [110]? 
 
 (110) 
 
c- Qual o plano cristalino perpendicular à direção [100]? 
 
 (100) 
 
12- Represente a direção [111] e os planos (111) e (222) na figura abaixo. 
 
 
 
 (111) (111) (222) 
 
 
13- Identifique a família de planos representadas abaixo: 
 
 
 
Família 110 / Plano 110 Família 111 / Plano 111 
 
 
 
 
Família 110 / Plano 111 Plano 111 
 
 
14- Quais as informações básicas que podem ser obtidas por difração de raios x? 
 
É possível determinar a estrutura atômica e molecular de um cristal, onde a incidência da 
radiação em uma amostra e na detecção dos fótons difratados constituem o feixe. 
 
15- Calcule a distância interplanar e o ângulo de difração para os planos (220) para o ferro 
ccc. 
Dados= Comprimento de onda dos raios x= 0,179 nm, aFeccc= 0,2866 e n=1 
 _______ 
d(h,k,l) = a / √ h²+k²+l² = 0,2866 / √8 = 0,1013 nm 
 
n ƛ = 2dsenϴ = 1 * (0,1790) / 2 * (0,1013) = 0,884; 
 
ϴ = sem^-1 (0,884) = 62,13º; 
 
2ϴ = 2 * (62,13) = 124,26º. 
 
16- Rubídio tem estrutura ccc. Se o ângulo de difração para os planos (321) ocorreu a 27 
(considerando reflexão de primeira ordem, i.e., n=1) quando um raio x de 0,071 nm é 
usado, calcule: 
a) Calcule o espaçamento interplanar para esse conjunto de plano; 
 
2ϴ = 27º ϴ = 13,5º 
 
d = ƛ / 2sen ϴ = 0,071 / 2 * (sen13,5º) = 0,1521 nm; 
 _________ 
a = d(321) = √3² + 2² + 1² = (0,1521) * (3,742) = 0,5691 nm. 
 
b) O raio atômico para o átomo de Rubídio; 
 
 
a = 4R / √3 = 0,5691 * 10^-9 = 4R / √3 = 
 
R = 0,9857 / 4; R= 0,2464 nm; 2,46A. 
 
17- A Figura 3.26 mostra os cinco primeiros picos do difratogramade raios X para o 
tungstênio (W), que tem estrutura cristalina CCC; usou-se radiação X monocromática 
com comprimento de onda de 0,1542 nm. 
 
(a) Identifique cada um desses picos (isto é, forneça os índices h, k e l). 
 
Uma vez que W tem uma estrutura de cristal BCC, apenas os picos para os quais h + k + l são 
pares irão aparecer. Portanto, o primeiro pico resulta por difração de planos (110). 
 
 (b) Determine o espaçamento interplanar para cada um dos picos. 
 
Para cada pico, para calcular o espaçamento interplanar devemos empregar a Equação (3.2). 
Para o primeiro pico que ocorre a 40,2 ° 
 
d110 = nλ / 2 sin θ= (1) * (0.1542 nm) / (2) * (sin (40.2° / 2)) = 0.2244 nm 
 
(c) Para cada pico, determine o raio atômico do W, e compare esses valores com o valor 
apresentado na Tabela 3.1 (Callister). 
 
O emprego das Equações (3.3W) e (3.3) é necessário para o cálculo de R para W como: 
 _________ 
R = a/√3 / 4 = [(dhkl) * (√3) * √ h² + k² + l²] / 4; 
 _________ 
R = [(0.2244 nm) * (√3) * √ 1² + 1² + 0²] / 4 = 0.1374 nm. 
 
 
 
 
Figura 3.26 Padrão de difração para o tungstênio pulverizado. 
 
18- Usando os dados para o ferro α na Tabela 3.1 (Callister), calcule os espaçamentos 
interplanares para os conjuntos de planos (111) e (211). 
 
a = 4R//√3; a = 4 * 0,1241/√3; a = 0,2866. 
 _________ 
d111 = 0,2866 / √ 1² + 1² + 1² = 0,1655 nm. 
 _________ 
d211 = 0,2866 / √ 2² + 1² + 1² = 0,1170 nm. 
 
 
19- Determine os índices para os planos mostrados nas seguintes células unitárias hexagonais: 
 
 
 
 
 
 
a) As interseções por eixo são: 
 
a1 = ∞a; 
a2 =-a; 
z = ∞c. 
 
Portanto, temos ∞, -1 e ∞. Os respectivos recíprocos são 0, -1 e 0. Portanto: 
 
h = 0; 
k = -1; 
l = 0. 
 
Sendo assim, temos: 
 
i = - (h+k); i = - (0 + (-1)); i = + 1. 
 _ 
Logo, o plano é: (0110). 
 
 
b) As interseções por eixo são: 
 
a1 = a/2; 
a2 = -a; 
z = ∞c. 
 
Portanto, temos 1/2, -1 e ∞. Os respectivos recíprocos são 2, -1 e 0. Portanto: 
 
h = 2; 
k = -1; 
l = 0. 
 
Sendo assim, temos: 
 
i = - (h+k); i = - (2 + (-1)); i = -1. 
 _ 
Logo, o plano é: (2110).