INTRODUÇÃO A GEOMETRIA ESPACIAL BG AFA & ESPCEX 10 05 2021

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INTRODUÇÃO A GEOMETRIA ESPACIAL
 Elementos:
 Determinação dos elementos:
 ponto:
 reta:
 Determinação de um plano:
 Posições relativas entre dois pontos:
 Posições relativas entre ponto e reta:
 Posições relativas entre ponto e plano:
 Posições relativas entre retas:
 Posições relativas entre reta e plano:
Posições relativas entre planos:
 Teorema das três perpendiculares:
Paralelepípedo Oblíquo:
Hexaedro Regular (Cubo):
1. (Ime 2019) Considere as afirmações abaixo: 
I. se três pontos são colineares, então eles são coplanares; 
II. se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano; 
III. se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos; 
IV. duas retas não paralelas determinam um plano; 
V. se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta. 
Entre essas afirmações: 
a) apenas uma é verdadeira; 
b) apenas duas são verdadeiras; 
c) apenas três são verdadeiras; 
d) apenas quatro são verdadeiras; 
e) todas são verdadeiras. 
 
2. (Espcex 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas e as retas e e as retas e As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente, 
a) concorrentes; reversas; reversas. 
b) reversas; reversas; paralelas. 
c) concorrentes, reversas; paralelas. 
d) reversas; concorrentes; reversas. 
e) concorrentes; concorrentes; reversas. 
 
3. (Espcex 2012) Considere as seguintes afirmações:
I. Se dois planos e são paralelos distintos, então as retas e são sempre paralelas.
II. Se e são planos não paralelos distintos, existem as retas e tal que e são paralelas.
III. Se uma reta r é perpendicular a um plano no ponto P, então qualquer reta de que passa por P é perpendicular a r.
Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s) 
a) Somente II b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III 
 
4. (Ita 2013) Das afirmações:
I. Duas retas coplanares são concorrentes;
II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas;
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo,
é (são) verdadeira(s) apenas 
a) III. b) I e III. c) II e III. d) III e IV. e) I e II e IV. 
 
5. (Esc. Naval 2013) Nas proposições abaixo, coloque V na coluna à esquerda quando a proposição for verdadeira e F quando for falsa.
 
( ) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 
( ) Se uma rota é perpendicular a uma reta perpendicular a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano. 
( ) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas. 
( ) Se dois planos são perpendiculares, todo plano paralelo a um deles é perpendicular ao outro 
( ) Se três planos são dois a dois perpendiculares , eles têm um único ponto em comum. 
 
Lendo-se a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se 
a) F – F – V – F – V b) V – F – V – V – F 
c) V – V – F – V – V d) F – V – V – V – V 
e) V – V – V – V – V 
 
6. (Espcex 2018) Considere dois planos e perpendiculares e três retas distintas e tais que e 
Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que 
a) as retas e somente definirão um plano se forem concorrentes com em um único ponto. 
b) as retas e podem definir um plano paralelo à reta 
c) as retas e são necessariamente concorrentes. 
d) se e forem paralelas, então elas definem um plano perpendicular a e 
e) o plano definido por e é necessariamente paralelo a 
 
7. (Espcex 2013) Considere as seguintes afirmações:
I. Se uma reta r é perpendicular a um plano então todas as retas de são perpendiculares ou ortogonais a r;
II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano é a metade da medida do segmento AB, então a reta AB faz com um ângulo de 60°;
III. Dados dois planos paralelos e se um terceiro plano intercepta e as interseções entre esses planos serão retas reversas;
IV. Se e são dois planos secantes, todas as retas de também interceptam 
Estão corretas as afirmações 
a) apenas I e II b) apenas II e III c) I, II e III 
d) I, II e IV e) II, III e IV 
 
8. (Esc. Naval 2013) Um quadrado de lado tem os vértices num plano Pelos vértices e são traçados dois segmentos, e perpendiculares a medindo respectivamente, e A distância tem medida, em cm, igual a 
a) b) c) d) e) 
 
9. (Espcex 2012) Considere um plano e os pontos A, B, C e D tais que
– O segmento AB tem de comprimento e está contido em 
– O segmento BC tem de comprimento, está contido em e é perpendicular a AB.
– O segmento AD tem de comprimento e é perpendicular a 
Nessas condições, a medida do segmento CD é 
a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm 
10. (Fuvest 2009) O ângulo formado por dois planos e é tal que O ponto P pertence a e a distância de P a vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de e é igual a: 
a) b) c) d) e) 
 
11. (Fatec 2006) O ponto A pertence à reta r, contida no plano б. A reta s, perpendicular a б, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 cm de B. Se a projeção ortogonal de em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a 
a) 9 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 
 
12. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. 
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: 
a) 6 cm b) 5 cm c) cm d) cm e) cm 
 
13. (Ita 2020) Considere as seguintes afirmações:
I. Sejam e três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas e Se então 
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas e sobre um plano são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas e reversas duas a duas, existe uma reta paralela à e concorrente com e com 
É(são) VERDADEIRA(S) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. 
e) nenhuma. 
 
14. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo representado na figura, tem medida dos lados e 
O seno do ângulo é igual a 
a) b) c) d) e) 
 
15. (Ime 2016) Sejam dois quadrados de lado situados em planos distintos que são paralelos entre si e situados a uma distância um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido Qual a distância entre estes planos distintos em função de de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros? 
a) b) c) d) e) 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [B]
A afirmação [I] é verdadeira, pois pontos colineares sempre estão contidos numa mesma reta e uma reta está sempre contida em um plano, logo, três pontos colineares são coplanares.
A afirmação [II] é falsa, pois, para que uma reta esteja contida em um plano, todos os pontos da reta devem estar contidos no plano.
O total de planos determinados por quatro pontos não coplanares é dado por:
 logo, a afirmação [III] é falsa.
A afirmação [IV] é falsa, pois as retas podem ser reversas e nesse caso, não determinam um plano.
A afirmação [V] é verdadeira, pois, se os planos possuem um pontoem comum, eles são secantes, logo, a intersecção desses planos é uma reta.
Portanto, apenas duas das cinco afirmações são verdadeiras. 
Resposta da questão 2:
 [E] 
As retas e são as retas suporte das diagonais e Logo, as retas e são concorrentes no ponto de interseção das diagonais do bloco. 
Como as retas e são coplanares e não paralelas, segue que e são concorrentes. 
Como e são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que e são reversas. 
Resposta da questão 3:
 [D]
I. Falsa. e podem ser reversas.
II. Verdadeira. Dada uma reta podemos determinar com através da projeção ortogonal de sobre 
III. Verdadeira. 
Resposta da questão 4:
 [D]
I. Falsa. Duas retas paralelas e coplanares não são concorrentes.
	
II. Falsa. Duas retas paralelas paralelas não têm ponto comum e não são reversas.
III. Verdadeira. Considere a figura.
Sejam e duas retas reversas.
Tomando um ponto da reta existe uma única perpendicular comum a e que intersecta a reta no ponto de tal modo que e Analogamente, obtemos a reta Portanto, os planos e são os únicos planos paralelos, cada um contendo uma das retas. 
	
IV. Verdadeira. Considere o quadrilátero reverso da figura, com e 
Como é base média do triângulo e é base média do triângulo segue que e Logo, Similarmente, concluímos que e, portanto, segue-se o resultado. 
Resposta da questão 5:
 [D]
[A] Falsa. Ela poderá ser perpendicular a duas retas concorrentes deste plano e neste caso estar contida no plano.
[B] Verdadeira. Toda à reta é paralela à sua projeção ortogonal em um plano qualquer.
[C] Verdadeira, pois formam o mesmo ângulo com o plano.
[D] Verdadeira. Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si, pois formam o mesmo ângulo com esse terceiro plano.
[E] Verdadeiro. Estes três planos dividem o espaço em oito octantes, com apenas um ponto em comum, cada dois planos possuem em comum um única reta e estas três retas se encontram num único ponto.
 
Resposta da questão 6:
 [B]
Do enunciado, temos:
Façamos 
Dessa forma, é possível construir o plano paralelo à reta o que faz da alternativa [B] a alternativa verdadeira. 
Resposta da questão 7:
 [A] 
I. Correta. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com todas as retas do plano. Além disso, se duas retas formam um ângulo reto, então elas são perpendiculares ou ortogonais.
II. Correta. Considere a figura.
	
	Seja a projeção ortogonal de sobre 
	Sabendo que e que é agudo, do triângulo retângulo obtemos
	
	Portanto, como e são ângulos correspondentes, segue que ou seja, a reta faz com um ângulo de 
III. Incorreta. Se e são planos paralelos e é um plano que intersecta e então as interseções entre esses planos são retas paralelas.
IV. Incorreta. Seja a reta determinada pela interseção dos planos e . Se é uma reta de tal que e então não intersecta 
Resposta da questão 8:
 [E]
Logo,
 
Resposta da questão 9:
 [A]
Considere a figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo vem
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo encontramos
 
Resposta da questão 10:
 [C] 
Resposta da questão 11:
 [B]
 
Resposta da questão 12:
[A]
Como o quadrado tem área igual a vem que 
De acordo com as informações, temos que o segmento é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos e Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos
 
Resposta da questão 13:
[A]
[I] Do enunciado, sem perda de generalidade, podemos montar a seguinte figura:
 logo, 
Assim, a afirmação [I] é verdadeira.
[II] Tomemos as retas e perpendiculares ao plano e paralelas entre si. As projeções ortogonais de e sobre são dois pontos.
Assim, a afirmação [II] é falsa.
[III] Observemos o paralelepípedo reto-retângulo abaixo:
Nessa construção, não existe reta paralela à reta que seja concorrente com e com 
Assim, a afirmação [III] é falsa.
Portanto, somente a afirmação [I] é verdadeira. 
Resposta da questão 14:
[E]
 
Resposta da questão 15:
[D]
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