Prova de Análise Matemática

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS
Introdução à Análise Matemática
Prova Parcial - 11/10/2019
Nome do aluno (letra de forma):
Assinatura:
Pontos obtidos
Questão: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Valor: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10.0
Nota:
Questão 1 (1 ponto)
Sejam a, b, c e d elementos de um corpo ordenado K, onde b e d são
positivos. Prove que a+cb+d está compreendido entre o menor e o maior
dos elementos ab e
c
d
Questão 2 (1 ponto)
Prove que o conjunto dos números reais é não enumerável.
Questão 3 (1 ponto)
Prove que o conjunto Q é denso em R
Questão 4 (1 ponto)
Se x1y1 ,
x2
y2
, · · · , xnyn pertencem ao intervalo (α, β) e y1, y2, · · · , yn são
positivos, e t1, t2, · · · , tn são positivos, prove que t1x1+t2x2+···tnxnt1y1+t2x2+···+tncn também
pertencem ao intervalo
Questão 5 (1 ponto)
Prove a seguintes desigualdades
(a) (0.5 pontos) Mostre que se a ≤ x ≤ b e a ≤ y ≤ b, então |x− y| ≤
b− a
(b) (0.5 pontos) a1, a2, · · · an ∈ R, então |a1 + a2 + · · ·+ an|≤ |a1|+|a2|+ · · · |an|
(a) (0.5 pontos) Se x e y ∈ R |x− y|≤ |x|+|y|
(b) (0.5 pontos) a e b ∈ R ||x|−|y||≤ |x− y|
Questão 6 (1 ponto)
DadosA, B ∈ R não vazios e limitados, SejaA+B = {x+ y;x ∈ A e y ∈ B}.
Prove que A + B é limitado inferiormente, em seguida mostre que
inf(A+B) = infA+ infB
Questão 7 (1 ponto)
Se x e y são números reais com x < y, então existe um número r ∈ Q
tal que x < r < y.
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Introdução à Análise Matemática
Prova Parcial - 11/10/2019(continuação)
Questão 8 (1 ponto)
Dados A, B ∈ R não vazios, tais que x ∈ A e y ∈ B =⇒ x ≤ y. Prove
que supA = infB se, e somente se, para todo � > 0 dado, podem se
obter x ∈ A e y ∈ B tais que y − x < �
Questão 9 (1 ponto)
Sejam A ⊂ B conjuntos não vazios limitados de números reais. Prove
que infB ≤ infA ≤ supA ≤ supB
Questão 10 (1 ponto)
Sejam a, b, c e d números racionais. Prove que a+ b
√
2 = c+ d
√
2⇐⇒
a = c e b = d
(a) (0.5 pontos) (x− 1)(x− 3) > 0
(b) (0.5 pontos) x2 + x+ 1 > 3
(c) (0.5 pontos) x2 − 2x+ 2 > 0
(d) (0.5 pontos) x−1x+1 > 0
Obs: A prova pode ser feita a lápis ou a caneta
Duração da prova:De 18:30 ás 21:00
Página 2 de 2 Boa prova!