Exercícios de Estatística I

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS – UNIMONTES CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – CCET 10ª Lista de exercícios – Estatística I – Licenciatura Plena em Matemática
 
1- Seja 𝑋 uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [𝑎,𝑏], em que 𝑏>𝑎, e função densidade de probabilidade dada por: 
𝑓(𝑥)={1𝑏−𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎≤𝑥≤𝑏0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 
Então, considerando que 𝑐 e 𝑑 são constantes, podemos afirmar: 
a) A função distribuição acumulada de 𝑋 é dada por: 𝐹(𝑥)=𝑥−𝑎𝑏−𝑎, em que 𝑎≤𝑥<𝑏 e 
𝐹(𝑥)=1 para 𝑥≥𝑏. 
b) 𝑃(𝑐≤𝑋≤𝑑)=𝑑−𝑎𝑏−𝑎, em que 𝑎≤𝑐<𝑑≤𝑏. 
c) 𝐸[𝑋]=𝑎+𝑏2. 
d) 𝑉𝑎𝑟[𝑋]=(𝑏−𝑎)24. 
e) 𝑃(𝑐≤𝑋≤𝑏)=𝑏−𝑐𝑏−𝑎, em que 𝑎≤𝑐<𝑏.
 2- Assuma que o tempo de duração 𝑋 de uma consulta médica tenha distribuição exponencial com média de 10 minutos. Calcule a probabilidade dos seguintes eventos: 
a) Uma consulta demorar 20 minutos no máximo; 
b) Uma consulta demorar mais que 20 minutos; 
c) Uma consulta demorar mais do que o tempo médio. 
Se X∼exp (λ), então E (X) =λ−1. Como E (X) = 10, então λ= 1/10. Portanto F(x) = 1− e −1/10 x.
(a) P = 20 minutos no máximo = P (X≤ 20) = F(20) = 0.3935
(b) P = demora mais que 20 minutos = P (X>20) = 1−F (20) = 0.6065
(c) P = consulta demora mais que o tempo media =P(X>10) =e−1= 0.3679
 3 - Uma variável aleatória contínua 𝑋 tem a sua função densidade de probabilidade dada pelo gráfico: 
São corretas as afirmativas: 
a) O valor da constante 𝐾1 não poderá ser maior do que 1; 
b) O valor da constante 𝐾2 será igual a ( 𝐾2+2)2 𝐾1; 
c) A função densidade de probabilidade de 𝑋 será 𝑓(𝑥)={ 𝐾1𝑥, 0≤𝑥<1 𝐾1, 1≤𝑥≤ 𝐾20, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 
d) A função de distribuição acumulada de 𝑋 será 𝐹(𝑥)={ 𝐾1𝑥22⁄, 0≤𝑥<1 𝐾1𝑥, 1≤𝑥< 𝐾21,𝑥≥𝐾2 
e) Supondo que 𝐾2=1, a esperança matemática de 𝑋, será 13⁄.
4- Numa rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema podem ser modeladas como um processo de Poisson, com média de 25 conexões por hora. Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos?
Seja X o tempo em horas até a primeira conexão. X tem distribuição exponencial com λ = 25 conexões por hora. Queremos saber a probabilidade de X exceder 6 minutos. λ é dado em conexões por hora. Precisamos expressar as unidades de tempo em horas 6 minutos = 0,1 horas . A probabilidade requerida é P(X > 0, 1) = Z ∞ 0,1 25e −25x = e −25(0,1) = 0, 082
5- Seja 𝑋 variável aleatória com distribuição exponencial. Calcule 𝑃(𝑋>𝐸[𝑋]).
6- Seja 𝑋 uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por: 
𝑓(𝑥)=12𝛼 , em que −𝛼≤𝑥≤𝛼 e 𝛼>0.A 
Podemos afirmar: 
a) A probabilidade de que 𝑥 se situe entre –𝛼 e –𝛼 4⁄ é igual a 38⁄; 
b) A mediana de 𝑋 é igual a zero; 
c) A probabilidade de que 𝑥 se situe entre −𝛼2⁄ e 𝛼2⁄ é igual a 34⁄; 
d) 𝐸[𝑋]=0; 
e) A variância de 𝑋 é igual a 𝛼23. 
7 - O tempo médio de falha das lâmpadas produzidas em certa fábrica é de 17500 horas. Sabendo que o tempo de falha destas lâmpadas segue distribuição exponencial, qual a probabilidade de uma lâmpada falhar no seu primeiro ano de uso?
Primeiro, observe que como o tempo médio de falha é de 17500 horas, o parâmetro da exponencial é dado por
1/17500
Um ano = 365 dias 
temos x:[24\cdot 365 = 8760] horas em um ano. Assim, queremos calcular
\[ P(X\leq 8760) = 1-e^{-\frac{1}{17500}\cdot 8760} \approx 1-e^{-0,5} \approx 0,39. \] 
Assim, temos uma probabilidade de aproximadamente 39% de que a lâmpada venha a falhar no primeiro ano de uso.
8- A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade 
𝑓(𝑥)={𝜆𝑒−𝑥100⁄ 𝑥≥00 𝑥<0 
Qual é a probabilidade de que 
a) O computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar? 
b) Ele funcione menos de 100 horas?