Exercícios Propostos de Resistência dos Materiais - Fascículo II_Mori

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LA 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Departamento de Estruturas 
Exercícios Propostos de 
Resistência dos Materiais 
Fascículo II 
Dagoberto Dario Mori e Outros 
São Carlos, · 1978 
Reimpressão 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
,, ,, 
Fascículo li 
DAGOBERTO DÁRIO MORI e outros 
1.ª Edição 
Janeiro - 1978 
INTRODlJC' ÃO 
Esta coletânea vem comple~entar o fascículo I, 
"Exercícios Propostos de Resistência dos Materiais". Aqui 
estão selecionados os exercicios referentes i segunda Pª! 
te das disciplinas de Resistência dos Materiais ministra-
das na Escola de Engenharia de São Carlos.· 
Esta publicação, do Departamento de Estruturas, 
se deve ao trabalho do Prof, Dagoberto Dari.o Mori na cole 
ta e revisão dos exerc!cios utilizados nas aulas priticas 
ou arguições daquelas disciplinas, 
Esses exerclcios foram elaborados pelos seguin-
tes professores: 
Dagoberto Dario Mori 
Eduardo José Pereira Coelho 
Eloy Ferraz Machado Júnior 
João Carlos Barreiro 
José Elias Laier 
Munir Rachid 
Walter Libardi 
Esta 2a. edição foi revisada pelo Prof. Mareio 
Antonio Ramalho e os trabalhos de datilografia e desenho 
foram executado,s por funcionários do Departamento de Es-
1truturas. 
são Carlos, abril de 1981 
Departamento de Estruturas 
/ 
. · Ij 1()· 
109 LISTA DE EXERCÍCIOS ( L 10) 
RESI STÊN CIA DOS MATE RIAIS 
-
p_ 
,-
q 
-
-
-P
-
,-
I 
ESTA DOS DE TENSÕES 
Um corpo está submetido 
... as tensoes normais p e q.
No corte Ia tensão tan­
gencial tem o sentido i� 
-' dicado no desenho, e seu 
valor ê 0,8 tf/cm 2 . No 
corte II a tensão normal 
I �de tração e seu valor i 
21,6 tf/cm 
Calcular as ten$Ões principais, a tensao tangencial no cor 
te II e a tensão normal no corte I. 
Uma caldeira de diâmetro lm e espessura 2cm está sujei ta a 
uma pre�são interna p • 50 kgf/cm 2 • Sabendo-se que a cal­
deirai constitufda de chap�s de aço soldadas de tal ma-
- o neira que a costura de solda forma um angulo de 30 com a 
horizontal (vide figura), calcular as tensoes que agem no 
fio de solda. 
Da 100 PI 
TJm t·ubo de oarede fina estâ submeti do a um momento torçor 
constante (M = 1,0 tfm) em todas as secç5es e a uma pre� 
t 2 sao externa constante (p = 0,2 tf/cm ) conforme esquema
(secção do tubo), 
Calcular: 
1) Tensões principais, indicando, ela
ramente as direções onde elas ocor
rem.
2) T indicando a direção do cortemax 
onde ele ocorre 
10 .. , 
p 
-· 
O cilindro de diimetro lrn e espessura 2cm, esti sub~etido a 
'.) 
uma pressão interna p = 40 kgf/crn- e a um momento torçor 
M"' 157 tf•m, Calcular as tensoes principais indicando as 
direções onde elas ocorrem. 
p = 40 Kgf/c:m 2 
Qual é a expressão da máxima 
tensao de cisalhamento no es 
tado de tensão representado 
na figura? 
___ t 
r 
Calcular as tensões principais no ponto A situado na alma 
do perfil. A seção que contêm o ponto A está submetida a: 
momento fletor:+1000 kgf/m 
força cortante:+1000 kgf 
O plano de carregamento é o plano yy. 
Dados: 
J 907 
4 
1 cm XX 4 
J = 7 5 cm 
8, 5 Cffl 
y 
YY 
_______ ., 
A 
x--·-
0,58 
., 
med idg1 ,m c:m 
� A caldeira de seçao circular de diâmetro lm e espessura 1cm 
está engastada em dois "gigantes" e sujeita a uma pressão 
interna de 20 kgf/cm2• Se o "gigante"@sofre um recalque 
com giro a• 0,01 rad, calcular as tensões principais e in 
clicar&' direçÕes·onde elas ocorrem. 
G • 800tf/cm
2 
, li 'Gigante 11 Gigonte"
----·-- --·-- ---· 
P1 = 20 I< gf,k;rrl' !
� -�8.--...00� rn�l.A-� 
© 
-
As duas peças da figura sao colo 
cadas como ê indicado. A cola não 
pode ser tracionada e suporta 
tensão de cisalhamento de no mâxi 
mo 0,4 tf/cm2 , O conjunto está 
submetido iis tensões (principais) 
indicadas. Entre qu·e valores pode 
variar a tensão a para que a soli 
citação na cola �eja admisslvel? 
CORTE A-A 
o, 1 tt/em
1
----
O tubo de parede grossa, cuja seção ê representada na figu­
ra, é solicitado por um momento torçor de 6 tf•m e uma for­
ça normal longitudinal de compressão N. 
Determinar o valor de N para que, nos pontos situados a 10 
cm do centro da seçio, cr2 = 2 cr1, 
/1· 
" 
Urr.a paral('lepÍpeJo d.e lados a/2, a, 2a 
aos esfor~os transri tiJos pelas sapatas 
(cm) foi sut~etirlc 
(fig. 2) su; osta 
sern atrito, do aparelho da.fig. 1. I)eterrninar a TT'âxi·:a ten 
sao de cisalhamento no paralelepfpedo. 
~ 
p(t 1 
P(t) 
)( 
a a/2 FIG. 2 
,( FIG. 1 .... 
:,o estado de tensao dado, entre que valores pode varLir 
par a iu"' as terc,oes 
pecti.vatr-ente; 
? 
c
2
~ -r',4 tf/c111~· 
-µrincipais 0 1 e 0 2 nao ultrapasse• 
(j 
t y 
o,stt/om
2 1 l 0,8tf/cm2 
L1 
T = 0,4tf /cm2 
y 
.ara a estrutura da figura, calcular, para os pontos 
da seção S-S, as tensoes principais. 
( SE.ÇÃO TRANSVERSAL - CORTE S S ) 
42cm 
A 
6cm 
,, ' 
r f' . 
e 
~p = U/m 
~~~~-~~~~-~~~_._~~ •----B ,s 
1 
1 
1 
i l&! ~ 
t-4so,sm 
------t 2 m_t ~ 5 ___ 4 m _ __ ·-+ 
1 
42 cm 
6cm 
Para o estado de tensao indicado,' sabe-se que a tensão nor 
mal no corte I ide tração igual a 1,25 tf/cm
2 , 
Calcular a tensão tangencial 
no corte II e a máxima tensão 
normal, indicando o corte on­
de ela ocorre. 
/ 
1:/ 
r 
-p
A chapa, triangular da figura está submetida, em suas faces, 
às tensões normais e tangenciais que a equilibram. 
0,8tf/cm 2a = a 
1, 6 tf/cm 2ªb 
= 
0,23 tf/cm 2T = a 
T O, 46 tf/cm = 
Pedem-se: 
a) Calcular as ten­
soes a e T
e c 
b) Calcular as t ensoes
40 cm· 
( 30cm 30cm 
principais. 
1------------------------------------------------
Na caldeira da fi6ura foi feito o seguinte reparo: retirou­
-se um certo material avariado recortando-se a chapa da cal 
deira sob a forma de uma superf[cie de lados a (ver fig.). 
Finalmente recolocou-se na mesma posição uma chapa com as 
mesmas dimensões de recorte e soldou-se. Determinar a for­
ça de cisalhamento por unidade de comprimento de soldA, sa 
bendo que a pressão interna na caldeira é de 5 kgf/cm�. 
/ 
/ 
/ :30º 
l 
2 
b 
') 
1 
_ _....::;._j__ _____ l 
p 
1 
1 
t 
-Numa certa viga, num ponto P, sao conhecidas as tensoes 
nas direções indicadas. Sabendo-se que a viga, devido a 
cargas verticais, esti submetida a momento fletor (M) e 
força cortante (Q), pede-se o valor dos esforços solici-
tantes. 
Da d os: a a 
-t--
1 
16cm 
1 
+ 
f3 cm 
-+--
6 cm ~ 
-+-m 
750 kgf/cm 
2 
= 
b 
1 
~ 
--=~ ~--~· 
\ 
' 
"" 
/ 
2 
crb = SOO kgf/cm 
o 
; / 
Calcular os valores máximos da tensao normal e de cisalha 
menta, indicando as direções onde· el~s ocorm~m, para o 
carregamento indicado. 
0,5U 
A jA B C 
i:=::=======t=====::::;:===:::f 
'-"-..._,,;_..,;_,;_--'-,/.~'-J -+-
SECÇÃO A-A 
a) Calcular t/cr para que a relação, em módulo, entre a 
mixima e a mínima tensão normal seja igual a 2. 
b) Para esta relação indicar os planos onde ocorrem O e 1 
OBS.: Adotar para a e T os sinais indicados na figura. 
Dl 
't 
1 1 
Calcular as tensoes principais no ponto D situado na 
transversal à direita do apoio B. 
seçao 
Dado: E= 2000 tf/crn 2 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 
P: 0,6 t/m 
/. 
, 
r1 1 1 1 ! 1 
1 - -+-
o! :3' 
--�1 
�. � +o. s cm �
9 pm
�
1 
1 
mrmmrr 
2m 
t 
Dado o estado de 
tensio, mostrad6 
na figura ao la­
do, pede-se de­
terminar as ten­
sões principais. 
2m 
/ 
Para o estado de tensao in� 
clicado, calcular as tensoes 
principais, Indicando os 
cortes onde elas ocorrem. 
2 T = 0,5 tf/cm 
+ 
4 O em t 
-
i 
-t--+ 
6cm 
//�. 1,0 tf/cm2 
//�)'V ·.
� 
</, .. --� ··/� ·····
0 
'� 
·� � v 0,5 tf/ cm2 
�
4,0 c:m 
- �
--=--,:
45
° 
Determinar os valores de T para o estado de tensão(E)que 
se pode acrescentar ao estado (A) de modo que as tensoes 
p r i n c i p a i s , d o e s t a d o · r e s u 1 ta n t e · ( A ) + ( B ) , não u 1 t r a p a s s e rr. 
o valor de 0,8 tf/cm 2 •
0.4 -.-
. 'º·',: .,._ __
1 1 
. (110121) 
lt 
· o,stf/cm ,, 
t ~ ~"'. 
i_ ,~ 
. ' ,~ 
3,0 ctn 1 ,"-."-
1 '""----
' '"' ~~-> ' 
! , 1/., 
3;0cmw· 0 
~ 
. 1, o y /Cm2 ',y-/ · 
'~------1 
"C . 
...--~ 't 
![~]! 
1 
1 . ... 
/ 
Calcular as tensoes principais indicando os cortes onde 
elas ocorrem, 
a) _L · 0,6 
~1or:. 
0,6 
0,6 0,:5 
to.e tcJ 
~os cortes indicados ocorrem as seguintes tensoes normais 
respectivamente: 
2 
a 1 "" 1,0 tf/cm 
ªrr = 0 
2 
ªrrr = -1,0 tf/cm 
Calcular: 
a) A tensão tangencial 
no corte II, 
b) os ângulos que os cortes 
principais formam com o 
corte I. 
I 
Para a viga da figura, determinar as tensoes principais, 
indicando os planos onde elas ocorrem, nos pontos Q) e 
@ da seção mais solicitada do apoio B. 
111111111ifi111111111 ]'._I 1111 
'1 2,0 m ;0,5m j 
20cm 
I 
ç 
�cter�inar as tensoes principais nos pontos A e R situados 
na alma do perfil. 
----
------- --- -
--- --------
50 cm ______ �,-----+ 
Dada a viga sobre 2 apoios, cuja seçio transversal� com­
p o s t a d e 2 m a t e r i a i s d e t e n s Õ e s a d mi s s Í v e i s d i f e r e n t e s , p � 
d e-se: 
a) as tensões principais nos pontos 1, 2 e 3 da seçao
transversal mais solicitnda,
b) o máximo valor da carga r (t ensio de estado duplo).
M eriol 
lig çõo 
OBS.: Os materiais I e II po 
de. 
0
1' 
dem ser colocados em cima 
ou em baixo, quando da cons 
trução da viga, 
MATERIAL 1 
-
= 
ªe 
= 8 Oíl kgf/crn 
50 
30cm z 
lp 
3m f 3m t 
y 
MATERIAL DE LIGAÇÃO: = 400 kgf/cm 
Sendo dados: 
a e X l f o
Qual deve ser o valor de a 
y 
para que as direcÕes princ� 
pais façam ângulo de 45 ° com 
as direções de a e aX y 
pectivamente. 
r es- ) 
i!ATERIAL 
o - o T C 
II 
= 
SP 2 = 600 kgf/cm 
J = 12,2 dm
4 
z 
..,_ _______ t 
! 
2 
:X. ~ \li\'I'! 
+-
2 
l 
[ 11 o/ 2 sJ 
t cr, 
't 
O'x O"x ..... 
~ 
~\ 
~ ~m 
são dados· 
t=? 
Calcular o e T 
y 
Uma caldeira feita com chapa de espessura t estâ submetida 
ã pressão interna P, Estabelecer fórmulas para cr 1 , 0 2 e 
T -max 
-·-·-11 
Calcular as tensoes principais, indicando no círculo de 
-MOHR os planos onde ocorrem, nos pontos A e B da seçao 
do ponto de aplicação da carga concentrada. 
6 ta 
~-+2~ 
11tf '. 8 
2._ 
1 
---h-
,!-~ 
,ííiím - -f-
:tm ~/· l3!zi3~ Medido111 em ~ 
f 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
ti� LISTA DE EXERCICIO S ( LII) 
ESTADOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
Qual a relação entre as leituras nos extensômetros A e B, 
Dados: 
EXTENSOMETROS 
1 tf/cm 
2
p = 
E 100 tf/cm 
2 2 
= 
µ = 0,25 
Numa placa, num ponto, foram medidos, com extensÔmetros 
e+étricos de resistência, os alongamentos em quatro dire-
çoes. 
e: = 1000 µcm/cm a 
e:b
= 250 µcm/cm 
e: = 500 µcm/cm e 
e: d
= 750 µcm/cm 
a) As leituras dos
Porque?
b 
Cl 
extensômetros si? sao coerentes entre 
b) Se as leituras forem incoerentes, é possível descobrir
qual a leitura errada? Porque?
Qual deve ser o ângulo e para que a leitura no extensôme­
tro seja nula. 
Características do 
Mate ri a 1 : E , µ 
p 
p/2 
iillillil 
exn:NSÕMURO 
8 
1 
p/2 
p 
tf /em
2 
140cm 
t 
e: 
Um cubo de aço estâ colocado dentro de uma câmara de pres-
são. Qual deve ser a pressão na câmara para que as arestas 
tenham seu comprimento diminuído de 0,01%. 
Dados: E = 2000 tf/cm 2 
µ = 0,3 
No ponto O da viga indicada 
na figura foram medidas as 
deformaç~es nas direç~es a 
e b, encontrando respectiv~ 
-5 mente e: = 7,14 10 e 
a -5 
= 16,07 10 • Sabendo-se 
e: "" b 
que esta viga estã solicita 
da apenas por momento f.le 
tor e força cortante, calcu 
lar os valores destes esfor 
ços, sendo dados: 
E= 2100 tf/cm 2 
G = 800 tf/cm 2 
M 
Um cilindro de um certo material 
Q 
A 
Viga 
'·º 
\~c~l 
secção do Vigo 
2 
(E= 200 tf/cm 
j 
Q M 
e JJ = 
= 0,4), com 19,99 cm de diâmetro e 80 cm de altura é colo 
cado dentro de um tubo de parede fina (E= 2000 tf/cm
2
) 
com diâmetro interno de 20cm e espessura de 0,2cm e carre 
gado atê a carga P atingir 200 tf. 
Completar o grifico de P x 61 
P '"' 200 tf 
ao cm p l!? 
1 
P(U> 
3 extensômetros colocados em uma chapa da maneira indicada 
deram as seguintes leiturijs: € = - 0,001, € 1 = 0,001, e"= 
0,003. Pede-se calcular as tens;es principais. Usar as se­
guintes constantes e·listicas do material: 
E= 2100 tf/cm2 
1 
µ = 3 
1 
ºI 
f: 2,00 em l 
Para o tubo de parede fina da figura 
-
sao dados: 
e: ªª 
E == 
= -1,40 X 10-4
22100 tf/cm 
Pede-se calcular N e Mt
""4,80 X 10-4
µ = 0,3 (coef.de Poisson) 
1 
Calcular o máximo valor da distorção (y) para o estado pla-
no de deformação indi_cado. A direção@é uma direção prin­
cipal de deformação, sendo€ = e: •a 2 
l)ados: 
e: a
-sE:
b = 1,75 X 10
/ 
45º / 
/ 
Eli~I~- 45, 
[·111/91 
-5 1 10 m: X 
1 
1 so• ..,,,, 
~ l( -
= 200 X 10- 6 e Eb = 300 X 10- 6 E 
a são deformações nas dire 
çoes a e b de um certo ponto de uma chapa, das quais E 
- - a 
-e 
deformação principal e igual a E
2
, Sabendo-se que l = :::rinr 
t f / cm 
2 
e u = O , 3 , p .e d e - s e c a 1 c u 1 a r a , a e T , i n d i c a d o s , 
X y 
para o ponto, 
-------,; 
A chapa da figura esta carregada com as tensoes indicadas, 
dentro do regime elâstico. 
Calcular o ingulo 8, em que deve ser localizado o extens~-
metro, para que a tensao a seja dada diretamente pelA lei 
X -
tura (E) do extensÔmetro. Ou seja 
O = R E 
X X 
Calcular R em função das 
características elâsticas 
do material. 
t, 
A chapa ABCD esta submetida a um estado plano de tensoes 
a, a e T. 
X y 
ERsas tensoes causam uma variação de 0,03% na diagonal BC 
(aumento de comprimento), e de 0,07% na diagonal.AD (tam-
bém aumento). 
Sabendo-se que a = 2a , 
X y 
Material: 
E= 200 tf/cm 2 
µ = 0,3 
calcular as ten~oes ªx' a e T, y 
-
Um corpo de prova de secçao 20 x 20 cm e comprimento 30 cm 
ê colocado dentro de uma caixa rígida, com as folgas indi­
cadas na figura, e submetido a um ensaio de compressão. 
Sabendo-se que nio existe atrito entre o corpo de prova e 
a parede da caixa, pede-se completar o diagrama P x 6t, 
Dados: Constantes elásticas do material do corpo de prova, 
2 E .. 100 tf/cm µ = 0,4 
0,01 emH 20cm ii 0.01cm
Planto 
/'30<:m
1 
11 ,, 
p 
p 
� 
at, 
e, 
Ca 
e, 
� 
� 
Ai 
A ia ..
.. tg a, = 
::tg ª2 .. 
"tg<&, :a 
~.02cm 
t·i 
ª, 
+-
Calcular o 61 para uma carga P = 120 tf. 
E = 100 tf/cm
2 
\J = 0,5 
P::: 120 tf 
T 
corte A A 100cm r· r~ 7 
\Lll/15] 
A N A 
0,02 t t 40 cm t ~0,02cm 
O paralelepfpedo indicado na figura fica submetido a uma 
pressão p na direção y e impossibilitado de se expandir 
na direçio x, embora livre na direção z. 
Sendo: 
E= M~dulo de elasticidade µ = Coeficiente de Poisson 
Calcular o m~dulo de elasticidade apaxente (E ) 
çao y. 
Define-se como E em uma direção o quociente: 
a 
E 
a 
= tensão normal naquela direção 
alongamento especifico naquela direçao 
elevação 
tttttJt 
planta 
a 
na di r e 
Num ponto, submetido a um estado plano de tensões, são--=-1
2 2 -�nhecidas: o "' 0,8 tf/cm ; a = 1,0 tf/cm ; e: = 0,8 x 10 ·X y . a 
(E i deformaçio de uma direçio que forma com x um ingulo 
a 
a tal que cos a= 0,8 e sen a = 0,6). 
:Sab�ndo-se que E = 2500 tf/cm2 e µ = 0,25 pedem-se as ten­
s�es.pormais e tangenciais nos cortes dados pelas direç;es 
a e ó. 
., 
t ª
'
---1»"!11,o ·,: O/ 
Q 
,,,. ...... r ........ ª.:.
Calcular o deslocamento do ponto de aplicação da carga 
P .. 40 11:f. 
OBS.: No corpo II, nas faces sem contato com as chapas 
r!gidas, aplica-se, segundo a direçio z, uma tensio 
de traçio a = 1 tf/cm 2 . z 
DADOS: 
e orpo E 200 tf/cm 2= 
I 
0,3µ1 = 
30em ) 30cm j 
Corpo E2 
II 
µ2 
-
-
-
-
-
7,f,�!� -o, 
'J 
ito-S-
CORTE AA 
400 tf/cm 
= 0,4 
(h J ~- / 
a 
A C:MilPA IIÍ61 Oil ,. 
azcltf /cm 
L 
•• 20 ... 
....,_ ., 
CHArA/ r 10 cm R{IIM ·' . 
1 
+ 
Qual deve ser o momento fletor (tração em cima), para que 
o alongamento específico na direção AB, ao nível do ponto 
-4 
P, sejaigual a 5 x 10 , conhecendo: Mt ""momento torçor = 
= 18 tf•cm; µ = 0,3; cosa= 0,8. 
8 Mt 
Mt 
Para o estado plano de tensões da figura são conhecidos: 
E = 10- 4 E = 3,5 10- 4 E = -0,25 10-4 
X y a 
Sabendo-se que E= 2000 tf/cm 2 eµ= 0,25 pede-se determ~ 
nar as tensoes principais e os planos onde ela$ ocorrem. 
Uma peça composta de dois materiais (materiais I e II, ver 
figura) é colocada entre duas paredes indeformâveis. Alem 
disso o material I estã envolvido por um "anel" também in-
deformãvel, que foi confeccionado com uma das dimensdes di 
minuÍda de um valor"a"em rel!_ 
PLANTA ção às dimensões deste mate-
rial. Determinar o valor da 
pressão de contato entre os 
J. 
CORTE 1· 1 
.1!J 
ma t e r i a i s I e I I , em f u n ç ão d e 
I', f, 
a, sendo dados: 
10 6 kgf/cm 
2 
EI 1:1: 
EI r"' 
5 5. 10 kgf/cm 
2 
40 -a 
µ = 
I O, 3 
\µ II '"' O' 4 
Um pilar cilíndrico de concreto estâ envolvido por um tubo 
de aço de 0,5 cm de espessura. Sabendo-se que a ruptura do 
concreto se verificará quando houver uma deformação lon�i­
tudinal unitária de 10-3 pede-se:
a) a maior carga P para qué nio se
verifique a ruptura quando o tu
bo de aço for resfriado de 30 ° C.
b) as tensoes principais no aço no
mesmo caso anterior,
DADOS: aço - E "' 10a c 
2 10-5/º ca =a 
µa 
"" O, 3 
.�mH 50cm 
Concret:o E 200 tf/cm 2 0,2 - = µ "'c e 
A fim de se realizar um ensaio num corpo de prova de con-
ereto ,. . I 01. realizado um sistema composto de .. . 2 placas r1.g2:_ 
das e de 4 parafusos com passo de 0,2mm por volta, sendo o 
cilindro a ser ensaiado colocado entre as placas, conforme 
mostra a figura. As porcas são apertadas simultineamente e 
para se romper o concreto foi necessário se dar 6 voltas 
em cada porca. 
o 
o- --
º o 
PORCA 
PLACA RIGIDA 
CORPO D E PROVA 
RÍGIDA 
PARAFUSO 
CORPO DE PROVA 
OBS.: Considerar o comprimento dos 
parafusos igual ao do corpo 
de prova. 
Pergunta-se: 
a) Qual a tensão e a defor
maçao da ruptura do cor
po de prova?
b) Qual a variaçio de volu
me do corpo de prova no
instante da ruptura?
são dados:
Parafuso: 
E a
6 2 = 2,1 x 10 k�f/cm 
A a
µa 
= 5 cm 2
= 0,3 
Coq?,o de prova: 
D = 15 cm 
µ = 0,18 c 
p 
E 
X 
PARAFUSO 
PLACA 
... ~----PARAFUSO 
5 2 
Ec = 2 x 10 kgf/cm 
Dada a tensao de cisalhamento T = 0,649 tf/cm 2, a deforma-
- ... -4 çao medida no extensometro A,€A = + 5,473 10 ,e a deforma
ção medida no extensômetro B,€
B
"" 
-3,807 10-4, do modo indi-
cado na figura, ped,-se o 
/ 
�11 
tado .çle tensão (a , cr ) , 
X y
sendo dados ainda: 
0,649 tlk;r ·
/ 2 -E= 2100 tf cm (modulo de 
elasticidade) 
µ = 0,3 (Coeficiente de 
Poisson). 
LI 
Calcular o T que ocorre no corpo lmax 
E"" 2100 tf/cm2
µ = 0,3 
P = 100 tf 
,.._ ______ �.,.-,o,649.tf /cm 
01111"0 l!ÍilOO 
Obs: não hã folga entre 
10 cm 
Dado o esquema da figura, pergunta-se qual o miximo valor 
da tensão dé compressão cr aplicada no corpo, para que não z 2 
seja ultrapassada a tensão admissível cr = 1,0 tf/cm nas 
barras que prendem as chapas rlgjdas. 
DADOS: 
[LEVAÇÃO 11ittfA Para o corpo: 
1� 
r1
., ., 5cm 
LATERAL 
=r·� 
� 
., 40.cm
� . 
PLANTA 
E 210 tf/cm 
2
li 
"" 1/3
0,9 tf/cm 
2
Para as barras: 
E "' 
(J ... 
s "' 
22100 tf/cm 
21,0 tf/cm 
3 cm 2
S = ãrea da seção 
transversal 
I 
... 
(J = 
y 
Determinar a relação entre o a e a 
comprimento, na direção do corpo B 
para que a variação de 
' 2 X l 0- 4seJa a 
Dados: (::J •1tfA::m1 (1:1tf/J (1_ 11 lt'WCR12 
z z z 
= 150() tf/ cm 
]J 
= O, 1 5 
caill.o 
r(glda 
+�---+ 20 + 1.50
ªº O'c 
yr 
'ªº . O'c 
Urna peça composta de dois materiais de diferentes módulos 
de elasticidade, ê colocada entre duas paredes supostas i� 
deformáveis e, em seguida, a parte central (material II) é 
comprimida por um êmbulo (de material indeformãvel), como 
mostra a figura, com a carga P = 40,0 tf, 
Pedem-se: a) as pressoes de contato entre os materiais I 
e II; 
b) o estado de tensoes no material II;
e) o estado de deformação do material II.
DADOS: 
µI 
= 0,3
µII
= 0,4 
E
I 
12 10 
5 kgf/cm X 
Eir
= 6 10 
5 kgf/cm X 
b.4BOLO r 
ÊMBOLO 
....,._t _50-"-'-c:m ----..-f 
4
_
0 
�-: --+-t --=:...c:...50 �_ 
Êt,480LO ,V� I' l 
40 cm 
VISTA SEÇÃO TRANSVERSAL 
1f1tl/21) 
1 
w o 
LtJ 
a: 
:. 
2 
e 
ll 
t t 
2 
2 
Dado um elemento sujeito ao estado plano de deformação 
5 que E = 0,001, E = 0,005 e o material de E= 21 x 10 
x2 y 
er 
kgf/cm eµ= 0,25, determinar: 
a ) As -tensoes pri nci pais, 
:so 0 ;© ---i------r~ ! 
sabendo-se - direções 1 que X e y sao 1 
principais. - ------ ------ 1 --+--------~ / 
b) o estado de tensões (módulo, di-
I 
-
sentido) (DG) 1 J reçao e do corte I 
indicado fi::1,ura. :d :D na 
Para o estado plano de tensões indicado, determinar entre 
que valores pode variar cr de modo que: 
y 
a) em nenhum corte a tensao normal seja negativa, e 
b) a deformação específica na 
de no máximo 
-4 1,4 X 10 , 
2 
DADOS: E= 2000 tf/cm 
direção de y seJa, em módulo 
µ = 0,25 
r 
____ ,,..,... 0,4 tf / cm2 
o,•o,s1~1 
0,4tf/ errF ...ii----
LI 
Na chapa de aço indicada foi desenhado um círculo de 50cm 
de diametro. Apôs o carregamento, o círculo transforma-se 
em uma elipse. Quais são os comprimentos dos diâmetros m~ 
ximo e mínimo da elipse? 
E= 2.100,000kgf/cm 2 
i 600 •oi/cm' 
µ ""0,3 
1200 ~f/em
2 
t 600tof/cm1 
No estado de tensões (I), a variação específica de área. é 
6S/S. Qual deve ser o estado de tensões (II) somado a (I) 
para que 6S/S no estado III seja igual i encontrade em (I)? 
A chapa trabalha em regime elãs�ico. 
2 l,2tf/em 
DADOS. 
0,6tf/c:m2
I 
2 
l,2U/em 
O,Gtfkm 2 
(II) 
E= 2100 tf/crn 2 
OBSERVAÇÕES: 
Oa l,2+cJ0
JJ = 1 / 3 
·,.a) No estado de tensoes (III), para qualquer valor de a·,
-s a b e - s e q· u e . não o e o r r e d i s t o r ç ão ( y = O ) ,
b) Desprezar o produto EaEb em confronto com Ea ou Eb.
No esquema da figura, os corpos tim seçio 10x20cm e o 
corpo @) deve ser encaixado entre os corpos @ e ® P!:,
la aplicação das tensões a • Apôs o encaixe, pedem-se� o 
a) a relação entre as tensões cr1 e cr0, sendo cr1 a tensao
,que solicita o corpo © após o encaixe.
b) Qual a variação de comprimento do corpo @
0 
t
40cm 
t
§Oçm
t 
jocm ® 
© 
• 
40,04 cm + 
Para o estado plano de tensão da figura, foram medidos E = 
-6 - (, 
' X 
= 350xl0 e 'cy = -300xl0 . Sabe-se ainda que a distor-
ção máxima mo plano xy(y - )'' 325xl0-6. Determinar o estamax 
d o d e t e n sã o • y 
l t Oy 
llor 
----l 0-)t 
Dados: E 
,, 
= 2000 tf/cm ... 
µ = 0,3 
y 
)( 
-0-
t (Tb 013 +O'b 
ª, D - -
i l (Jb 0,6+0'b 
100 crn 
Determinar as deformações especfficas nas direç;es a, b e 
e, no ponto O da viga da figura, 
.3Qcm 
+ 
14 
---------+ 
IOm 
e ---'-o 
----·---.·---"' '20m 
10cm 
·+---"2""-'-'-m'------~l~mc:..:...... _ _,.__ IOm 
DADOS: I = 2100 tf/cm
2 
µ = 0,3 
-6 
E:
8 
= 150xl0 , E:b = 300xl0-
6 e E = 150xl0-6 são deforma~ 
e 
çoes específicas nas direções a, b e e, respectivamente, 
de um certo ponto de uma chapa, Sabendo-se que E= 2000 
tf/cm 2 eµ= 0,3, pede-se caluclar as tensões principais 
indicando os planos onde elas ocorrem. 
b lZO" o 
' 
-;,o. 
o 
iO 
/~ 
/ ' 
e 
Na barra da figura foram medidas, nas direções e pontos in 
clicados, as deformações específicas. Determinar os esfor-
ços aplicados N,Nfte Ht, sabendo-se que o momento fletor ~ 
tua no plano xy, 
-4 
E = -0,Sxlü 
y 
E: 
X 
-4 
= 4xl0 
E= 2000 tf/cm
2 
N 
-4 
E = 3,3xl0 
e 
µ = 0,25 
l 
y 
2 
1(111/381 
1 
Num corpo, submetido a um estado plano de tensao, foram me­
didas as deformaç;es E e e; e sabe-se que a �orna das ten -a a 
2 s;es principais� igual a 2,0 tf/cm. Determinar as tensoes
principais, indicado, os planos onde elas ocorrem, 
( '"' 2 , 5 X 10-
4
a 
10-4= 7,0 X a 
2
E = 2000 tf/cm 
µ = 0,25 
Num ponto, submetido a 
cidas duas deformações 
não atuam as tensões e 
/ 
/ 
J ,? U) 
oi 
/ 
_l I/
e:a 
1- --º·ª o .. j 
um estadoplano 
específicas (e; a
a deformação na 
de tensao, sao conhe 
e €b) no plano onde
direção perpendicu -
lar a este plano (e;). Pede-se o estado de tensão e as ten­
c 
soes principais, indicando-se os planos onde elas ocorrem. 
E a 
e:b 
E 
e 
E 
µ 
= 
-
= 2 X 
"' 10-4
2000 
0,25 
10-4
e 
\ / 
2 
� tf/cm -\, o 
Quatro corpos elásticos sao colocados em uma caixa rígida 
conforme mostra a figura. Determinar o deslocamento ót . 
E= 2000 tf/cm2 
caixa rígida 
µ = O, 3 
m lI 
-4 
= 2 X 10 
0,01~. i.0,7 ~~:M 1 
~ 40 crn -~2-+----~ 
/ 
/ 
-
A barra mostrada figura estâ solicitada por uma força nor-
mal N de tração da maneira indicada. Sabendo-se que as defor-
mações específicas nas direções A e B indicadas são respecti-
vamente e= -0,00015 e Eb= +0,000425,pede-se determinar ova 
a 2 -
lor da carga aplicada N, sendo dados E= 100 tf/cm e ~=0,1 
Se a seçio onde sia lido& os valores de E
8 
e Eb fosse solici-
tada também por força cortante, ped·e-se indicar e justifica!. 
qual das afirmativas abaixo ê correta. 
a) A leitura de E
8 
ê modificada. 
b) A leitura de eh ê modificada. 
c) são mod icadas as leituras de E
8 
e eb. 
d) As leituras de e
8 
e Eb não são modificadas. 
t· 
'50cm 
t· 
$ 1 1 
N 
IN 
' 
toem -+= f? 
m 
-Os corpos I e II sao colocados, sem folgas, entre duas pare -
des r!gidas. são aplicadas: a carga P e a tensão e ,conforme 
- z 
a figura. A parte com 20 cm de comprimento do corpo II ê colo 
cada entre duas paredes rigidas na direção do eixo Z. Pede-s 
o valor da tensao entre os corpos e a variação de compri~enm 
da direção x do corpo I. Dados: 
'I 
x0,8tf/cm1 
,, t f f t ' f f t t f t t t t + 
lI lC I 
llUHilHlt,HHU 
; o.e tf /cm 1 1 
40cm 10cm 
n § 
o -
20cm 
Corpo r· 
E
1 
.. 500tf/cm2 
µ 1 = 0,3 
Corpo·II 
2 
EII"" lOOtf/cm 
µII.,. 0,4 
) 
• 
RESIS TÊNCIA DOS MATERIAIS 
--- --· __... ,._ - � -- ' 
-
12� LI STA DE EXERCÍCIOS ( L 12) 
I � 
CRI TE R I O S D E RESISTE N CI A 
Os parimetros que definem a zona sem ruptura do material 
que segue o critério de Coulomb são: 
Coesão: T = � kgf/cm2 
Ângulo de atrito interno: � = 20 ° 
2 
Dadas as tensões de compressão: p1 = 14 kgf/cm e
Pz = 80 kgf/cm
2 
dizer se o estado ê de ruptura ou não. Justificar. 
A caldeira da figura, de diâmetro d e espessura t (t << d) 
estâ submetida a uma pressão interna p, Dar as expressões 
de: 
1) o e ºba 
2) o. (critério 
1
ª energia de distorção)
1 
em função de p, t e d. 
P11 t~ 
pi ,:e 
. ---
(j 
P2 
elevação 
.. 
r 
11111111111 1111 ! li [ l l l l l l l l 1111 [h p 
E 
(.) 
0,79 cm ~ 
[ 
in 
N 
_J_ 
-r. --.--
1 1,25 
X B lc 
Pl!fll'I L l: 10~ 1 :n. so kgl/ m l +_j/3 l 1 
Verifica-se a carza P, que pode ser colocada no meio -· C:o v ao 9 
ou no ponto A, ~ admissivel, usando o crit;rio da energia de 
distorçio com~= 1,4 tf/crn 2 . 
p = O, 7 t f / ['. 
t = 6m 
p = 2 tf 
Calcular o v a J or admissivel da carga P. A viga 
~ 
e de ferro fun 
<lido com tensoes admisslveis: 
p 
1 
10 cm 
Sabendo-se que um determinado material segue o crit~rio de re 
sistincia indicado, verificar se o estado de tens;o ~ admis -
sível. 
y 1 
1 
1 
0,3 tt /m 
s 
J 
í{ 
Sabendo-se (:ue a = 1,2 tf/cm 2 e ç9e o material serue o 
criterio de Lnergin e Distorçio, �erificar se o carre�� 
�ento dadq ê admissível. 
11.�tf r,5tf 
f �n, 
0.5 t
!=-· ·-·· =+fc·�� 
! 'º ... t �t-
• 1 
1,5 tf 
l/5tf 
Num certo material �:ec,ue o critêrio de "lohr ·indicado na 
figura. tum det�rminado ponto de um corpo deste material, 
as tensoes principais são: 
= o 
o 2 •-3 
Provar 
2tf/cm 
que este estado 
e admissível. 
1,0 
No sistem� espacial �a figura t;das as barras 
vazada. 
ten seçao 
Pede-se: a) os diagramas de esforços solicitantes; 
b) a maior tensão ideal CJ. (critério de enerria
1 
de distorção)
30cm 
Dados: 111 0,5 Cffl 
= 15,7 cm 2 
30cm 
= 196, cm 
XX l( 
37,3 cm 
XX '·º t 
10 cm 
01S: No cilculo de CJ,, pode-s� 1 
desprezar o efeito de f;rça cor 
\ 
1~ 
1 
i 
i 
1 
! 
: 
1 
! 
= 
tante e fOrça 
4 
3 
norma 1 e 
40cm 
-~ Um material segue o critério de resistência representado 
graficamente na figura. 
1) Qual o valor crt para o estado de tensão A. 
2) O estado de tensão B não é admissível. 
-Somando-se a B o estado C, pretende-se que nao haja ruptura. 
Calcular p. 
Calcular a tensão ideal 
do engastatnento. 
(O', ) 
1 
-nos pontos 1, 2 e 3 da seçao 
A barra da figura esti submetida a uma força normal N = 3tf 
e um momento torçor Mt. Calcular o valor admisslvel do ho-
mento torçor. O material segue o crit iode Tresta (caso 
particular do critêrio de Coulomb), sendo: 
-a - • a - = traçao compressao 
= 0,5 tf/m 2 . 4cm 
/ 
!L 12; 12}
p 
Um determinado material segue o critério de ruptura indica 
do na figura. Dizer entre que valores pode variar a tensão 
de 
-
haja compressa.o p , sem que ruptura. 
A secção mais solicitada de uma viga estâ sujeita a um mo­
mento fletor: de 20 tf•cm e a um momento torçor de 40 tf•cm. 
O material segue o critério da energia 
·de distorção. Dimensionar' a viga admi­
tindo tubo de parede fina com d = SOe,
- 2a • 1,4 tf/cm 
J 
Achar p para os casos indicados, o material segue o crité 
rio da figura. Todos os casos são estados planos de tensão. 
-
p D p- --
J. 
,,01 .. 
f ktf ) 
20 " ::::r cm 
·o 
. , ' 6 1 • P/2 ~ .~ ~2 . 
f,, 
,· 
. 2) 
s, tp . 
,...__ __,.. p D,,, 
ip 
Ferro 
Verificar a viga de ferro fuftdido cuja seçio abaixo esti 
sub~etida a u~ momento fleto~,pTovoeado por cargas vewti-
caí~, iaual e. 65 tf•em ~ a Yffla co:rt,ante de 5,S tf, 
fundido { :: : 
J . = 820cm 
viga 
2 0,4 tf/cm 
2 0,8 tf/cm 
4 
------h 
·1 
6 
t 5 t2~t--5---fl,- Medidos em cm 
Um certo material segue o critério indicado na figura, 
Achar p para os casos indicados. 
parábola do 
29 grau 
--""""41----""""""!1---...... ---.... a 
( tf /crf) 
Calcular a pressão axial de ruptura Pa para o ensaio abai-
xo esquematizado. O material segue o critério de resistên-
cia indicado. 
t 
tOkgf/cm 2 
10 kQ1'/cm2 
2 
10 kgf/cm 
Dado o pilar com seccao aberta �ubrn�tido ao esforço P in­
di cado na figura, achar a mi�ima terysio idaal,
P;: 40 tf 
. +.�--
(\j 
(\J 
6 cm 6 cm 
P= 40 tf 
e-. 
_.....__ ___ 1_2_c_m _ __ � 
No eQ.saio ã compressão tri-axial d e um solo coesivo (fig u­
ra), verif icouM se, para dois corpos de prova, no instante 
da ruptura, os seguintes valores de pa e P 9, •
Ensaio I 
Ensaio II 
{pª 
= 5 
P 9, 
= 
{pª. p "" 9, 
1 
8 
2 
kgf/cm 2
kgf/cm 
kgf/cm 2
kgf/cm 
Sabendo-se que o material segue o 
critério de Coulomb, calcular as 
tensões máximas de tração e com-
pressao. 
Pe 
E 
o 
2 
2 
o 
~ 
1 
A figura indica a zona sem ruptura de um certo critério de 
resistência, Sabe-se que os estados de tensões A e B estão 
na eminência de provocar ruptura no corpo, Calcular os va-
lores a e b que definem a zona sem ruptura, 
Estado A 
2 o
1 
= -2,0 tf/cm 
= o 
Estado B 
0,25 tf/cm 
2 a = 
X 
0,25 tf/cm 
2 
a = 
y 
a = o 
z 
T = 0,75 tf/cm 2 
Uma viga de ferro fundido, -cuja seçao transversal e mostra 
da na figura, é submetida a um momento fletor M = 50tf,cm 
e a um esforço cortante Q = 10 tf, provenientes de um car-
regamente vertical. Verificar se esses esforços provocam 
estados de - admissÍvei s. tensao nao 
0,4 tf/cm 2 1cm O'T = 
0,8 tf/cm 
2 
a = c 
l( ---· 6 
o 
N 
~ 14 cm .. , 
O material de que ê feita a viga de seção circular da fig~ 
ra segue o critério da energia de distorção com 
- 2 a "" 1, 5 t f / cm • 
Calcular o valor admissível de T (T = ?). 
!ST T T 
t2cm 4tf ·-- --· --· -- -- -4tf 
Q,2m l 0,2m t 0.2m f 
lm 
e 
p 
e 
A viga da figura ê consti­
tuída por um material que 
segue o critério da eneria 
de distorção. Sabendo-se 
que o = 1,4 tf/cm calcu-
lar o valor admissível da 
carga P. 
* Despreza r a influincia
d e Q.
Calcular a máxima tensao ideal (o. - ) da viga-calha bi-1.max 
_apoiada da figura, sabendo-se que o materialda viga se 
gue o critério da energia de distorção. 
t 
1 O 
_ffl ___ -4t
,-
. _ 
Medidos em cm 
Verificar a seção do engastamentb
material segue o critério da 
energia 'de distorção Õ = 1,4 
tf/cm 2 •
nos pontos 1 ' 2 e 3 • o
Il0"(37,8kgf/m) 
J "' 5140 cm4 
W '"" 405 cm3 
i 
14H 
íl, 8 cm 
t 
. 2 1,25cm 
O 79cm li, 45an 
,.fl$)HI IH 
2 
t 
d •40 .• _ _..__ 
,A;, 
,· 
2Õe .... 
p 
Um certo material segue o critério 4e resisti~cia indicad~. 
O estado A ê suposto não admissível. Qual dev~ ser o mínimo 
valor de E do estado B tal que (A+B) seja admissível? 
~ ~ 2ei: 
p 2kg/cm2 
® 
p 
O cilindro da figura está subrn~ 
tido a uma pressão lateral P 2 = 
2 -= 0,5 tf/crn e a urna pressao lon 
gitudinal P1 . Sabendo-se que o 
material do cilindro segue o 
critirio da energia de distor-
ção e admitindo urna tensão ad-
missível a= 1,0 tf/crn 2 , pede-
-se calcular o valor máximo ad-
missível da pressão P 1 . 
Dimensionar o eixo 
indicado na figura, 'L:: 
ltf y 
2tf 
/ 1 \ 
o 
P1 
neio. 11leo 
Medidas em cm 
o 
a= l,4tf/cm2 - O materiàl segue o critério 
da energia de distorção. 
e:, 
Sabendo-se que o corpo0resiste ao ca!W?egamento aplicado e que 
o corro@ segue o c.r.n,, deterrrdnar a margem de serurança com
LJ u e e s t ã t r a b a l h a
: 
d o o c o r l 'O e; + at q em • 
po@ em relação a sua ten I
·· 
são e, quando se aplica no 
. � - CORTE A•A corfo �' na direçao z
uma tensao z de compressão. 
OBS.: 1) entre os corpos G) 
e@ e o corpo rígido não
existem folgas. 
2) Desprezar atrito entre
os corpos.
DADOS:
l' = l 00 t f 
a e 
= 2,4 tf/m 2 
a = 0,6 tf z 
µ = 0,3
2 
E= 2 100 tf/cm 
cm
I, 
:·�.· . .',ci>�PO :
'.
RÍGID�·. 
1 
I • • 
PLANTA 
\ r I , 1 , ", '/ ,' ..... � ,' , ' : .. ,1,., ; •: • 
'. . ,CORPO RIGlOO :· . : ·,: .'·. •, :" · : 
, 1 • ' .... 
' 
• ...... .,f 1 " • ·' •• •,: • ', ·',, •• 
/' 
. ,. '; 
•,, • • I,'. 
' • \' 'ti ,._ ' 
,". ·:{ ,;·_::.:_,,_ .....
. 
:' .. 
p 
O corpo de prova (E 2 00 tf/cm 2 c e u = 0,2),c 
metro 20 cm estâ envolvido por um tubo de aço 
cilÍndr\CO de diâ
2 
(E
A
= 2 000 tf/cE e 
µ
A
= 1/3) de espessura t= 0,5 cm. Sabendo-se que o material do 
corpo de prova segue o critério de Coulomb com Õ = 50 kgf/crn 2 e 
- ·2 - T p ªe= 200 kgf/cm, determinar P 
CT 
(50;50) 
(50,0) 
CRIT!RIO O! COULO•& 
( UTAOO PLANO) 
11tfe1!112 
10 10cm 
20cm 
o 
lt') 
Um ponto de uma chapa estâ submetido ao estado de tensao indici 
do. O mateiial segue o critério da energia de distorçio com a= 
2 O 9 tf/cm2 • Determinar o estado de tensão (o' • 0·
1 e T' ) 
9 X' y xy 
que deve ser acrescentado ao estado indicado para que a tensac 
f •6tf/cM1 
12ttd�' 
l QSU/4m1 
ideal se iguale ao valor admissivel e, ao 
mesmo tempo, a tensao tangencial se anule 
em qualquer corte. 
YL 
2 
-200.-200) ___ ;..;;;;;::::.:...~ J ( !5 i - 200) 
!li 
• 
. . 
• 1. 
,. ~ . . -
· 10cm .,.P 
"'· ... 
-t--.-----1_,-=...--=...:._j_: 
1 ..,.--,-
E 
(.) 
, ., 
•• 
li 
t 
Numa viga de ferro fundido ensaiada à flexão, atê a i~inên 
eia de ruptura, encontrou-se na situação mais desfavorável 
a seguinte tensão principal: 
r 
Sabendo-se que as tensões admissíveis p~9 
- - 2 ra o ferro fundido sao a= -0,Btf/crn e 
2 . e -
crT=0,4tf/cm , determinar as tensoes de 
ruptura ã tração (crT) e à compressão(crc), 
admitindo-se o mesmo coeficiente de segu 
rança para ambas. 
'IJ 
X 
\.-'ºª 0,5t f/em2 
\ 
\{ 4inçlo principal 
\ 
Para o ei~o da figura calcular a mixima distincia b, de mo 
do que não seja ultrapassada a tensão admissivel Õ = 1,2 
tf/cm 2 . O material segue o critirio da energia de dist~r-
-çao, 
O material da 
= 0;8 tf/cm 2 e 
s iv el da carga 
gura. 
.. , 
1 :1 t l 1 1 
2~ -~ 
10 tf. cm ( Momento 
Fletorl 
8cm 
viga segue o critério de Coulomb com Jã J = 
- 2 c 
crT = 0,6 tf/cm . Determinar o valor admis-
p uniformemente distribuída na viga da fi-
tem 
26Ufi 
f 
t 12•m t 
A chapa da figura (ferro fundido) ê submetida a um estado 
de tensões em suas faces. Sabendo que, na iminência de ruE 
tura ocorre uma distorção y = 0,001 no elemento interno, 
solicitado por um "cisalhamento puro", pedem-se: 
IOOU 
n 
a) determinar a solicitação externa da cha-
pa.
b) determinar as deformai�es E e E • 
X y 
c) determinar as máximas tensões de ruptura
ã tração e compressão e o coeficiente de
segurança utilizado se forem usados ª
T
:
2 - 2 = 0,4 tf/cm e o = 0,8 tf/cm e o critê
.
c
rio de Coulomb.
F: = 1000 tf/cm2 ·µ = O, 2 5
Um determinado material segue o critério da 
energia de distorção e tem os seguintes va­
lores para as constantes elásticas: E = 200 
tf/cm e µ = 0,4. Uma carga axial de 100 tf 
atuando sobre um corpo de prova cilíndrico 
de 20cm de diâmetro apresenta urna segurança 
em relação ã ruptura de 1,875. Pretende-se 
aumentar esta segurança para 3 colocando o 
corpo de prova dentro de um cilindro, ríii­
do, vazado, com diâmetro interno de (20+6.) 
cm. Qual é o máximo 6 que se pode admitir?
O cubo de 20x2 ¼20cm ê de um material que segue o critério 
da energia de distorção. Determinar P sabendo-se que o ma-
- 2 2 terial tem: o = 1,2 tf/cm ; E = 200 tf/cm e JJ = 0,4
A· e ______ _ 
o-------
0.02 
0.02 
20cm 
0.02 e 
p ers !)·ec tiva 
2 
1 [Ll2/40] 
Para o estado plano indicado 
deduzir uma fórmula para a ten 
são ideal, pelo critério da 
ener a de distorção. 
t 
Uma viga de secção retangular esta su-
jeita, na secção máxima solicitação, a 
uma força cortante O e a um momento 
fletor M = 3•Q•h. Calcular, demonstran 
do, o máximo valor da tensão ideal pe 
lo critério da energia de distorção, 
indicando em que ponto da seção ela o-
corre. 
-
1 ,·2 t f / cm 2 Sendo a = , M 
Plono Oe 
c:orreg mento 
M 4M 
h 
-F f 1,f ~ j2,·· calcular o valor ad-mi ss!vel .. , .. do momento 5tf Q critério M pelo da t 1 ~ energia de distorção, o + o ~ o 1 
A barra de aço, de seção circular constante, ê carregada 
conforme figura. Sabendo que o material segue o cr:J tério 
da energia de distorção (cr 1,2 tf/cm2 ), calcular P. 
p 
f 
A viga da figura, constitu!da por um petfil de aço I 10" x 
(37, 80kgf/m) com; = 1, 2 tf/cm 2 , ; submetida i açio si­
m u 1 t â n e a d e 2 c ar g a s c o n c e n t r a d a s i g u a� s a P • 
a) Calcular P, O critéri o a ser usado io da energi� de
distorção.
' 
b) A tltulo de comparação, verificar a iesistincia da vi-
ga, com o P calculado, usando o critêiio da maior ten-
sao de cisalhamento,
!p
i 1 O 11 (37, 8kgf/m) 
l A 
! i0.5mf 
11111//1 
Z,Om 2.0m t 
A v iga da figura ê consti tuída por um perfil de aço I 10 11 
( 3 7', 80kgf/m); a o q u a 1 se s o 1 d a m d u a s chapas d e 1 5 , O x 1 , 5 cm , 
do mesmo aço, em determinado trecho CD para aumentar a sua 
resistência, Calcular o maior valor P e os valores a e B 
(comprimento no trecho CD, onde é exigido o reforço), são 
dados: o = 1,4 tf/cm 2 • - Critério da energia de distorção -
: 
o 
25,4 
't- I
? 
� 
2,0ffl ,sem 
A estrutura da figura esti sujeita is cargas indicadas. 
-
2 
1-a 1 Sabendo-
se que ºt = 0,4 tf/crn e e 
=
o material segue o cri tério de Coulomb,
que valor pode variar a ca!ga axial N,
OBS.: desprezar o efeito da cortante.
2 0,6 tf/cm e que 
calcular entre 
-�
r m1t 
,,_------,-t,Q""'. _.,, N=?
' 100 cm �1 Mt = ao tf/cm
o; -+------i�-+----9" 
r 16 cm � (0.6 i O, 6) 
"" 
- - --~-----------
---------=-·'""'--,·ra•,,-._,_"'''=-~-·-·--------
- ~ 
Para a ví~a ata~xo, calcular ~t sa~endo-se ~ue a= 1,4 tf/crn· 
O materiPl seRUP o crit;rio da ener~ia de dístorçio. 
Traçar (em escala) o grifico da tPnsao ideal a. pelo Gltimo ti 
, l 
rode FRRFCA en funçio da tenRio r, no intervalo indicado, 
Esboçar (aproximadamente em escala) o grifice corres~onrle~te ~e 
ra o crit;rio da energia de <l{storç;o. 
F~rmulas para a tensio ideal: 
FRESCA: a.=(tensio principal 
J. 2 
EnergiR de distorçio: ai= a 1 
mixirna)-(tensio príncíoal rn!ni~a) 
+02 - c-1°2 2 
-1,0 , .. 
estado plano de 
tensão (o-
3
:0) 
- 2.0Calcular~ máxima tensão ideal que ocorre no eixo. o eixo da 
figura está submetido ao momento torçor e ã força normal in-
dicados. 
Mt = 40 tf/cm 
N .., 30 tf 
d= 8 cm 
1 - -~~I N 
Fara o estado de tensão ;p~ic~dns calcular o valor ~dnissÍvel 
da tensio de cisalhsmento. n ~aterial segue o crit;rio aa ener 
gia de distorçio com~= 1,n tf/cm 2 • 
tº·3 
1: 
J?,6 
j 1 
06 
1: -
!Q3tf/cm2 
0,5 
- 2 Sabendo-se que a = 1,2 tf/cm e que o material segue o cri
terio da energia de distorção, verificar se o carregamento 
dado ê admissível. 
·etf'/cm
_ 
!!'Hf
=�, 1�=1 =, =i=,=i:=, =, =i =i =i =i=1=1:: 
Para um certo material, a representação do critério da re­
s istência ê dado por: 
IOkgf /cm2
)
10 
Pede-se: 
- O valor de ª
r 
do ensaio de tra­
ção sirnples,
- O valor de a do ensaio de com­e 
pressao simples. 
- O valor de T � do ensaio de ci­max 
salhamento puro. 
O material se gue o critério da energia de distorção. O es­
tado a) e admissfvel no limite, Calcular o valor admissI­
vel de p no estado b). 
Para este valor de p, calcular entre que valores pode va­
riar a tensão principal o
3 
aplicada per.penrlâc_u'113'rm:etrte , a:0
planó·indicado. 
a) 
0,5 
Df-
'(5 
J 
0,5 
( estados pio nos de 
tensão ) 
f 112/49] -
·«- __,.} =fü,i i 
lçm - - aocm 
.A; -· ~ - ~4.i-
~ 4m ~ i 
1 l 
tm Í 12 cm -, 1•6 °"' 
---
(112/SQ_j 
1 l 
---------- r-. 
" " ,, 
/ a / 
/ --------- v 
' 1 
J 10 kt;if /cm 11 
f112/s1j 
1)) 1\ -----..... 
1 
)01~ - u 1'5tf/cm2 p ... 
.-.,._ 
p l p 
Verificar se o carregamento na viga de ferro fundido ê admissI-
v e 1. 
DADOS: 
2 a= 0,8 tf/cm 
e 
- 2 a= 0,4 tf/crn 
1 
2i z 
,... :sm ·I· lm 
! 5t1' 
=I 
J_ 
T acm T 
tem 
1 
1 
140cm 
l_ 1 
2cm _j_ 
4 1 
1 1. -1 
-Ll2/53 U1ua vira de ferro fundido com seçao transversal conforme a fi2u-
12/54 
ratem peso pr;prio g de 200 kgf/m. uando a rnontage~ ê feita~ 
forme o esquema CD • ela admite urna sohrecarea admissível F ,.?_ 
ra aumentar a capacidade da viga em receber sobrecarga, pode-se 
proceder conforme esquema @. Deterr.1inar entre quais limites 
pode variar t para que a ca~acidade da viga no esquema 
o 
o dobro da do esquema G) , ~ 
DADOS: f 4m f CD 
Õ = 800 kgf/cm 2 
e 
Õ
1 
= 400 kgf/cm 2 
4m 
Calcular o valor admissível da carga P, sendo dados o = tf/crn 2 , 
l 
Õ = 0,8 tf/cm 2 e sabendo-se que o Material da viga segue o cri-
t~rio de Coulomb, ~ 2ocm 1 
p 
1 ! l l l l l l l l li l l l l 11Í111[ f 111111111 
_J[ X 
t 
4m j I m j 
Determinar o ângulo entre os planos, ?ara os quais o par de ten-
s~es (o T) esti na imin~ncia de ruptura, pelo criterio dado. 
Cf 
0,5 p 
0,5 p 
RESISTE N C IA DOS MATE RI A l S 
13° LISTA DE EXERCICIOS ( L 1�) 
F LE XAO GERAL 
�- A vig,a da figura fica sujeita ao carregamento indicado,con 
tido em um plano vertical que passa pelo centro de gravid;j 
de µa seção transversal. Os trechos BC e AB da seção s�o,; 
respectivamente, horizontal e vertical. Sendo M • 40tf.cm, 1 
, calcular a tensao normal no ponto A. 
i _; n:i:ii=11=====*=, -�
fi1 
�I 
-i-A
tem 
Sem 
E' 
' y 
� -,-. a:): 
NI -
]/ 
) 
Para a seçao da figura, 
calcular os momentos 
1 
principais de inercia e' 
indicar os eixos onde e 
les ocorrem. 
E]- Calcular os momentos pri,ncipais de inércia, indicando os 
eixos onde ocorrem� 
! 14 cm 1
:t•l 
t 24 em l 
t 12 ~IV)-~- l 1 
! 
///, 
/ 
E 
o 
@ 
Calcular o momento fletor admissível, sabendo-se que o pla-
no das cargas é vertical e passa pelo CG da seção transver-
sal. 
M = ? 
DADO: 
2 ci = 1,4 tf/cm 
1.0 
t t 
Medidas em cm 
1 
16,0 
...-,...,j.....----" --=+1º 
1 6,0 
17 --+d- 1 1 - plano deu cargos 
Um pilar com a seçao in 
clicada estâ submetido a 
uma força axial excên-
trica. Sabendo-se que 
a linha neutra é a li-
nha AB, determinar a p~ Sem 
sição da carga. 
/ 
·~ 
. 1 
/ 
6 cm j 
/ 
/L.N. 
6 cm ! 
( Ll3/6j Calcular a tensao normal no ponto mais solicitado de uma ca 
toneira de abas desiguais de 6" x 4" x 3/4", solicitada por 
uma força normal excêntrica de -10 tf, sabendo-se que: 
a) O ingulo do plano de carga com o eixo x é igua( a 45° 
(sentido anti-horário). 
b) A excêntricidade e= 6,0 cm do ponto de aplicação da car 
ga ê medida com relação ã origem do sistema de coordena-
das e no sentido positivo de x e y. 
OBS.: Utilizar Tabela de Perfis. (fase. II). 
1, 
1 
i 
'I 
_E3- Calcular a tensao norinal 
no ponto mais solicitado 
da seçao ao lado, solici 
tada por uma força normal 
de compressão excêntrica 
de 50 tf• conforme a fi­
gura .. - .. 
P = 50tf -
�- Calcular os momentos princi­
pais de inércia e indicar as 
direções principais. 
Qual deve ser o ângulo do plano 
de cargas com a vertical (0) p� 
ra que a linha neutra tenha a 
posição indicada na figura. 
* As medidas foram tomadas com 
relação à linha do esqueleto._
* L.N. paralela aos lados incli
nados da secção. 
20cmJ 
L \ 
\ 
\ 
l 
10 1 10 j 
p 
12 cm 
t 9 cm 
20 
i 
1 :s o 
-r
1 10 
-b
1 
30 
t 
--+-
19 cm 
-+-
12CM 
+-
112cm 
- - ---t-
1 
,f r 1 
+ 
i 
-1 
+9çm 
(113/10] A carga� de compressao pode percorrer o segmento de reta 
indicado na figura. Determinar as coordenadas do ponto de� 
se segmento até o qual a carga P pode se deslocar, a par­
tir do CG, sem provocar tensões de tração na viga. 
OBS.: As coordenadas do ponto procurado saem em função de 
a• 
Determinar os momentos 
principais de inércia, 
i n d i c ar\. d o a p o s i ç ão d os 
eixos respectivos. 
Desprezar a contribui­
ção da solda. 
p 
24 
t o f 20 + . o t
/[2>d:tr-
40 
CORTE A-A 
1.0 
Calcular a máxima tensao normal para um carregamento conti 
do em um plano cuja intersecção com o plano da seção trans 
versal ê o eixo z-z. Este carregamento produz um 
fletor de 100 tf.cm que traciona os pontos A e B. 
P' 
o 
B 
z z 
24 
A 
i 
IY 
18 cm 
momento 
1 
-4- 112 
1 
Para a seçao discreta 
indicada na figura ,d� 
terminar os momentos 
principais de inércia, 
indicando a posição 
dos eixos principais. 
Para uma força normal 
de compressão (N=30tf) 
aplicada no ponto A, 
d e s e n h ar o d i a grama de 
tensões normais. 
Calcular os eixos pri� 
cipais de inércia da 
seçao transversal indi 
cada. 
o 
�1 
'3 
1 
·toem
2 
12 cm 
1 
� 
Uma chapa de _seção (2b x t ), onde t << b, deve ser dobrada 
conforme a figura. Pede-se calcular o valor do ângulo a pa­
ra que a elipse central de inércia se transforme num círcu­
lo. 
A vigá de concreto da figura e constitufda de uma seção em 
"T" assimétrico, conforme figura, e recebe cargas uniform~ 
mente distribuidas devidas: 
3 a) ao peso próprio (y = 2,.5 tf/m ) • concreto 
b) a um carregamento àtuando segundo a mesma direção do p~ 
so próprio e iguàl a 1,35 tf/m. 
Calcular os momentos principais de inércia e os planos on-
de eles ocorrem. 
li I l l l l l l lJ I J J 11 l II i l :E)totol 8cm ti JI~ 1 1 
1 
1 t 13 10.om,, . 
] 1 -
1 
e rnmm 
1 
u 
i .. l co 
1 
\ 
)20.,201 60cm l 1 1 ' 
ÍL13/171 Calcular a mãxima tensao normal, indicando o ponto onde e-
la ocorre (tomar cr em mÓdtllo), referente à mesma viga do 
exercício anterior. 
1113/18} Qual o ângulo que a linha neutra da seção composta da fi-
gura deve fazer com a vertical para que o plano de cargas 
seja vertical? 
d ,. t IY 
b L1=1 
1 üit,y !h 1 
b - a~-1Xd x+-- -i--- ___ jl 
1 d 1 . _., ri-_lJL,_ 
'JI l 
b 1 
,. ' 4=-t 
IY 
\~ V plano de cargos 
\ _,_ ___ ..., 
\ 1 
\ 
~ 1 
\. 
~C.G. 
\ i \ 
é:=::::'..et~ 
U4" ( 10.78 kgf/ m ) 
Obs: consultar tabelas de 
perfis metálicos pa-
ra as dimensões. 
(113/1� - A viga da figura estã submeti�a apenas ao peso próprio. 
3cm 
p 
1
3cm 
A seçio i constitu!da de uma canton•ira de abas iguais, 
L 4"x4"x3/8". Sabendo-se que ã = 1,2 tf/cm2 calcular o 
comprimento! admissível. 
(Consultar Tabela de Perfis, f4sc. II). 
OBS.: Desprezar o efeito das tensões de cisalhamento, 
.- 1 1 1 1 1 : ! 1 t 
: I
-L--L.....I.-..I.-..L-..L-.L....1....J......i.--1-_,i..-1-....._.,__........ ,··· ""'"'"' 
2c:l'l'I 
�--'-,._,,,,,..,,......._.__-+ 
+�---4---+---------d
1
t 2 em� ·--4 em--+-
CORTE A- A
1 
Calcular o valor admissível 
3cm da carga P, na estrutura da 
figura, sabendo-se que 
3cm 
!1.1:i/21] - Numa determinada seçao conhece-se
a) o ângulo (30° ) que o eixo princi
pal 2-2 faz com o eixo y,
b) momento principal de inércia J =
4
l 
= 1000 cm ,
c) J + J
y z 
= 1280 cm •
- ,., 
cr = 1,0 tf/cm ...
'I 
,o•\
,. \ 
\2 
... 
T 
8 ---t 
- ,__ 
1 
' 
1 
1 
1 1 
: 
-- - - -- - -...--...--.---., ...... -
r--A 
! 
I · 
' 
1 
' 1 
1 
1 
4 
e J' • yz 
-
'' i , 
.... 
p ... 
{113;2d- Determinar e indicar as 
direções dos eixos 
principais de inércia, 
para o perfil da figura, 
constituído de chapa do 
brada. 
--:;;;, 
f 113 / 2 3) - Numa viga 
uni momento 
função de 
solicitada 
fletor N, 
H, sabendo 
� 
flexão atravésa 
calcular jcrmaxl
que esse reemento 
de 
em 
tra 
ciona as fibras inferiores e ê contido num 
plano vertical que passa pelo centro de 
gravidade da seção, 
fa viga, cuja seção estâ 
na figura, está sujeita 
M, produzido por cargas 
. tidas no.plano passando 
gravidade da seção. 
representada 
a um momento 
verticais con 
pelo centro de 
1) Achar os momentos principais de
inércia. 
2) Achar a tensão normal no� pontos
ind icaào�. 
0.1 a
-' -
G 
D 
.e 
1 30 
1 
+ 
1C,G, 
1 
1 Plano de 
'(B
t
A 
B 
E 
Ola 
H 
.\, 
10 
t 
F 
-y 
A 
3) Desenhar a linha neutra e calcular 
a maior tensão normal, indicando o
ponto onde ela ocorre. 0,1 ª
+!
--A ___
G13;2sj- -Determinar: 
a) Momentos principais
de inêrcia. 
b) Eixos principais e
sua direção. 
c) Linha neutra,
d) Tensões máximas ,
e) Diagrama das tensões
normais. 
p,i 10 tf 
1 / 
8 
20 
y 
.. p 1 
� =r 
t,t 3 l,f 3 \
1 
-,-2 
_,_ 
Calcular o valor da carga P (de tração) admissível, sendo 
2 O= 1,5 tf/cm 
L 3 1 1 X 3 11 X 3/8" 
S = 13,6 
b = 7,62 
g = 0,953 
2 cm 
cm 
cm 
J = J = 74,9 
X y 
1 1 = 2,92 cm 
12 = 1,47 cm 
x = 2,26cm 
cm 
-
Uma carga P de compressao 
faz com que a L.N. tenha 
a posição indicada na fi­
gura. Determinar a posi­
ção de mais uma carga P 
de compressão, de tal mo­
do que a nova L.N. passe 
por AB. 
b ! X
--t· 
xi 
24cm 
1 
1 cm 
t 
8J 
v, 
N ! 
B 
f 113/28} O material de que é feita a viga segue o critério da ener­
gia de distorçio. 
A seção ê indicada ao lado, Calcular P, sabendo que 
1,2 tf/cm 2 e que Pé de compressão. 
a. = 1 
DADOS: 
U 4" (10,79 kgf/m) 
L 1 1/2" X 1 1/2 11 X 1/8" 
J 
y 
y e 
= 31,25 cm 4
4 "'226,12 cm 
z = eixos auxiliares 
J = 19,84 cm yz 
4
d '. d tPonto e op ICOFO\ 
do corga P 
�cm�-­f�-� +-
1 
3,81 
\ 
4,37em 
! 5,1 cm
i
cs� 
\ 1
5,1 cm 
\ 
0,85 cm 
4 
1 
--+-
1 
(113/2~ - Sabendo-se que a carga Pê de tração, calcular o seu maxi-
, 2 
mo valor admiss1vel com Õ = 1,2 tf/cm. 
4 
p 
med Idas em cm 
A seção de uma viga ê composta por dois perfis U, conforme 
mostra a figura. são supostos dois tipos de carregamento, 
sobre ela: 
I) momento fletor contido num plano que forma um ân~ulo 
de 30° com o eixo 11T. t"'t-T'\+- .... VT1ô ..ç:~ f"Ytt'i"'"".I ,J J, '- \.J LL ,.l.. V .L l.'I C J.. .J... :..__:., V. ..L 1(,.,1. O 
II) carga excintrica P de traçio aplicada conforme a figura. 
z 
Pede-se: 
a) calcular os momentos principais de inércia e os eixos 
principais de inercia. 
b) obter a posiçao da linha neutra para os carrega~efitos 
(I) e (II), 
- 2 e) calcular N e P sendo dado o= l tf/cm , 
e.IM 
/ 
/ -+ 6cm 12cm 
CI _,_, CI : :-·-iSem 
L----1----' =p em 
cargo P ) 1 11 b l 
~ 
(±) /'\. plano de coroo do 
/ memento fletor 
DADOS'. 4 Ja= 89 6 em 
.Jt>=272cm4 ------------' 
(113/31) - A seção da figura está submetida a um momento fletor (M) 
provocado por cargas verticais, que passam pelo CG da se­
ção. Sabendo-se que o material da referida seção tem a • 
1,0 tf/crn 2, calcule o M (momento admissível). 
N 
o 
n 
.,. 
o
o
40 
p 
()1 
() 
Medidas em cm 
j 
113/3 2 - Sendo dado cr = 1,4 tf/cm 2 , calcular P, cuja direção contém 
o C.G. da seção transversal,
, 10 cm t t 
1
,
1
, 
�. 
-r : � CORTE A- A
1 
E CG t t:: 1 cm
(,) 
� 
1 
1 
) 
plano de / 1 1 5cm 1 i 
cargo 
�- Para a viga da figura, com carregamento indicado P (tra-
� - -
/ 2 çao), pede-se o valor desta carga dado: a "'0,8 tf cm 
1
18cm 
1 9 cm 
4 cm 
6cm 
p p 
-
--t --=---� 
9cm 
1~-~:·~· -----------------
! 
1 
1 
l 
1 
1 
1 
• 
1 
ICJ 
1 
_µ>,:Sm 
i 
j 
3 3 
2m +-A . 1 
~ 
----+-
i 
-~n----· 
l 
_l_ 
4 cm 
1 
- 2 Dado a= 1,2 tf/cm , pode-se calcular o valor admissível da 
carga excêntrica P, 
-! 
1 
1 
1 
~I 
s;t-1 
1 
1 
1 
D 
/ 
p'-
-=r-
---------+-
EI 
u 
v 
~ 
p -
E 
u 
s:t 
1 
2,5 1 2,5 2,5 cm 
Determinar P para o pilar (solicitado por compressão -excen-
trica) com seçio indicada na figura. 
OBS.: 1) Não hâ flambagem 
2) Dado: a= 1,2 tf/crn 2 
D E / 
Cantoneira: 3" x 3" x 3/8" 
Perfil U: 6" (12,20kgf/m) 
ponto de aplicação da 
carga P (compressão). 
, 
14f:I LISTA DE EXERCICIOS I L 14) 
1 RESISTÊNCIA DOS M ATERIAIS 
TORCÃO GERAL E CENTRO OE CISALHAMENTO 
� � S a b e n d o q u e a = 1 , O t f / em 
2 , c a 1 cu 1 ar o v a 1 o r d a d i me n s ão a
para que o carregamento da figura seja admissível, Para es­
se valor de�, calcular a rotação da seção onde estâ o mo­
mento MT. 
20 cm 
+ 
+ 
to em 
10 cm 
""{-� ----L .... --4)_:. 1 � 1 
/ 
G 11 800 tf/cm2
�- Determinar a relação entre os módulos de resistência ã tor­
ção, e entre as rigidezes relativas à torção das vigas A e 
B cujas seções são dadas na figura. Sabendo-se que a viga 
B � submetida a um momento torçor de 100 tfcm, pede-se cal­
cular o esforço no cordão de solda, 
soldo 2 1t1lda 
1, 2 2 
40 
� � 
40 t ( medidas e1TI cm ) 
�-Calcular as tensoes principais no ponto A da seção do en-
gastarnento, indicando as direções dos planos onde elas o-
correm. 
p 
50 em t 
50 em 
21 ffl'I 
~- Uma barra ê constituida de duas peças de seção retangular 
(20x2cm) soldadas como indica a figura. Estando as extremi 
dades da barra engastadas, calcular Tmax em cada peça qua~ 
do se aplica um momento torçor Mt na emenda, 
Sitçõo A-A /soldo rª 
koem ~~=============!~2=c=m==~',==~~ 
f ~t•l5tf.m L.e 
1 m t 2m __ .,..12_ocm 
~- Calcular o momento de inércia e o módulo de resistência 
torção da barra cuja se~ão está indicada na figura. 
1 
1 
-11,,,--,.,-- ~ 
0100 
. -
(114/6)- Dar a expressão da constante c da mola, em função de E, a e 
t, para que na viga da figura só haja flexão. 
p 
D 
N 
�- Uma barra de 4m de �om;,rirr1ento tem a seção indicada ao lado.
Sendo T = 0,8 tf/cm , calcular o m@rnento torçor admissível. 
Para esse valor do momento,calcular @ �iro relativo das duas 
extremidades. 
? 
'faterial: G = -SO') tf/cm� 
._____. _ ___ __ 4_0_c_m ___ __ _ ----+--
r.::
==========
;:l
º=·=:5 =c=m========::::;-,
i + 
1 
\ ! 
0,2 cm 
30cm - >-- 0,4c��._
r 1 
1114/8)-
1 
1 
1 o.s cm
Traçar diagramas de momento 
fletor, momento torçor e EoE 
ça cortante da viga abaixo, 
DADO: E= 2100 tf/cm-
25cm 
C= 500 Kgf/cm 
l 150Cm r 
[g- A viga da figura esta sub­
metida a, um momento �orçor 
Mt = 1,5 tf.cm. Calcular o 
deslocamento vertical do 
ponto A. 
2 G == 800 tf/cm 
__ -+'1.L3'--'3 cm 
2tf 
,__,.._,,,__""'""- =±cm 
10cm 
6C:lltl 
CORTE A-A 
i ) i 15cm
\ 15cm 
Mt __ +-
® 
l 
? 
X 
-~~----------ºMt ·~ ____ / í@ 
t 2Dm t 
·- ·--
1. 
1 
X•.ocm 
1,0 
• • 
11~;10 - 3 barras de aço (G = 800 tf/crn
2
) de mesmo comprimento -sao 
submetidas ã torção conforme indicado. Suas seções t rat).s 
versais são, respectivamente, as indicadas nas figuras A, 
B e C. Calcular para cada secção: 
M = valor admissivel do momento aplicado. 
t 
~=máximo valor do ângulo de que urna secção extrema pode 
girar em relação ã outra sem que seja ultrapassada a 
tensao admissivel de cisalhamento. 
,C,tnt t 
0,5cm =F .... e_::=_-_____ ...,._;_t! ........ + .... : ; ____ -__.3 
® t IO cmt 
0,5!f"-- _ 
JE Ili o,s~ 
@ 
~ • A viga da figura, cuja seção ê 
mostrada ao lado, e submetida, 
em sua extremidade livre, a um 
momento torçor Mt• Sabendo-se 
- 2 que t = 1,0 tf/cm e G = 800 
t f / e rn 2 p e d e- s e ~ 
a) o valor de Mt admissível 
b) com esse~, o valor do gi 
i' t -
roda extremidade livre. 
1 1 o.s 
, __ - - _J 
j 7,5 un -t © 
~ 1.112,om -h-~Oem 
1 em 
40cm 
2cm 
3cm 
t 10 em f 
{114/12) - Determinar a expressão de P em função de x. 
9- = 30 cm a = 80 kgf/cm.
2 
Usàr o critério de energia de distorção. 
p 1( pl 
t t t 
T0,5 cm 
10 em seçéJo do vlgo 
()Mf 
+-
X 
I, 
114/lJ-
1 ..__ __ _ 
Dadas as constantes elásti­
cas da barra de aço: 
E= 2100 tf/cm2 
'l "' O, 3 
?ede-se: 
.ACalcular a relação� 
' ') 
para que o Donto � nao 
se desloque, 
20 
t
A 
borr-o do aço 
( medidas em cm l 
ao 
a 
\ 
r 
Is 
� Calcular os módulos de resistência à torção e os momentos de 
inêrcia à torção das seções indicadas. 
50 em 
[Ll4/ls)- Calcular a máxima tensão ideal na viqa da fi�ura pelo crité­
rio de energia de distorção. 
Calcular·tambêm a força por unidade de comprimento na solda
da viga onde estâ aplicada a carga. 
DADOS: J 4 4 2 = 00cm , P = 500 kgf , G = 800.00C kof/cm , 
XX ,::, 
60 cm 
p 
20 cm 
20cm 
espessura da chaoa = ô,2cm 
n 
-....... 
10 cm 
[Ll4/lr,]- Calcular o desloce.nento vertical 
DADOS: 20 f' r = c rn \J = 
p = 80 kgf c = 
~ p flp e.e. 
1 
t 
lm 
i 
1 
(114/171- Ut1a viga 
indicada 
.,.. 
com seçao 
na figura 
está submetida a um 
momento torçor 
= 200 tf,cm. 
' ( 
" 
:e 
t 
Calcular o valor de 
T max 
Sabendo-se que T 2 = 0,8 tf/cm , 
calcular a relação entre os mo 
mentas torçores (Nt) e os ei-
ros da e~tremidade B nos se-
guintes-casos: 
a) - fechada secçao 
b) - aberta A. seçao em 
H dJ 
Pede-se: a 
·a 
Nb 
e - . 
<bb 
soo 
4r 
T; 
A 
e 
f. t) ponto A• 
tf/cm 2 
lt 
T = 0,4-cm 
F> 
1 p 
20 cm 
40 m t 
0,1 cm 
I! .. 
!i 
1 
0,2 cm 1 
4 O em 
\ / 
\ / 
\ / 
\ . I 
\ 1 / 
e ... 30° 1 2 =============ª· e 'IA t 
l 
\JI / 
\ / 
G .. 800 tf/cm t 1,5 m o 
1 
t= cte.~ 1 cm 
(Ll4/l� - Para a viga cuJa seção ê mostrada abaixo, determinar a po­
sição do centro de cisalhamento,·Sabendo-se que o material 
da viga segue o crit;rio da energia de distorçio, com a. = 
l. 
= 1,4 tf/cm2 e que o máximo giro permitido é �2 (15
° ) de-
terminar a carga admissivel �' sendo dado G = 800 tf/cm2 . 
rzzmtt:
22,, ,z"1 1j
e 
't . . 
c
m f 
P 5,0cm P 
(Ll4/20I- Para a seçao indi 
cada ao lado (A),
calcular J� e W 
1. t 
nos casos: 
-
a) secçao fechada-
b) secçao aberta
em A, 
Para a se_ção da 
questão anterior(A), 
acrescentando nervu 
ras (casos B e C)
quais são os novos 
Jt e Wt?
.j 
30 c.m 
secção 
A 
....... ---
5,0 t 
( B) 
t=cte. = 0,1 c m
e= ct e : o, l cm 
( A) 
�- �- ----
20 cm t 5.0 
t " e te " O, 1 cm 
- - iJ
I'
+ 
"-1 
\ 
1,0 cm 
10cm 
-
��
---, o-,o
-c_m ___ l o
-
.
-o-c
_
m 
_ ___,l,__s_,
_o __
(C) 
20,0 cm 
t11 ct.e : 0,1 cm 
10cm 
• s ' • • • • • . 
A a • • li .. 
---------
- 1 . t ~5,ocmf 
t, 111 •íl lf n 11 
C~ª z I z z z z z 1 ;:;;Jtc-
" 
1 __ ,_ 
/ 
G14/21j - Para a viga horizontal da figura as cargas 
próprio e o peso do enchimento indicado. 
-sao: o seu peso 
Calcular cr. na borda superior. Desprez~r o efeito da for 
irnax 3 -ça cortante. p . = 7,e tf/rn p = 1,0 tf/m 3 viga enchimento 
,.~ 
~ ,120 cm j 
f 
12cm j 
toem -
f 
10 cm j 
12cm 
l 
l 
10 cm 
2 
j 
10cm 
(1 1 4 / 2 2 j - D e t e r mi na r o v a l o r m ã xi mo a d mi s s Í v e 1 d a c ar g a P u t i i i z a n d o 
o critério da energia de distorção. 
Calcular o deslocamento vertical do ponto A, iuando se apl! 
ca a carga do item anterior. 
DADOS: - 1, 4 tf/cm 2 a = ,., 
E 210() tf/cm 
t'.. 
= 
? 
G = 8()0 tf/cm~ 
t = 
1 
1 , O cm 
t = 
2 
1,0 cm 
h = 20cm 
b = 10cm 
9, = 1,0cm 
OBS.: Desprezar o efeito da força cortante. 
t 
b l 
i p - - ==tt, 
~ -12 h -
1 
J. 
1 '+ - - tr 
(114/2� - Uma superfície ABCD serã revestida de 10 placas de argama� 
sa armada prê-fabricadas. Calcular a mãxima tensio de ci�­
salhamento causada pela adaptação das placas planas i su-
f<? • ,er 1c1e reversa. 
D 
1-toem
-10� 
/ 
/ 
// 1_······ ..... fa>d.-,
/A 5., 
/ e• so
{=
j......_ _______l 
7-�---------=:...----,---7
---+- 1,2 cm -=f=-c:::==========::::::::1
E ir t 50 ooo Kgf/em2 
}J x 1/6 / 
� m 
f 
f 114 / 2 4] - D e t e r mi na r a p o s i ç ão d o e e. n t r o d e e i s a 1 h ame n t o d a s e ç ão i n
clicada na figura. A seção ê obtida com chapa dobrada de es 
pessura constante (t=2cm). As cotas se referem ao esquele-
.· 
-
to da seçao. 
oem 
Determinar a posi­
ção do centro de 
cisalhamento, 
em 20cm 
h::: 10cm
b 111 10cm 
J114 / 2sf -
------
________ __)) 
1 
1 
~ 1 -t•m 
2· ~-+-- l 40 
ftl4/26J - Achar o centro de cisalhamento para a secçao indicada na fi 
gura. 
espessura constante 
o, re o e== a/20 
0,?5 o 
(114/27)- Determinar o valor da carga admissível P) na viga em bal~n-
ço esquematizada ao lado, usando o critério da energia de 
2 distorção com cr. ~ 1,4 tf/cm. 
l 
VI 90 eo, Oolonço r 
0,2cm 
rr- ---
' 1 
1 
íl-
3 em 
a- Dada a viga e o carregamento (vide 
figura ao lado) determinar a dimen 
são da aba (dimensão~ indicada) 
para não ocorrer torção. 
OBS.: Desprezar o peso próprio da 
viga, 
LO m t 
1 ·:: 
+p 
1 
L 1 --+ 
se1=io do Vigo 
--r,: ----
1 
1 t=cte=0.9cm 1 
l ... _____________ ...,_ i2cm 
l4Cm f o= ? 1 
(114/2� - Para a montagem da estrutura que vai receber o esforço to� 
çor de 100 ttcm, estão dispon!veis barras de aço de diime­
tro 3/4", 1 11 e 1 1/2 ". Sabendo-se que o material segue o
- - 2 critirio da energia de distorça-0 com a= 1,4 cf/cm , per-
gunta-se: 
a) Qual o menor diâmetro que pode ser utilizado,
b) Qual i entao a mixima tensão ideal na estrutura e onde
ela ocorre.
E 111 2100 tf/cm 2 
ISc:m 
12 
IOOtf/m 
15 
50 cm i ,ocm t 
µ = 1 /3 
15 cm 
O.Sem
0.5 12cm 
5cm 
Sem l 115,cm 
�// -i-
{Ll4/3� - Na seção do engaste (ponto A), calcular as tensoes princi­
pais no ponto Ida seção transversal, sendo P = 0,6 tf. 
C.8.
2 em 12cm 
2cm 
PERSPECnVA 
t 6 cmt 
SEÇÃO TRANSVERSAL 
(114/31] - Calcular: 
1) Momento torçor admissível: 
a= 1,0 tf/cm 2 (usar e.E.D.) 
2) Giro por unidade de comprimento: 
G = 800 tf/cm 2 
80 CM 
40cm 
?S)lffl'l _ __,_2'> m 
55cm 
40cm 
12,0mm 
r~l4/3~ - Dada a viga da figura abaixo, calcular: 
1) O valor admissível de P. 
2) O deslocamento total do ponto de aplicação de P, 
DADOS: 
a= 1,4 tf/cm 2 
perfil U 10"(22,77kgf/m) 
E= 2100 tf/cm 2 
G = 800 tf/cm 2 
O material segue o critério da energia de distorção. 
OBS.: Levar em conta o peso próprio e desprezar o efeito da 
força cortante, 
t---- ____ ] 
'l 2,0 m 1 P 
[ L 14 / 3 3) - P ar a o eixo 
TI 
a) - e
TII
da figura pede�se, para os casos I e II: 
b) A força cortante exercida sobre cada um dos 12 rebites,
desprezar 
wperpo1icõo 
supondo
30cm 
T 
< 
t= constante= 0,2cm 
re blte 
CASO n
O• •t 30cm 
( L 14 / 3 4} - C a 1 eu 1 ar W t e J t par a a se c ç a o e 1 ma x e cp p or uni d a d e d e 
comprimento, quando se aplica um momento torçor de 4 tfcm. 
1
--- -- - - --
1 
1 
1 
a/20 
+ 
1 ! a
_L __ -=-:::::---=-=::---.::::---__ -_=-i_.l 
20 
T = 6 tfc ( . m caso 
t 20 cm ~ 
[114/35) - Comparar/a resistência ·e a rigidez ã torção das secções indi 
cadas. 
1 ---·-li 
1 1 
-l ..!Y'º 1 
1 1 
1 
1 ----- -----' 
o 
+- 2 o 
r;----::::;;----1 '-----------... 1- - - - - - ' - - - - -1 
o li -~: li o/10 JEJ/10 11 ...... ,,,_e... -, 1 
1 1 
·:o: ~ 1 1 o/10 o/10 1 - -1 
1 1 
T 
-li . jt 
l!:! - - - - - - - -~ 
r 1 , 
I_ - - _L ____ IJ. 
: • 1 : 
~ - - - J - - - - - - -' 
t 2·Q o t o 
[114/33 - Para os perffs :baixo, o c~lculo exa~o indicou respectivame~ 
te JT = 28,5 cm; 120,0 cm; 51,6 cm • Determinar, utiliza~ 
do a espessura média das abas, o erro (%) no cãlculo dos mo 
mentos de inercia ã torçao. 
30~ 
• mEid Idos~ mm· 
(114/37} - Dado o pilar com 
s,ção aberta sub 
metido aos esfor 
ços P e Mt indi-
cados na figura, 
achar a máxima 
tensão ideal. 
t 139 
7.5 
mE1didas em cm 
t 
! 
251 17.1 
22 2 p:: 40 tt 
2 
(1i4/38I - Calcular P pelo e.E.D.
- 2a .. 1,4 tf/cm 
Desprezar o efeito da força cortante. 
dtepruor efeito 
40 co rtante 
6 cm 
(�'i4/391- O material da viga da figura se­
gue o critério da energia 
distorção. Sabendo-se que 
2 -• 1,4 tf/cm, calcular P.
de 
(J .. 
Com es 
se valor de P calcular o desloca 
mento vertical do ponto D. 
OBS.: as cotas se referem ã li­
nha do esqueleto. 
r 
1 
1 
[�14/401 - Determinar a posição �o centro de ci
salhamento para a seçao abaixo. 
t = constante = 0,5 cm 
f114/41) - Calcular wt
30cm 
li 'Cffi 
·- ".., 
1 _J 1 t= l R..J ·,.o m 
f 114/42] - Dadas as seções abaixo (A e B), de duas vigas com lm de com 
primento, solicitadas apenas por momento torçor, calcular: 
a) Mt admissível nos dois casos, sabendo-se que o 
segue o critério da energia de distorção e ã = 
material 
2 1,4tf/cm ; 
b) A força na solda, por unidade de comprimento, quando se 
aplica, no caso B, o Mt do item anterior; 
c) Os giros relativos entre as seções extremas, quando se a 
plicam, nos dois casos, Mt = 1 tfm, 
DADO: G = 800 tf/cm 2 
Medidos em cm 
1114/43) - Calcular o valor admissível de P e o deslocamento vertical 
do ponto A, localizado ao nível da seção E-E da viga, 
6,0cm 
2 
T = 0,8 tf/cm 
G = 800 tf/cm 2 
t =constante= 0,5 cm 
10,5cm 
60cm 6,0cm 
IE 
~ 2 em t 2 em t 2 cm 
(114/44) - Uma barra de seção celular, 
cuja seção esti mostrada ao 
lado, serâ solicitada por 
um momento torçor de 4,8tfcm, 
Determinar o mínimo valor da 
dimensão�' sabendo-se que 
o material da barra segue 
1-
1 
1 
1 0,1cm 
1 
1 
�-
t 2a
0,1cm O,lem 
- .r 
t 1 
1 
l-0.2. 
1 0,1cm 
011cm 1 0,1 
_\_ 
1 
f ª, o critirio de Coulomb cbm:
2 
cr = 0,8 tf/cm (tensão admissível de compressão simples)c 
crt 
= 0,4 tf/cm 2 (tensão admissível de tração simples).
2a
(114/451- Para a viga em balanço da figUra, determinar a carga P ad-
missível, sabendo-se que o material segue o critêrio da e­
nergia de distorção. 
cr. = 1, 2 tf/cm 2 
l 
t 
g • 50 cm
t =constante= 0,1 cm 
�14/461 - Qual o máximo valor de�, sabendo-se que o ponto B pode se
deslocar na vertical, de no máximo 0,6 2 5 cm, e a tensao de 
2 cisalhamento admissível do material ê T = 1,0 tf/cm . 
t == constante = 1, O cm G = 800 tf/cm 2 
rt
: 
1 
r
i! 
� o 
1 
® / 
40cm 
l 
u 
400 cm_--+
t
!Oem
t t t 
4 0 em 30 cm 
-4 
p 
[114/47) - Determinar o centro de Torção 
da seção ao lado,em função do 
momento de inércia ã flexão e 
das caracterfsticas geométri-
cas mostradas, 
t = ete. 
-t--R --------..----R-
(114/481.:. Calcular o centro de cisalhamento para as seções abaixo. 
t = espessura 
constante 
~14/49)- Calcular o valor admissfvel da carga P pelo critêrio da 
gia de distorção. 
1 
l 
2 a= 1,5 tf/cm 
2,0 m 
1 
p ! 
~ 
espessura constante= 0,1 cm 
TT 
I~2cm 
J p 
R 
la 
1 
'ª 
ener 
(ii4/Sol - Para a viga mostrada na figura abaixo, cuja seção e vista 
em detalhe, pede-se determinar o momento torçor admissível 
pelo critério da energia de distorção com ã, = 1,4 tf/cm 2 • 
l 
Sabendo-se que o material da viga tem G = 800 tf/cm
2, ped� 
-se tambêm o giro da extremidade livre para aquele momento,
4,0cm 
]
VIGA 
�$
º= 
4.0cm 
f Mt � i 3,0cm '4.0 cm 
t
o.som
------------ -i-
[L14/511- Uma peça componente de uma estrutura é solicitada conforr.1e 
a figura e deveri ser dimensionada com urn material que se­
gue o critério da energia de distorção, com Õ = 1,5 tf/cm 2 .
Se para a montagem da peça não for encontrado aquele ma­
terial, pergunta-se se ê possível construir tal peça utili 
zando ferro fundido, com diimetro 2 vezes maior. Justifique. 
�-
f 
30cm
T = 2, 5 d N 
Ferro fundido: = 
c 
T 
= 30 
O, 8 
t 
tf / cn1 2ot = 0,4 tf/cm 
Calcular o valor admissível de T pelo critério da energia
de distorção, sendo dado cr 1, 5 tf/cm 
2 = 
. 
t'5 cm 
)T T 
� 
\ 
r- f" 
' 
I
=�+·,m 
t l 1 � \ 
/ 15cm 
__i_ tem �. 
-4- ,-r
3·0cm l 30cm � :SO cm
1. 5
7,0cm 
2 a 
~14/53)- Calcular l\ e Jt 
o/20 
!._J> a/40 - · • · f 
o 
i 
[114/54]- Estabelecer, utilizando e.E.D., uma fórmula prática para 
diMensionar barras de secção quadrada solicitada por mom~n 
to fletor e momento de torção. 
(114/551- Calcular o mâxiJ110 valor da carga P, de ,,modo que a tensao 
de cisalhamento seja igual a 1,0 tf/cm~ e o deslocamento 
vertical do ponto A seja no miximo igual a 1/500. 
1 4 cm f2"crm · p 
1 --+ PHP 
~ \4cm 
0,!3 llffl 
-·t- ~ 
14cm 
--+-
·! " 
, --i~m 
{114/5~ - A viga da figura tem secção retangular vazada, obtida pela 
soldagem de uma chapa dobrada. Determinar o ~iximo coDpri-
-mento sem solda, no trecho indicado, de modo que nao seja 
') 
ultrapassada a tensao T = 1 tf/cm~ 
solda ucão do trecho 
a D + 
A 
J-A~ ~ D ~ t = 0,5 cm cm --+ 
t 30 cm ~ 60 cm 1 t 6 cmf f 6 cm f 
(Ll4/571- Para a viga de seçao celular da figura abaixo, pede-se dete.E_ 
minar o valor de P pelo critério da energia de distorção sen 
do dados: 
----
CJ 
o 
"' X 
-....... 
5 
o 
ln 
--
cr. = 1,2 tf/cm 2 
1. 
4 J = 262,66 cm 
XX 
100,0 cm 1 p
l 
r-
1T
-
- -,- 1 
1 
1 
1 
-�-. -- ·-
1 
1 
5,0 cm
1 
1 t = cte =
, ..._. 0.4ar 
�-------
1 CG 
-1 
1 
1 
1 
1 
1 
� 
5,0 cm
1 
1 
1 !e 
1 f()' 
f/=seqão =f:I:. 1 
1 
X ·--·
1 1 
�------1 
1 
1 
1 li) 
1 
1 
1 
1 ,-t----
· 5,0 cm-+-
fL14/5� - Determinar o deslocamento vertical do ponto de aplicação da 
carga P = 5 tf. 
E = 2 ,100 tf/crn 2 
G = 800 tf/crn 2 
OBS.: As chapas ABCDEF e GHIJKL são rígidas. 
t = lc m(ch l
secõo"O"
o 
li") 
secõo"Q"
p
B G 
A----+---��--+-----.._-�L 
�
I
. t Q
J 1( 
j.,, 60 cm + 60cm l 
,-
i 
E' (.) 1 
01 
21 
!
i 
11 
r F . -
]_ l 1 
~ 
1 
1 
! 
_J_ .. 
{114/59) - Uma ponte ferroviária tem a seçao transversal mostrada na fi 
gura. A máxima força cortante Q correspondente a um trem ti-
po passando sobre a ponte, em uma certa seçao, vale 690 tf. 
Para essa seçao pergunta-se: 
a) Qual o valor de Jt 
b) Qual a máxima tensão de cisalhamento que ocorre devido 
torção e em que trecho ocorre. 
1,3 cm 1,3 cm 
1,6cm 
E 
CJ 
1,6cm 8 
li) 
2,5cm 2,5cm 2,5cm 
_ ____,,___3_5_0_c_m _____ 3_00 cm pso_ cm --.-----
1114/60 - Sendo a= 1,5 t/cm 2 , calcular o valor admissível de T pelo 
critério da energia de distorção. Para este valor de T, cal-
cular o valor de máximo ângulo de rotaçao, sendo dado C = 
800 t/cm 2 . 
2T 
T 
50 cm 50cm 1 
1 
1 
~- No cálculo de eixos de máquinas 
ção, é costume substituir esses 
momento ideal que e considerado 
espessura " 0,5cml 
solicitados à flexão e tor 1 
esforços solicitantes por u: 1 
como momento fletor. Usando 
o critério da energia de distorção, deduzir uma fórmula para 
o momento ideal no caso de seção quadrada. 
OBSERVAÇÕES: 
1) As cargas que produzem momento fletor estao 
contidas num plano perpendicular ao lado qu~ 
drado. 
2) Desprezar as tensoes de cisalhamento produzi 
das pela força cortante. 
(114 /6 2) - Qual a relação entre os coeficientes das molas k1/k2 
para
que a estrutura da figura só esteja sujeita a momento tor­
çor. 
z 
-
b 
b 
t (cte.) 
,,--Mt 
CC 
h 
se�ão tra nsver11al 
(1 
o 
a "" b/2 
h = 2b
b 
·t =
2Q 
t == O, 5 cm 
,�14/631- Calcular o valor admissível de T pelo critério da energia de 
distorção e o ângulo de rotaçao da extremidade livre. 
Dados: cr :::: 1, 5 t / cm 2
G 800 t/cm = 
1
(2T 
30cm l !50 c m
(114/64)- Para a estrutura da figura 
-3seja igual a 6,5,10 
Dados: E 2100 t/cm 2= µ 
espessura o, 5 cm 
determinar Mt de modo que o E max
== O , 5 
(e= constante l 
2 
f_ . -
~14/6~ - Calcular o Centro de Cisalhamento da seção transversal indi-
cada. 
3a 4a 3a 
--~-~-:::--~7:;i f.osa r----
1 1 
1 1 
~ - 2 ~- Dado T = 1,0 tf/cm , 
Para este valor de P 
to A. 
1 1 
1 I 0,03 o 40 
1 1 
1 1 
, ......._....., ___ 1 
'------- __ 1 
0,030 
calcular o valor admiss{vel da carga P. 
calcular o deslocamento vertical dopo~ 
P p P/2 
~1------,o-o_c_m ___ ----1i P/2 
A 
t = espessura= cte = 0,5 em 
G = 800 tf/em 2 
~ 
~"> 
7 
(,,~ 
,,a., 
RESISTENCIA DOS MATERIAIS 
159 LISTA DE EX E R C Í C I os ( L 15) 
FLAMBAGE M 
§]- Seja a coluna da figura. Calcular Pft (carga de Euler), saben 
do-se que E= 2100 tf/cm2• 
p (caroo cêntrlco l 
, ,, 
24 cm 
; 
t a 
em 
i 
�- A lâmina de aço indicada na figura faz parte 
de um sistema regulador de refrigeração. O 
projeto requer que, para um aumento de temp� 
ratura de 40°, a lâmina dê contacto com um 
dos dois terminais A ou B. Por razões cons­
trutivas a lâmina deve ter seção O,lxO,S(cm). 
Avaliar qual deve ser o comprimento da lâmi­
na para satisfazer as condições do projeto. 
Coeficiente de expansão térmica: 2xl0-S ºc-l
E= 2100 tf/cm 2 
Secõo A A 
1 
e 
� - Um certo material segue o diagrama ªft 
x À indicqdo. Calcu­
lar Pfl para a coluna da figura, 
1 ;;;, õ1e l Kof/em 2 >
i 2cmj 1 
"°" jf
m 
1100 
u 
r 7 
2,5m 6cm 
A A 
2cm 
100 ----+--
SEÇÃO A-A 
1 
40 À 
___,_ 
B 
e 
0,1 cm 
_1 _ 
~- Determinar o máximo comprimento (i) do pilar. Utilizar a NB-
14. 
l '°t' p 
t 
5"X S' x 3/4'11 
Obs: utilizar tabela dosperfís metálicos para as dimensões, 
~-Calculara carga admissível P para a coluna de aço, 
Obs: Usar as f6rmulas da NB-14. 
p 
secçao da Coluna 
~- Calcular a carga admissível para a coluna de 
material considerado ·é aço 37. 
10 cm 
r 
p 
E 
u 
N 
E 
v 
Secção 
j / 
aço 
E \1 
ui 
IO 1 
-~t 
51 
IO i 
1 
indicada. o 
10cm Li 
~1 
---t 
--Í 
12 cm j 
� - Para a coluna de ferro fundido com seção indicada, calcular o 
máximo Vqlor de P. Supor coeficiente de segurança igual a 4. 
Obs: Usar as fórmulas de TETMAJER. 
l 
..: 
l 6 l l j
O circuito elétrico da figura deve entrar em funcionamento
o quando houver um aumento de temperatura de 50 C. 
A lâmina é de aço e deve ter as seguintes dimensões: 
9, = 10cm a == 0,5cm 
Avaliar qual deve ser a dimensão b da seção para que o sis­
tema funcione conforme re-
Bateria 
b 
b 
querido, 
Coeficiente de Expansão ter 
mica da lâmina: 
ct = 
2 
E= 2100 tf/cm 
6 
-~li>-----
·-
-p 
6 o -1 2.10- ( C) 
- Calcular a carga P de flambagem, 
Dados: 
PERFIL U: 
d= 1,2cm 
J = 158cm4 
Jy = 13,3cm4 
... x 2 
area = 10,1cm 
E A A 
PERFIL I: 
J = 250cm 4 
X 4 
J = 32,1cm 
_Y 2 
area = 14,3cm 
E= 2000 tf/cm 2 
sec:,õo A-A 
t0.2 cm 
V 
E 
u 
"!. 
2 
[ 11snoj- O escoramento de vala esquematizada ê feito com madeira pero-
ba rosa. Sabendo se que os perfÍs disponíveis para as escoras 
são de 6x12 cm e 6x16 cm, escolher a mais conveniente. 
200kgf/ 
-~. 
6m 
2m 
200 kgf /m2 
V AÇÃO" ( pressão do solo) 
E = (peroba rosa 
= 94250 kgf/cm 2 
a = 85 kgf/cm 2 
e 
{11s/11) - Para o pilar de peroba rosa mostrado na figura, determinar a 
mínima dimensão "d" de modo que a viga resista ã máxima car­
ga possível. Com esta dimensão, determinar a carga admissí-
- 2 2 vel, sendo dados: ª� = 85kgf/cm , E= 94250kgf/cm 
Desprezar a contribuição da alma no J , J e S da seção. 
y z 
···- d?
t,
1,0,11111 
y 
3,0 
l( 
y 
otma ( VISTA f'lE LADO) 
[115/12]- Na estrutura da figura a barra BCD ê rígida e as barras AB e 
I 
A 
r·f 
3m 
B 
º:iml 
1 
1 
2,5m 1 2.,5 m 
E 
E 
1D 
D 
\
DE tim se�s circulares de, 
respectivamente, Sem e 2cm de 
diâmetro, Sabendo-se que o 
material dessas barras é aço 
- 2 
(a
t 
= 1,2 tf/cm), calcular 
o valor admissível da carga
p • 
1115/131- A barra, cuja seção ê indicada, é de um material que segue o 
diagrama 
ºfe x 
À da figura. Para À < À
l 
ocorre a flambagern
plástica segundo uma parábola, cuja tangente para À= O ê ho 
rizontal, Para X> A1 ocorre flambagem elástica segundo a hi 
pêrbole de Euler, com coeficiente de segurança 2. Sendo E= 
2000 tf/cm , calcular P com À= 80. 
"'ht Oo = o. 8tflem
2 
SECÃO 6 
ªº I 
ÕIOO 
2 
2 
t 2 !2 i 4- t 2 i 
1 p p 
À
,
= 100 À --:� I � 
l - -
2 
1, 
---
(1{s;14) - Para a coluna da figura, 
determinar o valor de P , cr 
sendo dado: 
E ... 100 tf/cm2 
(medidos em cm) 
e 
N 
e 
N 
{115/15]- Determinar o comprimento 9.- admissível pAr 0 a "'"trutura de 
ferro fundido da figura. 
Adotar: Coef~ciente de segurança= 4 E= 1000 tf/cm 
P• IOOtf +4,621 
g j l 15,24 cm t 
secõo da viga 
1 y, 
Medidos em em. 
, 
chapo de 
aço 
[115/16} - A care:a P indicada cresce lentanente de P = 
Sejam: 
O até P=P 
r 
6
1
: deslocamento horizontal do ponto C. 
6 2 : deslocamento vertical do ponto R. 
E 0 hocar o~ gráficos: 
õl X p 
tA 
1 
/J.2 e 
B 
X p • A ' ~ 
J/2 
1Hf00 
1 
1 . 
' CI p 
..b-......,_ 
!'f'l17i/1'/ 
circular de 
t dia metro d. 
[11s/1d- A NB-14 fixa a tensao admissível de flambagem 
gião de flambagem no regime plástico (O < À < 
para o aço,na re 
105), pela rela 
-
çao seguinte: 
(1 
2 -
fe = 1200-0,023 (tensao em
kgf / cm 2) 
Se a relação acima (equação 
de uma parábola do 29 grau) 
for substituída por uma rela 
ção linear (equação de uma 
reta), calcular o maior erro 
(%) cometido no t recho cita­
do. 
�-1) 
O < À < 10 5 
� 
Supondo que o numero de
contraventamentos seja tal 
que a capacidade da colu­
na seja mâxima, calcular 
a cérga P �dmis�ivel. 
2) Qual ê o numero mínimo des
ses contraventamentos para
que a carga admissível se­
ja a do item 1 ?
OBS,: Fazer o cálculo pela 
NB-11. 
Pinho do Paraná 
a = 51 kgf/cm 2e 
2 E = 1052 2 5 kgf/cm 
NB·l4 
-
relo f:1io 
propctto
.L-.-----.1-----� 
106 
-·
flambegam --+-� flaabas•• 
no regime ao regime
plástico elã1tieo 
p 
�
;\ ��
o 
e, 
o 
i o 
o 
contraventomento 
-
-, 
o 
- .. 
CI 
.---, ' 
2,s_±: 
i 
t 
[115/1� - Duas vigotas de madeira de 6xl6cm (peroba rosa), foram co­
ladas de modo a constituírem uma coluna que deve ser capaz 
16cm 
., 
-
de resistir uma carga de compressao P. Calcular o valor de 
P admissivel nos casos I e II,
Peroba Rosa: E= 94 2 50kgf/cm 2 
t 
6cm
16 em
a= 85kgf/cm2 
c 
CASO I 
�;;:: 
2,om 
2,0 m
CASO Il 
1 
""-Contraventamento 
lateral (segundo 
d1 reções y .y e z. z) 
� 6cm ,
li/// 
� - Para a coluna da figura ao lado pede-se determinar o valor 
da carga admiss!vel � nos casos A e B, sabendo-se que a
mesma ide aço 37 (utilizar �B-14), 
Coluna
/ I 
'-
I 10"(37,8 kgf/m) 
300cm
Secões 
-
solda
) 
-
- A -
't.,I 10"
soldo
O" 
--z---I10"'2-:r 1 
B­
ob&. medidos em cm
CARACTFFÍSTICAS DO 
PERFIL 
2 S = 48,1 cm 
J = 5140,0 
XX 
cm 
J 
yy 
4= 282,0 cm 
1 
·y
4 
TIO" 
-
( ( 
1115/2� - � coluna, cuja seção é dada na figura, 
e. articulada nas duas extremidades. Sa 
bendo-se que a seção transversal e cons 
tituída por úma chapa de aço de 0,5 cm 
de espessura, dobrada conforme a figu­
ra, e que a colu�a esti sujeita a uma 
carga cêntrica de 10 tf, pede-se o com 
primento miximo da coluna. 
(115 / 2 2] - e a 1 cu 1 ar o raio de giração 
-
., . m1n1mo, i . '
min 
see6o transversal 
( medidas em cm l 
-
da seçao da figura. 
2 (medi dos em cm 1 
1 
2 
t
12 
1115/23] - Na montagem da estrutura 
de aço foi cometido um 
erro na barra AB de 0,10 
cm (esquema I). Calcular 
o valor admissível do car
regamento aplicado sobre
a estrutura (esquema II).
E = 21 O O ·t f / cm 2 
2 a= 1,2 tf/cm 
Seção circular de�= 4 cm 
c:,squemo I 
1 
t 
E 
1() 
11:t' 
e
uquemolI.. 
_fit 
,__ ---
A 
;,_! .,.; 
�15/2 � - A coluna da figura é de peroba rosa e tem seçao circular com 
d = 20 cm. 
Fixando-se a esbeltez em À = 100, calcu 
lar: 
a) o comprimento l e a respectiva carga
admissível P,
p . 
cri t b) o coeficiente de segurança s= 
p 
, 
sendo P 't o calculado pela teoria cri 
de Euler. 
DADOS: NB-11 E= 94 250 khf/cm 2 
<J = 85 kgf/cm 2 c 
[115/25)- Para a estrutura da figura pede-se determinar a carg.:i. admissí 
vel q, sabendo-se que E= 2100 tf/cm 2 e a = 1, 2 tf/cm2 . N: 
caso de flambagem, usar as fórmulas da NB-14, pois