EDO com coeficientes não constantes e o uso de Laplace

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Seja ℒ{𝑡𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Observe que:
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) ⟺ 𝑒 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠) ⟺
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯ 𝑒 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯𝐹(𝑠)
⟺
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯(𝑒 𝑓(𝑡))𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯𝐹(𝑠) ⟺ −𝑡𝑒 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯𝐹(𝑠)
⟺ − 𝑡𝑒 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯𝐹(𝑠) ⟺ 𝑡𝑒 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯𝐹(𝑠)
Portanto,
ℒ{𝑡𝑓(𝑡)} = 𝑒 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯𝐹(𝑠)
Se 𝑓(𝑡) for contínua por partes em [0, ∞) e de ordem exponencial, então, 
lim → 𝐹(𝑠) = 0
Se tivermos
ℒ{𝑡𝑦 } = −
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯(ℒ{𝑦 }) = −
𝑑
𝑑𝑠
⎯⎯⎯𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 (0)
Vamos às equações diferenciais:
𝑦 + 2𝑡𝑦 − 4𝑦 = 1
𝑦(0) = 0
𝑦 (0) = 0
EDO de coeficientes não constante e o uso da 
Transformada de Laplace
 Página 1 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
 Página 2 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
 Página 3 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
𝑡𝑦 − 𝑡𝑦 + 𝑦 = 2
𝑦(0) = 2
𝑦 (0) = −1
 Página 4 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
 Página 5 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
 Página 6 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
𝑡𝑦 − 𝑡𝑦 + 𝑦 = 2
𝑦(0) = 2
𝑦 (0) = −1
𝒇(𝒕) = 𝓛 𝟏{𝑭(𝒔)} 𝑭(𝒔) = 𝓛{𝒇(𝒕)}
1. 1 1
𝑠
⎯⎯, 𝑠 > 0
2. 𝑒 1
𝑠 − 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
3. 𝑡 1
𝑠
⎯⎯, 𝑠 > 0
4. 𝑡 , 𝑛 inteiro positivo 𝑛!
𝑠
⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
5. 𝑡 , 𝑝 ≻ −1 Γ(p + 1)
𝑠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ , 𝑠 > 0
6. 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠 + 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
7. 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠 + 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
8. 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠 − 𝑎
, 𝑠 > |𝑎|
 Página 7 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
8. 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠 − 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > |𝑎|
9. 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠 − 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > |𝑎|
10. 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏
(𝑠 − 𝑎) +𝑏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
11. 𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 𝑠 − 𝑎
(𝑠 − 𝑎) +𝑏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
12. 𝑡 𝑒 , 𝑛 inteiro positivo 𝑛!
(𝑠 − 𝑎)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
13. 𝑢 (t): função degrau 𝑒
𝑠
⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
14. 𝑢 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐) 𝑒 𝐹(𝑠) 
15. 𝑒 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 − 𝑐)
16. 𝑓(𝑐𝑡) 1
𝑐
⎯⎯𝐹
𝑠
𝑐
⎯ , 𝑐 > 0
17. ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 :Convolução de f e g 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)
18. δ(𝑡 − 𝑐): Função delta de Dirac 𝑒
19. 𝑓( )(𝑡) 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑓(0) − ⋯ − 𝑓( )(0)
20. (−𝑡) 𝑓(𝑡) 𝐹( )(𝑠)
 Página 8 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
𝒇(𝒕) = 𝓛 𝟏{𝑭(𝒔)} 𝑭(𝒔) = 𝓛{𝒇(𝒕)}
1. 1 1
𝑠
⎯⎯, 𝑠 > 0
2. 𝑒 1
𝑠 − 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
3. 𝑡 1
𝑠
⎯⎯, 𝑠 > 0
4. 𝑡 , 𝑛 inteiro positivo 𝑛!
𝑠
⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
5. 𝑡 , 𝑝 ≻ −1 Γ(p + 1)
𝑠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ , 𝑠 > 0
6. 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠 + 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
7. 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠 + 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
8. 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠 − 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > |𝑎|
9. 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠 − 𝑎
, 𝑠 > |𝑎|
 Página 9 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes 
9. 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠 − 𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > |𝑎|
10. 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏
(𝑠 − 𝑎) +𝑏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
11. 𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 𝑠 − 𝑎
(𝑠 − 𝑎) +𝑏
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
12. 𝑡 𝑒 , 𝑛 inteiro positivo 𝑛!
(𝑠 − 𝑎)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 𝑎
13. 𝑢 (t): função degrau 𝑒
𝑠
⎯⎯⎯⎯, 𝑠 > 0
14. 𝑢 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐) 𝑒 𝐹(𝑠) 
15. 𝑒 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 − 𝑐)
16. 𝑓(𝑐𝑡) 1
𝑐
⎯⎯𝐹
𝑠
𝑐
⎯ , 𝑐 > 0
17. ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 :Convolução de f e g 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)
18. δ(𝑡 − 𝑐): Função delta de Dirac 𝑒
19. 𝑓( )(𝑡) 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑓(0) − ⋯ − 𝑓( )(0)
20. (−𝑡) 𝑓(𝑡) 𝐹( )(𝑠)
 Página 10 de EDO com Laplace de coeficientes não constantes