Tipos de matrizes 01 de junho de 2021 2 série A e B

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Introdução à Matrizes
2ª Série A/B
Professor JP Gomes
Curiosidades sobre as matrizes
• As matrizes nos ajudam bastante em vários direcionamentos 
de assuntos e estudos que fazemos no dia a dia, as aplicações 
dessas "tabelas" nos auxiliam por exemplo no ensino da 
matemática aplicada a informática. As usuais transformações 
de tabelas que usamos como instrumento de estudo das 
matrizes podem ser feitas através de estudos realizados nos 
campos da economia, engenharia, matemática, física, 
informática,....
• Na informática temos os exemplos clássicos de matrizes, em 
programas onde elas aparecem no auxilio dos cálculos 
matemáticos, editores de imagem, o próprio teclado onde sua 
configuração é realizada por um sistema de matrizes, entre 
outros tantos.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Tipos de Matrizes
TIPOS DE MATRIZES
ALGUMAS MATRIZES APRESENTAM
CERTAS CARACTERÍSTICAS QUE FAZEM
COM QUE RECEBAM NOMES ESPECIAIS.
VAMOS INVESTIGAR ESSAS MATRIZES?
VOCÊ É CAPAZ DE DESCOBRIR ESSAS 
CARACTERÍSTICAS SOZINHO E PRODUZIR 
NOMES ESPECIAIS PARA AS MATRIZES?
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Tipos de Matrizes
OBSERVE AS MATRIZES ABAIXO:
1 1 
4 3
5 10 
-3 7
25 0 
-32 14
0 12 -6
15 1 5
5 4 -8 
1 2 11
4 -4 7
-5 8 0
A= B= C=
D= E=
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O QUE PODEMOS OBSERVAR QUANTO AO 
NÚMERO DE LINHAS E COLUNAS?
As matrizes A, B e C têm 2 linhas e 2
colunas, ou seja, o número de linhas é
igual ao de colunas.
RESPOSTA:
As matrizes D e E têm 3 linhas e 3 colunas,
além do que também possuem o número
de linhas igual ao de colunas.
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QUAL A ORDEM DAS MATRIZES APRESENTADAS?
As matrizes A, B e C são de ordem 2 X 2, e
Podemos simplificar dizendo que as 
matrizes A, B e C são de ordem 2, e 
as matrizes D e E são de ordem 3.
as matrizes D e E são de ordem 3 X 3.
RESPOSTA:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Tipos de Matrizes
1 1 
4 3
5 10 
-3 7
25 0 
-32 14
0 12 -6
15 1 5
5 4 -8 
1 2 11
4 -4 7
-5 8 0
A= B= C=
D= E=
AS MATRIZES ESTUDAS LEMBRAM ALGUMA FIGURA PLANA?
QUADRADOS
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GENERALIZANDO, TEMOS:
Uma matriz A de ordem m x n é
denominada MATRIZ QUADRADA quando
O NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO DE
COLUNAS, isto é, m = n. Nesse caso,
dizemos que a matriz A é do tipo n x n, ou
seja, de ordem n, e é indicada por An.
As matrizes apresentadas são 
denominadas MATRIZES QUADRADAS.
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Assim como os quadrados, as matrizes
quadradas também possuem diagonais.
Considere a matriz genérica A de ordem 3:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
DIAGONAL PRINCIPAL
DIAGONAL SECUNDÁRIA
Quais são as 
diagonais dessa 
matriz?
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CONCLUSÃO:
Uma matriz 
quadrada de ordem 
n é denominada 
MATRIZ 
TRIANGULAR, 
quando todos os 
elementos ACIMA 
OU ABAIXO da 
diagonal principal 
são NULOS.
A matriz triangular pode
ser denominada MATRIZ
TRIANGULAR SUPERIOR
ou MATRIZ TRIANGULAR
INFERIOR.
Nesse tipo de matriz, 
aij = 0 para i<j ou 
aij = 0 para i>j.
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4 5
0 3
8 -4 3 2
0 1 5 4
0 0 6 3
0 0 0 2
SÃO MATRIZES 
TRIANGULARES 
SUPERIORES.
NA SUA OPINIÃO, POR QUE 
ELAS RECEBEM ESSA 
DENOMINAÇÃO?
RESPOSTA CORRETA:
PORQUE OS 
ELEMENTOS NULOS 
ESTÃO ABAIXO DA 
DIAGONAL 
PRINCIPAL.
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8 0 0
5 1 0
3 2 7
8 0 0 0 0
3 1 0 0 0
4 1 6 0 0
7 5 9 2 0
4 7 3 2 4
SÃO MATRIZES 
TRIANGULARES 
INFERIORES.
E AGORA, POR QUE ELAS 
RECEBEM ESSA 
DENOMINAÇÃO?
RESPOSTA CORRETA:
PORQUE OS 
ELEMENTOS NULOS 
ESTÃO ACIMA DA 
DIAGONAL 
PRINCIPAL.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
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OBSERVE AS MATRIZES QUADRADAS.
4 0 0
0 1 0
0 0 3
6 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5 0
0 0 0 2
O QUE ELAS POSSUEM DE ESPECIAL?
RESPOSTA: Os elementos 
ACIMA E ABAIXO da diagonal 
principal são todos nulos, e...
...estão dispostos na forma de 
triângulo, como na Matriz 
Triangular. 
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Percebe-se que as matrizes dadas deixam
em evidência os elementos da
DIAGONAL principal.
CONCLUSÃO:
Toda matriz quadrada de ordem n,
em que os elementos ACIMA E
ABAIXO da diagonal principal são
nulos, é denominada...
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MATRIZ DIAGONAL!!!!
Podemos observar ainda que a MATRIZ
DIAGONAL é um caso particular da
MATRIZ TRIANGULAR, por apresentar
algumas características semelhantes :
É uma matriz quadrada e os elementos
nulos acima e abaixo da diagonal
principal têm a forma de triângulo.
Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j.
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O que as matrizes quadradas abaixo
têm de curioso?
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0
0 1
Os elementos da diagonal principal são
todos iguais a 1, e os demais, iguais a 0.
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A matriz quadrada de ordem n, em que
todos os elementos da diagonal
principal são iguais a 1 e os demais
elementos são nulos, é denominada
MATRIZ IDENTIDADE.
Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j
e aij = 1 para i = j
Indicamos uma matriz identidade de
ordem n por In.
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EXEMPLOS:
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
MATRIZ IDENTIDADE de ordem 2: I2I2 =
I3 = MATRIZ IDENTIDADE de ordem 3: I3
A matriz identidade é uma caso particular de 
matriz diagonal.
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Utilizando o diagrama de Venn, podemos relacionar as matrizes
quadradas (Q), triangulares (T), diagonais (D) e identidades (I),
assim:
Note que toda matriz identidade, diagonal e triangular é 
uma matriz quadrada.
Q
T
D
I
Todos os elementos 
ACIMA E ABAIXO da 
diagonal principal 
são nulos e os que a 
compõem são 
iguais a 1.
Todos os elementos 
ACIMA E ABAIXO da 
diagonal principal 
são nulos.
Todos os 
elementos ACIMA 
OU ABAIXO da 
diagonal principal 
são nulos.
O NÚMERO DE
LINHAS É IGUAL AO
NÚMERO DE
COLUNAS.
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Das matrizes apresentadas, quais
você denominaria MATRIZ NULA?
Por quê?
Observe as matrizes atentamente.
0 0
0 0
1 2A= B= C= D=
0 0 0
0 0 0
1 2
4 5
7 8
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RESPOSTA PROVÁVEL :
As matrizes A e C são nulas, pois
todos os seus elementos são iguais a
zero, ou seja , NULOS:
PARABÉNS!!!!!!
É ISSO MESMO!!!
0 0
0 0
A= C=
0 0 0
0 0 0
Observe que a matriz A é
quadrada, e a matriz C não é.
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Concluindo:
Denominamos MATRIZ NULA aquela
que possui todos os elementos
iguais a zero. E tem mais...
...nesse tipo de
matriz, aij = 0 para
qualquer i e j, com
1 ≤ i ≤ m e i ≤ j ≤ n.
Indicamos uma matriz
nula de ordem m x n
por 0mxm ou, se a
matriz nula for
quadrada, por 0n.
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0 0
0 002 =02x3 =
0 0 0
0 0 0
EXEMPLOS:
MATRIZ NULA de 
ordem 2 x 3.
MATRIZ NULA de 
ordem 2.
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Seguindo a sua intuição, separe as 
matrizes abaixo em dois grupos: MATRIZ 
LINHA E MATRIZ COLUNA. Em seguida, 
justifique sua resposta.
2 4 0 -3
-3 2 7 0 64 0 -1
2
5
-1
2
15
1
-4
3
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
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RESPOSTA ESPERADA:
MATRIZ LINHA MATRIZ COLUNA
2 4 0 -3
-3 2 7 0 6
4 0 -1 2
5
-1
2
15
1
-4
3
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
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JUSTIFICATIVA:
Toda matriz que possui apenas uma
linha ou que possui uma coluna
recebe, respectivamente, o nome de
MATRIZ LINHA e MATRIZ COLUNA.
PARABÉNS!!!!! MUITO BEM!!!!
Sendo assim, de modo geral, temos:
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Uma matriz do tipo 1 x n é chamada 
MATRIZ LINHA.
Uma matriz do tipo m x 1 é chamada 
MATRIZ COLUNA.2 4 0 -3 Matriz linha de ordem 1 x 4
1
-4
3
Matriz coluna de ordem 3 x 1
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ATIVIDADES
1. Dada a matriz
Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
2 0 1 10
3 6 0 -2
1 -4 -1 3
-5 1 0 -6
A=
, calcule a diferença entre a soma dos elementos da diagonal principal e a dos
elementos da diagonal secundária.
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Tipos de Matrizes
Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
3. O traço de uma matriz quadrada é igual à soma dos elementos da diagonal
principal. Calcule o traço da matriz:
a) A=
5 12
8 -9
b) B=
-1 0 2
4 5 -2
8 9 3
2. Classifique cada matriz em quadrada, triangular, diagonal, identidade, nula,
linha ou coluna
a) A= 0 1 0 1 b) B=
0 0 0
0 0 0
c) C=
d) D=
3 -1
0 3
f) F=
0
1
0
0
e) E=
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Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
4.Julgue cada afirmação verdadeira (V) ou falsa (F).
a) Toda matriz quadrada nula é triangular.
b) A matriz identidade é um exemplo de matriz diagonal.
c) Toda matriz quadrada é triangular superior.
d) Quando pelo menos um elemento da matriz é igual a 0, então a 
matriz é denominada nula.
e) O traço da matriz identidade é numericamente igual a sua 
ordem.