aplicar 09 de julho Movimento Circular Uniforme

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Movimento Circular Uniforme 
 
Setor de Educação de Jovens e Adultos 
Movimento Circular Uniforme 
Existe uma enorme quantidade de aparelhos e equipamentos em nossas residências, 
indústria e comércio onde podemos observar o movimento circular: relógios, 
liquidificadores, furadeiras, máquinas de lavar roupas e serras elétricas são alguns 
exemplos. 
Pense na roda gigante e no carrossel em um parque de diversões. Lá também está 
presente o movimento circular uniforme. 
Nesta atividade focaremos nossas reflexoes no Movimento Circular Uniforme (MCU). 
Ele é caracterizado por ser um movimento de trajetória circular em que o módulo da 
velocidade linear (v) é constante, entretanto, com variação da direção e do sentido de 
movimento. Trata-se de um movimento periódico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trata-se de um movimento periódico. Ou seja, ele gasta sempre o mesmo intervalo de 
tempo para realizar uma volta completa. 
É importante destacar que o objeto que está em movimento circular uniforme apresenta 
além da velocidade linear (v), uma outra velocidade denominada velocidade angular 
representada pela letra “ω”. Não se esqueça que o objeto em movimento circular está 
mudando continuamente a sua direção e o seu sentido. 
Lembre-se! 
A velocidade linear (v) descreve a rapidez com que uma partícula percorre determinada 
trajetória. A velocidade angular (ω) descreve a rapidez com que uma partícula percorre 
determinado ângulo central da circunferência descrita durante o movimento (figura 2). 
 
 
 
Figura 1 – Brinquedo spinner girando em movimento circular 
KeyVisualStock / Shutterstock 
v 
v 
v 
v 
v 
v v 
v 
Uma unidade de medida bastante utilizada para a velocidade angular (ω) é o radiano 
por segundo (rad/s). 
 
 
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Algumas expressões matemáticas importantes no estudo do MCU 
Matematicamente há uma expressão que relaciona a velocidade angular, a velocidade 
linear e o raio (R) da trajetória descrita pelo corpo em movimento circular uniforme. 
Portanto é importante que no estudo do movimento circular você consiga diferenciar a 
grandeza física velocidade linear (v) da grandeza velocidade angular (). 
A primeira e importante expressão aqui apresentada é: 
 
 
 
 
Além da velocidade linear e da velocidade angular é importante entender a relação 
existente entre os conceitos de período (T) e frequência (f). O movimento do brinquedo 
spinner, por exemplo, pode nos ajudar no resgate dessa relação. Esse passatempo 
quando impulsionado começa a girar constantemente na ponta dos dedos do seu 
usuário. Observando o giro do brinquedo podemos determinar o tempo necessário para 
efetuar uma volta completa. No caso do spinner é um intervalo de tempo 
extremamente pequeno. A esse valor chamamos de período (T). Por outro lado, 
observando o movimento circular do brinquedo, considere contar o número de voltas 
em um segundo ou em um minuto, por exemplo. Essa quantidade recebe o nome de 
frequência (f). 
Ângulo descrito por uma pedra 
ligada a um barbante, em um 
certo intervalo de tempo, 
durante parte de sua trajetória. 
R 
Figura 2 – Ângulo descrito por um objeto em MCU 
Fonte: Fundação Bradesco 
 
v = ω.R 
 
 
 
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Ou seja, o período fornece o tempo gasto para uma volta completa e a frequência 
é a quantidade de voltas dadas em um determinado intervalo de tempo. 
As unidades de medidas do período são aquelas utilizadas para a medida do tempo. 
Estas você já conhece: segundo (s), hora (h), minuto (min). Para a medida da frequência 
as mais utilizadas são o hertz (Hz) e o rotações por minuto (rpm). 
A frequência e o período se relacionam através das expressões mostradas a seguir: 
 
𝐟𝐟 =
𝟏𝟏
𝐓𝐓 
𝐓𝐓 = 
𝟏𝟏
𝐟𝐟 
Além dessas expressões é importante destacar aquelas outras que relacionam a 
velocidade linear (v), a velocidade angular (ω), o raio (R), o período (T) e a frequência 
(f). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Pás de um gerador de energia eólica 
executando movimento circular 
Fonte: BSD / Shutterstock.com 
v = 2.π.R 
 T 
 
v = 2.π.R.f 
 
ω = 2.π 
 T 
 
ω = 2.π.f 
R 
É partir da leitura do enunciado do exercício e da observação das ilustrações 
que o acompanham que se toma a decisão sobre qual será a melhor 
expressão matemática ideal para a sua resolução. É importante identificar 
as grandezas envolvidas (velocidade linear, velocidade angular, período, 
frequência etc). A partir dessa identificação verifica-se qual dentre as 
expressões do movimento circular uniforme é a mais adequada para a 
resolução de determinado exercício. 
 
Nos cálculos utilizaremos para π o valor 3,14. 
 
 
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A aceleração centrípeta 
Além das grandezas velocidade linear e velocidade angular é importante falarmos 
sobre a aceleração centrípeta (ac). 
Comentamos que no movimento circular uniforme, embora o valor numérico da 
velocidade do objeto, em rotação permaneça constante, sua direção e seu sentido 
estão variando. Corpos executado esse tipo de movimento circular ficam sujeito a uma 
aceleração dirigida para o centro da circunferência e denominada aceleração 
centrípeta (ac). Essa aceleração é perpendicular à direção da velocidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A aceleração centrípeta, a velocidade linear, a velocidade angular e o raio da trajetória 
podem ser relacionadas a partir das expressões indicadas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ac = v2 
 R 
 
ac = ω2.R 
ac 
v 
v 
v 
ac 
ac 
Figura 4 – No MCU surge uma aceleração 
denominada aceleração centrípeta 
Fonte: UFPA 
VELOCIDADE LINEAR 
VELOCIDADE ANGULAR 
PERÍODO 
FREQUÊNCIA 
RAIO 
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA 
MCU 
 
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Exercícios 
Nesta atividade nós retomamos as nove expressões utilizadas aqui para abordar o 
movimento circular uniforme (MCU). Estas expressões foram reescritas a seguir. 
Siga o exemplo e escreva no espaço indicado, o nome de cada uma das grandezas que 
aparecem na expressão matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v = ω.R 
Velocidade linear 
Velocidade angular 
Raio 
Exemplo 
𝐟𝐟 =
𝟏𝟏
𝐓𝐓 
 
 
ω = 2.π 
 T 
 
ω = 2.π.f 
 
 
𝐓𝐓 = 
𝟏𝟏
𝐟𝐟 
 
 
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v = 2.π.R 
 T 
 
 
 
v = 2.π.R.f 
 
 
ac = v2 
 R 
 
ac = ω2.R 
 
 
 
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Nos próximos exercícios faremos uso dessas expressões. Mais uma vez fique atento 
para as informações no enunciado. Elas te auxiliarão a decidir qual a expressão 
apropriada para a resolução. 
 
2. Uma engrenagem que faz parte de um motor, gira, no sentido horário, em movimento 
circular uniforme e demora 0,25 s para efetuar uma volta completa. 
Adote para π o valor 3,14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual o periodo de rotaçao da engrenagem? 
b) Qual a frquência de rotaçao da engrenagem? 
c) Qual a velocidade angular da engrenagem? 
d) Qual a velocidade linear, em cm/s, do ponto A localizado em um dos dentes, a 20 
cm do eixo central. 
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Disponível em: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/06/cursos-do-blog-
mecanica_24.html. Acesso em: 13 out.2017. 11h51min. 
 
20 cm 
 
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3. A figura mostra uma bola amarrada a uma corda de comprimento total de 0,8 m. A 
bola gira em movimento circular uniforme, sem qualquer tipo de atrito agindo sobre 
ela. A bola gira presa à corda com frequência de 2,5 Hz. 
Adote π = 3,14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quanto tempo a bola demora para efetuar uma volta completa? 
b) Quanto vale sua velocidade angular e sua velocidade linear (em m/s)? 
c) Qual o valor da sua aceleração centrípeta? 
 
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 v 
 
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4. (UFPR – Adaptado) Um ponto em movimento circular uniforme descreve 15 voltas 
por segundo em uma circunferência de 8,0 cm de raio. 
Determine os valores para sua velocidade angular, o seu período e a sua velocidade 
linear (em m/s). 
Adote π = 3,14. 
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5. (UERJ) A distância média entre o Sol e a Terra é de cerca de 150 milhões de 
quilômetros. Assim, a velocidade média de translação da Terra em relação ao Sol é, 
aproximadamente, de 
Adote π = 3,14. 
a) 3 km/s. 
b) 30 km/s. 
c) 300 km/s. 
d) 3000 km/s. 
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6. (UEL – PR – Adaptado) Duas crianças, identificadas como A e B, estão brincando em 
um carrossel de um parque de diversões. Uma delas encontra-se sentada nas 
proximidades da borda, distante 2 metros do centro de rotação e a outra está a 1 m do 
centro do carrossel, conforme figura a seguir. O brinquedo leva 4 s para efetuar uma 
volta completa. Considerado que o carrossel está girando e que as posições das 
crianças, em relação ao carrossel, são mantidas constantes, é correto afirmar: 
 
 
 
 
 
 
 
Para a situação apresentada, foram feitas as afirmações a seguir. Para cada uma delas 
realize os cálculos necessários e indicando com V as afirmações verdadeiras e com F 
as falsas. 
 
a) ( ) O período do movimento é de 0,25 s 
b) ( ) A frequência tem valor de 4 Hz. 
c) ( ) Suas velocidades angulares são iguais. 
d) ( ) Suas velocidades lineares são diferentes. 
e) ( ) A aceleração centrípeta da criança A é menor que aceleração centrípeta da 
criança B. 
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2 m 
A 
1 m 
B 
 
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7. (FMTM – MG – Adaptado) Com a finalidade de destacar a rapidez de uma serra 
circular em cortar pedras e cerâmicas, um folheto ressalta uma noção confusa, ao 
explicar que a máquina, muito rápida, gira com velocidade de 13.000 rpm. De fato, a 
informação dada é a frequência da máquina e não sua velocidade. O folheto ficaria 
correto e coerente se ressaltasse a velocidade angular da máquina que, em rad/s, 
corresponde a 
Admita π = 3 
a) 1.300. 
b) 2.170. 
c) 26.000. 
d) 39.000. 
e) 78.000. 
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Gabarito Comentado 
1.𝐟𝐟 =
𝟏𝟏
𝐓𝐓 
 Frequência 
Período 
Frequência Período 
𝐓𝐓 = 
𝟏𝟏
𝐟𝐟 
 
ω = 2.π 
 T 
 Velocidade angular Período 
ω = 2.π.f 
Velocidade angular Frequência 
v = 2.π.R 
 T 
 Velocidade linear 
Raio 
Período 
v = 2.π.R.f 
 
Velocidade linear 
Frequência 
Raio 
 
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2. 
a) Ela demora 0,25 segundos para efetuar uma volta, portanto seu período é de 0,25 
s. 
b) 
f = 1/T 
f = 1/0,25 
f = 4 Hz 
c) 
ω = 2.π/T 
ω = 2.3,14/0,25 
ω = 25,12 rad/s 
d) 
v = ω.R 
v = 25,12.20 
v = 502,4 cm/s 
 
3. 
a) O tempo gasto para efetuar uma volta completa corresponde ao período (T). 
T = 1/f 
ac = v2 
 R 
 
ac = ω2.R 
Aceleração centrípeta 
Velocidade linear 
Raio 
Aceleração centrípeta 
 
Raio 
Velocidade angular 
 
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T = 1/2,5 
T = 0,4 s 
b) 
ω = 2.π/T 
ω = 2.3,14/0,4 
ω = 15,70 rad/s 
v = ω.R 
v = 15,70.0,8 
v = 12,56 m/s 
c) 
ac = v2 
 R 
 
ac = (12,56)2 
 0,8 
 
ac = 197,2 m/s2 
 
4. 
O ponto descreve 15 voltas por segundo. Sendo assim, sua frequência é de 15 Hz. 
Para a velocidade angular (ω) 
ω = 2.π.f 
ω = 2.3,14.15 
ω = 94,2 rad/s 
Para a velocidade linear (v) 
v = ω.R 
Lembrando que R = 8 cm = 0,08 m, teremos: 
v = ω.R 
v = 94,2.0,08 
v ≅ 7,54 m/s 
 
Para o período (T) 
T = 1/f 
T = 1/15 
T ≅ 0,067 s 
 
 
 
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5. Alternativa B 
Comentário: A distância média fornecida no enunciado corresponde ao raio da órbita. 
Para calcular a velocidade de translação, que corresponde à velocidade linear, podemos 
utilziar a expressão 
 
v = 2.π.R 
 T 
Onde “T”, que é o período corresponde ao tempo gasto pela Terra para completar uma 
volta em torno do Sol. Esse tempo é de 1 ano. 
Observe que as respostas foram fornecidas na unidade de medida “km/s”. Sendo assim, 
o tempo que está em anos, precisa ser expresso em segudos. 
1 ano = 365 dias 
1 dia = 24 h 
1 h = 3600s 
Dessa maneira: 
1 ano = 365 x 24 x 3600 
1 ano = 31.536.000 s 
E inserindo as informações do raio R que vale 150.000.000 km e do períodoT com valor 
31.536.000 s, teremos: 
v = 2.π.R 
 T 
v = 2x3,14x150.000.000 
 31.536.000 
 
v ≅ 29,87 km/s ≅ 30 km/s 
 
6. 
a) (F) O período do movimento é de 0,25 s 
b) (F) A frequência tem valor de 4 Hz. 
O brinquedo leva 4 s para efetuar uma volta completa. Seu período será T = 4 s e sua 
frequência f = 1/T. 
f = 1/4 
f = 0,25 Hz 
c) (V) Suas velocidades angulares são iguais. 
Para o cálculo da velocidade angular (ω) podemos utilizar as expressões 
ω = 2.π/T 
ou 
ω = 2.π.f 
 
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Observe que o período (T) e a frequência (f) não mudam, permanecendo constantes. 
Sendo assim, a velocidade angular das duas crianças, é a mesma 
 
d) ( V ) Suas velocidades lineares são diferentes. 
A velocidade linear depende da posição com relação ao centro de rotação do brinquedo 
Para a criança A (R = 1 m). 
Podemos realizar o cálculo com a expressão da velocidade linear que envolve o período 
ou com aquela outra que faz uso da frequência. Faremos os cálculos com ambas. 
v = 2.π.R 
 T 
R = 1 m 
T = 4 s 
 
v = 2.3,14.1 
 4 
v = 1,57 m/s 
 
v = 2.π.R.f 
 
R = 1 m 
f = 0,25 Hz 
 
v = 2.3,14.1.0,25 
v = 1,57 m/s 
 
Para a criança B (R = 2 m). 
Novamente a velocidade linear depende da posição com relação ao centro de rotação 
do brinquedo. Podemos novamente realizar o cálculo com a expressão da velocidade 
linear que envolve o período ou com aquela outra que faz uso da frequência. Faremos 
os cálculos com ambas. 
v = 2.π.R 
 T 
R = 2 m 
T = 4 s 
 
v = 2.3,14.2 
 4 
v = 3,14 m/s 
 
v = 2.π.R.f 
 
R = 2 m 
f = 0,25 Hz 
 
v = 2.3,14.2.0,25 
v = 3,14 m/s 
 
e) (V) A aceleração centrípeta da criança A é menor que aceleração centrípeta da 
criança B. 
A aceleração centrípeta pode ser expressa como: 
ac = v2 
 R 
 
Acompanhe os cálculos no quadro a seguir: 
 
 
 
 Movimento Circular Uniforme 
 
Setor de Educação de Jovens e Adultos 
 
Criança A Criança B 
R = 1 m 
v = 1,57 m/s 
 
ac = v2 
 R 
 
ac = (1,57)2 
 1 
 
ac ≅ 2,46 m/s2 
 
R = 2 m 
v = 3,14 m/s 
 
ac = v2 
 R 
 
ac = (3,14)2 
 2 
 
ac ≅ 4,93 m/s2 
 
 
 
7. Alternativa A 
Considerando que a frequência vale 13.000 rpm, precisamos escrever esse valor 
utilizando a unidade de medida “hertz”. 
1 rpm = 1 rotação por minuto 
E lembrando que 1 min = 60 s, podemos escrever 
13.000 rpm = 13.000 rotações por minuto = 13.000 rotações por 60 s 
São realizadas 13.000 rotações em 60 segundos? 
E em 1 segundo, quantas rotações são realizadas? Achando esse valor determinamos 
a frequência em hertz. 
Utilizando a “regra de três” 
13.000 rotações _____________60 s 
f rotações ____________ 1 s 
 
f.60 = 13.000 
f = 13.000/60 
f ≅ 217 Hz 
E utilizando a expressão ω = 2.π.f , e adotando π = 3, conforme informado no 
enunciado, teremos 
ω = 2.π.f 
ω = 2x3x217 
ω = 1302 rad/s 
 
 
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	Existe uma enorme quantidade de aparelhos e equipamentos em nossas residências, indústria e comércio onde podemos observar o movimento circular: relógios, liquidificadores, furadeiras, máquinas de lavar roupas e serras elétricas são alguns exemplos.
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