Análise Matemática - apol 2

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte imagem:
Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão.
Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da região compreendida entre o eixo xx  e o gráfico da função f(x)=x+2f(x)=x+2  no intervalo limitado por x=0x=0 e x=2x=2.
 
Nota: 10.0
	
	A
	2
	
	B
	3232
	
	C
	4
	
	D
	1414
	
	E
	6
Você acertou!
A área da região é dada por: A(D)=∫20(x+2)dx=(x22+2x)∣∣∣20=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6.    (livro-base, p. 156).
Questão 2/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“A função exponencial natural tem a propriedade de ser a sua própria derivada”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 164.
 
De acordo com a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a função exponencial natural, pode-se dizer que a integral é ∫10exdx∫01exdx é equivalente a:
Nota: 10.0
	
	A
	∫10exdx=0∫01exdx=0
	
	B
	∫10exdx=1−e2∫01exdx=1−e2
	
	C
	∫10exdx=1−2e∫01exdx=1−2e
	
	D
	
∫10exdx=e−1∫01exdx=e−1
Você acertou!
A primitiva da função exponencial natural é a própria função. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se:
∫10exdx=ex|10=(e1−e0)=e−1∫01exdx=ex|01=(e1−e0)=e−1
(livro p.155)
	
	E
	∫10exdx=1+e∫01exdx=1+e
Questão 3/10 - Análise Matemática
Atente para a seguinte informação:
 
“Convém lembrar que |xn−a|<ε|xn−a|<ε é o mesmo que a−ε<xn<a+εa−ε<xn<a+ε, isto é, xnxn pertence ao intervalo aberto (a−ε,a+ε)(a−ε,a+ε). Assim, dizer que a=limxna=limxn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro aa contém todos os termos xnxn da sequência, salvo um número finito de índices nn”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, Elon Lages. Análise real: Funções de uma variável. Rio de janeiro: IMPA, v. I, 2007. p. 23-24.
 
Considerando o trecho de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Sequências, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I. ( ) Se (xn)(xn) é uma sequência tal que limn→∞xn=0limn→∞xn=0, então, existe N∈NN∈N tal que xn=0xn=0.
II. ( ) Se uma sequência xnxn converge para um número positivo, então, existe N∈NN∈N tal que N⇒xn>0N⇒xn>0.
III. ( ) Se xnxn é tal que limn→∞xn=b>0limn→∞xn=b>0, então (xn)(xn) possui no máximo uma quantidade finita de termos não positivos.
IV. ( ) Toda sequencia que possui uma subsequência convergente é convergente.
 
Agora assinale a alternativa correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V-F-V-F
	
	B
	V-V-F-F
	
	C
	F-V-V-V
	
	D
	F-V-V-F
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é falsa. Podemos ver, por exemplo, que a sequencia xn=1nxn=1n converge para zero, mas não possui nenhum termo igual à zero. A afirmativa II é verdadeira porque se limx→∞xn=b>0limx→∞xn=b>0, então, para ε>b2>0ε>b2>0 existe N∈NN∈N tal que n>Nn>N implica que xn∈(b−ε,b+ε)=(b−b2,b+b2)=(b2,3b2)xn∈(b−ε,b+ε)=(b−b2,b+b2)=(b2,3b2). Assim, xn>0xn>0 para todo n>Nn>N. A afirmativa III é verdadeira porque pelo item II a sequência pode ter no máximo N números negativos. A afirmativa IV é falsa. Basta ver que a sequencia  xn=(−1)nxn=(−1)n não converge, mas possui uma subsequência convergente, por exemplo, (x2n)(x2n) é constante igual à 1, logo, converge para 1. (livro-base, p. 59).
	
	E
	V-F-F-V
Questão 4/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico da função f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x+1,x<10,x=13−x,x>1f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a continuidade, analise as afirmações a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas.
I. ( ) limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2
II. ( ) limx→1f(x)=f(1)limx→1f(x)=f(1)
III. ( ) ∄limx→1f(x)∄limx→1f(x)
IV. ( ) limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2
V. ( ) f(1)=0f(1)=0
Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – V – F – V
	
	B
	F – V – V – V – F
	
	C
	V – F – F – F – V
	
	D
	V – F – F – V – V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é verdadeira porque limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2. A afirmativa II é falsa porque limx→1+f(x)=2≠0=f(1)limx→1+f(x)=2≠0=f(1). A afirmativa III é falsa porque limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais de ff quando xx tende a 1 são iguais a 2. A afirmativa V é verdadeira pela definição da função. (livro-base, p. 90-97).
	
	E
	V – V – F – F – F
Questão 5/10 - Análise Matemática
Observe a seguir o gráfico da função f:X→Rf:X→R, dada por f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1, onde X=R−{−1,1}X=R−{−1,1}:
Observando o gráfico da função f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1 e considerando os conteúdos do livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. Para todo ε>0ε>0, é possível encontrar δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|x−2|<δ0<|x−2|<δ impliquem |f(x)|<ε|f(x)|<ε.
II. limx→∞f(x)=+∞limx→∞f(x)=+∞
III. Podemos dizer que quando xx se aproxima de 11 pela esquerda a função f(x)f(x) tende a +∞+∞.
IV. limx→−1+f(x)=+∞limx→−1+f(x)=+∞
V. Podemos dizer que não existe o limite de f(x)f(x) quando xx se aproxima de 1 porque 1 não é ponto de acumulação do conjunto XX.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, II e V
	
	B
	II, III e IV
	
	C
	III e IV
	
	D
	I, III e IV
As afirmativas I, III e IV são corretas. A afirmativa I é correta porque a função é contínua em x=2x=2 e f(2)=0f(2)=0. A afirmativa II é incorreta porque limx→+∞f(x)=0limx→+∞f(x)=0. A afirmativa III é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|1−x|<δ0<|1−x|<δ implicam f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa IV é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal que 0<x−(−1)<δ0<x−(−1)<δ implica que f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa V está incorreta porque 1 é ponto de acumulação de XX. (livro-base, Capítulo 3).
	
	E
	I, IV e V
Questão 6/10 - Análise Matemática
Atente para o seguinte excerto de texto:
“A exclusão do ponto x=ax=a na definição de limite é natural, pois o limite LL nada tem a ver com o valor f(a)[...]f(a)[...]. O conceito de limite é introduzido para caracterizar o comportamento da função f(x)f(x) nas proximidades do valor aa, porém mantendo-se sempre diferente de aa. Assim, podemos mudar o valor da função no ponto como quisermos, sem que isso mude o valor do limite, e é assim mesmo que deve ser. Agora, se a função já está definida em aa, e seu valor aí coincide com seu limite, então ocorrerá a continuidade do ponto”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para licenciatura. 3 ed. ver. e ampl. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.  p. 143.
 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite e continuidade, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Se ff é uma função contínua em um ponto x=ax=a do seu domínio, então, ff é limitada numa vizinhança de a.
II. Toda função que é limitada superiormente e inferiormente é contínua.
III. Se existe o limite de uma função f(x)f(x) quando xx se aproxima de um ponto aa, então, ff é contínua no ponto aa.
IV. Se uma função possui limites laterais iguais em um ponto x=ax=a, então existe o limite bilateral de f(x)f(x) quando x=ax=a.
São corretas as alternativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II apenas
	
	B
	I, III e IV apenas
	
	C
	I e IV apenas
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois se ff é contínua em aa, então existe limx→af(x)limx→af(x). Logo ff é limitada numa vizinhança de aa. (livro-base, p. 92). A afirmativa II é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)={1,x≤00,x>0f(x)={1,x≤00,x>0. A função ff é limitada, pois |f(x)|≤1|f(x)|≤1 para todo x∈Rx∈R, mas ff não é contínua em x=0x=0. A afirmativa III é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)=⎧⎨⎩x2−1x−1,x≠10x=1f(x)={x2−1x−1,x≠10x=1.Temos que .
A afirmativa I é verdadeira, pois se ff é contínua em aa, então existe limx→af(x)limx→af(x). Logo ff é limitada numa vizinhança de aa. (livro-base, p. 92). A afirmativa II é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)={1,x≤00,x>0f(x)={1,x≤00,x>0. A função ff é limitada, pois |f(x)|≤1|f(x)|≤1 para todo x∈Rx∈R, mas ff não é contínua em x=0x=0. A afirmativa III é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)=⎧⎨⎩x2−1x−1,x≠10x=1f(x)={x2−1x−1,x≠10x=1. Temos que limx→1−f(x)=limx→1−x2−1x−1=limx→1−x+1=2≠f(1)limx→1−f(x)=limx→1−x2−1x−1=limx→1−x+1=2≠f(1). A afirmativa IV é verdadeira, pois se
 limx→a+f(x)=L=limx→a−f(x)limx→a+f(x)=L=limx→a−f(x), então limx→af(x)=Llimx→af(x)=L  . (livro-base, p. 96).
	
	D
	II e IV apenas
	
	E
	II e III apenas
Questão 7/10 - Análise Matemática
Atente para o gráfico da função f:R→Rf:R→R representado abaixo.
Observando o gráfico dado e com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas abaixo e marque V para as afirmativa verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
I.   ( ) limx→3f(x)=5limx→3f(x)=5.
II.  ( ) A função ff  é contínua no ponto x=3x=3.
III. ( ) limx→1+f(x)=5.limx→1+f(x)=5.
IV.  ( ) ff é descontínua no ponto x=1x=1.
V.   ( ) f(1)=3f(1)=3
Assinale a alternativa que possui a seqûencia correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V-V
	
	C
	V-F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que possui a sequência correta é a letra c). A afirmativa I é verdadeira porque os limites laterais são iguais limx→5−f(x)=5=limx→5+f(x)limx→5−f(x)=5=limx→5+f(x). A afirmativa II é falsa porque limx→3f(x)=5≠f(3)limx→3f(x)=5≠f(3). A afirmativa III é verdadeira porque quando xx se aproxima de 1 pela direita, a função se aproxima de 5. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais são diferentes. A afirmativa V é verdadeira, pois f(1)=f(1)=3  (livro-base, 99-102).
	
	D
	V-V-V-V-V
	
	E
	F-V-V-V-F
Questão 8/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn  tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	∞∞
	
	C
	−∞−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 9/10 - Análise Matemática
Leia o trecho de texto a seguir:
 
“Sempre que falarmos em ‘número’ sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se de um número real. Como os números reais são representados por pontos de uma reta, através de suas abscissas, é costume usar a palavra ‘ponto’ em lugar de ‘número’; assim, ‘ponto xx’ significa ‘número xx’”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
ÁVILA, G., Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 140.
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, os pontos de um conjunto podem ser classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, as propriedades que se relacionam a cada um dos pontos a seguir:
 
1. Ponto interior do conjunto XX
2. Ponto aderente ao conjunto XX
3. Ponto de acumulação do conjunto XX
4. Ponto isolado do conjunto XX
 
( ) É um ponto x∈Xx∈X que não é ponto de acumulação de XX.
( ) É um ponto x∈Xx∈X e que existe ε>0ε>0  tal que (x−ε,x+ε)⊂X(x−ε,x+ε)⊂X  .
( ) É um ponto xx tal que para todo ε>0ε>0 tem-se  (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅.
( ) É um ponto que é o limite de alguma sequência formada por pontos de XX.
 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	4-1-3-2
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 1 – 3 – 2. Segundo o livro-base: “1. Ponto interior do conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é um ponto interior de XX quando existir ε>0ε>0 tal que o intervalo (x−ε,x+ε)(x−ε,x+ε) esteja contido no conjunto XX. 2. Ponto aderente ao conjunto  – x∈Rx∈R é um ponto aderente de XX quando é limite de alguma sequência de elementos (xn)(xn) de XX. 3. Ponto de acumulação do conjunto X−x∈RX−x∈R é um ponto de acumulação do conjunto XX quando para todo ε>0ε>0 temos que (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅. 4. Ponto isolado do conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é ponto isolado do conjunto XX quando xx não é ponto de acumulação de XX.” (livro-base, p.87-89).
	
	B
	1-3-2-4
	
	C
	2-4-1-3
	
	D
	4-3-1-2
	
	E
	2-1-3-4
Questão 10/10 - Análise Matemática
"Uma função ff é contínua em um número aa se limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a)
1. f(a)f(a) está definida (isto é, aa está no domínio de ff)
2. limx→af(x)limx→af(x) existe
3. limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a) ".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 109.
Observe o gráfico da função f(x)f(x) definida no intervalo [−1,4][−1,4]:
De acordo com a figura e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Limite e Continuidade, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O limite lateral de f(x)f(x) quando x tende a -1 pela direita é -2-2
	
	B
	O limite lateral de f(x)f(x) quando x tende a 22 pela esquerda é 11.
	
	C
	O  limite de f(x)f(x) quando xx tende a 22 existe e vale zero.
	
	D
	A função f(x)f(x) é contínua em x=2x=2.
	
	E
	O limite lateral de f(x)f(x) quando xx tende a (−1)(−1) pela direita é 00.
Você acertou!
Pelo gráfico podemos ver que quando xx se aproxima de −1−1 pela esquerda o yy se aproxima de zero (livro-base, p. 96).