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Memorial de Cálculo - ARCO TRIARTICULADO EM MADEIRA

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
GES-018 Dimensionamento de Estruturas de Madeira (PECE) 
 
 
 
 
 
 
Raissa Pravatta Pivetta 
 
 
 
 
 
 
Projeto de Estruturas de Madeira: 
Memorial de Cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
Julho de 2020 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 3 
2 DADOS ......................................................................................................................... 3 
2 CÁLCULOS GEOMÉTRICOS PRELIMINARES ........................................................... 4 
3 PRÉ DIMENSIONAMENTO .......................................................................................... 7 
4 AÇÕES UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS .............................................................. 8 
4.1 Carga vertical uniformemente distribuída permanente ........................................... 9 
4.2 Carga vertical uniformemente distribuída de sobrecarga ..................................... 11 
4.3 Carga radial de vento ........................................................................................... 13 
5 VERIFICAÇÃO DA SEÇÃO ........................................................................................ 16 
5.1 Flexo-compressão ................................................................................................ 16 
5.2 Cisalhamento ....................................................................................................... 20 
5.3 Flexo-tração ......................................................................................................... 21 
6 CONCLUSÃO ............................................................................................................. 22 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O presente trabalho tem como objetivo verificar o Estado Limite Último devido aos 
esforços solicitantes gerados pelas cargas permanentes, sobrecarga e vento em um 
arco tri articulado de 29 metros de vão. 
 
2 DADOS 
 
Cobertura com chapas onduladas de fibrocimento apoiada em arcos tri-articulados de 
eixo circular conforme a Figura 1: 
 
Figura 1: arco tri-articulado 
Vão Livre entre apoios (L): 
𝑳 = 𝟐𝟗, 𝟎 𝒎 
Flecha do arco (f): 
𝑓 =
𝐿
5
=
29
5
 
𝒇 = 𝟓, 𝟖 𝒎 
A espécie de madeira escolhida foi a Eucalyptus grandis, de acordo com a NBR 
7170:1997 Projetos de Estruturas de Madeira, temos os dados apresentados na Tabela 
1. 
Tabela 1: dados da madeira 
Nome 
comum 
Nome científico 
ρap Ec0 fc0,k fv,k ft0,k 
kg/m³ MPa MPa MPa MPa 
E. Grandis 
Eucalyptus 
grandis 
640 12813 40,3 7,00 70,2 
• Carregamentos de longa duração: 𝐾𝑚𝑜𝑑1 = 0,7 
• Classe de umidade (1) e (2): 𝐾𝑚𝑜𝑑2 = 1,0 
• Madeira Laminada Colada (primeira categoria): 𝐾𝑚𝑜𝑑3 = 1,0 
Portanto: 
𝐾𝑚𝑜𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑1. 𝐾𝑚𝑜𝑑2. 𝐾𝑚𝑜𝑑3 
𝐾𝑚𝑜𝑑 = 0,7. 1,0 . 1,0 
𝐾𝑚𝑜𝑑 = 0,7 
 
2 CÁLCULOS GEOMÉTRICOS PRELIMINARES 
 
NOTA: os valores aqui apresentados foram representados com duas casas decimais, 
porém para todos os cálculos deste memorial foram feitas as contas com os valores 
decimais completos (valor fracionário), podendo haver pequenas diferenças nos valores 
resultantes se refeitos os cálculos com apenas duas casas decimais (principalmente 
aqueles feitos com os ângulos em radianos). Optou-se por representar os valores desta 
forma pois representam melhor o valor real do que com os cálculos feitos com apenas 
duas casas decimais. 
 
Figura 2: detalhe da divisão do arco em aduelas 
 
Raio (R): 
𝑅 =
1
2𝑓
(
𝐿2
4
+ 𝑓2) 
𝑅 =
1
2 . 5,8
(
292
4
+ 5,82) 
𝑹 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟑 𝒎 
Ângulo do meio do arco (Φ0): 
𝛷0 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝐿
2𝑅
) 
𝛷0 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
29
2 . 21,03
) 
𝜱𝟎 = 𝟒𝟑, 𝟔𝟎° = 𝟎, 𝟕𝟔 𝒓𝒂𝒅 
 
Ângulo do arco (ΔΦ): 
𝛥Φ =
𝛷0
3
 
𝛥Φ =
0,76
3
 
𝜟𝚽 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒓𝒂𝒅 
Ângulo de cada “fatia” arco (ΔΦ’): 
𝛥Φ′ =
𝛷0
6
 
𝛥Φ′ =
0,76
6
 
 
𝜟𝚽′ = 𝟎, 𝟏𝟑 𝒓𝒂𝒅 
 
 
Ordenadas: 
𝑥 =
𝐿
2
− 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝛷𝑖) 
𝒙 =
𝟐𝟗
𝟐
− 𝟐𝟏, 𝟎𝟑. . 𝒔𝒆𝒏(𝜱𝒊) (I) 
 
𝑦 = 𝑅(𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 1) + 𝑓 
𝒚 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟑(𝒄𝒐𝒔𝜱𝒊 − 𝟏) + 𝟓, 𝟖 (II) 
 
Considerando que os eixos x e y têm coordenadas (0;0) no nó zero e que cada faixa 
tem ângulo de 7,27°, sendo n o número do nó, temos a seguinte equação: 
𝜱𝟎 = 𝟕, 𝟐𝟕. (𝟔 − 𝒏) 
Com esta equação obtemos os valores dos ângulos de cada faixa, conforme Tabela 
2: 
 
Tabela 2: ângulos de cada faixa 
n Equação Φi (rad) 
0 𝛷0 = 0,76. (6 − 0) 
 
0,76 
1 𝛷0 = 0,76. (6 − 1) 
 
0,63 
2 𝛷0 = 0,76. (6 − 2) 
 
0,51 
3 𝛷0 = 0,76. (6 − 3) 0,38 
4 𝛷0 = 0,76. (6 − 4) 0,25 
5 𝛷0 = 0,76. (6 − 5) 0,13 
6 𝛷0 = 0,76. (6 − 6) 0,00 
7 𝛷0 = 0,76. (6 − 7) -0,13 
8 𝛷0 = 0,76. (6 − 8) -0,25 
9 𝛷0 = 0,76. (6 − 9) -0,38 
10 𝛷0 = 0,76. (6 − 10) -0,51 
11 𝛷0 = 0,76. (6 − 11) -0,63 
12 𝛷0 = 0,76. (6 − 12) 
 
-0,76 
 
 
Com os valores dos ângulos, as ordenadas são calculadas pelas seguintes equações: 
𝑥 =
𝐿
2
− 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝛷𝑖) 
𝒙 =
𝟐𝟗
𝟐
− 𝟐𝟏, 𝟎𝟑. 𝒔𝒆𝒏(𝜱𝒊) (I) 
 
𝑦 = 𝑅(𝑐𝑜𝑠𝛷𝑖 − 1) + 𝑓 
𝒚 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟑(𝒄𝒐𝒔𝜱𝒊 − 𝟏) + 𝟓, 𝟖 (II) 
 
Assim, aplicando as equações (I) e (II), temos os valores das ordenadas x (Tabela 3) 
e das ordenadas y (Tabela 4). 
 
Tabela 3: ordenadas x 
Nó 
Φi 
(rad) 
Equação xi (m) 
0 0,76 𝑥0 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,76) 0,00 
1 0,63 𝑥1 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,63) 2,04 
2 0,51 𝑥2 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,51) 4,28 
3 0,38 𝑥3 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,38) 6,69 
4 0,25 𝑥4 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,25) 9,22 
5 0,13 𝑥5 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0,13) 11,84 
6 0,00 𝑥6 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(0) 14,50 
7 -0,13 𝑥7 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,13) 17,16 
8 -0,25 𝑥8 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,25) 19,78 
9 -0,38 𝑥9 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,38) 22,31 
10 -0,51 𝑥10 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,51) 24,72 
11 -0,63 𝑥11 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,63) 26,96 
12 -0,76 𝑥12 = 14,5 − 21,03. 𝑠𝑒𝑛(−0,76) 29,00 
 
Tabela 4: ordenadas y 
Nó 
Φi 
(rad) 
Equação yi (m) 
0 0,76 𝑦0 = 21,03[cos(0,76) − 1] + 5,8 0,00 
1 0,63 𝑦1 = 21,03[cos(0,63) − 1] + 5,8 1,71 
2 0,51 𝑦2 = 21,03[cos(0,51) − 1] + 5,8 3,15 
3 0,38 𝑦3 = 21,03[cos(0,38) − 1] + 5,8 4,30 
4 0,25 𝑦4 = 21,03[cos(0,25) − 1] + 5,8 5,13 
5 0,13 𝑦5 = 21,03[cos(0,13) − 1] + 5,8 5,63 
6 0,00 𝑦6 = 21,03[cos(0) − 1] + 5,8 5,80 
7 -0,13 𝑦7 = 21,03[cos(−0,13) − 1] + 5,8 5,63 
8 -0,25 𝑦8 = 21,03[cos(−0,25) − 1] + 5,8 5,13 
9 -0,38 𝑦9 = 21,03[cos(−0,38) − 1] + 5,8 4,30 
10 -0,51 𝑦10 = 21,03[cos(−0,51) − 1] + 5,8 3,15 
11 -0,63 𝑦11 = 21,03[cos(−0,63) − 1] + 5,8 1,71 
12 -0,76 𝑦12 = 21,03[cos(−0,76) − 1] + 5,8 0,00 
 
3 PRÉ DIMENSIONAMENTO 
 
Largura (b): 
𝑏 = 18 𝑐𝑚 = 0,18 𝑚 
Esbeltez (λ): 
𝜆 =
𝑑√12
𝑏
 
𝜆 =
6√12
0,18
 
𝜆 = 38,49 
Esbeltez (λ): 
𝜆 =
0,6𝐿√12
ℎ
= 80 
ℎ =
0,6 . 29 √12
80
 
ℎ = 0,753 𝑚 
Para ser uma peça medianamente esbelta com 𝜆 < 80 foi adotado h=0,80m, assim: 
𝜆 =
0,6 . 29 √12
0,80
 
𝜆 = 75,34 
 
4 AÇÕES UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS 
 
Neste projeto, temos cargas distribuídas permanentes e de sobrecarga paralelas ao 
eixo x, conforme Figura 3, descritas nos itens 4.1 e 4.2 a seguir. 
 
Figura 3: cargas distribuídas paralelas ao eixo x 
 
4.1 Carga vertical uniformemente distribuída permanente 
 
Referentes as cargas do peso próprio do telhado temos os valores apresentados na 
Tabela 5. 
Tabela 5: peso próprio telhado 
Telhado de fibrocimento (molhado) 0,24 kN/m² 
Terças 0,06 kN/m² 
Contraventamento, correntes etc. 0,05 kN/m² 
pg,telhado 0,35 kN/m² 
 
Para a carga da estrutura do arco devido a força gravitacional, considerando a 
aceleração da gravidade (a) 9,81m/s²: 
𝑝𝑔,𝑎𝑟𝑐𝑜 = 𝑏 . ℎ . 𝜌𝑎𝑝. 𝑎 
𝑝𝑔,𝑎𝑟𝑐𝑜 = 0,18 . 0,80 . 640 .
9,81
1000
 
𝒑𝒈,𝒂𝒓𝒄𝒐 = 𝟎, 𝟗𝟎 𝒌𝑵/𝒎 
 
Somando a carga do telhado com