Conteudo 4 - Markov 2020

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Engenharia da 
Confiabilidade
Alexandre Stamford
C
O
N
T
E
Ú
D
O
üHistórico da Confiabilidade
üConceitos Básicos de Confiabilidade
üClassificação e Tipos de Falhas.
üCusto e Relação Custo/Benefício
üQuantificação e Melhora da Confiabilidade
üConceitos Básicos de Mantenabilidade
üConceitos Básicos de Disponibilidade
üDistribuição Binomial na Avaliação da Confiabilidade
üÁrvore de Eventos
üModelagem de Redes
qModelagem de Markov
Modelagem de Markov
Modelagem de Markov
• Andrei Andreyevich Markov – Matemático Russo (1856 
– 1922) – 66 anos
• Estudante rebelde
• Desempenho acadêmico ruim em todos os assuntos 
menos matemática.
• Continuou só seus estudos e descobriu que podia 
modelar através de elos os “trava-língua” em Russo 
• Foi excomungado a pedido – era ateu
• Depois que se dedicou aos estudos virou um dos 
maiores matemáticos da história e
• Modelou Processos Estocásticos como uma Máquina 
de Estados ( A famosa Cadeia de Markov)
• Mas tudo começou mesmo com o “trava-língua”
Modelagem de Markov
Precisa de
Variável Aleatória - Processo de 
Mudança de Estado
É um
Processos Estocásticos – pode 
descrever o procedimento de um 
sistema operando sobre algum 
período de tempo em n estados
Pode ser:
Cadeias de Markov a escala de 
tempo discreta - Discrete Time 
Markov Chains (DTMC). 
Poder ser:
Cadeias de Markov a escala de 
tempo contínua - Continouous
Time Markov Chains (CTMC); 
Exemplos:
• Fenômenos Sociais – transição de indivíduos de uma classe social para outra; 
migração de indivíduos entre diferentes zonas; ......
• Fenômenos Econômicos – transição de compra de consumidores de um produto de 
marcas diferentes; qualidade da safra de algum produto agrícola; mercado de ações;... 
• Manutenção – transição do estado de uma máquina entre quebrada, funcionando e em 
manutenção;
• Genética (transição de características); Agricultura (transição das condições do solo);
Física (termodinâmica e mecânica); Química (actividade da enzima; crescimento 
baseado no fragmento de produtos químicos, fármacos ou produtos naturais; o 
crescimento (e composição) dos copolímeros); Reconhecimento da Fala; Ciência da 
Inofrmação; Aplicações da Internet (o Google faz a classificação das páginas 
relevantes utilizando cadeia de markov); Música; Jogos; Biologia Matemática; 
Estatística; etc.....
Suposições Básicas da Modelagem de 
Markov
• Sistemas sem memória - probabilidades de 
permanência e migração independentes de estados
anteriores e posteriors - Sistema Ergótico
• Probabilidades de Transição (Migrar) Estacionárias –
constantes. 
• Os Estados são identificáveis (quais e quantos)
E" preciso ter 
um Conhecimento 
Preciso dos 
Estados 
(exigência para 
aplicação da 
técnica)
Reflete o Grau de 
Conhecimento do 
Analista
Constitui-se na 
representação dos 
estados e respectivas 
taxas de transição 
através de um diagrama 
de nodos (caixas ou 
círculos) unidos por 
arcos ou linhas com 
indicação do sentido da 
taxa de transição 
associada.
Diagrama de Estados
Cadeia de Markov para um Sistema 
Simplificado em Engenharia da Manutenção
u PBB - Confiabilidade
u PFB - Mantenibilidade
u PB - Disponibilidade
u PF - Indisponibilidade
u PBF - Probabilidade de Falhar
PBF = 1 - PBB
PBB PFF
PFB = 1 - PFFPB PF= 1 - PB
BOM
EM OPERAÇÃO
FALHA
EM CORREÇÃO
Funcionamento da Cadeia de Markov para 
dois Estados
u O sistema é dinâmico: Ele vai percorrer os estado baseado nas probabilidades
u Tem sempre um Estado Inicial pra começar as rodadas (as famosas condições iniciais)
u Assim a Cadeia de Markov pode representar o funcionamento do sistema no longo prazo
u Claro se o sistema for o mesmo (suposição)
u Visite o site http://setosa.io/ev/markov-chains/ e veja como a dinâmica muda com a variação das probabilidades
http://setosa.io/ev/markov-chains/
Exemplo 1:
1) Um equipamento pode estar operando ou em falha. 
Para cada safra a confiabilidade do equipamento é de 80%. 
A matenabilidade é de 75%. 
a) Monte um diagrama de estados para representar o equipamento 
como uma cadeia de Markov. 
b) Qual a probabilidade do equipamento entregar três safras 
seguidas? 
c) Qual a disponibilidade do equipamento no longo prazo?
d) Qual o MTTF deste equipamento? 
Exemplo2:
2) Uma máquina pode estar operando, estar em manutenção corretiva ou 
estar parada. 
Mensamente ela tem probabilidade de continuar funcionando de 90%. 
Se tiver em manutenção ela tem 40% de chance de volta a funcionar. 
Se ela tiver parada ela tem 80% de entrar em manutenção. 
a) Represente o diagrama de transição.
b) Monte a matriz de transição.
c) Em 2 meses e em 3 meses, qual a probabilidade da máquina continuar 
funcionando sem problemas?
d) Qual a probabilidade da máquina permanecer 2 meses em manutenção? 
e três meses?
e) A longo prazo, qual a probabilidade da máquina apresentar defeito?
f) Para garantir uma probabilidade de pelo menos 0,73 da máquina continuar 
em operação, de quanto em quanto tempo deve-se realizar uma manutenção 
preditiva?
Cadeia de Markov Discreta para um Sistema de Dois 
Estados
1 2
1/2
1/4
1/2 3/4
Dinâmica “facilmente” ilustrado por um diagrama de árvore
0 1 2 3 4
1
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3/4
Di
ag
ra
m
a d
e Á
rv
or
e 
0 1 2 3 4
1
2
1
2
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3/4
3/4
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1/2
1/2
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1/2
1/2
1/4
3/4
Di
ag
ra
m
a d
e Á
rv
or
e 
Eu posso calcular as 
probabilidades a 
qualquer tempo e 
passo
1/2
1/2
1/4
3/8
1/8
1/4
1/4
1/32
3/32
1/16
1/16
3/16
1/16
1/8
1/8
9/32
1/16
3/32
27/128
1/16
3/64
9/64
1/32
1/32
3/64
3/64
9/128
3/64
1/64
1/32
1/32
1/32
1/4 + 3/8 = 5/8 
1/4 + 1/8 = 3/8 
1/16+1/32+1/32+
3/64+1/32+1/64+
3/64+9/128 =
43/128=0,33
1/16+3/32+1/32+
9/64+1/32+3/64+
3/64+27/128 =
85/128 = 0,67
43/128+85/128 = 
0,33+0,67 = 1
3/8+5/8 = 0,375+0,625 = 1
Comportamento Transiente do Sistema
1
0,5
0,38 0,34 0,34
0
0,5
0,63 0,66 0,66
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 1 2 3 4
Estado 1 Estado 2
As probabilidades 
tendem para um 
limite
0 1 2 3 4
1
2
1
2
1
2
1
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1
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2
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1/2
1/2
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3/4
1/2
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3/4
1/2
1/2
1/4
3/4
3/4
1/4
1/2
1/2
3/4
1/2
1/2
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1/4
1/2
1/2
1/4
3/4
1/2
1/2
1/4
3/4
Di
ag
ra
m
a d
e Á
rv
or
e 
co
m
eç
an
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 d
o 
Es
ta
do
 2
0 1 2 3 4
1
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2
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1/4
1/2
1/2
1/4
3/4
1/2
1/2
1/4
3/4
1/2
1/2
1/4
3/4
3/4
1/4
1/2
1/2
3/4
1/2
1/2
3/4
1/4
1/2
1/2
1/4
3/4
1/2
1/2
1/4
3/4
Di
ag
ra
m
a d
e Á
rv
or
e 
Eu posso calcular as 
probabilidades a 
qualquer tempo e 
passo
3/4
1/4
1/4
9/16
3/16
1/8
1/8
1/32
9/64
3/32
3/32
3/32
1/32
1/16
1/16
27/64
1/32
3/64
81/256
1/32
3/128
9/128
3/64
3/64
9/128
9/128
27/256
9/128
3/128
1/64
1/64
1/64
2/16 + 9/16 = 11/16 
2/8 + 3/16 = 5/16 
1/32+1/64+1/64+
3/128+3/64+3/128
+ 9/128+27/256 =
85/256=0,33
1/32+3/64+1/64+
9/128+3/64+9/128
+9/128+81/256 =
171/256 = 0,67
85/256+171/256 
= 0,33+0,67 = 1
5/16+11/16 = 
0,3125+0,6875 = 1
Comportamento Transiente do Sistema
0 0,25
0,31 0,33 0,33
1
0,75
0,69 0,67 0,67
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 1 2 3 4
Estado 1 Estado 2
Como calcular 
essas 
probabilidades 
será nossa 
próximaviagem
As probabilidades 
tendem para um 
limite 
independente do 
Estado de início.
Mais ainda, 
independente 
das condições 
iniciais.
Um mapa dessas probabilidades pode ser feito.
São 4 números nesse caso:
1 2
1/2
1/4
1/2 3/4
1
2
1
1/2
1/2
1
2
2
3/4
1/4
1/2
1/4
1/2
3/4
P=
1
1
2
2
Uma Matriz
Mas, a cada passo 
só interessam dois: 
a probabilidade de 
estar num Estado 
ou no Outro 
No passo inicial (zero) o sistema começa no Estado 1 ou 2:
Se no 1: P1= 1 e P2= 0
Se no 2: P1= 0 e P2= 1
E no primeiro passo?
1 2
1/2
1/4
1/2 3/4
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Se ele começou em 1
No primeiro passo o sistema 
pode estar no Estado 1 ou 2:
1
2
1
1/2
1/2
P1= 1/2 e P2= 1/2 
Se ele começou em 2
No primeiro passo o sistema 
pode estar no Estado 1 ou 2:
1
2
2
3/4
1/4
P1= 1/4 e P2= 3/4 
1/2
1/4
1/2
3/4
P=
1
1
2
2
A matriz resume tudo que pode 
ocorrer no primeiro passo E no segundo passo?
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Se ele começou em 1
P1’= 1/2*1/2 =1/4
Se ele começou em 2
1
2
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1
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1
1/2
1/2
1/2
1/2
3/4
1/4
P2’= 1/2*1/2 =1/4
P1’’= 1/2*1/4 =1/8
P2’’= 1/2*3/4 =3/8
P1’= 1/4*1/2 =1/8
1
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1
2
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3/4
1/2
1/2
3/4
1/4
P2’= 1/4*1/2 =1/8
P1’’= 3/4*1/4 =3/16
P2’’= 3/4*3/4 =9/161/2
1/4
1/2
3/4
1/2
1/4
1/2
3/4
1/4 + 1/8 = 3/8 
1/4+ 3/8 = 5/8 
1/8 + 3/16 = 5/16
1/8+ 9/16 = 11/16 
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Se ele começou em 1
P1’= 1/2*1/2 =1/4
Se ele começou em 2
1
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P2’= 1/2*1/2 =1/4
P1’’= 1/2*1/4 =1/8
P2’’= 1/2*3/4 =3/8
P1’= 1/4*1/2 =1/8
1
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1
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3/4
1/2
1/2
3/4
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P2’= 1/4*1/2 =1/8
P1’’= 3/4*1/4 =3/16
P2’’= 3/4*3/4 =9/161/2
1/4
1/2
3/4
1/2
1/4
1/2
3/4
Passo 1 Passo 2
Tá tudo resumido aqui 
nessas duas matrizes 
mas como eu chego 
nesses números?
1/4 + 1/8 = 3/8 
1/4+ 3/8 = 5/8 
1/8 + 3/16 = 5/16
1/8+ 9/16 = 11/16 
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Se ele começou em 1
P1’= 1/2*1/2 =1/4
1
2
1
2
1
2
1
1/2
1/2
1/2
1/2
3/4
1/4
P2’= 1/2*1/2 =1/4
P1’’= 1/2*1/4 =1/8
P2’’= 1/2*3/4 =3/8
1/2
1/4
1/2
3/4
1/2
1/4
1/2
3/4
Passo 1 Passo 2
Mapa
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Se ele começou em 1
P1’= 1/2*1/2 =1/4
1
2
1
2
1
2
1
1/2
1/2
1/2
1/2
3/4
1/4
P2’= 1/2*1/2 =1/4
P1’’= 1/2*1/4 =1/8
P2’’= 1/2*3/4 =3/8
1/2
1/4
1/2
3/4
1/2
1/4
1/2
3/4
Passo 1 Passo 2
1/2*1/2 + 1/2*1/4 1/2*1/2 + 1/2*3/4
1/4 + 1/8 = 3/8 1/4 + 3/8 = 5/8
Mapa
As mesmas associações podem ser feitas 
quando o sistema começa no Estado 2
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Então no passo 2 uma multiplicação de matrizes 
resolve tudo
1/2
1/4
1/2
3/4
1/2
1/4
1/2
3/4
1/2*1/2 + 1/2*1/4 1/2*1/2 + 1/2*1/4
3/8 5/8
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Então no passo 2 uma multiplicação de matrizes 
resolve tudo
1/2
1/4
1/2
3/41/4
1/2
3/4
1/2*1/2 + 1/2*1/4
1/4*1/2 + 3/4*1/4
1/2*1/2 + 1/2*1/4
1/4*1/2 + 3/4*3/4
3/8
5/16
5/8
11/16
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Se ele começou em 1: Se ele começou em 2
Mas o sistema ou começa num Estado ou no outro de 
forma que as contas são:
= [1/2 1/2] 
1/2
1/4
1/2
3/4
P(1) = [1 0] 
= [3/8 5/8] 1/2
1/4
1/2
3/4
P(2) = [1/2 1/2] 
P(0) = [1 0] 
= [11/32 21/32] 1/2
1/4
1/2
3/4
P(3) = [3/8 5/8] 
= [1/4 3/4] 
1/2
1/4
1/2
3/4
P(1) = [0 1] 
= [5/16 11/16] 1/2
1/4
1/2
3/4
P(2) = [1/4 3/4] 
P(0) = [0 1] 
= [21/64 43/64] 1/2
1/4
1/2
3/4
P(3) =[5/16 11/16] 
Matriz de Transição
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Ma
tri
z (
Es
to
cá
st
ica
) d
e 
Tr
an
siç
ão
1 2
1/2
1/4
1/2 3/4
Pij = Probabilidade do Sistema fazer uma 
transição para o estado j, após um 
intervalo de tempo, dado que ele estava 
no estado i no início do intervalo
1/2
1/4
1/2
3/4
P=
1
1
2
2
Ma
tri
z E
st
oc
ás
tic
a d
e 
Tr
an
siç
ão
P11
P21
Pn1
P=
P12
P22
Pn2
............
..........
.........
P1n
P2n
Pnn
Para o Estado
1
2
.
.
.
.
n
1 2 . . . . nD
o
E
s
t
a
d
o
1P
n
1j
ij =å
=
Ela existe para 
todos os sistemas 
independente do 
número de 
Estados.
O raciocínio e as 
contas são as 
mesmas só que 
maior.
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Calculando Probabilidades em Algum 
Período de Tempo
u Note que, usando a matriz de transição podemos calcular 
as probabilidade do sistema em qualquer intervalo dado 
um estado inicial:
u Se o sistema começa no Estado 1 então P(0) = (1,0) e 
podemos achar a probabilidade depois de um período 
com a matriz P: 
P(1) = P(0)P
depois de mais um período um período
P(2) = P(1)P = P(0)PP = P(0)P2
depois de mais um período um período
P(3) = P(2)P = P(0) P2 P = P(0)P3
............
Calculando Probabilidades em Algum 
Período de Tempo
u Solução 
P(n) = P(0)Pn
onde P(0) é o vetor de probabilidades iniciais dos estados.
u Ex1: 
u Ex2:
P(2) = [ 3/8 5/8 ] 
P(3) = [ 11/32 21/32 ] 
1/2
1/4
1/2
3/4
P(2) = [ 1 0 ] 
2
P(3) = [ 1 0 ] 1/2
1/4
1/2
3/4
3
O que podemos responder agora do Exemplo 1:
1) Um equipamento pode estar operando ou em falha. 
Para cada safra a confiabilidade do equipamento é de 80%. 
A matenabilidade é de 75%. 
a) Monte um diagrama de estados para representar o equipamento 
como uma cadeia de Markov. 
b) Qual a probabilidade do equipamento entregar três safras 
seguidas? 
c) Qual a disponibilidade do equipamento no longo prazo?
d) Qual o MTTF deste equipamento? 
O que podemos responder agora do Exemplo2:
2) Uma máquina pode estar operando, em manutenção corretiva ou parada. 
Mensamente ela tem probabilidade de continuar funcionando de 90%. 
Se tiver em manutenção ela tem 40% de chance de volta a funcionar. 
Se ela tiver parada ela tem 80% de entrar em manutenção. 
a) Represente o diagrama de transição.
b) Monte a matriz de transição.
c) Em 2 meses e em 3 meses, qual a probabilidade da máquina continuar 
funcionando sem problemas?
d) Qual a probabilidade da máquina permanecer 2 meses em manutenção? 
e três meses?
e) A longo prazo, qual a probabilidade da máquina apresentar defeito?
f) Para garantir uma probabilidade de pelo menos 0,73 da máquina continuar 
em operação, de quanto em quanto tempo deve-se realizar uma manutenção
preditiva?
LEMBRAM DISSO?
Comportamento Transiente do Sistema
1
0,5
0,38 0,34 0,34
0
0,5
0,63 0,66 0,66
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 1 2 3 4
Estado 1 Estado 2
As probabilidades 
tendem para um limite
1 0,5 0,31
0,33 0,33
0
0,5 0,69 0,67 0,67
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 1 2 3 4
Estado 1 Estado 2
As probabilidades tendem para um 
limite independente do Estado de início.
Mais ainda, independente das 
condições iniciais.
Calculando a 
Probabilidade 
Limite de 
Residência 
u É a Solução da Equação Permanente:
Probabilidades limites = a
Matriz de Transição = P
a = a P
onde a é o vetor [ P1 ... Pn ] de probabilidades limite.
[P1 .... Pn ] = [P1 .... Pn ] P
O sistema sempre tem um grau de liberdade que 
deve ser completado com a lei da probabilidade
SPi= 1
i
Exemplo: 
a = a P
P= 
1/2
1/4
1/2
3/4
[ P1 P2 ] = [P1 P2 ] 1/2
1/4
1/2
3/4
P 1 = 1/2 P 1 + 1/4 P 2
P 2 = 1/2 P 1 + 3/4 P 2
ou
-1/2 P 1 + 1/4 P 2 = 0
1/2 P 1 - 1/4 P 2 = 0
O sistema não tem solução!!!
Chamando P 1 + P 2 = 1, tem - se:
a = [P 1 P 2 ] = [ 1/3 2/3 ] 
O que podemos responder agora do Exemplo 1:
1) Um equipamento pode estar operando ou em falha. 
Para cada safra a confiabilidade do equipamento é de 80%. 
A matenabilidade é de 75%. 
a) Monte um diagrama de estados para representar o equipamento 
como uma cadeia de Markov. 
b) Qual a probabilidade do equipamento entregar três safras 
seguidas? 
c) Qual a disponibilidade do equipamento no longo prazo?
d) Qual o MTTF deste equipamento? 
O que podemos responder agora do Exemplo2:
2) Uma máquina pode estar operando, em manutenção corretiva ou parada. 
Mensamente ela temprobabilidade de continuar funcionando de 90%. 
Se tiver em manutenção ela tem 40% de chance de volta a funcionar. 
Se ela tiver parada ela tem 80% de entrar em manutenção. 
a) Represente o diagrama de transição.
b) Monte a matriz de transição.
c) Em 2 meses e em 3 meses, qual a probabilidade da máquina continuar 
funcionando sem problemas?
d) Qual a probabilidade da máquina permanecer 2 meses em manutenção? 
e três meses?
e) A longo prazo, qual a probabilidade da máquina apresentar defeito?
f) Para garantir uma probabilidade de pelo menos 0,73 da máquina continuar 
em operação, de quanto em quanto tempo deve-se realizar uma manutenção
preditiva?
Estados 
Absorventes 
Para responder as últimas 
perguntas precisamos do conceito 
de:
Qu
al o
 MT
BF
 do
 
Equ
ipa
me
nto
?
Qual a hora da 
manutenção que 
garanta 73% de 
confiabilidade?
Estados 
Absorventes 
u Estados que, uma vez atingidos, o 
sistema só sairá dele se uma nova 
missão for iniciada.
u Em termos de sistemas orientados 
para missões podem ser 
classificados como estados 
catastróficos.
u O interesse da confiabilidade é 
neste caso estudar o número de 
intervalos médios de permanência 
do sistema nos estados não 
absorventes.
Estados Absorventes 
u Em sistemas reparáveis podem ser estados de falha (não catastrófico)
u Sendo P a matriz estocástica do sistema, pode-se criar uma matriz 
truncada Q (eliminando linhas e colunas) a partir de P sem os estados 
absorventes.
u O número de intervalos esperado em cada estado é dado pela expressão: 
N = I +P +P2 +...+Pn-1
u N = I +Q +Q2 +...+Qn-1 é a expressão que interessa neste caso.
Es
ta
do
s A
bs
or
ve
nt
es
 
[ I-Q][I +Q +Q2 +...+Qn-1 ] = I- Qn é uma expressão redundante.
[ I-Q] N = I- Qn
Quando n ® ¥ Qn ® 0
N= [ I-Q]-1
N=
N11
N21
N12
N22
Nij é número médio de intervalos de tempo gasto no estado j
antes de entrar num estado absorvente, dado que o sistema 
iniciou a missão no estado i (MTTF)
https://matrixcalc.org/pt
https://matrixcalc.org/pt
Exemplo
2 3
1/2
1/3
1/4
1/3
a) Ache as probabilidades limite
b) Considerando o estado 3 como um
estado absorvente ache o número
médio de intervalos de tempo gasto
em cada estado.
1
Exemplo
A matriz de transição estocástica é:
2 3
1/2
1/3
1/4
1/3
1
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
3/13/13/1
2/12/10
04/14/3
P
Além disso: P1 + P2 + P3 = 1 
P1 = 4/11 P2 = 4/11 P3 = 3/11
a)
Exemplo
a matriz estocástica truncada é:
ú
û
ù
ê
ë
é
==-
ú
û
ù
ê
ë
é -
=-ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
20
24
N]QI[
2/10
4/14/1
]QI[;
2/10
4/14/3
Q
1
N12 = 2 indica o número médio de intervalos de 
tempo gastos no estado 2 dado que o 
sistema iniciou a missão no estado 1 
antes de entrar no estado absorvente..
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
3/13/13/1
2/12/10
04/14/3
P
b)
N11 = 4 (N22 = 2) indica o número médio de
intervalos de tempo gastos no estado 1 (2) dado 
que o sistema iniciou a missão nesse 
estado antes de entrar no estado 
absorvente.
MTTF = N11 + N12 = 4+2 = 6 
O que podemos responder agora do Exemplo 1:
1) Um equipamento pode estar operando ou em falha. 
Para cada safra a confiabilidade do equipamento é de 80%. 
A matenabilidade é de 75%. 
a) Monte um diagrama de estados para representar o equipamento 
como uma cadeia de Markov. 
b) Qual a probabilidade do equipamento entregar três safras 
seguidas? 
c) Qual a disponibilidade do equipamento no longo prazo?
d) Qual o MTTF deste equipamento? 
O que podemos responder agora do Exemplo2:
2) Uma máquina pode estar operando, em manutenção corretiva ou parada. 
Mensamente ela tem probabilidade de continuar funcionando de 90%. 
Se tiver em manutenção ela tem 40% de chance de volta a funcionar. 
Se ela tiver parada ela tem 80% de entrar em manutenção. 
a) Represente o diagrama de transição.
b) Monte a matriz de transição.
c) Em 2 meses e em 3 meses, qual a probabilidade da máquina continuar 
funcionando sem problemas?
d) Qual a probabilidade da máquina permanecer 2 meses em manutenção? 
e três meses?
e) A longo prazo, qual a probabilidade da máquina apresentar defeito?
f) Para garantir uma probabilidade de pelo menos 0,73 da máquina continuar 
em operação, de quanto em quanto tempo deve-se realizar uma manutenção
preditiva?
Alexandre Stamford
Mais resultados sobre Processos de Markov
Pr
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Defina:
P1(t) = l∆𝑡 probabilidade do sistema falhar no tempo t
P2(t) = µ∆𝑡 probabilidade do sistema ser reparado no tempo t
l = taxa de falha
µ = taxa de reparo
1 2
l∆𝑡
µ∆𝑡Operação Falha
A matriz de transição estocástica é: P= 
1- l∆𝑡
µ∆𝑡
l∆𝑡
1-µ∆𝑡
Processos de Markov
Conceitos Gerais
1 2
l∆𝑡
µ∆𝑡Operação Falha
u Calculando as probabilidades limites:a = a P
1- l∆𝑡
µ∆𝑡
l∆𝑡
1-µ∆𝑡
[ 𝑃1 𝑃2 ] = [𝑃1 𝑃2 ] 
𝑃1= 𝑃1 (1- l∆𝑡) + (𝑃2 µ∆𝑡)
𝑃2= 𝑃1 (l∆𝑡) + 𝑃2 (1-µ∆𝑡)
𝑃1= 𝑃1 - P1l∆𝑡 + P2 µ∆𝑡
P2= P1l∆𝑡 + P2 - P2 µ∆𝑡
0= - P1l∆𝑡 + P2 µ∆𝑡
0= P1l∆𝑡 - P2µ∆𝑡
P1 + P2 = 1
- P1l+ P2 µ = 0
P1l - P2µ = 0
P1 + P2 = 1
P1= 
µ
l!µ P2 = 
l
l!µ
U = P2 = 
l
l!µ é a indisponibilidade limite do sistema
A = P1= 
µ
l!µ é a disponibilidade limite do sistema
Processos de Markov
Conceitos Gerais
l = nº de falhas num dado período de tempo
período de tempo total de operação
1 2
l
µOperação Falha
u Podemos usar então a seguinte representação para os processos de Markov
Conceito Geral de Taxa de Transição
taxa de transição = nº de vezes que uma transição ocorre / período de tempo total.gasto naquele estado
µ = nº de reparos num dado período de tempo
período de tempo total de operação
Para sistemas maiores uma expressão geral pode ser obtida utilizando equações diferenciais
Em muitos casos a figura de mérito que interessa é o MTTF 
(Mean Time To Failure - Tempo Médio para a Falha) 
Processos de Markov
Conceitos Gerais
1 2
l
µOperação Falha
Probabilidades Limites
u Sendo:
MTTF = m = 1/l e MTTR = r = 1/µ
A = µl!µ e U = 
l
l!µ
então:
A = mr!m e U = 
r
r!m
Sistema com Dois Componentes Reparáveis
µ2
1C1 op
C2 op.
µ2l2
µ1
l13C1 op
C2 f.
2C1 f
C2 op.
4C1 f
C2 f.
µ1
l1
l2
As transições do 
estado 1 para o 
quatro não são 
possíveis pois 
estamos supondo 
que duas trasições
não possam ocorrer 
ao mesmo tempo.
A representação independe se o sistema está em série 
ou em paralelo:
Se em série o sistema só está ativo no estado 1
Se em paralelo o sistema só está em falha no estado 4 
Outras transições 
podem não existir vai 
depender das 
especificações
Sistema com Dois Componentes Reparáveis Idênticos
1C1 op
C2 op.
µl
µ
l3C1 op
C2 f.
2C1 f
C2 op.
4C1 f
C2 f.
µ
l
µl
1op
op. µ
2l 2f
op.
2µ
l 3f
f.
Sistema com Dois Componentes Reparáveis
1op
op. µ
2l 2f
op.
2µ
l 3f
f.
2
2
3222
2
1 )(
P;
)(
2P;
)(
P
µ+l
l
=
µ+l
µl
=
µ+l
µ
=
A = P1 U = P2 +P3
Sistema em Série:
A= Disponibilidade U= Indisponibilidade
A = P1+P2U = P3
Sistema em Paralelo:𝑃 =
1 − 2l 2l 0
µ 1 −(l + µ) l
0 2µ 1 − 2µ
Pi1= 
µ
l!µ Pi2 = 
l
l!µ
Funcionamento e falha 
de um componente i
Sistema com Dois Componentes Reparáveis
1op
op. µ
2l 2f
op.
2µ
l 3f
f.
Sistema em Série:
Estados 2 e 3 absorventes
𝑃 =
1 − 2l 2l 0
µ 1 −(l + µ) l
0 2µ 1 − 2µ
Matriz Truncada:
Q= [1 − 2l]
N= [ I-Q]-1
N= [2l]-1 = 12l
MTTFsistema = 
1
2l
MTTFsistema = 
1
2 MTTFequipamento
Sistema com Dois Componentes Reparáveis
1op
op. µ
2l 2f
op.
2µ
l 3f
f.
Sistema em Paralelo:
Estados 3 absorvente
𝑃 =
1 − 2l 2l 0
µ 1 −(l + µ) l
0 2µ 1 − 2µ
Matriz Truncada:
N= [ I-Q]-1
Q= 1 − 2l 2lµ 1 −(l + µ)
N= 2l −2l−µ (l + µ)
"#
= #2l!
(l + µ) 2l
µ 2l
N= #2l!
(l + µ) 2l
µ 2l
MTTF1 = 
3l ! µ
2l! MTTF2 = 
2l!µ
2l!
Dependendo de qual estado partiu
Si
st
em
a c
om
 Tr
ês
 C
om
po
ne
nt
es
l1
µ1 1C1 op
C2 op
C3 op
3C1 op
C2 f
C3 op
8 C1 f
C2 f
C3 f
2C1 f
C2 op
C3 op
4C1 op
C2 op
C3 f
6C1 op
C2 f
C3 f
5C1 f
C2 f
C3 op
7C1 f
C2 op
C3 f
µ1
l1
l3
µ1
µ2
µ3
µ3
µ2µ1
µ2
l2 l3
l1
l2
l3 l2
l1
µ3
µ2l2
µ3
l3
Di
ag
ra
m
a de E
sp
aç
o 
de
 E
st
ad
os
Matriz de Transição
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 − (𝜆! + 𝜆" + 𝜆#) 𝜆! 𝜆" 𝜆# 0 0 0 0
2 𝜇! 1 − (𝜇! + 𝜆" + 𝜆#) 0 0 𝜆" 0 𝜆# 0
3 𝜇" 0 1 − (𝜇" + 𝜆! + 𝜆#) 0 𝜆! 𝜆# 0 0
4 . .
5 . .
6 . .
7 . .
8 . .
l1
µ1 1C1 op
C2 op
C3 op
3C1 op
C2 f
C3 op
8 C1 f
C2 f
C3 f
2C1 f
C2 op
C3 op
4C1 op
C2 op
C3 f
6C1 op
C2 f
C3 f
5C1 f
C2 f
C3 op
7C1 f
C2 op
C3 f
µ1
l1
l3
µ1
µ2
µ3
µ3
µ2µ1
µ2
l2 l3
l1
l2
l3 l2
l1
µ3
µ2l2
µ3
l3
Vamos tentar analisar o seguinte Exemplo:
Um sistema tem 4 avarias a serem reparadas por uma equipe 
de manutenção (EM). 
A probabilidade da EM reparar uma dada avaria depende 
diretamente dela ter reparado ou não a avaria anterior. 
Dados históricos mostram que ao reparar com sucesso uma 
avaria a EM tem 80% de chance de reparar a próxima avaria. 
Entretanto, se ela não consegue reparar uma avaria, a 
chance dela reparar a próxima cai para 60%. 
Se a primeira avaria foi feita com sucesso, pergunta-se:
1. Qual a probabilidade da EM reparar todas as avarias?
2. Supondo que consertando 3 avarias o sistema entre em 
operação. Qual a probabilidade da EM conseguir reparar 
o sistema?
3. Qual a probabilidade da EM reparar a última avaria?
Exemplo:
PBF = 0,2
PBB= 0,8 PFF = 0,4
PFB = 0,6REPARA NÃO REPARA
80% de chance de reparar e 60% de chance de não reparar 
1) Qual a probabilidade da EM reparar todas as avarias?
2) Supondo que consertando 3 avarias o sistema entre em operação. 
Qual a probabilidade da EM conseguir reparar o sistema?
3) Qual a probabilidade da EM reparar a última avaria?
1 2 3 4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0,8
0,2
0,2
0,8
0,4
0,6
0,8
0,2
0,6
0,4
0,8
0,2
0,6
0,4
Di
ag
ra
m
a d
e Á
rv
or
e 
Todas as avarias consertadas = (0,8)3 = 51%
1,2, 3 OK, 4 Ñ = (0,8)2(0,2)
1,2, 4 OK; 3 Ñ = (0,8)(0,2)(0,6)
1,2 OK; 3, 4 Ñ = (0,8)(0,2)(0,4)
1,3,4 OK; 2 Ñ = (0,2)(0,6)(0,8)
1,3 OK; 2, 4 Ñ = (0,2)(0,6)(0,2)
1,4 OK; 2, 3 Ñ = (0,2)(0,4)(0,6)
1 OK; 2, 3, 4 Ñ = (0,2)(0,4)(0,4)
3 avarias
83%
4a avaria
75%