Apostila_Transcal_Comp

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Prof. Marcelo M. Galarça,
Dr.Eng.Mec.
Introdução ao CFD Básico:
Transferência de Calor & Mecânica dos
Fluidos Computacional
Curso de Engenharia Mecânica
– IFRS/Campus Rio Grande –
©2016
Prefácio
Este material é utilizado na disciplina de Transferência de Calor & Mecânica dos Fluidos Computacional.
Traz uma breve revisão dos conceitos vistos em Mecânica dos Fluidos, Transferência de Calor e Cálculo
Numérico. Pode ser utilizado como fonte de consulta para alunos como suporte ao acompanhamento
das aulas, bem como no desenvolvimento dos trabalhos durante a disciplina. O texto é baseado, em boa
parte, no material extra, referente a modelagem numérica, disponibilizado online do Livro ”Introdução à
Mecânica dos Fluidos”, 8a Ed. (Fox, McDonald, Pritchard).
A sigla CFD, vêm do inglês ”Computational Fluid Dynamics”, que significa Dinâmica dos Fluidos
Computacional, porém é usual em textos da literatura a utilização da mesma em inglês. Assim, neste
material será mantida a sigla original, CFD.
Os conceitos, neste material, são ilustrados pela aplicação dos mesmos a um caso simples unidimen-
sional, 1D. Discutiremos brevemente os seguintes tópicos:
1. A necessidade da CFD
2. Aplicações
3. A Estratégia da CFD
4. Discretização Utilizando o Método das Diferenças Finitas
5. Discretização Utilizando o Método dos Volumes Finitos
6. Montagem do Sistema Discreto & Aplicação das Condições de Contorno
7. Solução do Sistema Discreto
8. Convergência de Malha
9. Lidando com a Não-Linearidade
10. Solvers Direto & Iterativo
11. Convergência Iterativa
12. Estabilidade Numérica
Marcelo M. Galarça Rio Grande,
- 2016
Sumário
Parte I Conceitos & Definições
1 Aplicações da CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Necessidade e Estratégia da CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 CFD utilizando uma Planilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Métodos de Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Discretização Usando o Método das Diferenças Finitas - MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Discretização Usando o Método dos Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Montagem do Sistema Discreto e Aplicação de Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Solução do Sistema Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Convergência de Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 Lidando com a Não Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.7 Solução Direta e Iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.8 Convergência Iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.9 Estabilidade Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.9.1 Esquemas Expĺıcito e Impĺıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.9.2 Dicas para boa geração de geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.9.3 Considerações Sobre Problemas Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Parte II Tutoriais
Parte III Exerćıcios Propostos
4 Transferência de Calor Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 Problema 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Problema 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Escoamento Externo sobre Cilindro Aquecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Parte I
Conceitos & Definições
1
Aplicações da CFD
A CFD é útil em uma ampla variedade de aplicações e aqui se dá uma pequena ideia de sua utilização
na indústria. As simulações apresentadas a seguir foram feitas pela utilização do software FLUENT©.
A Dinâmica dos Fluidos Computacional pode ser utilizada para simular, por exemplo, o escoamento
sobre um véıculo. Assim, pode ser utilizado para estudar a interação das hélices ou rotores com a fuselagem
de uma aeronave. A Fig.(1.1) apresenta a previsão de um campo de pressão induzido pela interação do
rotor com a fuselagem do helicóptero se deslocando para frente em um vôo. Rotores e hélices podem ser
representados com modelos de variadas complexidades.
Figura 1.1. Campo de Pressão em torno de Helicóptero
A distribuição de temperatura obtida a partir de uma análise CFD de um manifold de mistura é
apresentada na Fig.(1.2). Este manifold é parte do sistema de ventilação da cabine de passageiros de um
Boeing 767. A análise CFD mostra a efetividade de um projeto simples de manifold sem a necessidade
de um teste de campo.
A engenharia bio-médica é um campo de grande crescimento e faz uso da CFD para estudar os sistemas
respiratório e circulatório. A Fig.(1.3) apresenta o campo de pressão e, numa vista de corte, revela os
vetores de velocidade em uma bomba para sangue, a qual assume o papel do coração em uma cirurgia
caŕıaca aberta.
A Dinâmica dos Fluidos Computacional é atrativa à indústria uma vez que o custo-benef́ıcio é, ge-
ralmente, muito bom em relação aos testes f́ısicos em laboratório. No entanto, deve ser observado que
simulações de problemas complexos são desafiadoras e propensas a ocorrência de erros, sendo necessária
boa experiência na área a fim de obter soluções válidas.
4 1 Aplicações da CFD
Figura 1.2. Campo de Temperaturas de um Manifold do Sistema de Ventilação em um Boeing 767
Figura 1.3. Campo de pressão e vetores de velocidade em Bomba de Sangue
2
Necessidade e Estratégia da CFD
Os fenômenos em engenharia são, em sua maioria, descritos através de equações. Estas podem ser bas-
tante complicadas para serem resolvidas de forma anaĺıtica. Por exemplo, mesmo quando limitamos os
problemas para escoamentos incompresśıveis com viscosidade constante, ainda nos restam as seguintes
equações, referentes a continuidade, Eq.(2.1) e quantidade de movimento, Eq.(2.2), unidimensionais.
∂u
∂x
= 0 (2.1)
ρ
(
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
)
= ρgx −
∂p
∂x
+ µ
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
)
(2.2)
A prinćıpio, pode-se resolver essas equações para o campo de velocidade
−→
V = îu+ ĵv + k̂w e para o
campo de pressão, p, fornecidas as condições inicial e de contorno suficientes. Na prática, não há solução
anaĺıtica geral para estas equações, pelo efeito combinado de uma série de razões:
i) Elas são equações acopladas. As variáveis aparecem em ambas equações (neste caso unidimensional),
ou no caso de 3D, em todas equações governantes. Assim, não podemos manipulá-las de modo a obter
uma só equação em função de qualquer uma das incógnitas. Logo, devemos resolver as equações para
todas as incógnitas simultâneamente;
ii) Elas são equações não lineares;iii) São equações parciais de segunda ordem. Por exemplo, o termo referente às tensões viscosas, na
Eq.(2.2) é de segunda ordem em relação a u. Obviamente, essas equações são mais complicadas do
que aquelas de primeira ordem.
Este tipo de dificuldade levou engenheiros, cientistas e matemáticos a adotar várias aproximações para
a solução de problemas térmicos e fluidodinâmicos.
Para geometrias f́ısicas e condições de contorno ou iniciais relativamente simples, as equações podem
ser frequentemente reduzidas a uma fomra solucionável. Se pudermos desprezar os termos viscosos, a
incompressibilidade resultante, o escoamento inv́ıscido pode ser frequentemente analisado com sucesso.
Naturalmente, muitos escoamentos incompresśıveis de interesse não apresentam geometria simples e não
são inv́ıscidos; para estes casos, cáımos nas equações apresentadas. A única opção é utilizar de métodos
numéricos para a solução do problema. É posśıvel obter soluções aproximadas através de cálculos com
computador para as equações em uma variedade de problemas de engenharia. Esse é o maior objetivo da
CFD.
De maneira geral, a estratégia da CFD é substituir o domı́nio cont́ınuo de um problema por um domı́nio
discreto, através da utilização de uma malha. Em um domı́nio cont́ınuo, cada variável do escoamento é
definida em cada ponto no domı́nio. Por exemplo, a pressão p em um domı́nio cont́ınuo unidimensional,
1D, mostrada na Fig.(2.1) pode ser dada pela Eq.(2.3).
p = p
(
x
)
, 0 < x < 1 (2.3)
6 2 Necessidade e Estratégia da CFD
Em um domı́nio discreto, cada variável é definida somente nos pontos da malha computacional. Logo,
em um domı́nio discreto mostrado na figura, a pressão poderia ser definida somente nos N pontos de
malha.
pi = p
(
xi
)
, i = 1, 2, . . . , N (2.4)
Figura 2.1. Domı́nios Cont́ınuo e Discreto em 1D
Uma solução CFD poderia ser resolvida diretamente para as variáveis relevantes somente nos pontos
de malha. Os valores em outras ”posições”são determinados pela interpolação nos demais pontos.
As equações diferenciais parciais governantes e as condições de contorno são definidas em termos de
variáveis cont́ınuas, p,
−→
V , etc.. Podemos aproximar estas por um domı́nio discreto em termos de variáveis
discretas pi, overrightarrowVi, etc.. O sistema discreto é um grande conjunto de equações algébricas
acopladas, de variáveis discretas. Configurar o sistema discreto e resolver o mesmo (por uma inversão de
matriz) envolve um número significativo de cálculos repetitivos e isto é feito por meio computacional.
Esta ideia pode ser extendida para qualquer problema e seu respectivo domı́nio. A Fig.(2.2) mostra a
malha utilizada para resolver o escoamento sobre um aerofólio.
Figura 2.2. Domı́nio discreto da malha para solução do escoamento sobre aerofólio
2.1 CFD utilizando uma Planilha 7
2.1 CFD utilizando uma Planilha
A t́ıtulo de exemplificação, antes de qualquer discussão mais detalhada a respeito da CFD, pode-se
compreender melhor o método numérico para solução de alguns problemas simples em mecânica dos
fluidos com o aux́ılio de uma planilha eletrônica. Primeiramente, consideremos a solução da forma mais
simples de uma equação diferencial - uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
dy
dx
= f (x, y) (2.5a)
y (x0) = y0 (2.5b)
em que f(x, y) é uma função dada. Percebemos que graficamente a derivada ∂y
∂x
é a inclinação da curva
solução y(x) (ainda desconhecida). Se estivermos no mesmo ponto (xn, yn) sobre a curva, podemos seguir
a tangente àquele ponto, como uma aproximação do movimento real ao longo da própria curva, para achar
um novo valor para y, yn+1, correspondente a um novo valor de x, xn+1, como mostrado na Fig.(2.3).
Temos então
Figura 2.3. Método de Euler
dy
dx
=
yn+1 − yn
xn+1 − xn
(2.6)
Se adotarmos um tamanho de passo h = xn+1 − x, então a equação anterior pode ser combinada com
a equação diferencial. A Eq.(2.5) para fornecer
dy
dx
=
yn+1 − yn
h
= f(xn, yn)
ou ainda:
yn+1 = yn + hf(xn, yn) (2.7a)
com
xn+1 = xn + h (2.7b)
As Eqs.(2.7) são o conceito básico oculto no famoso método de Euler para resolver uma equação
diferencial ordinária - EDO de primeira ordem: uma diferencial é substitúıda por uma diferença finita.
Nessas equações, yn+1 representa agora a nossa melhor estimativa para determinar o próximo ponto sobre
a curva de solução. A partir da Fig.(2.3), vemos que yn+1 não está sobre a curva de solução, mas perto
dela; se fizermos o triângulo bem menor, diminuindo o tamanho de passo h, então yn+1 estará ainda mais
perto da solução desejada. Podemos usar repetidamente as duas equações iterativas de Euler para iniciar
em (x0, y0) e obter (x1, y1), em seguida (x2, y2), (x3, y3), e assim por diante. Não finalizamos o processo
8 2 Necessidade e Estratégia da CFD
com uma equação para a solução, mas sim com um conjunto de números; portanto é uma representação
numérica em vez de um método anaĺıtico. Esta é a aborgagem do método de Euler.
Esse método é muito fácil de ser configurado, tornando-o uma abordagem atrativa, porém não é muito
exato: seguindo a tangente a uma curva a cada ponto, em uma tentativa de seguir a curva, é muito bruto.
Se fizermos o tamanho de passo h menor, a exatidão do método geralmente crescerá, mas obviamente
necessitaremos de mais passos para encontrar a solução. Acontece que, se usarmos muitos passos (se
o valor de h for extremamente pequeno), a exatidão dos resultados pode realmente decrescer porque,
embora cada pequeno passo seja muito exato, necessitaremos agora de muitos passos de modo que os
erros de arredondamento podem se acumular. Como com qualquer método numérico, que não garantem
a obtenção de uma solução ou uma solução que seja bastante exata. O método de Euler é o método
numérico mais simples, porém menos exato para a solução de equações diferenciais ordinárias - EDO de
primeira ordem; existem diversos métodos mais sofisticados dispońıveis, apresentados em qualquer bom
livro de métodos numéricos.
Vamos ilustrar o método de Euler com um exemplo.
Example 2.1. A Solução do Método de Euler para Drenagem de um Tanque
Um tanque contém água com uma profundidade inicial y0 = 1m. O diâmetro do tanque é D = 250mm.
Um furo com diâmetro d = 2mm aparece no fundo do tanque. Um modelo aceitável para o ńıvel de água
em função do tempo é:
dy
dt
= −
(
d
D
)2√
2gy
para y(0) = y0
Usando os métodos de Euler com 11 pontos, 21 pontos e 321 pontos, estime a profundidade de água
após o tempo t = 100min, e calcule os erros percentuais comparados com a solução exata.
yexata(t) =
[
√
y0 −
(
d
D
)2√
g
2
t
]2
Trace os resultados obtidos pelo método de Euler e pela solução exata.
Solução:
As equações a serem utilizadas são as Eqs.(2.7). Assim:
yn+1 = yn + hf(tn, yn) e tn+1 = tn + h
Para esta solução é conveniente a utilização de uma planilha eletrônica. Resolvendo as equações na
planilha obtiveram-se os seguintes resultados:
Profundidade após 100 min.:
= -0,0021 m (Euler 11 pontos)
= 0,0102 m (Euler 21 pontos)
= 0,0216 m (Euler 321 pontos)
= 0,0224 m (Solução Exata)
Erro percentual após 100 min.:
= 110% (Euler 11 pontos)
= 54% (Euler 21 pontos)
= 3,4% (Euler 321 pontos)
Este exemplo mostrou uma aplicação simples do Método de Euler. Note que, embora os erros após o
tempo de 100 minutos sejam grandes para as duas primeiras amostragens (11 e 21 pontos), seus gráficos
2.1 CFD utilizando uma Planilha 9
Figura 2.4. Planilha utilizada para o Método de Euler
são razoavelmente próximos da solução exata. Podemos notar também que, se o erro percentual for fator
preponderante para alguma parte do processo, conforme já foi mencionado, o Método de Euler não oferece
precisão grande. Neste exemplo isto ficou claro, pois foram necessários mais de 300 pontos para se obter
uma solução maispróxima à exata.
3
Métodos de Discretização
Como foi comentado, grande parte dos problemas de engenharia são governados por conjuntos de equações
complexas. São as conhecidas equações de transporte, as quais são equações diferenciais parciais. O grau
de complexidade aumenta com a ordem desta equações, i.e. primeira ou segunda ordem. As equações go-
vernantes descrevem sistemas cont́ınuos e, quase sempre, acoplados. Resolvê-las analiticamente em alguns
casos é imposśıvel e/ou extremamente demorado. Tornar estas equações pasśıveis de solução computaci-
onal exige a aplicação de métodos numéricos (como vimos), bem como formas de discretizar o domı́nio a
fim de possibilitar a solução em intervalos finitos para um sistema de equações algébricas.
Para tanto, existem alguns métodos dispońıveis para discretizar o conjunto de equações. Aqui veremos
brevemente a ”ideia”de funcionamento para dois deles: Diferenças Finitas (MDF) e Volumes Finitos
(MVF).
Tradicionalmente, as soluções numéricas de equações diferenciais são feitas pela aplicação de um
método de discretização, que pode ser um dos anteriormente mencionados ou, ainda, o Método de Ele-
mentos Finitos (MEF).
Historicamente, o MDF foi sempre empregado na área da mecânica dos fluidos, enquanto o MEF foi
para área estrutural na solução de problemas de elasticidade. Do ponto de vista f́ısico, são problemas
completamente diferentes, pois os de escoamentos são altamente não-lineares, por envolverem as equações
de Navier-Stokes (quantidade de movimento), enquanto os da elasticidade não possuem termos advectivos
e assemelham-se a problemas puramente difusivos de transferência de calor, de caracteŕıstica linear.
A observação do caráter f́ısico de cada termo da equação diferencial permitiu que métodos mais ro-
bustos fossem desenolvidos. A possibilidade de associar a interpretação f́ısica à matemática influenciou de
forma considerável para que praticamente todos os analistas envolvidos com o MDF passassem a usar o
MVF. Esses dois métodos, por serem semelhantes para algumas situações, são muitas vezes confundidos.
Deve ficar claro que o MDF é simplesmente uma substituição do operador diferencial pelo seu correspon-
dente numérico, enquanto o MVF realiza um balanço de conservação da propriedade para cada volume
elementar com o objetivo de obter a correspondente equação aproximada.
A partir da boa compreensão destes três métodos, pesquisadores constamente buscam melhorias nos
métodos de discretização, propondo combinações e/ou variações dos mesmos, com o objetivo de tornar
cada vez mais o processo computacional mais eficiente.
3.1 Discretização Usando o Método das Diferenças Finitas - MDF
Para manter a um ńıvel simplificado de detalhamento, serão ilustradas as ideias fundamentais da CFD
pela aplicação das mesmas através de uma equação unidimensional:
du
dx
+ um = 0; 0 ≤ x ≤ 1; u(0) = 1 (3.1)
Primeiramente consideraremos o caso onde m = 1 quando a equação é linear. Após consideremos
m = 2, caso em que a equação não é linear.
12 3 Métodos de Discretização
Figura 3.1. Malha simples unidimensional com quatro pontos
Derivamos uma representação discreta da Eq.(3.1), com m = 1 em uma malha simples, Fig.(3.1).
Esta malha possui quantro pontos igualmente espaçados, sendo ∆x o espaçamento entre os sucessivos
pontos. Uma vez que a equação governante é válida para qualquer ponto da malha, tem-se:
(
du
dx
)
i
+ ui = 0 (3.2)
onde o sub́ındice i representa o valor no ponto xi da malha. Com objetivo de obtermos uma expressão
para (du/dx)i em termos de u nos pontos da malha, podemos expandir ui−1 em uma série de Taylor:
ui−1 = ui −∆x
(
du
dx
)
i
+O
(
∆x2
)
Rearranjando temos:
(
du
dx
)
i
=
ui − ui−1
∆x
+O (∆x) (3.3)
O erro em (du/dx)i devido aos termos desprezados na série de Taylor é chamado de erro de trunca-
mento, este é proporcional a ∆x. Esta discrepância é chamada de exatidão de primeira ordem. Aplicando
a Eq.(3.3) em (3.2 e excluindo os termos de maiores ordem na série, obtemos a equação discreta, Eq.(3.4).
ui − ui−1
∆x
+ ui = 0 (3.4)
Observe que passamos de uma equação diferencial para uma equação algébrica! Este método de de-
rivação da equação discreta utilizando-se de expansões em séries de Taylor é chamado de Método das
Diferenças Finitas. No entanto, a maiora dos códigos comerciais de CFD fazem uso de Volumes Finitos
(MVF) ou Elementos Finitos (MEF), os quais são mais adequados para modelagem em torno de geometrias
complexas. Por exemplo, o ANSY S/FLUENT© utiliza o MVF, enquanto que ANSY S/Mechanical©
usa o MEF.
A seguir, será brevemente abordada a ideia do Método de Volumes Finitos. No entanto, manteremos a
discussão posterior utilizando a aproximação de Diferenças Finitas para ilustrar os conceitos envolvidos,
uma vez que são muito similares entre si, e o MDF é mais simples de compreender.
3.2 Discretização Usando o Método dos Volumes Finitos
Se você observar mais de perto a malha em torno do aerofólio apresentada anteriormente, Fig.(2.2),
poderá ver que ela consiste de elementos quadriláteros. No Método dos Volumes Finitos, um quadrilátero
é comumente chamado de ”célula”e um ponto da malha, de ”nó”. Em 2D, podemos ter, também, células
triangulares. Em 3D, as células são usualmente hexaédricas, tetraédricas, ou prismas. Na aproximação de
volumes finitos, a forma integral das equações de conservação são aplicadas ao volume de controle definido
por uma célula para obter as equações discretas para cada célula. Por exemplo, a forma integral da equação
da continuidade, dada anteriormente na Eq.(2.1), para um escoamento permanente e incompresśıvel é:
∫
S
−→
V · n̂dS = 0 (3.5)
3.3 Montagem do Sistema Discreto e Aplicação de Condições de Contorno 13
A integração é sobre uma superf́ıcie S do volume de controle e n̂ é o componente normal à superf́ıcie.
F́ısicamente, esta equação significa que a taxa ĺıquida no volume de controle é zero.
Considere a célula retangular na Fig.(3.2) a seguir:
Figura 3.2. Representação de um volume de controle (célula)
A velocidade na face i é tomada como sendo
−→
V i = uîi + viĵ. Aplicando a conservação de massa,
Eq.(3.5), ao volume de controle definido pela célula, tem-se:
−u1∆y − v2∆x+ u3∆y + v4∆x = 0
Esta é a forma discreta da equação da continuidade para a célula do volume de controle. É equivalente a
assumir que o balanço de massa, ou massa resultante, no volume de controle é igual a zero. Assim, isto
assegura que a massa é conservada para cada unidade celular, ou elemento de volume. Normalmente, os
valores no centro do volume são armazenados. Os valores de face, u1, v2, etc. são obtidos por interpolação
dos valores com células adjacentes.
Analogamente, obtém-se as equações discretas para a conservação da quantidade de movimento (mo-
mentum) e energia. Estes conceitos podem ser prontamente extendidos a qualquer forma celular em 2D
ou 3D e, ainda, para qualquer equação conservativa. Pare um momento, e faça a análise das diferenças
entre o método de diferenças finitas, apresentado anteriormente, e este de volumes finitos.
Voltemos à malha do aerofólio, Fig.(2.2). Quando se utiliza o FLUENT, ou outro código baseado em
volumes finitos, é sempre bom lembrar que o código está encontrando uma solução para a quantidade de
movimento, massa, energia, e outras variáveis relevantes que estão sendo conservadas em cada volume de
controle.
3.3 Montagem do Sistema Discreto e Aplicação de Condições de Contorno
Retomando a equação discreta obtida pelo método de diferenças finitas, Eq.(3.4), e rearranjando a mesma,
obtém-se:
−ui−1 + (1 +∆x)ui = 0
Aplicando esta equação na malha 1D, Fig.(3.1), nos pontos i = 2, 3, 4 tem-se:
− u1 + (1 +∆x)u2 = 0 (i = 2) (3.6a)
14 3 Métodos de Discretização
− u2 + (1 +∆x)u3 = 0 (i = 3) (3.6b)− u3 + (1 +∆x)u4 = 0 (i = 4) (3.6c)
A equação discreta não pode ser aplicada na fronteira esquerda (i = 1) uma vez que ui−1 não é
definido aqui. Em vez disso, é utilizada a condição de contorno conhecida
u1 = 1 (3.6d)
As Eqs.(3.6) formam um sistema de quatro equações algébricas com quatro variáveis desconhecidas
u1, u2, u3 e u4. É conveniente escrever este sistema na forma matricial:


1 0 0 0
−1 (1 +∆x) 0 0
0 −1 (1 +∆x) 0
0 0 −1 (1 +∆x)

×


u1
u2
u3
u4

 =


1
0
0
0

 (3.7)
De uma forma geral, aplicaŕıamos as equações discretas aos pontos da malha (ou células, no método
de volumes fińıtos) no interior do domı́nio. Para pontos da malha (ou células) sobre ou próximos da
fronteira, poderiamos aplicar uma combinação das equações discretas e de condições de contorno. No
final, obteŕıamos um sistema de equações algébricas simultâneas com o número de equações sendo igual ao
número de variáveis discretas independentes. O processo é essencialmente o mesmo daquele das equações
do modelo anterior, com os detalhes, obviamente, sendo muito mais complexos.
3.4 Solução do Sistema Discreto
O sistema discreto, Eq.(3.7) para o exemplo 1D simplificado pode ser facilmente invertido para a obtenção
das variáveis desconhecidas nos pontos da malha. Resolvendo para u1, u2, u3 e u4 e usando ∆x =
1
3 ,
tem-se
u1 = 1 u2 =
3
4
u3 =
9
16
u4 =
27
64
A solução exata para este exemplo 1D, Eq.(3.1), com m = 1, é facilmente calculada:
uexata = exp(−x)
A Fig.(3.3) apresenta a comparação da solução discreta, obtida para quatro, oito e dezesseis pontos de
malha, e a solução exata. O maior erro encontrado é no contorno direito, que é de 14, 7%.
Numa aplicação prática da CFD, teŕıamos milhares de variáveis desconhecidas no sistema discreto e se
usássemos, por exemplo, um procedimento de eliminação de Gauss, ingenuamente, para inverter a matriz,
obteŕıamos um tempo computacional absurdamente elevado para efetuar os cálculos. Desta forma, muito
trabalho foi feito com o objetivo de aperfeiçoar a inversão da matriz para redução do tempo de CPU e
memória requerida. A matriz a ser invertida é esparsa, ou seja, a maior parte de suas entradas são zeros.
As entradas diferentes de zero são agregadas em torno da diagonal visto que a equação discreta em um
ponto da grade contém somente quantidades na vizinhança dos pontos de grade, como visto na Eq.(3.7).
Um código CFD armazenaria somente os valores diferentes de zero para minimizar a memória utilizada.
Este código, também, geralmente utiliza-se de um procedimento iterativo para inverter a matriz; quanto
mais iterações, mais perto se chega da verdadeira solução para a inversão de matriz.
3.6 Lidando com a Não Linearidade 15
Figura 3.3. Comparação da solução numérica obtida para três diferentes malhas com a solução exata.
3.5 Convergência de Malha
Ao desenvolver a aproximação por diferenças finitas para o exemplo 1D, vimos que o erro em nosso sistema
discreto é O(∆x). Então, espera-se que com o aumento do número de ponto da malha ∆x seja reduzido.
O erro na solução numérica deveria diminuir e a concordância entre a solução numérica e a exata deveria
ser melhor.
Consideremos o efeito do aumento do número de pontos, N , da malha na solução unidimensional do
problema. Avaliamos N = 8 e N = 16, além daquele já comentado anteriormente com N = 4. Os passos
e a solução anterior são facilmente repetidos para cada umas destas ”malhas”. A Fig.(3.3) apresenta
a comparação entre os resultados obtidos para as três ”malhas”em relação a solução exata. Conforme
esperado, o erro (ou desvio) numérico decai a medida que o número de pontos na malha aumenta.
Quando as soluções numéricas obtidas para diferente malhas concordam entre si dentro de um ńıvel
de tolerância especificada pelo usuário, elas são ditas ”malhas independentes”e a solução deve estar
convergida. É bastante importante verificar o efeito da resolução da malha e sua respectiva influência na
solução em problemas CFD. Jamais confie em uma solução CFD a menos que você esteja convencido de
que esta solução já não possui mais dependência da malha em termos de uma tolerância aceitável.
Uma forma de avaliarmos o desvio em relação às diferentes soluções para diferentes malhas é esti-
pularmos uma maneira de calcular o desvio, ou erro. Seja ε alguma medida de concordância do erro na
solução numérica obtida em uma malha espećıfica, por exemplo. Para as soluções numéricas, Fig.(3.4), ε
é, neste caso, estimado como a raiz média quadrática das diferenças (RMQ) da diferença entre as soluções
numérica e exata.
ε =
√∑N
i=1(ui − uexata)2
N
É razoável esperar, então, que
ε ∝ ∆xn
Uma vez que o erro de truncamento em nosso esquema de discretização é O(∆x), o n = 1 (ou, n −→ 1
quando ∆x −→ 0). No entanto, embora seja sugerido que quanto menor o valor de ∆x menor o erro, isto
tem um limite. Se começarmos a reduzir indiscriminadamente o valor de ∆x estaremos acumulando erros
de arredondamentos e os resultados voltam a piorar.
3.6 Lidando com a Não Linearidade
A equação da quantidade de movimento (Navier-Stokes) para um fluido é não linear devido ao termo
convectivo,
(−→
V · ∇
)−→
V . Fenômenos, tais como a turbulência e reações qúımicas introduzem não lineari-
16 3 Métodos de Discretização
Figura 3.4. Variação do erro de concordância, ε, em função de ∆x.
dades adicionais. A natureza altamente não linear das equações governantes para um fluido tornam-se um
desafio na obtenção de soluções numéricas precisas para escoamentos complexos e de interesse prático.
É demonstrado o efeito da não linearidade ao adotar m = 2 em nosso exemplo 1D, Eq.(3.1):
du
dx
+ u2 = 0; 0 ≤ x ≤ 1; u(0) = 1
Uma aproximação de primeira ordem em diferenças finitas para esta equação, análoga aquela feita na
Eq.(3.4), é
ui − ui−1
∆x
+ u2i = 0 (3.8)
Esta é uma equação algébrica não linear com o termo u2i sendo a fonte da não linearidade.
A estratégia que é adotada para lidar com a não linearidade é linearizar as equações em torno de um
valor arbitrado da solução e iterar até que haja concordância da solução para um ńıvel especificado de
tolerância. Isto é ilustrado no exemplo seguinte. Sendo ugi o ”chute”para ui. Logo
∆ui = ui − ugi
Rearranjando e elevando ao quadrado, tem-se:
u2i = u
2
gi
+ 2ugi∆ui + (∆ui)
2
Assumindo que ∆ui ≪ ugi , pode-se negligenciar o termo ∆u2i , resultando
u2i ≃ u2gi + 2ugi∆ui = u
2
gi
+ 2ugi (ui − ugi)
Assim,
u2i ≃ 2ugiui − u2gi (3.9)
A aproximação por diferenças finitas, Eq.(3.8) após a linearização em ui, fica
ui − ui−1
∆x
+ 2ugiui − u2gi = 0 (3.10)
Uma vez que o erro devido a linearização é O(∆u2), tende a zero quando ug −→ u.
Para calcular a aproximação por diferenças finitas, Eq.(3.10), é preciso arbitrar valores de ug nos pontos
da malha. Comecemos com um ”chute inicial”na primeira iteração. Para cada iteração subsequente, o
valor u obtido na iteração anterior é usado como ”chute inicial”.
3.7 Solução Direta e Iterativa 17
Iteração 1: u
(1)
g = chute inical
Iteração 2: u
(2)
g = u(1)
...
Iteração l: u
(l)
g = u(l−1)
Os sub́ındices indicam o ńıvel da iteração. Continuaremos iterando até a convergência.
Este é, de forma simplificada, o processo utilizado em códigos CFD para linearizar termos não lineares
em equações de convervação, com os detalhes variando dependendo do código. Os pontos importantes a
serem lembrados são que a linearização é realizada em torno de uma suposição (chute inicial) e que essa
é necessária para promover as sucessivas aproximações que antecedem a convergência.
3.7 Solução Direta e Iterativa
Vimos que é preciso realizar iterações para lidar com os termos não lineares das equações governantes.
Porém, existem outros fatores que são importantes para executartais iterações em problemas práticos de
CFD.
Verifique, por exemplo, que o sistema de equações discretas resultante da aproximação por diferenças
finitas, Eq.(3.10), em nossa malha de quatro pontos é


1 0 0 0
−1 (1 + 2∆xug2) 0 0
0 −1 (1 + 2∆xug3) 0
0 0 −1 (1 + 2∆xug4)

×


u1
u2
u3
u4

 =


1
∆xu2g2
∆xu2g3
∆xu2g4

 (3.11)
Em um problema prático, normalmente teŕıamos milhões de pontos na malha (ou células) de modo
que cada dimensão da matriz apresentada, Eq.(3.11), seria da ordem de um milhão (com a maioria dos
elementos sendo zero). A inversão direta da matriz necessitaria uma quantidade absurdamente grande de
memória. Ao inves disso, a matriz é invertida usando um esquema iterativo como discutido a seguir.
Rearranjamos a aproximação por diferenças finitas, Eq.(3.10) no ponto da malha i de modo que ui é
expresso em termos dos valores na vizinhança dos pontos da malha e dos valores arbitrados:
ui =
ui−1 +∆xu
2
gi
1 + 2∆xugi
Se um valor vizinho na iteração corrente não está dispońıvel, então será usado um valor arbitrário. Vamos
dizer que iremos percorrer a nossa malha da direita para a esquerda, i.e. nós atualizaremos u4, então u3
e finalmente u2 em cada iteração. Na m
ésima iteração, u
(l)
i−1 não está dispońıvel enquanto u
m
i está sendo
atualizado e, então, nós utilizamos o valor arbitrário u
(l)
gi−1 em seu lugar:
u
(l)
i =
u
(l)
gi−1 +∆xu
(l)2
gi
1 + 2∆xu
(l)
gi
(3.12)
Uma vez que estamos utilizando valores arbitrários nos pontos vizinhos, efetivamente estamos obtendo
somente uma solução aproximada para a inversão da matriz, Eq.(3.11), durante cada iteração. No entanto,
neste processo, reduzimos de forma significativa a memória requerida para a inversão da matriz. Esta troca
é uma boa estratégia desde que ela não despenda grandes recursos na geração da matriz inversa à medida
que os elementos são continuamente refinados (corrigidos). Assim, nós combinamos a iteração para tratar
dos termos não lineares com a iteração para a inversão da matriz em um processo iterativo único. Mais
importante, a medida que as iterações convergem e ug −→ u, a solução aproximada para a inversão da
matriz tende a solução exata, desde que o erro introduzido pela utilização de ug ao invés de u na Eq.(3.12)
também tenda a zero.
Desta forma, a iteração serve a dois propósitos:
18 3 Métodos de Discretização
1. Permite uma inversão eficiente com significativa redução de memória requerida
2. É necessária para resolver equações não lineares
Em problemas de regime permanente, uma estratégia comum e eficiente usada nos códigos CFD é resolver
a forma não permanente das equações governantes e ”marchar”com a solução no tempo até que a mesma
venha a convergir para um valor permanente (constante). Neste caso, cada passo de tempo é efetivamente
uma iteração, com o valor arbitrário em qualquer ńıvel de tempo sendo dado pela solução do ńıvel de
tempo anterior.
3.8 Convergência Iterativa
Lembremos que quando ug −→ u, os erros de linearização e inversão da matriz tendem a zero. Então
continuamos o processo iterativo até que alguma medida selecionada da diferença entre ug e u, chamada
de reśıduo, é ”pequena o suficiente”. Nós podeŕıamos, por exemplo, definir o reśıduo R como o valor da
raiz média quadrática (RMS - Root Mean Square) da diferença entre u e ug na malha:
R ≡
√∑N
i=1 (ui − ugi)
2
N
É interessante, e útil, criar uma escala para ”medir”este reśıduo em termos do valor médio de u no
domı́nio. Um reśıduo ”sem escala”de, por exemplo 0, 01 seria relativamente pequeno se o valor médio de
u no domı́nio for 5000, mas seria relativamente grande se o valor médio for 0, 1. Estipular uma escala
assegura que o reśıduo é um valor ”relativo”, e não uma medida absoluta. Escalonando o reśıduo pela
divisão do valor médio de u temos:
R =


√∑N
i=1 (ui − ugi)
2
N


(
N
∑N
i=1 ui
)
=
√
N
∑N
i=1 (ui − ugi)
2
∑N
i=1 ui
(3.13)
Para o exemplo 1D, consideremos o valor inicial (arbitrário) em todos os pontos da malha como sendo
igual ao valor da condição de contorno esquerda, i.e. u
(1)
g = 1. Em cada iteração, nós atualizamos ug,
correndo a malha da direita para a esquerda, a sua vez u4, u3 e u2 utilizando a Eq.(3.12) e calculando o
reśıduo, Eq.(3.13). Terminaremos o processo iterativo quando o reśıduo estiver abaixo de 10−9 (esse valor
é denominado de critério de convergência) 1. A variação do reśıduo com iterações obtidas do MATLAB
é apresentada na Fig.(3.5). Note que a escala logaritmica é utilizada nas ordenadas. O processo iterativo
converge a um ńıvel menor que 10−9 em apenas 6 iterações. Em problemas mais complexos, muitas
iterações mais seriam necessárias para atigirmos a convergência.
A soluçaõ depois de 2, 4 e 6 iterações e a solução exata são apresentadas na Fig.(3.6). É simples
verificar que a solução exata é dada por
uexata =
1
x+ 1
As soluções para as iterações 4 e 6 são praticamente iguais, conforme o gráfico apresenta. Este é um
outro indicador que a solução convergiu. A solução convergida não concorda bem com a solução exata
porque foi usada uma malha grosseira para a qual o erro de truncamento é relativamente grande. O erro
de convergência iterativo, o qual é da ordem de 10−9, é consumido pelo erro de truncamento, que é da
ordem de 10−1. Portanto, levar o reśıduo para um valor abaixo da ordem de 10−9 quando o erro de
truncamento é da ordem de 10−1 é um desperd́ıcio computacional. Em uma solução eficiente, ambos os
erros seriam em ńıveis comparáveis. A concordância entre as soluções exatas e numéricas deve ser muito
melhor com um refinamento da malha, como no caso linear (para m = 1).
Alguns pontos a serem observados:
1 Pegue alguns minutos para implementar este procedimento em MATLAB e, com certeza, isto ajudará você a
ganhar alguma familiaridade com a mecânica de cálculo
3.8 Convergência Iterativa 19
Figura 3.5. Histórico da convergência para o problema do modelo não linear
Figura 3.6. Progressão da solução iterativa
1. Códigos diferentes utilizam definições para o reśıduo ligeiramente diferentes. Leia sempre os manuais
(em caso de códigos comerciais) para entender como os reśıduos são calculados.
2. No FLUENT, os reśıduos são calculados para cada equação de conservação.
3. O critério de convergência que você escolher para cada equação de conservação é dependente do
problema e do código. É uma boa ideia iniciar com os valores padrões dos códigos comerciais, e então,
podemos ajustar estes valores posteriormente.
20 3 Métodos de Discretização
3.9 Estabilidade Numérica
Em nosso exemplo 1D, as iterações convergiram bastante rápido com o reśıduo caindo abaixo do critério
de convergência em apenas 6 iterações. Em problemas mais complexos, as iterações convergem mais
lentamente e em alguns casos, podem até divergir. É interessante saber as condições sob as quais um
dado esquema numérico converge. Isto é determinado por realizar uma análise de estabilidade do esquema
numérico. Um método numérico é dito como estável quando o processo iterativo converge e dito instavel
quando diverge. Não é posśıvel realizar uma análise de estabilidade exata para as equações de Euler
ou Navier-Stokes. Como mencionado anteriormente, uma estratégia comum utilizada em códigos CFD
para problemas permanentes é resolver as equações dinâmicas e ”marchar”no tempo até a convergência
no estado permanente. A análise da estabilidade é normalmente realizada no contexto da ”marcha no
tempo”.
Enquanto utiliza-se a ”marcha no tempo”para um estado permanente, estamos somente interessados
em precisamente obter o comportamento assintótico para tempos grandes. Assim, devemos tomar um
passo de tempo, ∆t tão grande quanto posśıvel para alcançar o estado permanente no mı́nimo de passos de
tempo posśıvel.Noralmente existe um passo de tempo máximo, ∆tmax, permitido além do qual o esquema
numérico torna-se instável. Se ∆t > ∆tmax, os erros numéricos irão crescer exponencialmente no tempo,
provocando a divergência da solução. O valor de ∆tmax depende do esquema de discretização utilizado.
Existem duas classes de esquemas numéricos: expĺıcito e impĺıcito; com caracteŕısticas de estabilidade
bastante diferentes e que serão brevemente discutidas aqui.
3.9.1 Esquemas Expĺıcito e Impĺıcito
A diferença entre os esquemas expĺıcito e impĺıcito pode ser facilmente ilustrada por sua aplicação na
equação da onda
∂u
∂t
+ c
∂u
∂x
= 0
onde c é a velocidade da onda. Uma forma posśıvel de discretizar esta equação no ponto de malha i e
ńıvel de tempo n é
uni − u
n−1
i
∆t
+ c
un−1i − u
n−1
i−1
∆x
= O(∆t,∆x) (3.14)
O ponto crucial a ser observado aqui é que a derivada espacial é avaliada em n− 1. Resolvendo para uni
tem-se:
uni =
[
1−
(
c∆t
∆x
)]
un−1i +
(
c∆t
∆x
)
un−1i−1 (3.15)
Esta é uma expressão expĺıcita, pois o valor de uni em qualquer ponto da malha pode ser calculado
diretamente por ela sem a necessidade de nenhuma inversão de matriz. O esquema na Eq.(3.14) é conhecido
como esquema expĺıcito. Uma vez que uni em cada ponto pode ser atualizado independentemente, estes
esquemas são de fácil implementação computacional. Em contrapartida, verifica-se que este esquema é
estável somente quando
C ≡ c∆t
∆x
≤ 1
onde C é chamado de número de Courant. Esta condição é dita como Courant-Friedrichs-Lewy ou condição
CFL. Embora uma derivação detalhada da condição CFL através da análise de estabilidade esteja fora
do escopo desta discussão, pode ser visto que o coeficiente un−1i na Eq.(3.15) muda de sinal dependendo
se C > 1 ou C < 1, levando a um comportamento bastante diferente para cada caso. A condição CFL
coloca uma limitação bastante severa no ∆tmax.
Em um esquema impĺıcito, a o termo da derivada parcial é avaliado no ńıvel de tempo n:
3.9 Estabilidade Numérica 21
uni − u
n−1
i
∆t
+ c
uni − uni−1
∆x
= O(∆t,∆x) (3.16)
Neste caso, não podemos atualizar uni para cada ponto da malha independentemente. Ao inves disso,
precisamos resolver um sistema de equações algébricas para calcular os valores de todos os pontos da
malha simultaneamente. Pode ser demonstrado que este esquema é incondicionalmente estável de modo
que os erros numéricos serão amortecidos independentemente de quão grande for o passo de tempo.
Os limites da estabilidade discutidos aqui aplicam-se especificamente à equação da onda. Em geral,
esquemas expĺıcitos aplicados às equações de Euler ou Navier-Stokes possuem a mesma restrição que o
número de Courant necessita para ser menor que ou igual a um. Esquemas impĺıcitos não são incondi-
cionalmente estáveis para as equações de Euler ou Navier-Stokes uma vez que as não linearidades nas
equações governantes com frequência limitam a estabilidade. No entanto, elas permitem um número de
Courant muito maior do que esquemas expĺıcitos. O valor espećıfico do máximo número de Courant
permitido é dependente do problema.
Alguns pontos a observar:
1. Códigos CFD permitirão a você estipular o número de Courant (o qual é também chamado como
número CFL) quando utilizando um passo de tempo. Adotar grandes passos de tempo levará a uma
convergência rápida para o regime permanente, assim é vantajoso adotar um número de Courant o
maior posśıvel dentro dos limites da estabilidade.
2. Você pode encontrar que um número de Courant baixo é necessário durante o ińıcio do processo,
quando mudanças na solução são altamentes não lineares, mas ele pode ser aumentado a medida que
a solução progride.
3.9.2 Dicas para boa geração de geometria
Hoje em dia é bastante fácil criar geometrias e malhas para soluções CFD. No entanto nem todas as
malhas possuem a mesma probabilidade de um resultado de modelagem bem sucedido. Aqui são citadas
algumas dicas para evitar problemas com geometrias.
1. ”Super complicação”: A potência dos computadores que estão dispońıveis para soluções CFD significa
que o ńıvel de detalhe capturado pode ser bastante impressionante. No entanto, despenda algum
tempo para considerar o que, de fato, é necessário para uma solução CFD. Pequenas peças (porcas e
parafusos, clipes, flanges finos) que terão pequeno ou nenhum impacto sobre o resultado podem ser
”removidos”do problema - no fim do dia a geometria será representada por pequenos elementos planos
de malha, de qualquer jeito. Muitos dos problemas referentes ao consumo de tempo com geração de
malha são provocados por pequenas ”peças”(ou partes) da geometria.
2. Entidades grandes: Consideremos que cada entidade precisa ser descrita matematicamente com CAD,
então pode-se bem imaginar que superf́ıcies grandes começam a introduzir erros numéricos. Estes,
subsequentemente, se manifestam como problemas de malha e, por esta razão, a entidade deve ser
dividida em um número de partes menores dependendo da complexidade da superf́ıcie.
3. Superf́ıcies Muito Pequenas: estas superf́ıcies, as quais são parte de uma superf́ıcie maior não são
o problema, mas sim ”onde”elas surgem para formar uma borda de algum componente. Isto exi-
girá muitos pequenos elementos de malha para que a região seja considerada na solução. Por esta
razão (a menos que sejam cŕıticos para a predição do fenômeno) removê-los completamente pode ser
considerado.
4. Superf́ıcies com alta razão de aspecto: É semelhante à questão das ”grandes entidades”. As superf́ıcies
longas e finas requerem muitos elementos de malha para capturar o fenômeno e podem adicionar
pouco, se alguma coisa, à solução final. Estes devem ser removidos completamente caso não seja
crucial para descrever o problema estudado.
5. Ângulos ”rasos”: Onde os ângulos rasos são produzidos (por exemplo, um arco assintoticamente toca
uma linha reta) a malha terá problemas de construção neste canto. Por que não cortar o canto
suavemente de tal modo que o elemento de volume não tenda a zero?
6. Pouca prática na construção de geometrias: Construir um modelo de CAD onde as superf́ıcies se
sobrepõem ou não se encontram é pedir para ter problemas e deve ser evitado.
22 3 Métodos de Discretização
3.9.3 Considerações Sobre Problemas Numéricos
Como pode ser visto, introduzimos algumas formas simples de se propor um modelo numérico. Utilizamos,
como exemplo, um problema 1D. Na prática, encontramos muitos exemplos em que o processo iterativo
não converge ou converge letargicamente. Por isso, é útil conhecer a priori as condições sobre as quais um
dado esquema numérico converge. Isso é determinado efetuando uma análise de estabilidade do esquema
numérico. A análise de estabilidade de esquemas numéricos e as várias estratégias de estabilização usadas
para superar a não convergência são tópicos muito importantes. Você deverá estudá-los, caso deseje
avançar nos estudos em CFD. A análise foi feita para o problema fluidodinâmico, porém, de maneira
análoga os mesmos conceitos e procedimentos podem ser efetuados para o problema térmico, com a
equação da energia, por exemplo.
Muitos escoamentos (quase a maioria) são turbulentos, caracterizados por grandes flutuações quase
aleatórias na velocidade e na pressão tanto no espaço quanto no tempo. Em geral, escoamentos turbulentos
ocorrem no limite de números de Reynolds elevados. A maioria dos escoamentos não pode ser resolvida
em uma vasta faixa de tempo e comprimento, exceto com o uso de computadores potentes. Em vez disso,
podemos resolvê-los para uma média estat́ıstica das propriedades do escoamento. Para fazer isso, é preciso
aumentar as equações de governo com um modelo de turbulência. Infelizmente, não existe modelo único de
turbulência que seja uniformemente válido para todos os escoamentos. Assim, pacotes em CFD ajudam
a selecionarum modelo entre tantos existentes. Antes de usar um modelo de tubulência, você precisa
compreender as suas possibilidades e limitações para o tipo de escoamento que está sendo estudado.
O desenvolvimento de códigos em CFD é dif́ıcil e demanda bastante tempo. Por isso, a maioria dos
engenheiros usa pacotes comerciais, tais como FLUENT e STAR-CD.
Parte II
Tutoriais
25
26
,
27
28
29
30
31
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71
Parte III
Exerćıcios Propostos
4
Transferência de Calor Bidimensional
Esta terceira parte apresenta algumas propostas de exerćıcios para melhor desenvolvimento do apren-
dizado. São problemas simples, porém permeiam os conteúdos já vistos em Mecânica dos Fluidos e
Transferência de Calor, bem como a abordagem destes temas sob o ponto de vista numérico.
4.1 Problema 1:
O seguinte problema pode ser resolvido de várias formas: (1) o conjunto de equações pode ser linearizado e,
então, programado em alguma linguagem de programação de sua preferência; (2) utilizando-se de códigos
comerciais dispońıveis, tais como: FLUENT, MATLAB-PDETools ou TRANSCAL (Download).
Pela Fig.(4.1) pode-se observar que as faces norte e oeste da placa estão isoladas, enquanto que as
paredes sul e leste possuem temperaturas prescritas de 100◦C e 20◦C, respectivamente.
Obtenha o seguinte:
a) o campo de temperaturas para a placa no regime permanente
b) faça uma análise do balanço de energia variando de acordo com o refinamento de malha
c) em quanto tempo, considerando o regime transiente com condição inicial de 30◦C, a placa alcançaria
o regime permanente?
4.2 Problema 2:
O objeto de estudo, Fig.(4.2), é um bloco de magnésio sólido com condutividade térmica, k, de 156W/m.K,
massa espećıfica ρ de 1740kg/m3, e calor espećıfico Cp de 1024kJ/kg.K. O bloco possui seção transversal
quadrada com 1m de lado e profundidade de 1m, com um furo circular no centro do bloco de diâmetro de
0, 25m. O centro do bloco é preenchido com óleo na temperatura (T1) de 300
◦C e coeficiente de convecção
(h1) de 50W/m
2.K, está exposto ao ar ambiente à temperatura (T2) de 25
◦C e coeficiente de convecção
(h2) de 4W/m
2.K. Com o fator de forma S = 8, 59m para um segmento de bloco com orif́ıcio no centro.
a) Obter a solução anaĺıtica para as Temperaturas nas superf́ıcies 1 e 2;
b) Obter a taxa de calor e verificar balanço de energia;
c) Fazer a verificação numérica a partir da solução anaĺıtica.
http://www.sinmec.ufsc.br/site/softwares.php?id=2
76 4 Transferência de Calor Bidimensional
Figura 4.1. Placa 2D - Problema 1
Figura 4.2. Bloco 2D - Problema 2
5
Escoamento Externo sobre Cilindro Aquecido
De forma semelhante ao Tutorial para Escoamento Externo, resolvido anteriormente, a ideia aqui será
fazer uma avaliação para diferentes malhas numéricas na avaliação termofluidodinâmica do problema.
Para tanto, uma geometria um pouco diferente deverá ser constrúıda de forma a se obter um layout
de malha mais adequado para a avaliação do problema. A geometria e layout de malha sugeridos são
apresentadas nas Figs.(5.1) e (5.2).
Figura 5.1. Geometria e Layout de Malha
Figura 5.2. Malha sugerida
As condições f́ısicas do problema são as mesmas utilizadas no tutorial para escoamento externo,
apresentado anteriormente.
Tarefas propostas:
a) Faça três refinamentos para a geometria apresentada na Fig.(5.1), de acordo com a Tab.(5.1).
78 5 Escoamento Externo sobre Cilindro Aquecido
b) Para cada um dos refinamentos avalie os resultados de coeficiente de arrasto, CD, e Número de Nusselt,
Nu. Comparando com os resultados da literatura.
c) Apresenta os campos de Temperatura, Velocidade e Pressão para o resultado convergido permanente.
d) Repita a solução do problema a partir da teoria da Similaridade, onde você estipula as propriedades
do fluido garantindo somente os adimensionais. Compare, e discuta, com os resultados anteriores,
inclusive em termos de tempo computacional.
Tabela 5.1. Refinamentos Sugeridos
Linha Malha Média Malha Grosseira Malha Fina
A Interval Count: 36 Interval Count: 24, Interval Count: 54,
Double First Length: 0.5 Double First Length: 0.7 Double First Length: 0.3
B Interval Count: 36, Interval Count: 24, Interval Count: 54,
Double First Length: 0.2 Double First Length: 0.3 Double First Length: 0.12
C Interval Count: 36, Interval Count: 20, Interval Count: 45,
First Length: 0.1 First Length: 0.2 First Length: 0.09
D Interval Count: 18 Interval Count: 12 Interval Count: 27
E Interval Count: 90 Interval Count: 60 Interval Count: 135
First Length: 0.1 First Length: 0.15 First Length: 0.07
F Interval Count: 36 Interval Count: 24 Interval Count: 54
G Interval Count: 72 Interval Count: 48 Interval Count: 108
H Interval Count: 30 Interval Count: 20 Interval Count: 45
I Interval Count: 36 Interval Count: 24 Interval Count: 54
Double First Length: 0.05 Double First Length: 0.07 Double First Length: 0.03
Referências
1. Schlichting, H., Boundary-Layer Theory. 7a Ed. Mc-Graw-Hill. New York. 1979.
2. Fluent, Fluent Incorporated, Centerra Resources Park, 10 Cavendish Court, Lebanon, NH 03766
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3. Chapra, S.C., Canale, R. P., Métodos Numéricos para Engenharia, 5a Ed., McGraw-Hill, 2005.
4. Epperson, J. F., An Introduction to Numerical Methods and Analysis. Wiley. New York, 2007.
5. Maliska, C. R., Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional, 2a Ed. LTC, 2004.
6. Okiishi, Young, Munson (2000). Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. 4ª Ed. Edgar Blucher.
7. Fox, Pritchard, McDonald (2014). Introdução à Mecânica dos Fluidos. Ed. LTC. 8ª Ed.
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9. Bergman, T. L., Lavine, A. S., Incropera, F., Dewitt, D. P., Fundamentos de Transferência de Calor e de
Massa. 7a Ed. LTC, 2014.
	Parte I Conceitos & Definições
	Aplicações da CFD
	Necessidade e Estratégia da CFD
	CFD utilizando uma Planilha
	Métodos de Discretização
	Discretização Usando o Método das Diferenças Finitas - MDF
	Discretização Usando o Método dos Volumes Finitos
	Montagem do Sistema Discreto e Aplicação de Condições de Contorno
	Solução do Sistema Discreto
	Convergência de Malha
	Lidando com a Não Linearidade
	Solução Direta e Iterativa
	Convergência Iterativa
	Estabilidade Numérica
	Esquemas Explícito e Implícito
	Dicas para boa geração de geometria
	Considerações Sobre Problemas Numéricos
	Parte II Tutoriais
	Parte III Exercícios Propostos
	Transferência de Calor Bidimensional
	Problema 1:
	Problema 2:
	Escoamento Externo sobre Cilindro Aquecido
	Referências