APOL 2 2 - 100

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APOL 2.2 - Análise Matemática – NOTA 100 
Questão 1/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte citação: 
 “Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado não existe ou que ele não pode ser 
calculado, mas que um estudo mais minucioso é necessário”. 
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-
scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>. Acesso em: 20 jun. 2017. 
Dado o seguinte limite: limx→12x−2x2−1limx→12x−2x2−1 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limites, assinale a alternativa que 
fornece o valor do limite dado: 
Nota: 10.0 
 
A −2−2 
 
 
B 2 
 
C ∞∞ 
 
D 0 
 
E 1 
Você acertou! 
Temos uma indeterminação do tipo 0000, então podemos usar a Regra de 
L’Hôpital: limx→12x−2x2−1=limx→122x=1limx→12x−2x2−1=limx→122x=1. Outra forma de calcular esse 
limite seria isolando no numerador a expressão (x−1)(x−1) e fatorando o denominador 
como (x+1)(x−1)(x+1)(x−1). 
(livro-base, p. 128). 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, dado arbitrariamente, 
pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. 
Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, 
a=limn→∞xna=limn→∞xn ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma 
sequência que possui limite diz-se convergente”. 
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24. 
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N. 
 
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto 
afirmar que a sequência dada converge para: 
Nota: 10.0 
 
A 1212 
 
 
B ∞∞ 
 
 
C −∞−∞ 
 
 
D 1 
 
E 0 
Você acertou! 
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 12n0<ε12n0<ε. Assim, 
se n>n0n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. 
Portanto, lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2). 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
Observe o gráfico da função f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x+1,x<10,x=13−x,x>1f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1 
 
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a continuidade, analise as 
afirmações a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas. 
 
I. ( ) limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2 
 
II. ( ) limx→1f(x)=f(1)limx→1f(x)=f(1) 
 
III. ( ) ∄limx→1f(x)∄limx→1f(x) 
 
IV. ( ) limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2 
 
V. ( ) f(1)=0f(1)=0 
Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A F – F – V – F – V 
 
B F – V – V – V – F 
 
C V – F – F – F – V 
 
D V – F – F – V – V 
Você acertou! 
A alternativa que contém a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é verdadeira 
porque limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2. A afirmativa II é falsa 
porque limx→1+f(x)=2≠0=f(1)limx→1+f(x)=2≠0=f(1). A afirmativa III é falsa 
porque limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais 
de ff quando xx tende a 1 são iguais a 2. A afirmativa V é verdadeira pela definição da função. (livro-base, p. 
90-97). 
 
E V – V – F – F – F 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte informação: 
“Se as funções contínuas f(x)f(x) e g(x)g(x) são zero em x=ax=a, então limx→af(x)g(x)limx→af(x)g(x) não pode ser encontrado 
com a substituição x=ax=a. A substituição gera 0000, uma expressão sem significado conhecida como uma forma 
indeterminada. [...] A Regra de l’Hôpital nos permite ter sucesso usando derivadas para calcular limites que, abordados de 
outra maneira, levam a formas indeterminadas”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FINNEY, R. L., WEIR, M. D., Giordano, F. R. Cálculo: George B. Thomas. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley. v. I, 
2002. p. 554. 
 Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra de l’Hôpital, o limite da 
função limx→1x2−1x−1limx→1x2−1x−1 quando xx tende a 11 é: 
Nota: 10.0 
 
A ee 
 
 
B 1 
 
C −∞−∞ 
 
 
D +∞+∞ 
 
 
E 2 
Você acertou! 
Usando a Regra de L'Hôspital 
temos: limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2 (livro-base, p. 128). 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte trecho de texto a seguir: 
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→Rf:[c,d]→R, definida num intervalo compacto, é derivável num ponto 
a∈[c,d]a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d)a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto aa e elas são iguais. 
No caso de aa ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto aa, aquela derivada lateral que faz sentido.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257. 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 
A As derivadas laterais f′+(x0)f+′(x0) e f′−(x0)f−′(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no 
ponto x0x0. 
 
B Toda função derivável em um ponto x0x0 é contínua no ponto x0x0. 
Você acertou! 
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das funções (livro-base p.115 e 116)} 
 
C Toda função contínua em um ponto x0x0 é derivável no ponto x0x0. 
 
D Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo 
de expressão indeterminada. 
 
E Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções ff e gg é igual ao produto das 
derivadas. 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte imagem: 
 
 
Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão. 
Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Teoria da Integral, 
assinale a alternativa que contém a área da região compreendida entre o eixo xx e o gráfico da função f(x)=x+2f(x)=x+2 no 
intervalo limitado por x=0x=0 e x=2x=2. 
 Nota: 10.0 
 
A 2 
 
B 3232 
 
 
C 4 
 
D 1414 
 
E 6 
Você acertou! 
A área da região é dada 
por: A(D)=∫20(x+2)dx=(x22+2x)∣∣∣20=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0
)=[(2+4)−0]=6. (livro-base, p. 156). 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 “Sempre que falarmos em ‘número’ sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se de um número real. Como os 
números reais são representados por pontos de uma reta, através de suas abscissas, é costume usar a palavra ‘ponto’ em 
lugar de ‘número’; assim, ‘ponto xx’ significa ‘número xx’”. 
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
ÁVILA, G., Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 140. 
 De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, os pontos de um conjunto podem ser classificados de 
acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, as propriedades que se relacionam a cada um dos pontos 
a seguir: 
1. Ponto interior do conjunto XX 
2. Ponto aderente ao conjunto XX 
3. Ponto de acumulação do conjunto XX 
4. Ponto isolado do conjunto XX 
 ( ) É um ponto x∈Xx∈X que não é ponto de acumulação de XX. 
( ) É um ponto x∈Xx∈X e que existe ε>0ε>0 tal que (x−ε,x+ε)⊂X(x−ε,x+ε)⊂X . 
( ) É um ponto xx tal que para todo ε>0ε>0 tem-se (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅. 
( ) É um ponto que é o limite de alguma sequência formadapor pontos de XX. 
 Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A 4-1-3-2 
Você acertou! 
A sequência correta é 4 – 1 – 3 – 2. Segundo o livro-base: “1. Ponto interior do conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é um 
ponto interior de XX quando existir ε>0ε>0 tal que o intervalo (x−ε,x+ε)(x−ε,x+ε) esteja contido no conjunto XX. 2. Ponto 
aderente ao conjunto – x∈Rx∈R é um ponto aderente de XX quando é limite de alguma sequência de 
elementos (xn)(xn) de XX. 3. Ponto de acumulação do conjunto X−x∈RX−x∈R é um ponto de acumulação do 
conjunto XX quando para todo ε>0ε>0 temos que (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅. 4. Ponto isolado do 
conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é ponto isolado do conjunto XX quando xx não é ponto de acumulação de XX.” (livro-
base, p.87-89). 
 
B 1-3-2-4 
 
C 2-4-1-3 
 
D 4-3-1-2 
 
E 2-1-3-4 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
“Escrevemos limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se SnSn se torna arbitrariamente grande à medida que nn cresce. Neste caso, 
dizemos que (Sn)(Sn) diverge para +∞+∞. Mais precisamente, limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se, e somente se, para 
qualquer número cc, não importa o quão grande seja, existe um inteiro positivo n0n0 tal que quando n≥n0n≥n0, temos 
Sn>cSn>c”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
AYRES, Frank, MENDENSON ELLIOTT. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Bookman, 2013. p. 353. 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Sequências, assinale a 
alternativa que só contém sequências que divergem para +∞+∞: 
Nota: 10.0 
 
A (1n), (√n), (2n)(1n), (n), (2n) 
 
 
B (lnn), (n), (√n)(ln⁡n), (n), (n) 
 
Você acertou! 
Dado um número c, temos que: (livro-base, p. 
60)lnn>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)√n>c,∀n>c2 (n0=c2)ln⁡n>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)n>c,∀n>c2 (n0=c2) 
 
C (2n+1), (ln2), (n)(2n+1), (ln⁡2), (n) 
 
 
D (cos(n)), (n2), (lnn)(cos⁡(n)), (n2), (ln⁡n) 
 
 
E (n√n), (sin(n)), (n)(nn), (sin⁡(n)), (n) 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir. 
 
 
 Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e 
São corretas apenas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A III e V 
Você acertou! 
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta 
porque limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1. A afirmativa 
V está correta (livro-base, Capítulo 3). 
 
B I e III 
 
C I e IV 
 
D II e V 
 
E II, III e V 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte informação: 
 Seja uma função definida por partes da seguinte forma: 
 f(x)=⎧⎨⎩x2−3x+2x−2,x≠2kx=2f(x)={x2−3x+2x−2,x≠2kx=2 
 Fonte: texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando a função dada no texto e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, assinale 
qual valor deve ser dado para que a função dada seja contínua em x = 2: 
Nota: 10.0 
 
A k=2k=2 
 
B k=0k=0 
 
C k=1k=1 
Você acertou! 
Para que a função seja contínua em x=2x=2 devemos ter: limx→2f(x)=f(2)limx→2f(x)=f(2). Temos 
que limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→
2(x−1)=1. Portanto, devemos definir f(2)=1f(2)=1. (livro-base, p. 99). 
 
D k=−1k=−1 
 
E k=−2