Lista de exercicios de metodos quantitativos

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Lista de exercícios de 
Métodos Estatísticos Básicos 
6. Considere a seguinte tabela com a distribuição de
frequência da remuneração por hora de trabalho em uma
empresa:
A) Aumente a tabela incluindo o ponto médio de cada classe e
as frequências relativas.
B) Calcule as médias aritmética, geométrica e harmônica dos
dados. Médias aritmética:
• Médias aritmética: 𝑿 =
σ𝒊=𝟏
𝒏 𝑿𝒊𝒇𝒊
𝒏
=
𝟔𝒙𝟏𝟎+𝟏𝟎𝒙𝟏𝟐+⋯+𝟏𝒙𝟐𝟐
𝟑𝟔
= 𝟏𝟏, 𝟐𝟐
• Média geométrica: 𝑿𝒈 =
𝒏
ς𝒊=𝟏
𝒏 𝑿𝒊
𝒇𝒊 = 
𝟑𝟔
𝟔𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎𝟏𝟐𝒙…𝒙𝟐𝟐𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟑𝟕
• Média harmônica: 𝑿𝒉 =
σ𝒊=𝟏
𝒏 𝒇𝒊
σ𝒊=𝟏
𝒏 𝒇𝒊
𝑿𝒊
=
𝟑𝟔
𝟏𝟎
𝟔
+
𝟏𝟐
𝟏𝟎
+⋯+
𝟏
𝟐𝟐
= 𝟗, 𝟓𝟕
C) Calcule a moda bruta, a moda de Czuber e a mediana dos
dados.
• Moda bruta:𝑴𝟎 =
𝑰∗+𝑳∗
𝟐
=
𝟖+𝟏𝟐
𝟐
= 𝟏0
• Moda de Czuber: 𝑴𝒄 = 𝑰 ∗ +
𝒅𝟏
𝒅𝟏+𝒅𝟐
∗ 𝒉 = 𝟖 +
𝟏𝟐−𝟏𝟎
𝟏𝟐−𝟏𝟎 + 𝟏𝟐−𝟖
𝒙 𝟒 = 𝟗, 𝟑𝟑
• Mediana: 𝑴𝒆 = 𝑰
∗ +
σ𝒊
𝒏 𝒇𝒊/𝟐−𝑭𝑨𝑨 .𝒉∗
𝒇∗
= 𝟖 +
𝟏𝟖−𝟏𝟎
𝟏𝟐
𝒙 𝟒 = 𝟏𝟎, 𝟔𝟔
D) Calcule os quartis da distribuição.
• 𝑸𝟏 = 𝑰
∗ +
σ𝒊
𝒏 𝒇𝒊/𝟒−𝑭𝑨𝑨 .𝒉∗
𝒇∗
= 𝟒 +
𝟗−𝟎
𝟏𝟎
𝒙 𝟒 = 𝟕, 𝟔
• 𝑸𝟑 = 𝑰
∗ +
σ𝒊
𝒏 𝟑𝒇𝒊/𝟒−𝑭𝑨𝑨 .𝒉∗
𝒇∗
= 𝟏𝟐 +
𝟐𝟕−𝟐𝟐
𝟖
𝒙𝟒 = 𝟏𝟒, 𝟓
9. Considere quatro objetos, a, b, c e d. Suponha que a ordem
em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um
experimento. Sejam os eventos A e B definidos assim: A = {a
está na primeira posição}; B = {b está na segunda posição}.
• a) Enumere todos os elementos do espaço amostral.
• S={ abcd, abdc, acdb, acbd, adcb, adbc, bacd, badc, bcda, bcad, bdca,
bdac, cabd, cadb, cbda, cbad, cdba, cdab, dabc, dacb, dbca, dbac,
dcba, dcab}
• b)Enumere todos os elementos dos eventos A ∩ B e A ∪ B.
• A = {abcd, abdc, acdb, acbd, adcb, adbc}
• B = {abcd, abdc, cbad, cbda, dbac, dbca}
• A ∪ B = {abcd, abdc, acdb, acbd, adcb, adbc, cbad, cbda, dbac, dbca}
• A ∩ B = {abcd, abdc}
14. A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna
2 contém z bolas brancas e v bolas vermelhas. Uma bola é
escolhida ao acaso da urna 1, e posta na urna 2. A seguir, uma
bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade
de que esta bola seja branca?
• Há dois casos favoráveis ao problema: 
• - 1°: retirar uma bola vermelha da urna 1 e uma bola branca da urna 2, 
respectivamente. 
• - 2°: retirar uma bola branca da urna 1 e uma bola branca da urna 2, 
respectivamente. 
• Na primeira situação temos:
• 𝑃 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑑𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎1 =
𝑦
𝑥+𝑦
• Ao retirar a bola vermelha da urna 1, e colocá-la na urna 2, as urnas ficarão com a 
seguinte estrutura: 
• Urna 1: x bolas brancas e y-1 bolas vermelhas. 
• Urna 2: z bolas brancas e v+1 bolas vermelhas.
• Assim, 𝑃 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐵𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎 2 = 𝑧
𝑧+𝑣+1
• Desta forma, o resultado para primeira situação é
• 𝑃 =
𝑦
𝑥+𝑦
.
𝑧
𝑧+𝑣+1
• Para segunda situação:
• 𝑃(𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎 1) =
𝑥
𝑥+𝑦
• Ao retirar uma bola branca da urna 1, as urnas ficam na seguinte configuração:
• Urna 1: x-1 bolas brancas e y bolas vermelhas.
• Urna 2: z+1 bolas brancas e v bolas vermelhas.
• 𝑃 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎 2 =
𝑧+1
𝑧+𝑣+1
• Logo para segunda situação teremos: 𝑃 =
𝑥
𝑥+𝑦
.
𝑧+1
𝑧+𝑣+1
• O resultado final para a probabilidade de a bola ser branca é:
𝑃 =
𝑦
𝑥 + 𝑦
.
𝑧
𝑧 + 𝑣 + 1
+
𝑥
𝑥 + 𝑦
.
𝑧 + 1
𝑧 + 𝑣 + 1
15. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados
a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for
igual a 0,6, enquanto a probabilidade da ocorrência de A for
igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrência de B.
• Como temos:
• 𝑃(𝐴) = 0,4
• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 0,6
• P(B) = ?
• Como eles são eventos independentes partimos do pressuposto que:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵 → 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,4. 𝑃 𝐵
Utilizado da seguinte formula:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
0,6 = 0,4 + 𝑃 𝐵 − 0,4. 𝑃 𝐵
0,6 − 0,4 = 𝑃 𝐵 − 0,4. 𝑃 𝐵
0,2 = 0,6. 𝑃 𝐵 → 𝑃 𝐵 =
0,2
0,6
=0,333
17. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento.
Suponha que P (A) = 0,4, enquanto P (A ∪ B) = 0, 7. Seja P (B) =p
• a) Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes?
• Para se ter eventos mutuamente excludentes temos que ter 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0, e
usando-se da formula das somas das probabilidades temos:
• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
• 0,7 = 0,4 + 𝑝 − 0 → 𝑝 = 0,3
• b) Para que valor de p, A e B serão independentes?
• 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵 → 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,4. 𝑝
• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
• 0,7 = 0,4 + 𝑝 − 0,4. 𝑝
• 0,7 − 0,4 = 𝑝 − 0,4. 𝑝 → 𝑝 =
0,3
0,6
= 0,5
16. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e
40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada
máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos.
Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica ser defeituoso. Qual será a
probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? E da C?
A produção proporcional de cada máquina ficaria: 𝑷(𝑨) = 𝟎, 𝟐𝟓; 𝑷(𝑩) = 𝟎, 𝟑𝟓; P(C) = 0,40.
Também é descrito a probabilidade de cada maquina produzir peças com defeitos sendo: P(D|A) =
0,05; P(D|B) = 0,04; P(D|C) = 0,02.
Com as informações anteriores podemos calcular a probabilidade de encontrarmos peças com defeitos
nesta fabrica:
𝑷 𝑫 = 𝐏 𝑨 . 𝐏 𝑫 𝑨 + 𝐏 𝑩 . 𝐏 𝑫 𝑩 + 𝐏 𝑪 . 𝐏 𝑫 𝑪
𝑷 𝑫 = 𝟎, 𝟐𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟒 + 𝟎, 𝟒𝟎 . 𝟎, 𝟎𝟐
𝑷 𝑫 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟒𝟓
• Com essas informações, podemos verificar qual a probabilidade de que o parafuso 
com defeito venha da maquina A, para isso se utilizará do teorema de Bayes:
𝑃 𝐴 𝐷 =
𝑃 𝐷 𝐴 . 𝑃 𝐴
𝑃 𝐷
=
0,05.0,25
0,0345
= 0,3623
10 – prove que
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩𝒄 ∪ 𝑩 ∩ 𝑨𝒄 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝟐𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
• Podemos definir 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 = 𝐴 − 𝐵 e 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 = 𝐵 − 𝐴
• Como 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 e 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 são mutuamente excludentes, então temos:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴𝑐
• Como:
• 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 = 𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
• 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 = 𝑃 𝐵 − 𝐴 = 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴
• Temos 
• 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴
• E sendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 , temos:
• 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 2𝑃 𝐴 ∩ 𝐵