Revisao de Matrizes, Algebra Linear

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NOTAS DE AULA 
ÁLGEBRA LINEAR E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF.: DEISE M. C. MILBRADT 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 Primeiramente, vamos definir as operações aritméticas de matrizes e estabelecer 
algumas de suas propriedades algébricas. Matrizes estão entre as ferramentas mais poderosas 
da matemática. Para utilizar eficientemente as matrizes, precisamos conhecer a aritmética 
matricial. 
 
1 – MATRIZES 
 
MATRIZES 
 Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas e 
colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Nesta aula vamos estudar a 
teoria das matrizes dando algumas das definições fundamentais do assunto e vendo como as 
matrizes podem ser combinadas através de operações aritméticas de adição, subtração e 
multiplicação. 
 
Definição (01): Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Os números neste 
agrupamento são chamados entradas da matriz. 
 
Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a peso, idade e altura de um grupo de 5 
pessoas, podemos dispô-los na tabela: 
 
 Peso (kg) Idade (anos) Altura (cm) 
Pessoa 1 58 23 160 
Pessoa 2 60 28 168 
Pessoa 3 57 21 167 
Pessoa 4 48 16 153 
Pessoa 5 63 25 170 
 
Se nós suprirmos os títulos da tabela acima, ficaremos com a seguinte matriz: 
















1702563
1531648
1672157
1682860
1602358
 
 
Observação: Note que, para um problema que apresenta um grande número de observações e 
de variáveis, esta disposição ordenada dos dados em forma matricial torna-se prática e 
indispensável. 
 
 Outros exemplos de matrizes e formas de representação: 
 
   5,
2
7
1
,4165,
024
351
















. 
(1) 
 As entradas de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou até 
outras matrizes. Neste contexto serão somente números reais. 
 
 Representamos uma mátria A de m linhas e n colunas por: 
mxnij
mnmm
n
n
mxn a
aaa
aaa
aaa
AA ][
21
22221
11211


















. 
 
Notação: Usaremos letras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotar 
quantidades numéricas ou os elementos da matriz. Assim, 
 

















fe
dc
ba
BouA
14
53
. 
 
A estas quantidades numéricas chamamos de escalares. A entrada que ocorre na i-
ésima linha e j-ésima coluna de uma matriz A é denotada por aij. Por exemplo, para a matriz A 
acima, temos 
a11=3, a12=5, a21=4, a22=1. 
 
 
Definição (02): Se a matriz A é de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente Amxn. 
Assim, se a matriz A tiver 3 linhas e 4 colunas, escreve-se simplesmente A3x4 e diz-se matriz 
de ordem 3 por 4. 
 
 
1.2 –Tipos de Matrizes 
 
Nesta seção veremos a definição de alguns tipos de matrizes que aparecem 
frequentemente na prática e, por isso, recebem nomes especiais. 
 
 Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de 
colunas (m=n). 



















43
21
610
853
272
2233 xx BeA . 
 
 Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do número de 
colunas (mn). 
 




















491
302
40
29
13
3223 xx BeA 
(2) 
 Matriz Nula é aquela em que aij=0, para todo i e j. 
 






















00
00
00
000
000
000
2333 xx BeA . 
 
 
 
 
 
 Matriz-Coluna é aquela que possui uma única coluna (n=1). 
 

























3
8
5
0
4
5
1413 xx BeaA . 
 
 Matriz Linha é aquela que possui uma única linha (m=1). 
  


 
5
22017352 3151 xx BeA  . 
 
 Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m=n) onde aij=0, para i  j, isto é, os 
elementos que não estão na diagonal principal são nulos. 
 



















30
04
000
080
003
2233 xx BeA . 
 
 Matriz Identidade Quadrada é aquela em que aij=1 se i=j e aij=0 se i  j. 
 


















10
01
100
010
001
23 IeI . 
 
 Matriz Simétrica é aquela onde m=n e aij=aji. 


















100
09
307
034
740
2233 xx BeA . 
 
 Matriz Oposta é a matriz –A que somada com A dá como resultado uma 
matriz nula. 
(3) 













 

04
31
04
31
2222 xx AA . 
 
 
 Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos 
abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m=n e aij=0 para i>j. 
 


















100
79
300
070
943
2233 xx BeA . 
 
 Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos 
acima da diagonal principal são nulos, isto é, m=n e aij=0 para i<j. 


















108
09
924
073
003
2233 xx BeA . 
 
 Matriz Transposta de uma matriz A de ordem mxn, é a matriz AT, de ordem 
nxm, que se obtém da matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo 
índice. 

















63
52
41
,
654
321
2332 x
T
x AtranspostaaA . 
Propriedades da Matriz Transposta: 
1) (A+B)T = AT + BT 
2) (k A)T = k AT (k ) 
3) (AT)T = A 
4) (AB)T = BT AT. 
 
1.3 - Operações com Matrizes 
 
Da utilização de matrizes surge a necessidade de desenvolvermos uma aritmética de 
matrizes, onde as matrizes podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas. 
 
 1) IGUALDADE: 
 
 Definição: Duas matrizes são definidas como sendo iguais se possuem o mesmo 
tamanho e suas entradas correspondentes são iguais. Ou seja, se Amxn e Brxs tem o mesmo 
tamanho (m=r e n=s), então A=B, se, e somente se, aij=bij para quaisquer i e j. 
 
Exemplo: Sejam 


















75
23
575
2
,
5
423
223232 xxx Ce
yx
B
ba
A . 
Se a=5, b=7, x=3 e y=4, então A=B, caso contrário A e B não são iguais. A e C são 
diferentes para todo a e b, pois possuem tamanhos diferentes. 
(4) 
2) SOMA E DIFERENÇA 
 
Definição: Se A e B são matrizes do mesmo tamanho, então a soma A+B é a matriz 
obtida somando as entradas de B às entradas correspondentes de A, e a diferença A-B é a 
matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A. Matrizes de 
tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtraídas. 
Exemplo: Sejam as matrizes 















03
72
43
13
2222 xx BeA , 























46
65
03
72
43
13
BA 





 
















40
81
03
72
43
13
BA . 
3) MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 
 
Definição: Se A é uma matriz e k é um escalar, então o produto kA é a matriz obtida 
pela multiplicação de cada entrada da matriz A por k. A matriz kA é chamada múltiplo escalar 
de A. 
 
Exemplo: Sendo 















313
131
30
14
BeA temos que 
















313
131
)1(
90
312
3 BBeA . 
 
4) MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR MATRIZ 
 
Para multiplicar matrizes, multiplica-se linhas da primeira matriz por colunas da 
segunda matriz. A multiplicação de matriz por matriz só é possível se o número de colunas 
da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz, e a matriz resultante 
terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda matriz. 
Neste caso, transforma-se a 1ª matriz em vetores linha e a segunda em vetores coluna 
efetuando a multiplicação interna de vetores. 
Exemplo: Sendo 















 

49
78
65
340
632
BeA , temos que 






























 

4059
1540
1228027320
242112542410
49
78
65
.
340
632
AB . 
1.4 -Propriedades das Operações com Matrizes 
1- Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn e números k1 e k2, valem as 
seguintes propriedades: 
 A + B = B + A (comutativa) 
 A + (B+C) = (A+B)+C (associativa) 
 A+0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn 
(5) 
 k1(A+B)= k1A + k1B 
 (k1 +k2)A = k1A + k2A 
 0.A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, 
teremos a matriz nula 
 k1(k2A) = (k1.k2)A. 
 
2- Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta, isto é, se e 
somente se AT=A. 
3- (AT)T = A, a transposta da transposta de uma matriz é a ela mesma. 
4- (A+B)T = AT + BT, a transposta da soma é a soma das transpostas. 
5- (kA)T = kAT, onde k é qualquer escalar. 
6- Em geral, AB  BA, podendo um dos membros estar definido e outro não. 
7- Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes propriedades são válidas: 
 AI = IA = A, onde I é a matriz identidade 
 A(B+C) = AB +AC e (A+B)C = AC +BC (distributiva) 
 (AB)C = A(BC) (associativa) 
 (AB)T = BTAT , nesta ordem 
 0.A = A.0 = 0, onde 0 é a matriz nula. 
 
Exercícios: 
1) Montar as matrizes de acordo com as especificações dadas: 
a) ordem 2x3 e 






jisejia
jisejia
ij
ij
,
2
,23
 
b) ordem 4x3 e 











jise
j
ia
jisejia
jisejia
ij
ij
ij
,
,
3
,2
 
 
2) Se 









221
102
413
A e 










142
113
201
B 
Calcule: 
a) 2A b) A + B 
c) 2A – 3B d) (2A)T – (3B)T 
e) AB f) ATBT 
 
3) Se 



 532
614A e 




 422
031B 
verifique que : a) 3(A+B)=3A+3B 
 b) (A+B)T=AT+BT 
 
4) Sendo A4x5, B4x5, C5x2, D4x2 e E5x4, determine quais das seguintes equações 
matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz 
resultante: 
(6) 
a) AB b) AC+D c) AB+B d) (AT+E)D e) AE - BCDT 
 
5) Seja 







012
2 2
x
x
A . Se A=AT, então quanto vale x? 
6)Se 






01
84
B , ache A de forma que B2=A. 
 
 
Respostas: 
1) a) 




 

032/5
312/3
A , b) 











 

3/424
42/33
13/82
213/4
B 
2) a) 











442
204
826
2A , b) 












323
215
614
BA , c) 












1164
135
223
32 BA , d) 














112
1632
453
)3()2( TT bA , e) 














661
340
11158
AB , f) 














698
415
15105
TT BA . 
3) a) 





3150
181215
, b) 










16
54
05
. 
4) a) não está definida, b) está definida: ordem 4x2, c) não está definida, d) está definida: 
ordem 5x2, e) está definida: ordem 4x4. 
 
5) x=1; 6) 






84
3224
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7)