Modelagem de Sistemas Dinâmicos

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• Translacionais 
• Rotacionais 
 Exemplos: 
 ¼ de carro 
outros 
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Introdução 
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Sistemas Mecânicos Translacionais 
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m 
y 
fk fk 
y2 
k 
(1) 
b 
1 2 
y1 
Modelos para elementos puros lineares 
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1 D fym 
Exemplo: vibração de máquina 
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S Sistema real Modelo Físico 
Máquina 
Máquina Desbalanceada sobre base rígida ou elástica 
Hipóteses simplificadoras: 
1. Elementos puros 
2. Modelos lineares 
3. Só movimento vertical, não há rotação 1 GL 
fk = k(y-x) )x-yb( fb 
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Exemplo: vibração de máquina 
• 
 
• base rígida : x=0 
 
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Mecânica Rotacional 
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Modelos Lineares 
Exemplo: Vibração torcional 
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Hipóteses simplificadoras: 
• Elementos puros com comportamento linear 
• Eixo longo, sem massa, sem amortecimento por histerese 
• Eixo flexível 
• Amortecimento viscoso no contato entre o disco e o solo 
• Engastamento perfeito 
 
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Exemplo: Vibração torcional 
K 
K 
B 
Jo Mo 
Mo 
Mk 
MB 
OU 
Mo 
MB 
Mk 
)2(
oo
oo
oo
oxoo
MwdtKBwwJ
MKBJ
BKMwJ
MMMwJ










Analogias 
 Observando as equações do sistema translacional e do 
rotacional, reproduzidas abaixo, percebe-se a analogia dó 
modelo, das variáveis e parâmetros: 
 
 
 
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Sistema translacional 
Sistema rotacional 
Sistema translacional 
Sistema rotacional 
)(tM
o
)2()(tMwdtKBwwJ
oo
 
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Analogias 
ω 
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Analogias 
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Analogias 
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Analogias 
Exemplo: ¼ de carro 
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Hipóteses simplificadoras: elementos puros, lineares, movimentos verticais.... 
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Exemplo: ¼ de carro 
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Exemplo: ¼ de carro 
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Exemplo: ¼ de carro 
Exercícios para casa: 
1) sismógrafo 1b) acelerômetro 
2) máquina rotativa com absorvedor de vibração 
3) carrinho de transporte 
4) ½ carro para movimentos verticais usando a 
Equação de Lagrange 
a) ângulo de inclinação grande do chassi 
b) ângulo de inclinação pequeno do chassi 
5) Pêndulo invertido montado em carrinho 
(“Segway”) 
a) Leis de Newton 
b) Lagrange. 
 
 
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m1 
x1 
xG 
 
x2 
M, JG 
m2 
k2 
b1 
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z=x-y 
y 
sismógrafo 
acelerômetro 
(saída) 
(entrada) 
z=x-y 
𝑦 (entrada) 
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y 
ka 
M 
m 
ba 
x 
k 
b 
F(t)=m1wr
2 
w 
m1 
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x 
mg l 
l 
Ө 
G