A definição de função de Dirichlet

Prévia do material em texto

A definição de função de Dirichlet (Foi até apresentado pelo grupo de 
Marcílio e companhia, como um dos principais matemáticos Alemãs). 
- Dirichlet foi um matemático do século XIX que com um espírito crítico e teórico e 
uma visão firme do que deveria constituir uma prova matemática, conseguiu influenciar 
outros matemáticos seus contemporâneos, fato esse que acabou caracterizando a época. 
Sua visão a respeito do assunto era tão focada que ele visto como a manifestação de um 
novo tempo mais rigoroso, algo que modificaria os padrões herdados dos franceses. 
- Ele foi fundamental para divulgação da análise e da física matemática na Alemanha. 
Foi participante do círculo de Fourier e teve sua carreira promovida por A. Von 
Humboldt, o que lhe permitiu trabalhar em Berlim até 1850. 
- Em 1855, após a morte de Gauss, Dirichlet assume seu lugar como professor da 
Universidade de Gottingen e promove algo não visto antes, ele consegue juntar pesquisa 
e ensino e as suas aulas passam a discutir temas que estavam em destaque na pesquisa 
matemática fato que motivou os seus alunos a seguirem os seus passos. Junto com 
Riemann e Dedekind, Dirichlet promoveu uma mudança na matemática praticada na 
referida universidade, apesar de haver diferença nos campos de pesquisas desses 
matemáticos esses três inspiravam-se em Gauss e convergiam nas preferências 
metodológicas e teóricas, pois ambos indicavam uma visão abstrata e conceitual da 
disciplina. Uma frase bem interessante de Dirichlet é a seguinte: “É preciso colocar os 
pensamentos no lugar dos cálculos.” O que expressava seu pensamento conceitual. 
 
- Os seus trabalhos iniciais sobre as séries de Fourier propõem uma nova definição de 
função, algo que é bem interessante. Seguindo essa linha de pensamento em 1829 
Dirichlet tentou dar consistência aos trabalhos de Fourier, demonstrando que as suas 
séries convergem. 
O que acontecia era que Fourier querendo convencer os demais matemáticos de que a 
sua afirmação sobre Função Arbitrária definida em um intervalo (-1, 1) poderia sempre 
ser representada por desenvolvimentos em séries contendo seno, cosseno e coeficientes 
dados por integrais que envolviam a função no intervalo dado. De modo que esses 
coeficientes fossem como áreas sob o gráfico de uma função dada por uma função 
trigonométrica multiplicada por alguma outra função, era o estudo da área limitada pelo 
gráfico da função. Assim, se fazia necessário calcular a área, ou a integral, em um 
intervalo. 
 
- Até então o calculo da integral era um problema prático, pois as integrais eram 
calculadas para exemplos específicos. Assim Dirichlet percebeu que nem toda função 
poderia ser integrada, daí ele propõe em um artigo publicado em 1829 uma função 
definida como f(x) = 0, se x é racional e f(x) = 1, se x for irracional, o que se 
observarmos o gráfico da função verificaremos que ela é descontínua em todos os 
pontos e logo não possui integral. Com isso ele mostrou que a necessidade inicial para 
resolver o problema da convergência das séries de Fourier era preciso investigar em que 
intervalo a função seria integrável. Daí aperfeiçoando as condições propostas por 
Cauchy para definir uma integração, ficou mais claro o conceito de função mais geral 
do que o que era usado anteriormente. 
 
- Esse exemplo de Dirichlet foi importante para que fosse percebida a necessidade de 
expandir a noção de função. Tal exemplo foi fornecido no final do artigo escrito por ele 
em 1829 com a intenção de mostrar que necessitava ter uma definição mais precisa para 
que uma função pudesse ser integrada. Algo que Fourier já havia percebido, pois 
admitia que os valores da função deveriam ser bem determinados dentro de um 
intervalo e não podendo ser infinito em nenhum ponto, no entanto Dirichlet 
acrescentava que além do que havia sido percebido por Fourier as funções não poderiam 
ser descontínuas. 
 
- Ainda sobre os trabalhos de Dirichlet sobre Fourier , no seu primeiro artigo de 
1829, escrito em francês, Dirichlet define o que é uma função da seguinte forma: 
“Sejam a e b dois números fixos e x uma quantidade variável que recebe 
sucessivamente todos os valores entre a e b. Se a cada x corresponde um único y, 
finito, de maneira que, quando x se move continuamente no intervalo entre a e b, y = 
f(x) também varia progressivamente, então y é dita uma função contínua de x nesse 
intervalo. Para isso, não é obrigatório, em absoluto, nem que y dependa de x de 
acordo com uma mesma e única lei, nem mesmo que seja representada por uma 
relação expressa por meio de operações matemáticas.” Podemos perceber nessa 
definição que essa definição enfatiza o fato de que, dadas duas quantidades 
variáveis x e y, para que y seja uma função de x não é necessário que exista uma 
expressão algébrica associando essa variável a x. Além disso, para que a função 
esteja bem determinada, y = f(x) deve receber apenas um valor para cada x. Algo 
que está presente na definição conjuntiva que são ensinadas nas escolas. Essa 
definição alcança uma função como sendo uma relação entre duas variáveis. Isso 
permitiu que Dirichlet enunciasse as condições para que as funções fossem 
representadas por séries de Fourier em um intervalo (-1,1). 
 
- Apesar da visão de Dirichlet não ser bem de uma função arbitrária como conhecemos 
hoje, não podemos despreza-la, pois tanto ele como Fourier antes dele, ambos faziam 
tais afirmações para se referir à necessidade de ir além da identificação entre função e 
expressão analítica. Ou seja, apesar de aquilo que ele considerava “arbitrário” ser mais 
um caso particular do que se entende hoje do uso desse adjetivo, parecia importante, 
naquele momento, afirmar a generalidade como forma de questionar a redução da 
prática matemática tendo as expressões analíticas como alvo. 
 
- Foi isso que caracterizou a diferença entre a concepção típica da análise matemática do 
século XVIII e a teoria de funções iniciada no século XIX. Com isso as propriedades 
das funções deixaram de ser deduzidas das suas expressões analíticas e passaram a 
definir uma classe de funções a ser consideradas. Apesar de que a noção de função 
definida por ele só veio a ser popularizada em 1870 por Hankel. No entanto podemos 
considerar que tais definições e pensamentos elaborados contribuíram muito para o que 
hoje temos como definição das funções.