CADEIAS DE MARKOV

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CAPÍTULO 3 
CADEIAS DE MARKOV 
 Propriedades da Cadeia de Markov: 
 Igualdade de Markov 
 Classificação dos Estados numa Cadeia de Markov 
 Probabilidades do Estado Estacionário 
 Tempos de Primeira Passagem 
 Exemplos de Cálculo 
 Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47
3. CADEIAS DE MARKOV 
Às vezes interessa-nos saber como é que uma variável aleatória varia com o tempo. O 
estudo sobre como uma variável aleatória varia com o tempo inclui processos 
estocásticos, anteriormente discutidos. Neste capítulo focar-se-á num tipo de processo 
estocástico conhecido como uma Cadeia de Markov. 
Um processo estocástico {XE} possui a propriedade markoviana quando a 
probabilidade condicional de qualquer “acontecimento” futuro dado qualquer 
“acontecimento” passado e o estado presente xt = 1, é independente do acontecimento 
passado e só depende do estado presente do processo. Em outras palavras, a 
propriedade markoviana traduz o facto de o conhecimento do fenómeno em 
determinado instante do tempo fornecer toda a informação sobre a estrutura 
probabilística da sua evolução futura, independentemente do conhecimento desse 
fenómeno em instantes anteriores. A propriedade condicional representa uma previsão 
ao processo daquilo que vai acontecer. 
{ } ijtt pixjxP ===+1 
 
onde pij é a probabilidade que dado o sistema no estado i no tempo t, estará no estado 
j no tempo t+1. 
Se o sistema se mover do estado i durante um período para estado j durante o período 
seguinte, dissemos que ocorreu uma transição do estado i para estado j. 
 
A probabilidade condicional 
{ }ixjxP tt ==+1Transição a 1 passo 
 
{ } { }ixjxixjxTransição em 2 passos Pp = ttij =====+ 1322
 
{ } { }ixjxixjxPTransição em n passos p ntntnij ====== ++ 11
 
A equação { ijtt pixjxP ===+1 } dá-nos a entender que a lei de probabilidade que 
relaciona o estado seguinte ao estado corrente não muda (ou permanece estacionária) 
ao longo do tempo. Qualquer cadeia de Markov que satisfaça essa equação é chamada 
cadeia de Markov estacionária. 
 
 48
3.1. Propriedades da Cadeia de Markov: 
Um determinado sistema diz-se que é uma cadeia de Markov se: 
 Tem um número finito de estados 
 Satisfaz a propriedade Markoviana 
 As probabilidades transitórias são estacionárias 
 Tem um conjunto de probabilidades iniciais. 
 
Em muitas aplicações, as probabilidades de transição são apresentadas como uma 
matriz de probabilidade de transição P, ou seja, matriz de passagem do sistema para 
um processo com k estados possíveis. 
 
kkkk
k
k
ppp
ppp
ppp
P
...
............
...
...
21
22221
11211
1 =
 
 
 
Dado que o estado no tempo t é i, o processo pode estar num outro estado no tempo 
t+1. Isso significa que para cada i, 
{ } 1)(1
1
===+
=
=
∑ ixjxP tt
kj
j
 
∑
=
=
=
kj
j
ijp
1
1 (i = 1, 2,...k) 
Importa salientar que cada elemento da matriz de transição deve ser não negativo. 
 
3.2. Igualdade de Markov 
Suponha que estamos a estudar uma cadeia de Markov com uma matriz de 
probabilidade de transição conhecida P. A questão que se coloca é: se uma cadeia de 
Markov estiver no estado i no tempo m, qual é a probabilidade de que n períodos mais 
tarde a cadeia de Markov esteja no estado j? A equação de Chapman-Kolmagorov 
permite relacionar as probabilidades condicionadas de transição de estado para 
intervalos de tempos quaisquer. Desde que estejamos a lidar com uma cadeia de 
Markov estacionária, essa probabilidade será independente de m, e deste modo pode-
se escrever 
{ } }{ )(npixjxPixjxP ijonmnm ======+ 
onde pij(n) é chamada probabilidade de n etapas de uma transição do estado i para 
 49
estado j. A equação acima pode ser escrita da seguinte forma 
∑
=
−=
k
r
mn
rj
m
ir
n
ij ppP
1
)()()( * 
que é chamada Igualdade de Markov. 
Nessa equação: 
n – número de passos; 
r – estado intermediário; 
i – estado inicial; 
j – estado final; 
k – número de estados possíveis; e 
m – etapas intermediárias. 
Da igualdade de Markov, para n = 1, vê-se claramente que Pij(1)=pij. Para determinar 
Pij(2), note que se o sistema se encontra agora no estado i, então para o sistema 
terminar no estado j dois períodos a partir de agora, temos de ir do estado i para 
qualquer estado k e depois ir do estado k para estado j. Portanto, isso permite-nos 
escrever 
kjikjiji
k
r
rjirij ppppppppP +++== ∑
=
− .... 2211
1
)12()1()2( 
A equação acima pode ser representada esquematicamente como se mostra a seguir: 
 
 
Sob a forma de matriz temos: P2 = P1.P1 = P12
Genericamente: Pn = P1n
1
2
r
k
i
Pi1 P1j
Estado 
pi2 P2j
: 
. pir prj j
pik :
pkj.
Tempo 0 Tempo 1 Tempo 2 
 50
)()(
2
)(
1
)(
2
)(
22
)(
21
)(
1
)(
12
)(
11
...
............
...
...
n
kk
n
k
n
k
n
k
nn
n
k
nn
n
ppp
ppp
ppp
P = 
 
3.3. Classificação dos Estados numa Cadeia de Markov 
 Estado recorrente – Se uma vez o processo no estado i ele retorna ao estado 
i. 
 
 
1p
1n
ii =∑
∞
=
 Estado absorvente - Uma vez o processo no estado absorvente ele nunca sai 
deste estado. 
 
 
1=iip
 Estado transiente - Uma vez o processo no estado i existe uma probabilidade 
estritamente positiva que ele nunca retorna ao estado i. 
 
 
∑
∞
=
<
1
1
n
iip
 Acessibilidade - Estado j diz-se acessível a partir do estado i se Pij>0 para 
qualquer n>0. 
 Se o estado j é acessível a partir do estado i e em adição o estado i acessível a 
partir de j, então os estados i e j dizem-se comunicáveis. 
 Se o estado i é comunicável com j e este comunicável com k, então o estado i é 
comunicável com k. 
 Periodicidade - Um estado diz-se periódico com (t>1) se Pii=0 quando n não 
é divisível por t, e t é o menor número inteiro com esta propriedade. Se um 
estado recorrente não é periódico diz-se a este estado de aperiódico. 
 
 Ergódica – Se todos os estados na cadeia são recorrentes, não periódicos, e 
comunicáveis entre eles. 
 
 
 
 51
3.4. Probabilidades do Estado Estacionário 
Seja P a matriz de transição para uma cadeia ergódica de k etapas. Então existe um 
vector =π [π1 π2 ... πk] tal que 
π
πππ
πππ
πππ
=
∞→∞→
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= )(limlim
...
:::
...
...
21
21
21
npijP
n
k
k
k
n
n
 
O vector =π [π1 π2 ... πk] é muitas vezes chamado de vector de distribuição do 
estado estacionário ou vector de distribuição de equilíbrio, para a cadeia de 
Markov. 
Repare que para n grande, Pn se aproxima a uma matriz com linhas idênticas. Ou seja, 
a probabilidade de encontrar o processo num certo estado, digamos j, depois de 
muitas transições tende para um valor πj (chamado probabilidade do estado 
estacionário) , que é independente da distribuição das probabilidades iniciais definida 
para todos os estados. 
 
3.5. Tempos de Primeira Passagem 
Tempo de primeira passagem - Para uma cadeia ergódica, seja µij o número 
esperado de transições antes de atingirmos o estado j, dado que agora nos 
encontramos no estado i; µij é chamado tempo de primeira passagem a partir do estado 
i até ao estado j. Em outras palavras, tempo de primeira passagem é o número de 
etapas necessárias para que o processo transite do estado i para o estado j pela 
primeira vez.. 
 
Tempo de recorrência - É o número de transições necessárias para que o processo 
retorne ao estado inicial, ou seja, ele passa do estado i para o estado i. O tempo de 
recorrência é o inverso da probabilidade do estado estacionário. 
i
ii π
µ 1= 
 
 
 
 
 52
3.6. Exemplos de Cálculo 
Exemplo de cálculo 3.1. 
Considere que a probabilidade de chover amanhã é 0.7 se hoje está a chover e a 
probabilidade de um dia sem nuvens é de 0.8 se hoje é dia sem nuvens. 
Determine a matriz de transição considerando que o processo se comporta como umacadeia de Markov. 
Determine o estado mais provável do tempo daqui a 3 dias se hoje está a chover. 
Resolução 
a) Determinação da matriz de transição em um estado: 
Estados possíveis: 
Estado1: dia com chuva 
Estado 2: dia sem nuvens 
Portanto k=2 
2221
1211
1 pp
pp
P = 
p11=0.7 p12=0.3 
p22=0.8 p21=0.2 
Portanto a matriz de transição será: 
8.02.0
3.07.0
1 =p 
Estado mais provável de tempo dentro de 3 dias se hoje está a chover. 
k=2 
n=3 
 i=1 e j=2 
O estado mais provável dentro de 3 dias é obtido pela matriz de transição em 3 etapas, 
p1k(3) se for em termos de matriz, ou então, p1j(3) se usarmos a igualdade de Markov. 
Sob a forma de matriz teremos: 
65.035.0
525.0475.0
.. 1113 === pppppn 
Assim, o estado mais provável dentro de 3 dias é dado por p12=0.525, portanto a 
probabilidade de chover dentro de 3 dias se hoje está a chover é de não chover. 
Chega-se ao mesmo resultado usando a Igualdade de Markov como a seguir se 
mostra: 
 53
∑
=
+==
2
1
)2(
22
)1(
12
)2(
12
)1(
11
)2(
2
)1(
1
)3(
12 ***
r
rr ppppppP 
Mas 
450.08.0*3.03.0*7.0** )1(22
)1(
12
)1(
12
)1(
11
)2(
12 =+=+= ppppp 
700.08.0*8.03.0*2.0** )1(22
)1(
22
)1(
12
)1(
21
)2(
22 =+=+= ppppp 
Logo 
∑
=
+==
2
1
)2(
22
)1(
12
)2(
12
)1(
11
)2(
2
)1(
1
)3(
12 ***
r
rr ppppppP = 525.0700.0*3.0450.0*7.0 =+ 
 
Exemplo de cálculo 3.2. 
Numa fábrica de açúcar estabeleceu-se a política de verificar todas as bombas em 
cada paragem. Dessa verificação podem tomar-se 3 decisões: 
 Enviar a bomba à oficina de manutenção para a reparação geral 
 Fazer reparações menores no próprio local 
 Não fazer nada 
A partir de dados históricos sabe-se o seguinte: 
Se na verificação anterior ao inspeccionar a bomba não se fez nada, na próxima 
verificação há uma probabilidade 0.5 de se fazer reparações menores no local, de 0.3 
de ser enviada à oficina de manutenção e 0.2 de não fazer nada. 
Se na última verificação se fizeram pequenas reparações no local, haverá uma 
probabilidade de 0.3 que se faça reparações no local, de 0.2 de envia-la na oficina e 
0.5 de não fazer nada. 
Se na última verificação se mandou à oficina, há uma probabilidade de 0.2 de não 
fazer nada, de 0.3 de fazer pequenas reparações no local e 0.5 de mandar a bomba à 
oficina de manutenção. 
Considerando que neste processo a sequência de decisões se comporta como uma 
cadeia de Markov, determine: 
a) A matriz de transição 
b) Desenhe o diagrama de transição 
c) Se numa verificação não se fez nada, calcule a probabilidade dentro de 3 
verificações tenha de ser enviada à oficina de manutenção e que não se faz nada. 
 
Resolução
 54
a) Determinação da matriz de transição 
Estados possíveis: 
Estado 1: Enviar a bomba à oficina de manutenção para a reparação geral. 
Estado 2: Fazer reparações menores no local. 
Estado 3: Não fazer nada. 
Portanto, k=3 
Do enunciado podem-se tirar os valores da matriz de transição p1: 
2.05.03.0
5.03.02.0
2.03.05.0
1 =P 
b) Diagrama de Transição 
0.3
 
c) Estado mais provável dentro de 3 revisões: 
A expressão “se numa verificação não se fez nada” nos diz que qualquer previsão 
deve ser feita a partir do estado 3, portanto, a probabilidade dentro de 3 verificações 
tenha de ser enviada à oficina de manutenção é p31(3) e a probabilidade dentro de 3 
verificações de não se fazer nada é p33(3). 
 
k=3 
n=3 
 
Recorde-se que: 
)(
33
)(
32
)(
31
)(
23
)(
22
)(
21
)(
13
)(
12
)(
11
nnn
nnn
nnn
n
ppp
ppp
ppp
P = 
Portanto 
1 
2
3
0.2 
0.3 
0.5
0.5
0.5 
0.2
0.2 
0.3
 55
)3(
33
)3(
32
)3(
31
)3(
23
)3(
22
)3(
21
)3(
13
)3(
12
)3(
11
3
ppp
ppp
ppp
P = 
3
1113
2.05.03.0
5.03.02.0
2.03.05.0
.. === PPPPPn = 
302.0370.0328.0
320.0358.0322.0
302.0358.034.0
 
Portanto, se numa verificação não se fez nada, a probabilidade de dentro de três 
verificações a bomba ser enviada à oficina de manutenção é dada por p31(3)=0.328 e a 
probabilidade de não se fazer nada é igual a p33(3)=0.302 
 
Exemplo de cálculo 3.3. 
A partir de um estudo preliminar estabeleceu-se que a temperatura dum processo varia 
ao longo do tempo de acordo com a figura abaixo. Determine o estado mais provável 
na: 
a) 20a hora 
b) 21a hora 
c) 23a hora 
d) Determine as probabilidades no estado estacionário 
 T 
70 
 
60 
 
 
50 
 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 
 
Resolução 
Estados possíveis: 
Estado 1 – 70 oC 
Estado 2 – 60 oC 
Estado 3 – 50 oC 
 
Do historial verificamos que o processo esteve sete vezes no estado 1, oito vezes no 
estado 2 e três vezes no estado 3. Verifica-se também que das sete vezes que esteve 
 56
no estado 1, o processo transitou quatro vezes para o estado 2, permaneceu três vezes 
no mesmo estado e nenhuma vez transitou para o estado 3. Das oito vezes que esteve 
no estado 2, o processo permaneceu três vezes no mesmo estado, transitou três vezes 
para o estado 1 e transitou para o estado 3 duas vezes. Das três vezes que esteve no 
estado 3, o processo transitou uma vez para o estado1, uma vez para o estado 2 e uma 
vez permaneceu neste estado. 
Portanto, a partir da informação acima podem-se formar as probabilidades de 
transição no estado inicial. 
p11 = 3/7, p12 = 4/7 e p13 = 0/7 
p21 = 3/8, p22 = 3/8 e p23 = 2/8 
p31 = 1/3, p32 = 1/3 e p33 = 1/3 
 
Assim, a matriz de transição será dada por: 
333.0333.0333.0
250.0375.0375.0
0571.0429.0
3/13/13/1
8/28/38/3
7/07/47/3
)1(
33
)1(
32
)1(
31
)1(
23
)1(
22
)1(
21
)(
13
)1(
12
)1(
11
1 ===
ppp
ppp
ppp
P
n
 
 
a) O estado mais provável na 20a hora será dado pela probabilidade p1j(n) = p1j(1) ou 
p1k(1) 
Reparando para o diagrama verificamos que na 20a hora, o processo dá um passo 
(n=1), partindo do estado 1 e portanto, teremos que determinar P1 e depois escolher 
a probabilidade de maior valor entre p11(1), p12(1) e p13(1), uma vez que o processo 
começa no estado 1. 
Mas P1 é a matriz de transição e da primeira linha desta matriz podemos ver que a 
probabilidade de maior valor é p12(1) = 0.571. Portanto, o estado mais provável é de 
o processo transitar de estado 1 para o estado 2, ou seja, o estado mais provável na 
20a hora é de o processo se encontrar a uma temperatura de 60 oC (transição de 70 
oC para 60 oC). 
 
b) O estado mais provável na 21a hora é dado pela probabilidade p1j(n) = p1j(2), ou 
p1k(2), uma vez que o processo nessa altura ja terá dado dois passos (n=2). 
Portanto, temos que determina a matriz P2=P1.P1= P12 ou então, as 
 57
probabilidades p11(2), p12(2) e p13(2), usando a igualdade de Markov e lembrando 
que a previsão tem que ser feita a partir do estado 1. 
 
398.0.... 311321121111
3
1
)1(
1
)1(
1
2
11 =++== ∑
=
ppppppppP
i
rr 
459.0... 321322121211
)2(
12 =++= ppppppP 
143.0... 331323121311
)2(
13 =++= ppppppP 
Portanto, das probabilidades acima calculadas, verifica-se que p12(2) = 0.459 é a maior 
probabilidade de transição. 
Assim, o estado mais provável na 21a hora é o estado 2, T=60 oC. 
 
c) O estado mais provável na 23a hora, será dado pela probabilidade p1k(4), uma vez 
que nessa altura o processo já terá dado quatro passos. 
Para obter essa probabilidade será necessário obter a matriz de transição P4. 
Mas P4 = P2.P2 = P22 = P14
 
194.0426.0379.0
177.0438.0385.0
143.0459.0398.0
333.0333.0333.0
250.0375.0375.0
0571.0429.0
.
2
2
1112 ==== PPPP 
 
169.0426.0388.0
167.0444.0389.0
166.0445.0389.0
194.0426.0379.0
177.0438.0385.0
143.0459.0398.0
.
2
224 === PPP 
Analisando a matriz de transição em quatro etapas, verifica-se que a maior 
probabilidade de transição a partir do estado 1 é p12(4) = 0.445. Portanto, o estado mais 
provável na 23ahora é o estado 2, T = 60 oC. 
 
d) Determinação das probabilidades para o estado estacionário Лj: 
 
Para este processo temos de calcular pelo menos mais duas matrizes de transição em 
relação a última (P4). 
 
 58
)6(
33
)6(
32
)6(
31
)6(
23
)6(
22
)6(
21
)6(
13
)6(
12
)6(
11
)3(
22226 ..
ppp
ppp
ppp
PPPPP === 
Determinemos apenas os elementos da diagonal 
 
175.0
441.0
380.0
6 =P e 
175.0
438.0
377.0
8 =P 
Depois de várias etapas do processo os valores para uma mesma linha e coluna de 
duas ou mais matrizes de transição são quase constantes, ou seja, o processo tende a 
estacionar. 
A comparação é feita usando-se as diagonais, onde para as mesmas, os valores são 
constantes. 
p11(6) = p11(8) = 0.38 
p22(6) = p22(8) = 0.44 
p33(6) = p33(8) = 0.18 
Portanto, as probabilidades do estado estacionário são: 
Л1=0.38 
Л2=0.44 
Л3=0.18 
Tempos de recorrência µij: 
µ11 = 1/π1 = 1/0.38 = 2.63 
µ22 = 1/π2 = 1/0.44 = 2.27 
µ33 = 1/π3 = 1/0.18 = 5.56 
 
Exemplo de cálculo 3.4 
Uma indústria de refrigerantes produz dois tipos de produtos, Coca-cola, e Fanta. Se 
um cliente comprou Coca-cola, há 90% de chances de na próxima compra ele vir a 
comprar Coca-cola. Se um cliente comprou Fanta, há 80% de chances de na próxima 
compra ele vir a comprar Fanta. 
a) Se actualmente o cliente é comprador de Fanta, qual é a probabilidade de 
nas duas próximas vezes ele vir a comprar Coca-cola? 
 59
b) Se actualmente o cliente é comprador de Coca-cola, qual é a probabilidade 
de nas três próximas vezes ele vir a comprar Coca-cola? 
c) Desenhe o respectivo diagrama de transição. 
Resolução 
Estados do processo 
Estado 1 – Comprar Coca-cola 
Estado 2 – Comprar Fanta 
Matriz de Transição 
2221
1211
1 pp
pp
P = =
80.020.0
10.090.0
1 =P 
a) A probabilidade de nas duas próximas vezes ele comprar Coca-cola 
se actualmente é comprador de Fanta é dada por )2(21p
2
2221
1211
2 pp
pp
P = = 
66.034.0
17.083.0
 
Assim, = 0.34 )2(21p
 
b) A probabilidade de nas três próximas vezes ele comprar Coca-cola 
se actualmente é comprador de Coca-cola é dada por )3(11p
3
2221
1211
3 pp
pp
P = = 
562.0438.0
219.0781.0
 
Assim, = 0.781 )3(11p
 
c) Diagrama de transição 
 
 
Cola
-
cola
 
Fant
a 
P12 =0.10
P11 =0.90 P22 =0.80 
P21 =0.20
 60
3.7. Exercícios Propostos 
1. A investigação de um processo estocástico permitiu concluir que a pressão varia 
com o tempo de acordo com os seguintes dados observados: 
- das 6 horas que esteve à pressão de 220 kPa 3 vezes manteve-se; 2 vezes passou 
para 200, e uma vez passou para 180 kPa. 
- estando a 200 kPa, 5 vezes manteve-se, 2 vezes passou para 220 e uma vez passou 
para 180 kPa. 
- estando a 180 kPa, 3 vezes passou para 200, uma vez manteve-se e uma vez passou 
para 220 kPa. 
a) Determinar os estados possíveis do sistema e a matriz de transição em uma etapa. 
b) Desenhe o diagrama de transição 
c) Supondo que o processo se encontra a 220 kPa determine a probabilidade de: 
- estar a 220 kPa dentro de 2 horas 
- estar a 200 kPa dentro de 3 horas 
- estar a 180 kPa dentro de 4 horas 
 
2. A variação da temperatura dum processo ao longo do tempo é dada pela figura: 
 
 
a) Determinar os estados possíveis do sistema e a matriz de transição em uma 
etapa 
b) Desenhe o diagrama de transição. 
c) Determine o estado mais provável ao longo da 13a, 14a e 15a horas. 
 
 
 
T 
 
 
 60 
 
 
 
 50 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 tempo, h 
 61
3. A investigação de um processo permitiu concluir que a temperatura varia com o 
tempo de acordo com o seguinte gráfico: 
 T 
 
140 
 
 
120 
 
 
100 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 horas 
 
a) Quais os estados possíveis do sistema? 
b) Determine a matriz de transição 
c) Determine qual a probabilidade de na 19a hora o sistema estar a 100 e 120 
graus 
 
4. Uma companhia possui duas máquinas. Durante o dia, cada máquina que entra em 
funciona no princípio do dia tem 1/3 de chance de avariar. Se uma máquina avaria 
durante o dia, ela é enviada a oficina para a sua reparação e volta a entrar em 
funcionamento dois dias depois da sua avaria. (Assim, se uma máquina avariar 
durante o dia 3, ela voltará a entrar em funcionamento no princípio do dia 5.) 
Seja o número de máquinas que entram em funcionamento no princípio do dia o 
estado do sistema, formule a matriz de transição para esta situação. 
 
5. No problema 1, suponha que uma máquina que avariou num certo dia volte a entrar 
em funcionamento três dias mais tarde (por exemplo, uma máquina que avariou no dia 
3 venha a entrar em funcionamento no dia 6). Determine a matriz de transição para 
esta situação. 
 
6. Cada família moçambicana é classificada como estando a viver numa zona urbana, 
rural, ou suburbano. Num dado ano, 15% de todas as famílias urbanas mudaram-se 
para uma zona suburbana, e 5% mudaram-se para uma zona rural; também, 6% de 
todas as famílias suburbanas mudaram-se para uma zona urbana, e 4% mudaram-se 
para uma zona rural; finalmente, 4% de todas as famílias rurais mudaram-se para uma 
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zona urbana, e 6% mudaram-se para uma zona suburbana. 
a) Se uma família vive actualmente numa zona urbana, qual é a probabilidade de 
dentro de dois anos viver numa zona urbana a partir de agora? Numa zona suburbana? 
Numa zona rural? 
b) Suponha que actualmente, 40% de todas as famílias vive numa zona urbana, 35% 
vive numa zona suburbana, e 25% numa zona rural. Qual é a percentagem das 
famílias moçambicanas viverá numa zona urbana dois anos mais tarde a partir de 
agora? 
 
7. A cidade A produz 1000 ton de ar poluído por dia, cidade B 100 ton, e cidade C 50 
ton. Cada dia, 1/3 do ar poluído da cidade A sopra para cidade C, 1/3 dissipa, e 1/3 
permanece na cidade A. Cada dia, 1/3 do ar poluído da cidade B sopra para cidade A, 
1/3 permanece na cidade B e 1/3 sopra para cidade C. Cada dia, 1/3 do ar poluído da 
cidade C permanece na cidade C, e o resto sopra para cidade B. Num dia típico, qual 
das cidades será a mais poluída? 
 
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	3.1. Propriedades da Cadeia de Markov:
	3.2. Igualdade de Markov
	3.3. Classificação dos Estados numa Cadeia de Markov
	3.4. Probabilidades do Estado Estacionário
	3.5. Tempos de Primeira Passagem
	3.6. Exemplos de Cálculo
	3.7. Exercícios Propostos