Banco do Brasil - Matemática - Conjunto, Relações e Funçoes

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Matemática, Probabilidade e 
Estatística
banco do brasil
Conjuntos; Relações e Funções
Livro Eletrônico
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JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas 
presenciais, telepresenciais e online de Matemá-
tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-
ceira e Estatística para processos seletivos em 
concursos públicos estaduais e federais. Além 
disso, é professor de Matemática e Raciocínio 
Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. 
É servidor público há mais de 20 anos. Autor de 
diversas obras e palestrante.
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SUMÁRIO
Noções de Conjuntos e Funções ...................................................................4
1. Noções de Conjuntos ...............................................................................5
2. Relações e Funções ..............................................................................35
3. Funções Polinomiais, Exponenciais e Logarítmicas .....................................43
Gabarito do Desafio ..................................................................................55
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NOÇÕES DE CONJUNTOS E FUNÇÕES 
Os assuntos desta aula são:
• Noções de conjuntos: definição de conjunto e subconjunto; relação de per-
tinência; relação de inclusão; linguagem matemática (simbologia); represen-
tações por diagramas, representação na reta numérica, operações de união, 
interseção, diferença e complementar;
• Relações e funções: definição e aplicação;
• Funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas: resoluções de ques-
tões da banca, os conceitos e métodos serão expostos durante os comentários. 
Antes de começar, vamos brincar um pouco, ok? E nada melhor do que um de-
safio!
DESAFIO
Uma comunidade para lá de especial!
Em uma comunidade, todo homem verdadeiro é um líder. Toda pessoa idônea, se 
não for íntegra, ou é verdadeira ou é incorruptível. Ora não há pessoa íntegra e não 
há pessoa incorruptível que não seja um líder. Portanto, tem-se que, necessaria-
mente*:
a) todo líder é verdadeiro.
b) todo líder ou é íntegro ou é incorruptível.
c) toda pessoa idônea é um líder.
d) alguma pessoa íntegra é verdadeira.
e) alguma pessoa incorruptível é verdadeira.
*A resolução está no fim da aula. Boa sorte!
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1. Noções de Conjuntos
Primeiramente, é importante saber que “teoria de conjuntos” apresenta uma 
interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É um 
conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos. 
Introdução
O que é um conjunto? Pois bem, nada mais é do que uma coleção de objetos ou ele-
mentos que possuem características comuns. Um conjunto fica caracterizado por uma 
regra quando se permite decidir se um elemento pertence ou não ao conjunto. Assim, 
se chamarmos por H o conjunto dos seres humanos, podemos dizer, por exemplo, que 
José é um elemento de H, bem como a orquídea não é elemento de H. Na linguagem 
de conjuntos, tais considerações serão simbolizadas (escritas) da seguinte forma: 
José ∈ H (lê-se: José é um elemento do conjunto H)
Orquídea ∉ H (lê-se: orquídea não é elemento do conjunto H)
Como em toda ciência é importante a questão da linguagem, ou seja, sua escri-
ta, para evitar interpretações errôneas, ressaltaremos duas relações essenciais que 
serão fundamentais para as futuras operações com conjuntos.
Relação de pertinência: essa primeira consiste em relacionar um elemento a 
um determinado conjunto. Se, por acaso, queiramos relacionar um elemento “t” a 
um conjunto “T”, a relação deverá ser: 
O elemento “t” pertence a T (t ∈ T)
ou
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O elemento t não pertence a T (t ∉ T)
É importante ressaltar que os conjuntos são representados por letra maiúsculas 
e os elementos por letras minúsculas. 
 Há vários modos para descrever um conjunto, os mais comuns nas provas de 
concursos públicos são:
• A = {a; a é um algarismo arábico}, que se lê “A é o conjunto do elemento “a” 
tal que “a” é um algarismo arábico”;
• Outra maneira para definir conjunto consiste em escrever uma lista dos seus 
elementos entre chaves. Desse modo, representaríamos o conjunto A da se-
guinte forma: 
A = {1,2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, 10...}
• Um conjunto poderá ser representado por diagramas (o mais utilizado nas 
resoluções de questões) da seguinte forma:
Para dar a descrição completa de um conjunto nem sempre é preciso incluir 
todos os elementos na lista. Por exemplo, o conjunto dos algarismos poderia ser 
indicado da seguinte forma: 
A = {0, 1, 2, 3, ..., 8}
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Nem sempre é possível descrever um conjunto relacionando todos os seus ele-
mentos, como é o caso do conjunto A formado pelos números naturais. Entretanto, 
A pode ser descrito por uma lista parcial, ou seja, 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Relação de inclusão: relação existente entre conjunto e subconjunto ou sub-
conjunto e conjunto. Caso se queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, 
a relação deverá ser: 
A ⊃ B (A contém B) e B ⊂ A (B está contido em A)
Exemplo: 
No diagrama a seguir A contém o conjunto B. Logo, A é um conjunto e B é um sub-
conjunto. A
B
Número de Subconjuntos 
Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto: A = {a, b} = {a}, {b}, 
{a, b}, ∅; há, nesse caso, 4 subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos.
Importante: o conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e está 
contido em qualquer conjunto.
 Representação: ∅ ou { }, nunca {∅}.
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Agora, vejamos se o conjunto possui três elementos: C= {a, b, c} = {a}, {b}, 
{c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 23 = 8 subconjuntos.
Vejamos uma aplicação!
1. Um mestre de cozinha dispõe de seis frutas para preparar uma salada de frutas, 
sabendo que uma salada deve conter, pelo menos, duas frutas, quantas podem ser 
preparadas? 
É uma questão que poderia ser respondida por análise combinatória, em que iría-
mos calcular as combinações com pelo menos duas frutas. 
Uma maneira mais prática e rápida é se calcularmos o número de subconjuntos, ou 
seja: 2n = 26 = 64 subconjuntos, em que cada elemento é representado por uma 
fruta. Temos na composição dos subconjuntos, subconjuntos com 1, 2, 3, 4, 5, 6 
e nenhum elemento. Sendo assim, temos saladas com 1, 2, 3, 4, 5,6 e nenhuma 
fruta, logo temos que subtrair aquilo que não é salada, ou seja, os subconjuntos 
unitários e o subconjunto vazio, uma vez que paraser salada deve conter no míni-
mo duas frutas, ou seja 64 – 7. Resposta: 57 saladas.
Agora que já sabemos um pouco da linguagem com as relações de perti-
nência, inclusão e número de subconjuntos que são importantíssimos para a 
matemática e para o estudo da lógica, podemos iniciar as operações com con-
juntos que proporcionaram uma interpretação concreta do desenvolvimento do 
raciocínio. 
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Operações com Conjuntos
União ou Reunião
Dica: identificaremos uma união entre dois conjuntos quando existir o termo “OU”.
Consideremos os dois conjuntos:
A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que 
pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo conjunto é:
C = {1,2,3,4,5,6,7,8}
O conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, em que os elementos 
repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos 
que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou 
união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A ∪ B. Com 
essa notação tem-se:
C: A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Podemos, dessa forma, expressar o seguinte conceito: dados dois con-
juntos quaisquer, A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a, pelo menos, um desses conjuntos (podendo, 
evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A ou a B. Em muitas provas de concursos os conceitos são ex-
pressos em símbolos, por isso é importante interpretá-los. 
A ∪ B = {X ∈ U | X ∈ A ou X ∈ B}
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A definição acima nos mostra que, se um elemento x pertencer a A ∪ B, é equi-
valente dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verda-
deira. Desse fato decorre que:
A ⊂ A ∪ B (o conjunto A está contido na união de A com B)
e
B ⊂ A ∪ B (o conjunto B está contido na união de A com B)
Exemplos:
{x; y} ∪ {z; w} = {x; y; z; w}
{n, e, w, t, o, n} ∪ {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w} 
Vejamos uma questão comentada com a operação de união.
2. (CESPE) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo. 
Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes espe-
cialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas 
no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois 
sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total de candidatos ao 
cargo de programador é inferior a 50.
É importante observar que, ao inferir sobre o número total de candidatos, significa 
dizer: os candidatos que são especialistas no sistema operacional Linux ou os can-
didatos que são especialistas no sistema operacional Windows. 
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Há, nesse caso, uma operação de união, porém percebemos que existem especialis-
tas nos dois sistemas operacionais, sendo assim, uma excelente dica para você: se 
há elementos em comum, construímos diagramas com interseção. Vejamos abaixo: 
Linux 27
16 11 21
Windows 32
Intersecção
Identificaremos uma intersecção entre dois conjuntos quando houver os termos 
“e”, “simultaneamente” e “ao mesmo tempo”. 
Imagine que A é o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para presiden-
te e B é o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para governadora 
do DF, no primeiro turno das eleições de 2008. É certo supor que houve eleitores 
que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim, somos 
levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao 
conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A 
e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
A ∩ B = {X ∈ U| X ∈ A e X ∈ B}
Exemplos:
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø
{n, e, w, t, o, n} ∩ {h, o, r, t, a} = {o, t}
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Da definição de intersecção resulta que:
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ A
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ B
Os fatos nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
A ∩ B ⊂ A
A ∩ B ⊂ B
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que 
A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos 
quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
Diferença
Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos quando houver os termos 
“apenas”, “somente” e “exclusivamente”, ligados ao conjunto.
Suponha que A é o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para presi-
dente e B é o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para governa-
dora do DF, no primeiro turno das eleições de 2008. É certo pensar que existiram 
eleitores que votaram em Josimar, mas não votaram em Enny Giuliana. 
Isso nos leva ao conjunto dos elementos que pertencem a A, que não são ele-
mentos que pertencem a B.
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre 
A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
A – B = {X ∈ U | X ∈ A e X ∉ B}
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Exemplos:
{a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b} 
{a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b} 
{a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø 
Temos, a seguir, uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn 
em que a diferença corresponde à parte branca de A.
Complementar de B em A
Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se comple-
mentar de B em relação a A o conjunto A – B, indicado da seguinte forma:
A
B
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Exemplos:
A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}. Complementar: A – B = {c, d, e, f} 
A = B = {1}. Complementar: A – B = Ø 
A
B
Verificamos que, no diagrama exposto, há o conjunto B em relação a A definido 
como: (B está contido em A).
3. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjun-
tos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o 
conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de 
elementos do conjunto P = Y – X é igual a:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) vazio.
e) 1.
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Letra b.
Nessa questão, são dados dois conjuntos não vazios, ou seja,possuem elementos, 
mas é fornecida a quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que devere-
mos encontrar o número de elementos da seguinte maneira...
Para o conjunto X temos que: P(X) = 64, sendo P(X) = 2n. Logo,
 2n = 64, fatorando o número 64 temos que 64 = 26
 2n = 26
n = 6 (o número de elementos do conjunto n(X) = 6)
 Para o conjunto Y temos que: P(Y) = 256, sendo P(Y) = 2n. Logo,
 2n = 256, fatorando o número 256 temos que 256 = 28
 2n = 28
n = 8 (o número de elementos do conjunto n(Y) = 8)
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Para o conjunto Z, segundo o enunciado, temos: Z = X ∩ Y possui 2 elementos(n(Z) 
= 2). Logo, observe o diagrama.
Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações, vemos que a ques-
tão solicita o número de elementos do conjunto P = Y – X. Sendo assim, trata-se 
da diferença entre os conjuntos Y e X, em que devemos selecionar os elementos 
pertencentes a Y, mas não pertencentes a X. 
De acordo com o diagrama, P = Y – X = 6 elementos. 
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4. (CESPE) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma 
empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, 
que o candidato respondesse se já havia trabalhado
I – em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II – em setor de conserto de tubulações urbanas;
III – em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham ex-
periência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido 
afirmativamente
• 28 pessoas à alternativa I.
• 4 pessoas somente à alternativa I.
• 1 pessoa somente à alternativa III.
• 21 pessoas às alternativas I e II.
• 11 pessoas às alternativas II e III.
• 13 pessoas às alternativas I e III.
Com base nas informações acima, assinale a opção incorreta.
a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.
b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações 
urbanas.
c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de 
subestações.
d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de 
ampliações e reformas de subestações.
e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubu-
lações urbanas e de ampliações e reformas de subestações.
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Letra d.
Nessa questão, são dados três conjuntos: 
I – em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II – em setor de conserto de tubulações urbanas;
III – em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores 
citados, logo não existem elementos do lado de fora. De outro lado, há candidatos 
que possuem experiências nos três setores. Sendo assim, construiremos o diagra-
ma para melhor interpretação.
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Vamos, agora, preencher o diagrama referente ao setor de montagem.
O setor de montagem possui 28 candidatos com experiência. 
Ao analisar o diagrama, vemos que 4 candidatos têm experiência apenas no setor 
de montagem, logo, podemos inferir que nos espaços (X + Y + Z) que estão hachu-
radas, sobraram (28 – 4) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 
candidatos nos setores (I e II) e 13 candidatos nos setores (I e III), se somarmos, 
temos: 21 + 13 = 34, mas a quantidade real das áreas pintadas é igual 24, logo, 
há 10 candidatos a mais. O que passa da realidade encontra-se na interseção, pois 
é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo, são 10 can-
didatos com experiências nos três setores (Y = 10). 
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Segundo os valores encontrados, podemos preencher de forma completa o diagra-
ma para julgar os itens, não esquecendo de que o total de candidatos, ou seja, a 
soma dos números abaixo deve totalizar 44 candidatos.
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Com base nas informações adquiridas, assinale a opção incorreta.
Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de am-
pliações e reformas de subestações? Errado, pois há três candidatos. 
5. (CESPE/ADAPTADA) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam In-
glês, Espanhol ou Grego. Sabe-se que 60 alunos estudam Espanhol e que 40 estu-
dam somente Inglês e Espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se 
seguem. 
a) Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam so-
mente Inglês.
b) Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma outra 
língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol.
c) Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma outra 
língua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol.
Analisando a questão, temos que: 
• 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego, e representaremos da se-
guinte maneira (I ∪ E ∪ G); 
• 60 estudam Espanhol (E = 60); 
• 40 estudam somente Inglês e Espanhol ((I ∩ E) – G).
a) Errado. Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estu-
dam somente Inglês. 
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Inglês.
Vimos que as duas áreas pintadas totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preen-
cher os espaços em branco, supondo que a interseção de somente Inglês e Grego 
fosse igual a zero, ou seja, não tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 
90 alunos que estudam apenas Inglês.
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b) Certo. Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma 
outra língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol.
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c) Errado. Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma 
outralíngua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol.
6. (ESAF) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação 
popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da 
criminalidade. As propostas (referidas como “A”, “B” e “C”) não eram mutuamente 
excludentes, de modo que o entrevistado poderia declarar-se ou contra todas elas, 
ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. 
Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda 
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do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à pro-
posta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados de-
clararam-se favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entre-
vistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:
a) 17%.
b) 5%.
c) 10%.
d) 12%.
e) 22%.
Letra a.
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d + e + f + 5% = 17%
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Aproveitando a questão para uma análise mais profunda, fiz umas inferências que 
poderiam ser perguntas da banca.
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7. (FUNIVERSA) Em um grupo de 200 profissionais da área de saúde de determi-
nado estado brasileiro, apenas 50 têm olhos verdes, apenas 100 são servidores 
públicos e apenas 83 residem na capital desse estado. Assinale a alternativa que 
apresenta o número máximo desses profissionais que podem, simultaneamente, 
ter olhos verdes, ser servidores públicos e residir na capital do estado.
a) 16.
b) 17.
c) 33.
d) 50.
e) 83.
Letra a.
No primeiro comentário, a resolução é trivial, uma vez que a banca não exime a 
possibilidade de uma inclusão entre os conjuntos. Se a banca tivesse realizado tal 
restrição, a questão se tornaria mais interessante. 
Não há restrição a que o conjunto “olhos verdes” esteja contido no conjunto “residentes 
na capital” nem que esse esteja contido no conjunto “servidores públicos”. Então, de 
fato, é possível que até 50 profissionais pertençam simultaneamente aos três conjuntos.
Sendo assim, a quantidade máxima desses profissionais é 50.
Servidores Públicos
100
100
83
50
Residem na Capital
Olhos Verdes
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Obs.:� se a questão formulada pela Funiversa tivesse dito que não havia uma 
inclusão entre os conjuntos, ou seja, deixasse claro tal situação, esta seria 
resolvida da maneira abaixo. É importante ressaltar que no gabarito prelimi-
nar da referida prova, a resposta está de acordo com a resolução a seguir. 
Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra 
os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas – aliciamento de 
homens, mulheres e crianças para exploração sexual – e a pornografia infantil – en-
volvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais 
ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais.
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Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 
100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de 
pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum 
desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a cer-
teza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca 
dessas 100 denúncias analisadas.
8. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Dez denúncias foram classificadas apenas 
como crime de tráfico de pessoas. 
Certo.
Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder 
à questão vamos construir o seguinte diagrama:
Pelo diagrama, podemos inferir que são 10 denúncias.
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9. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais 
denunciados que os de pornografia infantil.
Errado.
Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder 
à questão vamos construir o seguinte diagrama:
Pelo diagrama anterior, podemos inferir que TP < PI.
Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano 
foram abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores 
encerraram as atividades este ano e 200 empresas não encerraram as atividades 
este ano e não foram abertas em anos anteriores.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
10. (CESPE/MDIC) O número de empresas que foram abertas em anos anteriores 
é superior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano.
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11. (CESPE/MDIC) O número de empresas que encerraram as atividades este ano 
e que foram abertas em anos anteriores é superior a 110.
12. (CESPE/MDIC) Do grupo de 2.000 empresas, metade foi aberta em anos an-
teriores.
É uma questão de conjuntos devido à presença de elementos que pertencem aos 
dois conjuntos: empresas que encerraram as atividades este ano (E) e empresas 
que foram abertas em anos anteriores (A). 
A questão é de alta complexidade, pois existe um universo de 2000 empresas em 
que 200 não fazem parte dos conjuntos citados. Sabe-se que 1/9 das que encerra-
ram as atividades este ano e foram abertas em anos anteriores é igual a 1/10 das 
que foram abertas em anos anteriores e encerraram as atividades este ano. Dessa 
forma, podemos escrever a seguinte equação:
 A = X, em que X são as empresas em comum.
Logo, podemos inferir que:
 E = X, isto significa que E = 9X
 A = X, isto significa que a = 10X
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Construindo o diagrama: 
E= empresas que encerraram as suas atividades este ano
A= empresas que foram abertas em anos anteriores
8X + X + 9X + 200 = 2000
18X = 2000 – 200
18X = 1800
X – = 10
X – é a quantidade de empresas em comum em Ae B
Substituindo os valores no diagrama:
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Julgando os itens:
10. Certo. O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é supe-
rior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano.
A > E, ou seja, 1000> 900
11. Errado. O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que 
foram abertas em anos anteriores é superior a 110. 
X – é igual a 100
 
12. Certo. Do grupo de 2.000 empresas, metade foi aberta em anos anteriores.
A = 1000, ou seja, A = 1/2 de 2000 (total de empresas)
13. (2014/CESGRANRIO/BANCO DA AMAZÔNIA) O conjunto diferença X - Y, entre 
dois subconjuntos X e Y de um mesmo conjunto universo U, é definido por:
X - Y = {u ∈ U / u ∈ X e u ∉ Y} 
Considere três subconjuntos, A, B e C, do mesmo conjunto Universo U.
O conjunto A - (B ∩ C) é igual ao conjunto
a) (A - B) ∩ (A - C) 
b) (A - B) ∪ (A - C)
c) (A - B) ∩ C 
d) (A - B) ∪ C 
e) (A - B) – C
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Letra b.
Não sabemos como os conjuntos se relacionam, logo vamos criar 3 subconjuntos 
A, B e C para que fique mais prática a resolução. A resposta tem que satisfazer 
os conjuntos criados, uma vez que não foram determinados anteriormente pelo 
comando.
A = 2, 4, 7
B = 4, 6, 8
C = 1, 8, 9
 O conjunto A - (B ∩ C) é igual 
 A - (B ∩ C) = (2,4, 7) - (8) = {2,4,7}
Verificando as alternativas:
a) (A - B) ∩ (A - C) 
(2,7) ∩ (2,4,7) = {2,7} (não é a resposta)
b) (A - B) ∪ (A - C)
(2,7) ∪ (2,4,7) = {2,4,7} 
Já podemos inferir que os conjuntos são iguais. 
2. Relações e Funções 
Antes de falarmos de funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas, é im-
portante entendermos que algumas associações entre elementos de dois conjuntos 
podem não representar uma função. 
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Uma relação nem sempre é uma função, vejamos o porquê.
Dados dois conjuntos A e B, uma relação de A em B é um conjunto de pares 
ordenados (x; y) onde x ∈ A e y ∈ B.
Considerando os conjuntos A e B abaixo podemos considerar as seguintes rela-
ções de A em B:
Relação R1: {(1,5); (2,7); (3,8); (4, 8)} 
Ou podemos representar geometricamente (diagramas de fechas) a Relação R1 
por fechas:
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O conjunto A é denominado DOMÍNIO. 
D: {1,2,3,4}
O conjunto B é denominado CONTRA-DOMÍNIO.
CD: {5,6,7,8,9}
Podemos visualizar que nem todos os elementos do contra-domínio estão as-
sociados com os elementos do domínio, logo podemos formar um novo conjunto 
denominado imagem (Im). 
Im: {5,7,8}
Dessa forma, podemos inferir que uma relação nada mais é do que a associação 
de um elemento do domínio com outro elemento do contra-domínio. 
Exemplo de uma RELAÇÃO.
R2= {(2,7); (3,8); (4,5)}. 
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A pergunta é a seguinte: por que o exemplo dado não é uma função?
Função: uma relação f de X em Y é chamada de função de X em Y se, e somente 
se forem satisfeitas as condições:
• todos os elementos de X possuem imagem;
• cada elemento de X tem uma única imagem.
Vejamos alguns exemplos.
Consideremos as relações f, g e h representadas pelos diagramas de flechas:
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Conforme as condições, vamos verificar quais das relações são funções:
• a relação F (x) não é uma função, pois o elemento 3 do domínio não possui 
imagem, ou seja, não podemos ter elementos sobrando no domínio;
• a relação G (x) não é uma função, pois cada elemento do domínio pode ter 
apenas uma imagem, e o elemento 3 possui duas imagens {-1, -2};
• função H (x) é uma função, pois todos os elementos de X possuem imagem 
e cada elemento de X tem uma única imagem. Não tem problema sobrarem 
elementos no contra-domínio.
Domínio e Conjunto Imagem
Dada uma função de X em Y, o conjunto X é chamado domínio (D (f)) da função. 
O conjunto de todas imagens é chamado conjunto imagem (Im (f)) da função. Por 
exemplo, para a função f esquematizada a seguir, temos:
D (f): {a, b, c}
Im (f): {e, f}
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14. (2017/OBJETIVA/SAMAE DE CAXIAS DO SUL-RS) O setor administrativo de 
determinada autarquia é composto por 4 Assistentes de Planejamento, que deve-
rão votar em um dos 10 funcionários do setor operacional para participar de certa 
conferência. Considerando-se que os Assistentes de Planejamento são representa-
dos pelo conjunto A = {1, 2, 3, 4}, que os funcionários do setor operacional são 
representados pelo conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e que o resultado 
da votação foi expresso pela função f (x): A → B, definida por f (x) = {(x, y) ∈ A x 
B| y = 2x +1}, assinalar a alternativa CORRETA:
a) Um dos funcionários do setor operacional recebeu dois votos.
b) O conjunto domínio é representado por D = {3, 5, 7, 9}.
c) O conjunto imagem é representado por I = {1, 2, 3, 4}.
d) A representação gráfica é
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e) O diagrama da votação é
Letra d.
Dada a função f (x): A → B, definida por f (x) = {(x, y) ∈ A x B| y = 2x +1, vamos 
construir os conjuntos pelos diagramas para que possamos interpretar melhor:
Para x, f (x) = {(x, y) ∈ A x B| y = 2x +1
Para x=1, f (1) = {(1, 3) ∈ A x B| y = 2x +1 = y= 2.1 + 1 = 3
Para x=2, f (2) = {(2, 5) ∈ A x B| y = 2x +1 = y= 2.2 + 1 = 5
Para x=3, f (3) = {(3, 7) ∈ A x B| y = 2x +1 = y= 2.3 + 1 = 7
Para x=4, f (4) = {(4, 9) ∈ A x B| y = 2x +1 = y= 2.4 + 1 = 9
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Podemos analisar cada uma das opções para que você entenda melhor, vamos lá?
a) Errada. Todos que receberam voto, receberam apenas um voto. 
b) Errada. O conjunto domínio são todos os elementos que se encontram no con-
junto A = {1, 2, 3, 4} 
c) Errada. O conjunto imagem é formado pelos elementos I= {3,5,7,9}
d) Certa, pois:
{(1,3); (2,5); (3,7); (4,9)}
e) Errada. Não está de acordo com o nosso diagrama, a imagem do elemento 4 do 
domínio é o elemento 9 e não 8, conforme a figura abaixo:
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15. (2017/IBFC/MGS) Sejam os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}, pode 
dizer que a relação que representa uma função de A em B é:
a) R = {(0,2); (1,5); (2,6)}
b) R = {(0,3); (1,4); (2,6); (3,4)}
c) R = {(0,2); (1,2); (2,2); (2,3)}
d) R = {(0,6); (1,5) ;(2,4); (3,3) ;(0,2)}
Letra b.
Os elementos do conjunto A representam o domínio e do conjunto B o contrado-
mínio.
Todos os elementos de X possuem imagem e cada elemento de X tem uma única 
imagem.
a) Errada. Todos os elementos do domínio têm que possuir uma imagem.
c) Errada. Um elemento de X tem mais de uma imagem.
d) Errada. Um elemento de X tem mais de uma imagem.
3. Funções Polinomiais, Exponenciais e Logarítmicas
Nesta parte de funções, comentarei questões da banca Cesgranrio e durante 
os comentários citarei os conceitos e métodos necessários para resoluções das 
questões.
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16. (2008/CESGRANRIO/PETROBRAS) Seja f uma função de IR em IR cuja lei é f 
(x) = A.x2 + B.x + C. Sabendo-se que f (0) = 12, f (3) = 0 e f (– 1) = 8, o valor 
de A + B + C é
a) 14
b) 13
c) 12
d) 10
e) 8
Letra c.
Primeiramente, iremos encontrar os coeficientes da função, ou seja, a, b e c. 
A banca nos informou que:
f (0) = 12, substituindo x por 0 teremos o coeficiente c = 12. Veja:
a0²+b0+c = 12 
c= 12;
f (3) = 0, substituindo x por 3 teremos:
9a+3b+12=0
9a + 3 b = -12 (dividir por 3) 
3a + b = -4 
f (– 1) = 8, substituindo x por -1, teremos:
a(-1)2-1b + 12 = 8
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a – b = - 4 ( multiplicar por -1) 
-a + b = 4 
Resolvendo as duas equações:
 3a + b = -4 
 -a + b = 4 
Temos que: a= -2 e b= 2 
Os coeficientes são: a= -2, b= 2 e c = 12 
Somando os coeficientes: -2 +2 +12 = 12
17. (2017/CESGRANRIO/PETROBRAS) Quantos valores reais de x fazem com que 
a expressão x2 – 5x + 5) x2 + 4x – 60 assuma valor numérico igual a 1? 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6 
Letra d.
A expressão dada pode assumir o valor igual 1 em 3 casos diferentes, vejamos.
1º caso: expoente igual a zero, pois “todo número diferente de zero elevado a zero 
é igual a 1”.
2º caso: base igual a 1.
3º caso: base igual a -1 e expoente par.
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1º caso: vamos encontrar os valores de x que fazem com que o expoente (uma 
equação do segundo grau) seja igual a zero.
x² + 4x – 60 = 0
Como o coeficiente a é igual a 1, podemos aplicar soma e produto ou, se você pre-
ferir, pode aplicar a fórmula de Bhaskara.
Encontrando as raízes da equação:
10 + -6 = 4 (b)
10 x -6 = -60 (c)
{6, -10}, no final inverte os sinais. 
2º caso: base da potência igual a 1.
Vamos procurar os valores de x que fazem a base ser igual a 1.
x² – 5x + 5 = 1
x² – 5x + 5 – 1 = 0
x² – 5x + 4 = 0
Como o coeficiente a é igual a 1, podemos aplicar soma e produto ou, se você pre-
ferir, pode aplicar a fórmula de Bhaskara.
Encontrando as raízes da equação:
x² – 5x + 4 = 0
-1 + -4 = -5(b)
-1 x – 4 = 4 (c)
{1, 4}, no final inverte os sinais. 
3º caso: base da potência igual a -1 e expoente par.
Encontrando os valores de x para que a base seja igual a -1.
x² – 5x + 5 = -1
x² – 5x + 5 + 1 = 0
x² – 5x + 6 = 0
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-3 + -2 = -5(b)
-3 x – 2 = 6 (c)
{3, 2}, no final inverte os sinais. 
Agora, vamos verificar quanto ao expoente.
Basta, agora, verificar com os valores encontrados acima se os expoentes serão 
pares em algum desses dois casos.
Para x = 2
x² + 4x – 60
2² + 4.2 – 60
4 + 8 – 60
-48 (par)
Para x = 3
x² + 4x – 60
3² + 4.3 – 60
9 + 12 – 60
-39 (ímpar)
Podemos inferir que existem 5 valores de x que fazem a expressão assumir o valor 
numérico 1:
{-10, 1, 2, 4 e 6}
18. (2014/CESGRANRIO/PETROBRAS)
Considerando-se a equação 6
x–1 + 6x–2 = 1
61–x + 62–x
 , a soma de todos os elementos de seu 
conjunto solução é igual a 
a) – 1,5
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b) 0
c) 1,5
d) 3,5
e) 6 
Letra c.
Para que o quociente seja igual a 1, podemos inferir que o numerador e denomina-
dor são iguais, logo:
6x-1 + 6x-2 = 61-x + 62-x 
Pela propriedade da potenciação:
6x-1 + x-2 = 61-x + 2-x 
Se as bases das potencias são iguais, os expoentes também serão iguais, então:
x-1 + x -2 = 1-x + 2-x 
2x -3 = -2x + 3
4x = 6 
x = 1,5 
19. (2014/CESGRANRIO/PETROBRAS) Quanto maior for a profundidade de um 
lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua super-
fície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere 
que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada 
pela função y = i 0. (0,6) x/88, onde i0 representa a intensidade da luz na sua super-
fície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3
A profundidade desse lago, em cm, está entre.
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Dados 
Log 2 = 0,30 
Log 3 = 0,48
a) 150 e 160
b) 160 e 170
c) 170 e 180
d) 180 e 190
e) 190 e 200 
Letra e.
Dada a função y = i * (0,6) x/88
No ponto mais profundo a luminosidade do lago será y= i/3.
A luminosidade inicial será: i.
Substituindo na função:
y = i . (0,6) x/88
i/3= i . 0,6x/88
Simplificando a incógnita “ i “ nos dois membros:
1/3 = 0,6 x/88
Como o nosso domínio “x” se encontra no expoente, uma maneira de encontra-lo é 
aplicarmos logaritmo dos dois lados da igualdade.
log(1/3) = log(6/10)x/88
Aplicando as propriedades dos logaritmos:
log 1 - log 3 = x/88 . (log 6 - log 10)
log 1 - log 3 = x/88 . (log 2 + log 3 - log 10)
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0 - 0,48 = x/88 (0,30 + 0,48 - 1)
-0,48 . 88 = x . (-0,22)
-42,24 = -0,22x
Multiplicando por (-1)
42,24 = 0,22x
x = 42,24/0,22
x = 192 cm 
A profundidade desse lago, em cm, está entre 190 e 200. 
Principais propriedades dos logaritmos:
• Propriedades do quociente do logaritmo: se tivermos um logaritmo tipo 
log a x/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a 
pelo logaritmo do denominador também na base a.
• log a x/y = log a x – log a y
• 
Exemplo:
log5 (625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1
• Propriedade do produto do logaritmo: agora, se o loga-
ritmo for do tipo: log a (x . y), devemos resolvê-losoman-
do o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a. 
log a (x. y) = log a x + log a y
Exemplo:
log2 (32. 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9
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• Propriedade da potência do logaritmo: no caso de uma potência, se um 
logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expo-
ente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja:
Log a x m = m.log a x
Exemplo:
Log 3 812 = 2.log3 81 = 2 * 4 = 8 
• Propriedade da mudança de base: existem situações em que precisamos 
mudar a base dos logaritmos. Para isso, devemos trabalhar o problema no in-
tuito de estabelecer o logaritmo na base desejada de acordo com o problema. 
Veja como se realiza a mudança de base, que consiste na seguinte definição:
Log b a =
logca
logcb
Exemplo:
log8 0,90309
= = 1,292
log5 0,69898
20. (2013/CESGRANRIO/BANCO DA AMAZÔNIA) Sabe-se que x e y são números 
reais tais que y = 53x. 
Conclui-se que x é igual a
a) log5 (y3)
b) log5 
y
3
c) log5 y( (3
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d) log5 (3y)
e) log5 
1
3 . log5 (y)
Letra c.
Temos a seguinte função exponencial: y=53x, para que possamos encontrar o valor de 
x, que se encontra no expoente, devemos aplicar logaritmo nos dois lados da igualdade. 
Log y = log 53x (aplicando a propriedade da potência no logaritmo do segundo 
membro).
Log y = 3x. log 5 (passando o log 5 dividindo para primeiro membro).
Log y / log 5 = 3x ( no primeiro membro podemos aplicar a propriedade da mudan-
ça de base, na verdade é como se voltássemos, veja:
Log y / log 5= log 5 y, assim:
log 5 y = 3x (passa o 3 dividindo para o primeiro membro)
1/3. log 5 y = x 1/3 ‘’retorna’’ como expoente do logaritmo Y, y1/3, em 
que podemos inferir que é igual a raiz cúbica de y.
Dessa forma, podemos concluir que x é igual a log5 y(
(3 .
21. (2017/CESGRANRIO/PETROBRAS) Qual o maior valor de k na equação log (k 
x) = 2 log (x+3) para que ela tenha exatamente uma raiz?
a) 0
b) 3
c) 6
d) 9
e) 12 
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Letra c.
Log (k x) = 2log (x+3)
Aplicando a propriedade da potência (de traz para a frente) no segundo membro, 
teremos:
Log (k x) = log (x+3)²
Como o primeiro membro deve ser igual ao segundo, podemos imaginar que não 
temos os logaritmos, logo:
k .x = (x+3)²
k .x = x² + 6x + 9
x² + 6x - kx + 9 = 0.
x2 + (6-k) x +9 = 0 
Temos, agora, uma equação de segundo grau com os seguintes coeficientes: a= 
1, b = (6-k) e c = 9. A questão afirma que a equação possui apenas uma raiz. É 
importante relembrarmos que uma equação do 2º grau possui raízes iguais quando 
a discriminante, delta, Δ = 0. Vejamos:
Δ = b² - 4 a c
Δ = (6 - k) ² - 4 (1) (9)
Δ = 36 - 12k + k² - 36
Δ = k² - 12k
Sendo delta igual a 0, então
k² - 12k = 0
Colocando o k em evidência
k (k - 12) = 0
k pode assumir os valores 0 ou 12. 
A questão solicita o maior valor, logo será 12. 
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22. (2011/CESGRANRIO/PETROBRAS) Sendo a função f (x) = 2. log 5(3x⁄4), em 
que x é um número real positivo, f (17) é um número real compreendido entre
a) 1 e 2
b) 2 e 3
c) 3 e 4
d) 4 e 5
e) 5 e 6 
Letra c.
Dada a função f (x) = 2. Log 5 (3x ⁄ 4), a questão solicita a imagem quando o do-
mínio (x) é igual a 17, dessa forma, basta apenas substituirmos:
f(17) = log 5 (3x/4) 2
log 5 (3x/4)2
log 5 (3.17/4) 2
log 5 (51/4) 2
log 5 (12,75)2
log 5162,56
log 5162,56 = x (aplicando o logaritmo) 
5x = 162,56
Qual os valores que podemos ter para o valor de x?
53 = 125
54 = 625 
Dessa forma, podemos inferir que x está entre 3 e 4. 
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GABARITO DO DESAFIO
Construindo os diagramas conforme os seus respectivos quantificadores lógicos, 
temos: 
Resposta: letra c.
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