1º EE

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Universidade Federal de Pernambuco
1o Exercício Escolar de Cálculo 2
27 de março de 2019
Aluno: Turma:
Gabarito
Questão 1. (2.0 pontos) Considere a função
f(x, y) =
xy3
x6 + y2
.
a) Qual o domínio da função?
b) A função f(x, y) é contínua em todo o R2? Caso não seja, é possível estender tal função
à uma função contínua em todo R2? Justifique.
Resp.: (a) Precisamos que x6 + y2 6= 0, o que implica (x, y) 6= (0, 0). Logo,
Df =
{
(x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0)
}
.
(b) A função não é contínua na origem, já que funções racionais são contínuas em seus domínios
e tal ponto não faz parte do mesmo. Agora, note que
y2 ≤ y2 + x6 ⇒ y
2
x6 + y2
≤ 1⇒
∣∣∣∣ y2x6 + y2
∣∣∣∣ ≤ 1.
Ou seja, a função y
2
x6+y2
≤ 1 é limitada. Por outro lado, sabemos que
lim
(x,y)→(0,0)
xy = 0.
Logo,
lim
(x,y)→(0,0)
xy3
x6 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
(xy)
y2
x6 + y2
= 0.
Sendo assim, a função
F (x, y) =

xy3
x6 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
é contínua em todo R2.
Questão 2. (2.0 pontos) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x, y) = ln(x+ 2y) + exy.
Resp.: Temos que
fx =
1
x+ 2y
+ yexy,
fy =
2
x+ 2y
+ xexy,
fxx = −
1
(x+ 2y)2
+ y2exy,
fyy = −
4
(x+ 2y)2
+ x2exy,
fxy = −
2
(x+ 2y)2
+ exy(1 + xy),
fyx = −
2
(x+ 2y)2
+ exy(1 + xy).
Questão 3. (3.0 pontos) Considere a função
f(x, y) = y + cos(x/y).
a) Determine a equação do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P = (0, 3, f(0, 3)).
b) Determine uma equação da reta normal ao plano tangente do item anterior no ponto P .
c) Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de f(x, y) se x = 0.3 e
y = 2.7.
Resp.: (a) Temos
fx = −
sin(x/y)
y
⇒ fx(0, 3) = 0,
fy = 1 +
x sin(x/y)
y2
⇒ fy(0, 3) = 1.
Sendo assim, a equação do plano tangente desejado é dada por
z − 4 = y − 3⇒ y − z + 1 = 0.
(b) Temos que a reta normal ao plano em P é a reta que passa pelo ponto (0, 3, 4) e tem vetor
diretor igual ao vetor normal do plano. Sendo assim, a reta é dada por
r : (x, y, z) = (0, 3, 4) + λ(0, 1,−1).
(c) A linearização de f(x, y) próximo a (0, 3) é dada por
L(x, y) = y + 1.
Logo, f(0.3, 2.7) ≈ 3.7.
Questão 4. (3.0 pontos) A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida
pela equação ez = xyz.
a) Calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
2
b) Se x = 1 + 3v e y = 2u+ v, determine
∂z
∂u
e
∂z
∂v
. Sua resposta deve depender apenas de
u, v e z.
Resp.: (a) Derivando implicitamente com relação à x,
ez
∂z
∂x
= yz + xy
∂z
∂x
⇒ ∂z
∂x
=
yz
ez − xy
.
Por sua vez, derivando implicitamente com relação à y,
ez
∂z
∂y
= xz + xy
∂z
∂y
⇒ ∂z
∂y
=
xz
ez − xy
(b) Pela regra da cadeia,
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
,
=
yz
ez − xy
· 0 + xz
ez − xy
· 2,
=
2(1 + 3v)z
ez − (1 + 3v)(2u+ v)
.
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
,
=
yz
ez − xy
· 3 + xz
ez − xy
· 1,
=
6uz + 3vz
ez − (1 + 3v)(2u+ v)
+
(1 + 3v)z
ez − (1 + 3v)(2u+ v)
,
=
z(6u+ 6v + 1)
ez − (1 + 3v)(2u+ v)
.
3