AULA-01-FÍSICA-CINEMÁTICA-E-DINÂMICA

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FÍSICA: CINEMÁTICA E DINÂMICA 
 
 
Prezado (a) aluno (a), 
Os movimentos circulares são comuns em nosso dia a dia, sendo 
observados na movimentação de brinquedos, como um carrossel em um parque, 
ou na própria translação da Terra ao redor do Sol, por exemplo. Quando estamos 
dirigindo e fazemos uma curva, a nossa movimentação também é circular, mesmo 
que parcialmente. 
Nesta aula, você vai estudar os principais conceitos do movimento circular e 
a relação entre as grandezas angulares e as grandezas lineares. Além disso, 
também vai verificar alguns exemplos e problemas sobre a temática. 
 
Bons estudos! 
AULA 1 – MOVIMENTO 
CIRCULAR 
1 CONCEITO 
O movimento circular é caracterizado pela sua ocorrência como uma rotação 
ao redor de um eixo, mantendo um raio constante. Alguns exemplos ilustrativos desta 
espécie de movimento incluem o deslocamento de indivíduos em uma roda gigante e 
a trajetória orbital de um satélite em volta do nosso planeta Terra (Figura 1). 
Figura 1. Exemplos de movimentos circulares 
 
Fonte: shre.ink/nrFd 
A fim de explorarmos o movimento circular, é essencial adquirirmos 
compreensão de diversos conceitos. Nesta seção, serão abordados tópicos como 
coordenadas polares e angulares, deslocamento angular, velocidade angular, 
frequência angular, período, aceleração angular, aceleração centrípeta e força 
centrípeta. 
1.1 Coordenadas polares 
Em relação aos movimentos circulares, é possível afirmar que o objeto em 
referência realiza um percurso em volta de uma circunferência. Embora suas 
coordenadas 𝑥 e 𝑦 possam mudar ao longo do tempo, a distância em relação ao 
centro, ou seja, o raio, mantém-se invariável. Diante disso, a utilização de 
coordenadas polares se mostra apropriada para a análise desses padrões de 
deslocamento. 
A Figura 2, apresenta os elementos essenciais para a compreensão das 
coordenadas polares no contexto do movimento circular. A representação visual inclui 
o vetor posição 𝑟 e o ângulo θ em relação ao eixo 𝑥. Dessa forma, podemos descrever 
o vetor posição através das coordenadas 𝑥 e 𝑦, bem como pelo seu valor absoluto e 
ângulo, ou seja, suas coordenadas polares. 
Figura 2. Coordenadas polares em relação ao movimento circular 
 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012). 
Ao examinarmos a geometria representada na Figura 2, também podemos 
identificar a conexão entre as coordenadas de maneira geométrica. As relações no 
caso das coordenadas polares, r e θ, e as coordenadas cartesianas, 𝑥 e 𝑦, conforme 
Bauer, Westfall e Dias (2012), são expressas da seguinte forma: 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 e 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (
𝑦
𝑥
) 
Por outro lado, as coordenadas cartesianas em relação às coordenadas polares 
são fornecidas por: 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜃) e 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Uma vez que o raio se mantém invariável durante o movimento circular, é viável 
simplificar a descrição desse movimento focalizando unicamente na variação de θ, o 
que simplifica a abordagem do problema. A Figura 3 adicionalmente representa os 
vetores unitários em relação às coordenadas 𝑥 e 𝑦, assim como os vetores unitários 
ao longo das direções radial e tangencial do movimento, denotados como r̂ e t.̂ A 
angulação entre r̂ e x̂ é igual a θ. Isso nos permite estabelecer conexões entre esses 
vetores unitários. Geometricamente, é possível expressar isso da seguinte maneira: 
�̂� =
𝑥
𝑟
�̂� +
𝑦
𝑟
�̂� = cos(𝜃) �̂� + sen(𝜃) �̂� ≡ (cos(𝜃) , sen(𝜃) ) 
�̂� = −
𝑦
𝑟
�̂� +
𝑥
𝑟
�̂� = − sen(𝜃) �̂� + cos(𝜃) �̂� ≡ (−sen(𝜃) , cos(𝜃) ) 
Figura 3. Vetor unitário �̂� e a sua relação com o ângulo 𝜃 
 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012). 
1.2 Coordenadas angulares de deslocamento angular 
Conforme discutido anteriormente, no contexto do movimento circular, o raio 
mantém-se inalterado, sendo a variação temporal associada ao ângulo θ. Em outras 
palavras, o ângulo pode ser expresso como uma função do tempo, 𝜃(𝑡). Duas 
unidades amplamente empregadas para medir ângulos são: radianos (rad) e graus 
(°). Considerando um ciclo completo, obtemos um ângulo de 360° ou 2π radianos. A 
partir dessas informações, é possível estabelecer a relação entre θ, π e radianos. 
Então: 
𝜃(°)
𝜋
180
= 𝜃(𝑟𝑎𝑑) ou 𝜃(𝑟𝑎𝑑)
𝜋
180
= 𝜃(°). 
Adicionalmente, é importante notar que: 
1𝑟𝑎𝑑 =
180°
𝜋
≈ 57,3°. 
É relevante observar que o ângulo θ pode apresentar valores tanto positivos 
quanto negativos, no entanto, o ângulo é periódico, o que significa que após uma 
rotação inteira, o valor de θ retorna ao ponto de partida. A definição de deslocamento 
angular, compreende a diferença entre os ângulos de dois pontos, expresso da 
seguinte forma: ∆𝜃 = 𝜃2 − 𝜃1 
Volte à Figura 2, e observe que temos a representação de um arco de extensão 
𝑠, destacado em verde. Tal comprimento é denominado como comprimento de arco e 
possui uma relação entre o ângulo e o raio, expressa por: 𝑠 = 𝑟𝜃. Para uma 
circunferência completa, a relação é s = 2πr, onde o comprimento compartilha uma 
unidade semelhante a do raio. 
1.3 Velocidade angular, frequência angular e período 
A definição de velocidade angular abrange a alteração nas coordenadas 
angulares. Conforme Bauer, Westfall e Dias (2012), o valor médio da velocidade 
angular é expresso por: 
�̅� =
𝜃2 − 𝜃1
𝑡2 − 𝑡1
=
∆𝜃
∆𝑡
 
Quando o intervalo de tempo tende a zero, obtemos a velocidade angular 
instantânea, então: 
𝜔 = lim
∆𝑡⟶0
∆𝜃
∆𝑡
≡
𝑑𝜃
𝑑𝑡
, 
a unidade amplamente empregada para medir a velocidade angular é radianos por 
segundo: 𝑟𝑎𝑑/𝑠. 
A determinação da direção e orientação do vetor de velocidade angular é 
possível através da aplicação da regra da mão direita (Figura 4). A direção é 
estabelecida pelo eixo que é perpendicular ao plano do círculo, enquanto o sentido é 
influenciado pela direção da rotação. Em caso de rotação no sentido horário, a 
velocidade aponta para cima, tal como ilustrado na Figura 3, ou para baixo no caso 
inverso. Para aplicar a regra da mão direita, basta estender os dedos no sentido de 
rotação, e o polegar indicará a direção da velocidade angular. 
 
Figura 4. Regra da mão direita 
 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012). 
A frequência angular, representada por 𝑓, indica a taxa de variação do ângulo 
em relação ao tempo, logo, a quantidade de ciclos é completada em um determinado 
intervalo de tempo. Sua expressão é a seguinte: 𝑓 =
𝜔
2𝜋
⇔ 𝜔 = 2𝜋𝑓. 
A unidade comum de frequência é o Hertz, sendo 1 Hz equivalente a 1s-1. 
Quanto ao período de rotação T, sua formulação é a seguinte: 𝑇 =
1
𝑓
 
O período é uma medida que representa o tempo necessário para que o ângulo 
retorne ao seu valor inicial, ou seja, o intervalo de tempo para completar uma volta ao 
redor da circunferência. Ao estabelecer uma relação entre essas variáveis, podemos 
expressar da seguinte maneira: 𝜔 = 2𝜋𝑓 =
2𝜋
𝑇
. 
1.4 Velocidade angular e velocidade linear 
É possível estabelecer a conexão entre a velocidade angular e linear para um 
movimento circular. Iniciaremos essa análise calculando a velocidade linear. 
Primeiramente, expressaremos o vetor posição radial em coordenadas cartesianas e, 
subsequentemente, procedemos à sua derivação em relação ao tempo. Dessa forma, 
chegamos a: 
𝑟 = 𝑥�̂� + 𝑦�̂� = (𝑥, 𝑦) = (𝑟 cos(𝜃), 𝑟 sen(𝜃)) = 𝑟(cos(𝜃), sen(𝜃)) = 𝑟�̂� 
�⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 cos(𝜃), 𝑟 sen(𝜃)) = (
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 cos( 𝜃)),
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 sen( 𝜃))) 
Dado que a distância 𝑟 permanece invariável, podemos formular da seguinte 
maneira: 
�⃗� = (𝑟
𝑑
𝑑𝑡
(cos(𝜃)), 𝑟
𝑑
𝑑𝑡
(sen(𝜃))) = (−𝑟 sen(𝜃)
𝑑𝜃
𝑑𝑡
, 𝑟 cos(𝜃)
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
= (− sen(𝜃), cos( 𝜃))𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
Em outras palavras, é possível expressar da seguinte forma: 
�⃗� = 𝑟𝜔�̂� 
Consequentemente, o vetor velocidade é tangencial à trajetória percorrida e, 
adicionalmente, encontra-se constantemente perpendicular ao vetor posição,o qual 
se orienta na direção radial (Figura 5). 
Figura 5. Velocidade linear no movimento circular 
 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012). 
Ao calcularmos o valor absoluto de ambos os lados da equação, resulta numa 
correlação entre os módulos das velocidades, ou seja: 𝑣 = 𝑟𝜔. 
1.5 Aceleração angular e centrípeta 
Conforme Bauer, Westfall e Dias (2012), a aceleração angular 𝛼 é determinada 
pela taxa de mudança da velocidade angular. Seu valor médio é expresso conforme: 
�̅� =
∆𝜔
∆𝑡
. 
Dessa forma, o vetor de aceleração instantânea é estabelecido como: 
𝛼 = lim
∆𝑡→0
�̅� = lim
∆𝑡→0
∆𝜔
∆𝑡
≡
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
Quanto à aceleração, é possível determinar uma relação entre a aceleração 
angular e a linear, através das direções tangencial e radial. Utilizando o vetor 
velocidade previamente obtido e a regra do produto de diferenciação (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014), podemos expressar o seguinte: 
�⃗�(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
�⃗�(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣�̂�) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
�̂� + 𝑣
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 
Portanto, o vetor de aceleração é composto por duas componentes distintas. A 
primeira é a componente tangencial, derivada da variação na magnitude da 
velocidade. Em sequência é a componente radial, originada pela situação de que o 
vetor velocidade tangencial deve modificar sua direção através da sua trajetória. 
Vamos examinar essas componentes de forma individual. Ao derivarmos 𝑣 em relação 
ao tempo, temos: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟𝜔) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝜔 + 𝑟
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 0𝜔 + 𝑟𝛼 = 𝑟𝛼. 
Assim, estabelecemos a conexão entre a aceleração angular e a variação da 
velocidade ao longo do tempo. Agora, concentraremos nossa análise na derivada do 
segundo termo da aceleração. Podemos expressar isso da seguinte maneira: 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(− sen(𝜃), 𝑐𝑜𝑠(𝜃)) = (
𝑑
𝑑𝑡
(− sen(𝜃)),
𝑑
𝑑𝑡
(− cos(𝜃)))
= (− cos(𝜃)
𝑑𝜃
𝑑𝑡,
− sen(𝜃)
𝑑𝜃
𝑑𝑡
) = −
𝑑𝜃
𝑑𝑡
(cos (𝜃), sen(𝜃)) = −𝜔�̂� 
Agora, podemos representar o vetor aceleração da seguinte forma: 
�⃗�(𝑡) = 𝑟𝛼�̂� − 𝑣𝜔�̂� 
Na Figura 6, é ilustrada a relação entre a aceleração linear e suas componentes 
em relação à aceleração angular. A aceleração, portanto, tem duas componentes: 
uma radial e outra tangencial, ambas dependentes do valor de 𝛼. A aceleração que 
altera a direção do vetor velocidade sem modificar seu módulo é conhecida como 
aceleração centrípeta, denotada por 𝑎𝑐, e direciona para o centro, na direção radial. 
Com base nisso, podemos expressar o seguinte: 
�⃗� = 𝑎𝑡�̂� + 𝑎𝑐�̂� 
Desse modo, o valor da aceleração centrípeta é determinado por: 
𝑎𝑐 = 𝑣𝜔 =
𝑣2
𝑟
= 𝑤2𝑟 
Figura 6. Relações entre aceleração linear, componentes e aceleração angular 
 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012). 
Enquanto isso, o valor da aceleração é determinado por: 
𝑎 = √𝑎𝑡
2 + 𝑎𝑐
2 = √(𝑟𝛼)2 + (𝑟𝜔2)2 = 𝑟√𝛼2 + 𝜔4 
 
1.5.1 Força centrípeta 
A força centrípeta é aquela requerida para a aceleração centrípeta em um 
movimento circular. Ela direciona-se para o centro e seu valor é expresso como: 
𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚𝑣𝜔 = 𝑚
𝑣2
𝑟
= 𝑚𝜔2𝑟 
Onde "𝑚" representa a massa do objeto em consideração. 
1.6 Movimentos circular e linear 
Com base no conteúdo abordado na seção anterior, é possível estabelecer 
conexões entre as quantidades lineares e as quantidades angulares no contexto do 
movimento circular. A Figura 7 sintetiza essas interações. 
Figura 7. Relações entre as grandezas lineares e angulares no movimento circular 
 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012). 
Exemplo 1 - O deslocamento angular de um corpo em rotação é expresso por: 
𝜃(𝑡) = 5𝑡2 
Considerando o tempo 𝑡 em segundos e θ em radianos, com um raio de 1,0 m, 
determine a velocidade e a aceleração angulares, bem como suas correspondentes 
grandezas lineares. 
Para calcular a velocidade angular, empregamos: 
𝜔(𝑡) =
𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(5𝑡2) = 10 𝑡 rad/s2. 
A aceleração angular é expressa como: 
𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(10 t rad/s2) = 10 rad/s2. 
As correspondentes grandezas lineares são definidas como: 
𝑣 = 𝑟𝜔 = (1,0 m) ⋅ (10𝑡 l/𝑠2) = 10𝑡 m/s2 
𝑎𝑡 = 𝑟𝑎 = (1,0 m) ⋅ (10 l/𝑠2) = 10 m/s2 
𝑎𝑐 = 𝜔2𝑟 = (10𝑡 l/𝑠2)2 ⋅ (1,0m) = 100𝑡2m/s4 
Ao empregarmos essas interconexões entre as quantidades lineares e 
angulares, conseguimos compreender e solucionar uma variedade de problemas 
relacionados ao movimento circular. 
Exemplo 2 - Os planetas no sistema solar exibem tanto movimentos de rotação 
quanto de translação. A órbita da Terra em volta do Sol assume uma forma próxima 
da forma circular, com um período anual. Calcule a frequência angular, a velocidade 
angular e a velocidade linear da Terra. Utilize uma distância de 1,49 ⋅ 1011 m entre a 
Terra e o Sol. 
A duração da órbita da Terra em volta do Sol corresponde a um ano. Ao 
converter para segundos, obtemos: 
𝑇 = 1 ano ⋅
365 dias
1 ano
⋅
24 h
1 dia
⋅
3600 s
1h
= 3,15 ⋅ 107s 
A frequência é calculada através de: 
𝑓 =
1
𝑇
=
1
3,15 ⋅ 107s
= 3,17 ⋅ 10−8Hz 
A velocidade angular é calculada através de: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 ⋅ 3,17 ⋅ 10−8Hz = 1,99 ⋅ 10−7rad/s 
Finalmente, a velocidade linear é determinada por: 
𝑣 = 𝑟𝜔 = (1,49 ⋅ 1011m) ⋅ (1,99 ⋅
10−7rad
s
) = 2,97 ⋅ 104m/s 
Ao converter para km/h, obtemos: 
𝑣 = 2,97 ⋅ 104
10−3km
1
3600 h
= 106,92 ⋅ 103km/h 
Como é evidente, a velocidade é consideravelmente elevada. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 
1. 
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. 
Porto Alegre: AMGH, 2012. 
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2009. v. 1. 
MARQUES, G. C.; UETA, N. Mecânica (Universitário). 𝐼𝑛: E-Física. São Paulo: USP, 
2007. . 
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção Schaum).