Matematica ITA - Vol 1

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I
1
Carlos Â. Gomes
José Maria Gomes
Volume 1
Produtos Notáveis, 
Fatorações e Desigualdades
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o V
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Tópicos de Matemática
IME-ITA-Olimpíadas
I
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Olimpíadas - ITA - IME
Volume 01
Produtos Notáveis, Fatorações e Desigualdades
Carlos A. Gomes 
José Maria Gomes
Os autores
Carlos A. Gomes
José Maria Gomes
O professor José Maria Gomes é Licenciado em Matemática pela 
UFRN e possui uma larga experiência em turmas de pré-vestibulares 
tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nivel de ensino, 
em Natal/RN, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e 
Curso, CIC, Maristela, entre outras. Nos últimos tempos têm se dedicado 
as olimpíadas de Matemática, treinando, orientando alunos e elaborando 
materiais didáticos para este propósito.
O professor Carlos A. Gomes é bacharel e mestrando em 
Matemática pela UFRN, na área de probabilidade, além de vários cursos 
realizados em várias instituições de ensino superior no Brasil, como UFPE, 
UFPB, IMPA-RJ, é professor do DMAT-UFRN, além a sua larga 
experiência em turmas de cursinhos pré-vestibulares nas disciplinas de 
Física e Matemática tendo passado pelas mais reconhecidas instituições 
deste nível de ensino ,em Natal/RN e João Pessoa/PB, tais como Colégio 
e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CEI, Hipócrates Colégio e 
Curso, Objetivo vestibulares, Anglo vestibulares, entre outras. É membro 
da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática, é autor de vários artigos 
sobre Matemática elementar em publicações especializadas como a RPM 
e Eureka e nos últimos anos tem se dedicado e se especializado nas 
olimpíadas de Matemática.
Apresentação
Volume 01 - produtos notáveis, fatorações e desigualdades.
Volume 02 - indução matemática e teoria elementar dos números .
Volume 03 - geometria e trigometria.
Volume 04 - funções, equações funcionais .sequências e séries.
Volume 05 - combinatòria e probabilidade.
Volume 06 - números complexos, polinõmios e equações algébricas.
Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o 
crescimento do número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas 
excepcionais escolas superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é 
fato o enorme crescimento do movimento das olimpíadas de Matemática 
em todo o mundo e em particular no Brasil.
A SBM - Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979 
a OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o 
governo federal lançou a OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática 
das Escolas Públicas, programa que teve na sua última versão a 
participação de mais de 17 milhões de alunos nos quatro cantos do nosso 
pais. Neste contexto é bastante natural que surja a necessidade da 
elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que sirvam 
de apoio para a preparação dos alunos para estas competições.
Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem 
trazendo artigos, provas anteriores e problemas propostos resolvidos. 
Além disso, foi colocado no ar o excelente site da OBMEP, entre muitos 
outros, onde são encontrados bancos de questões, livros, provas, enfim, 
muitos materiais de excelente qualidade que com certeza têm auxiliado 
muitos alunos nas suas preparações para as competições acima citadas.
Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para 
esse tema vem crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso 
pais. Dentro deste panorama, nós autores resolvemos criar a coleção 
"•TÓPICOS DE MATEMÁTICA - OLIMPÍADAS - ITA - IME” que consiste 
numa coleção de livros com resumos teóricos que apresentam um nível 
adequado e muitos problemas resolvidos que foram compilados ao longo 
de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos livros consultados 
pelos autores.
A idéia central do nosso trabalho é produzir uma obra que 
concentre num só lugar vários problemas clássicos e interessantes e suas 
respectivas soluções detalhadas, um material precioso ao qual um aluno 
iniciante de outra forma só teria acesso caso consultasse várias fontes 
relacionadas. Nossa obra surge, portanto, como uma excelente ferramenta 
que permite ao aluno iniciante obter um grande salto de conhecimento 
num curto intervalo de tempo.
Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber:
Natal/RN, 04 de Fevereiro de 2010
Carlos A. Gomes.
José Maria Gomes.
Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito, 
diretor da editora Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e 
aproveitar a oportunidade de parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar 
novas obras quanto por reeditar obras antigas cujo acesso estava cada 
vez mais raras para a presente e a futura geração atual de alunos com 
aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que procuram obter vagas 
para as respeitadas instituições militares onde se destacam o IME e o ITA.
Os leitores que quiserem fazer contato com os autores 
para criticas, sugestões bem para comunicar alguma errata 
eventualmente encontrada na presente obra, podem fazê-lo pelo email 
cgomesmat@yahoo.com.br
mailto:cgomesmat@yahoo.com.br
Prefácio
Prof. Renato Brito
Fortaleza, 09 de Fevereiro de 2010
A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro 
mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de 
preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas 
de Ciências exatas nacionais e internacionais.
Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes 
e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros 
com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto 
de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo.
Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a 
presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas 
clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final 
do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é 
permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores 
autodidatas.
Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na 
presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de 
problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas 
elementares como fatoração, produtos notáveis e desigualdade das 
médias. É de tirar o fôlego a cada página I
Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais 
uma vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e 
da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e 
professores em todo Brasil.
Dedicatória
Dedicamos este trabalho a dois grandes amigos e colaboradores 
Os professores Benedito Tadeu V. Freire e Paulo de Sousa Sobrinho 
(Paulinho)
Carlos A. Gomes
José Maria Gomes
índice
Capitulo 1. Produtos notáveis e fatoração 13
Capitulo 2. Desigualdades elementares 27
Capitulo 3. Resoluções - Produtos notáveis e fatoração 41
Capitulo 4. Resoluções - Desigualdades 111
Apêndice - Polinômios simétricos 177
194Apêndice - Demonstrações - Desigualdades elementares
204Bibliografia
I
II
I
II
29
30
Resumo teórico
Questões..........
I 
II 
III
IV
Resumo teórico
Questões..........
Polinômios simétricos 
Exemplos resolvidos . 
Problemas Propostos 
Resoluções.................
177
178
183
184
194
195
197
198
199
201 
.202
15
15
I — Desigualdade de Bernoulli..................................................
II — Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica
III — Desigualdade entre as médias harmônica e geométrica
IV — Desigualdade entre as médias aritmética e quadrática .
V — Um lema poderoso...............................................................
VI — Desigualdade de Cauchy-Schwarz ..................................
VII— Desigualdade de Young......................................................
Capítulo 1
Produtos notáveis e fatoração
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 15
equação
Questões Propostas
Produtos notáveis e fatoração
Resumo teórico
PRODUTOS NOTÁVEIS
v (a + b)2 =a2+2ab+ b2
v (a-b)2 =a2-2ab + b2
v (a + b + c)2 =a2+b2 + c2 +2(ab + ac + bc)
✓ (a+b)3 = a3+3a2b + 3ab2+b3
v (a-b)3 =a3-3a2b + 3ab2 -b3
FATORAÇÕES USUAIS
a-x + ay = a(x + y)
v a2-b2 =(a + b)-(a-b)
s a3 - b3 = (a - b) • (a2 + ab + b2 j
v a3+b3 =(a + b)-(a2-ab + b2j
v" Se a e p são raízes da 
ax2+bx + c = a.(x-a)(x-p).
01) Fatore:
a) x2 - 7yx + 12y2
b) x2- 3yx — 4x + 12y
c) x4-20x2 + 4
d) x4-4y4
e) x4 + y4
f) xn - yn para n inteiro positivo
g) xn + yn para n ímpar positivo
02) Qual o valor das somas
S = 267-455 + 337-733 + 267 -545 + 663 733
ax2 + bx + c = 0, então
1 - Produtos Notáveis e Fatoração16
03) Qual o valor de 7l234562 +123456 + 123457 ?
05) Qual o valor da expressão 20012 - 1999 ■ 2001 + 992 • 2 ?
a)
b)
2903n - 803" - 464n + 261n é sempre
08)
b) Qual o valor de ?
a) Se a + b + c = 0 mostre que a3 + b3 + c3 = 3abc. 
40113 -20063 -20053 
(4011)-(2006)-(2005)
:512)
07) (Eotvõs-1899) Mostre que 
divisível por 1897.
12) Fatore:
a) 3a2-2ab-b2
b) a2 -6a-b2 +2b + 8
06) Determine o valor das expressões abaixo:
5932-6001-69
5932 + 6001-5931
(20042 -2010)-(20042 + 4008 -3)-(2005)
(2001) - (2003) ■ (2006) ■ (2007)
10) Mostre que
1 + x + x2 + x3 + ... + X1023 = (1 + x)(l + x2)(l + x4)-...-(l + x256)(l + xl
09) (AIME) Simplifique
(75 + 76 + V7 )(V5 + 7ê - 77)(75 - 7ê + 7?)(-75 + 76 + 77)
04) Qual o valor de 20082 - 20072 + 20062 - 20052 +... + 22 -12 ?
11) (AIME-87) Calcule
(l04 +324)-(224 +324)-(344 + 324) ■ (464 + 324) • (584 + 324)
(44 + 324)(164 + 324)-(284 + 324)-(404 + 324)-(524 + 324)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 17
14) Dado que
18) Se a + b = 1 e a2 + b2 = 2 , determine o valor de a3 + b3.
19) Se
5 , calcule x5
22) Se Vx
23) Determine x2 + y2 com x, y e N e xy + x + y = 71 e x2y + xy2 = 880.
x5 '
1
+ x3 '
= 3, determine o valor de x3 + y3.
4x - y
4x + 2y
4x + y 
4x - 2y
24) Determine o valor de x2 + y2 , sabendo que xy = 6 e que 
x2y + xy2 + x + y = 63 .
13) Se x + y + xy = 34 , determine o valor de x + y sabendo que x e y são 
inteiros positivos.
15) Fatore e simplifique, o quanto possível, a expressão 
6a3 + 18a2 -24a-72 
9a2 + 9a-54
2
—, determine o valor de
5
+ -=■ = 3 , determine x — .
Vx x
1
21) Se x > 0 e x + — 
x
( n2 3
x + — = 3 , determine xl xj
1 116) Se — + — = 10 e x + y = 2, determine o valor de xy. 
x y
20) Determine a6 + sabendo que a2
17) Se x + y = xy
1 - Produtos Notáveis e Fatoração18
25) Sejam x e y números reais tais que
2
Determine o valor de
28)
30) Em R, resolva a equação x2+Vx-18 = 0.
32) Demonstra-se
33) Determine n e N tal que 211 +28 +2n seja um quadrado perfeito.
34) Se a3 - b3 = 24 e a - b = 2, determine (a + b)2 .
(z-3)2=0..
0.
(x2-y:’2)'
26) Determine a soma de todos os números reais x e y tais que 
(1-x)2+(x-y)2 + y2 = 1.
29) Resolva, no universo dos números reais, a equação 
(x-3)3 +(y-7)3 =(2x-10)3
27) Se a e b são números reais tais que 1 < a < b < 9 , qual o menor valor 
a + bque ------ pode assumir?
ab
a) Determine x, y e z tais que (x -1)2 + (y - 2)2
b) Determine x e y tais que x2+y2-2x-4y+ 5
a b31) Se ab = a - b , determine o valor da expressão — + — ab .
111 1 D2que 1 + —+ — + — + ... + -x- + ... = — . Acreditando 
22 32 42 n2 6
111 nisto calcule o valor da soma S = 1 + —+ — + — + + 
32 52 72
x3 =13x + 3y , , ,| , com x * y .y3 =3x + 13y 1111
1 
(2n-1)2+'"
a
b
1
22
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 19
37) Calcule
Expressando a sua resposta na forma , com a, b, c e d
inteiros positivos.
38) Verifique que a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc <=> a = b = c
2a
12
39) (AIME) Resolva o sistema •
1 +
41) Determine a e b naturais tais que 2' 55.
+ 12b
8
b>/c
d
2 +---------
3 +----
4 +
2------------
2-------
2-...
b+ c+ d+ e = 6 
a + 2b+ c+ d+ e 
a+ b + 2c+ d+ e = 24 
a+ b+ c + 2d+ e = 48 
a+ b+ c+ d + 2e = 96
1
1
1
1
1
1
1
1
40) (Torneio das cidades) Calcule:
1
1
1
1
1
" + 2005
1 +---------
3 + —
4+“?^
■"+ 2005
35) Resolva, em C, conjunto dos números complexos a equação 
x3-8 = 0.
36) Resolva, em C, conjunto dos números complexos a equação 
x3 + x2 + x + 1 = 0 .
+ b16)
42) Sabendo que a + b = 6 , encontre o valor de 
a32-b32 
(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a16
12 a 2 b
1 - Produtos Notáveis e Fatoração20
e
48)
I. Qual das frações abaixo é a maior?
a) b)
c) d)
II. Qual das frações abaixo é a menor?
a) b)
c) d)
i
1
a)
b)
50) Se 0 < a < b e a2 + b2 = 6ab, determine o valor de —— .
47) Se x e y são números reais tais que x + y + xy = 10 e x2+y 
Determine o valor de x + y.
25.038.876.541
25.038.876.543
25.038.876.545
25.038.876.547
250.386.765.412
250.384.765.412
250.384.765.412
250.383.765.412
25.038.876.543
25.038.876.545
25.038.876.547
25.038.876.549
250.386.765.412
250.385.765.412
250.385.765.412
250.384.765.412
44) Qual o maior valor de n, n e N para que n3 +100 seja divisível por 
n + 10.
46) Se a, b e c são números reais tais que a2 + 2b = 7, b2 + 4c = -7 
c2 + 6a = -14 . Determine o valor de a2 + b2 + c2.
43) Se a e b são inteiro consecutivos, mostre que a2 + b2 + (ab)2 é um 
quadrado perfeito.
45) Calcule o valor de
A = ^(1000000) ■ (1000001) ■ (1000002) • (1000003) +1 .
’2 =40.
49) Simplifique:
1 1 ____________
(a-b)(a-c) + (b-a)(b-c) + (c-a)(c-b)
a3 + b3 c3
(a - b)(a - c) + (b - a)(b - c) + (c -a)(c - b)
a + b
a -b
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 21
a/4 + 4^2 + 74+^4- 4^2 + t[Ã .51) Simplifique a expressão A
53)
54)
32
b) Racionalize
y + z í 0, calcule o valor da expressão
= 0y-
57) Encontre todos os pares de inteiros x e y tais que x3 + y3 = (x + y)2.
52) (OBM) Se a é uma das raízes da equação x2+x-1 = 0, determine o 
valor de a5 - 5a .
b + c)(ab + ac + bc) 
b)(a + c)(b + c)
+ 1)-(X'
= 3
a) Mostre que
(a + b + c)3 + 3abc = a3 + b3 + c3 + (a
b) Mostre que (a + b + c)3 -a3 -b3 -c3 = 3(.
a) Efetue o produto
(x + 1)-(x2+l)(x4+ l)-(x8 + l)(x16 + l)(x:
______________________ 1__________ ____ ___
(6í/2 +1) • (3^2 +1) • (1S/2 +1) ■ (V2 +1) • (í/2 +1) • (72 +1)
56) Resolva o sistema de equações
3x-y 
x2 + y2 
x + 3y 
x2 + y2
58) Fatore a expressão
30 (a2 + b2 + c2 + d2) + 68ab - 75ac -156ad -61bc -100bd + 87cd .
:64 + l)
55) Sejam x, y e z números reais tais que x + y + z = 0ex + y, x + z, 
x3 [ y3 t z3 
(y + z)3 (x + z)3 (x + y)3
22 1 - Produtos Notáveis e Fatoração
x + y + z = 2,
60) Resolva o sistema
66) Resolva a equação (x-5)(x-7)( 6)(x + 4) = 504.
67) Determine os racionais a, b e c tais que ^/V2 -1 = líã + Vb + l/c .
x + y + z = 3 
x2 + y2 + z2 =3 
x3 +y3 +z3 =3
63) Sabendo que a, b, c, d e e são números reais tais que 
ía +b + c + d + e = 8 
[a2 + b2 + c2 + d2 + e2 =16 
Determine o valor mínimo de e.
65) Se x, y e z são números reais tais que x + y + z = 1, mostre que 
x2 +y2 +z2 > - .
3
59) Sejam x, 
x2+y2
64) Sejam x,, x2 xn números inteiros tais que -1 < xs < 2, i = 1, 2, 3, 
.... n, x4+ x2 + ... + xn = 19 e x,2+ x22 + ... + xn2 = 99 . Sendo m e M os 
valores máximo e mínimo da expressão x13+x23 + ... + xn3, determine 
M o valor de — . 
m
62) Se a, p e y são as raízes da equação x3+5x + 8 = 0 determine o 
valor de a3 +p3 +y3 .
61) Se a, b, c e d são números reais mostre que
(a2 +b2)(c2 +d2) = (ac + bd)2 +(ad-bc)2
y e z números complexos tais que 
+ z2 = 3 e xyz = 4 . Calcule o valor de
S= 1 +-1—+ 1 .
xy + z-1 yz + x-1 zx + y-1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 23
69) Encontre todos os números reais x tais que 2X + 3X - 4X + 6X - 9X = 1.
70) Encontre todos os números reis x tais que
bb-c c-a c a
a -b b-cb c-ac a
ax3 + by3 = 56 e
7
6
73) Resolva a equação
(x +1995) • (x +1997) ■ (x +1999) • (x + 2001) +16 = 0
72) Determine o mínimo valor da expressão xy +xz + yz sabendo que x, y 
e z são números reais tais que x2 + y2 + z2 = 1.
78) Se a e b são as raízes da equação x2-x-5 = 0, determine o valor 
de (a2 + 4b -l) ■ (b2 + 4a -1).
68) Qual o valor numérico da expressão abaixo para x < -3?
A = 79 -6x + x2 + V9 + 6x + x2
8X +27x
12x +18x
77) Sabendo que ax + by = 2, ax2+by2=20,
ax4 + by4 = 272 , determine o valorde ax5 + by5 .
76) Determine o número inteiro a para que o polinômio q(x) = x2 -x-1 
seja um fator do polinômio p(x) = ax17 + bx16 +1.
71) (AMC) Se xy = a, xz = b e yz = c, verifique que 
(ab)2 +(ac)2 +(bc)2 
abc
74) Se a + b + c = 0 , com a * 0, b * 0 e c * 0 determine o valor da 
expressão
fa-b
75) Se a, b, e c são três inteiros positivos, tais que
abc + ab + ac + bc + a + b + c = 1000 , calcule o valor de a + b + c .
x2 + y2 +z2 =
1 - Produtos Notáveis e Fatoração24
81) (Harvard) Simplifique
82) Se (x + 5)2 + (y -12)2 = 142 , determine o valor mínimo de x2 + y2 .
83) Se a, b e c são números reais não nulos tais que a + —
mostre que |abc| = 1.
equaçãoraiz daé uma
86) Determine todos os primos da forma n3 +1.
positivos.
1
1998
x + 7y + 3v + 5u = 16 
8x + 4y + 6v + 2u = -16 
2x + 6y + 4v + 8u = 16 
5x + 3y + 7v+ u = -16
2 
y
2 
a ’
200^2x/ÍÍ-3x/5 • 400^89 +12^55 .
88) Mostre que não existe um número natural de cinco algarismos abcde 
que seja igual a soma dos cubos dos seus dígitos.
89) Calcule os valores de x, y, u e v que satisfazem o sistema de quatro 
equações
b+l=c+
c
84) Quantas raízes negativas possui a equação
x4 - 5x3 - 4x2 - 7x + 4 = 0
80) Verifique que não existem números reais x, y
1 1 1 x+y+z=0 e —+—+—=0.
x y z
com x e y inteiros
1
87) Determine o número de soluções de —+ 
x
e z tais que
79) Se a e b são as raízes da equação x2 + x -1 = 0 , determine o valor de 
a11 + a10b + a9b2 + a8b3 + a7b4 + a6b5 + a5b6 + a4b7 + a3b8 + a2b9 + ab10 + b11.
85) (Harvard) Mostre que 
x3 + 3x2 + 3x + 7 = 0 .
1
b
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 25
91) Se m e n são naturais tais que determine o valor
de m + n.
92) (AMC) Sejam
Determine o inteiro mais próximo de a - b.
93) (AMC) Sabendo determine‘n = valor deque o
,80
96) Determine o valor real de x para o qual e
x-y
3-z
x + y
1 + z
4
49 '
3_ 
n3
+ l)(x’8 + x9 + l)(x6 + X3 + 1)(x2 + X + l)
10012
2003
10012
2001
n(n +1) 
2
= 169
94) Mostre que
1 + x + x2 +... + X1
9 + 3z + z2 
x2 + xy + y2 '
1-z + z2 
x2 - xy + y2
12 22 32
a = — + — + —
1 3 5
+ x27
111 1
— + —t-------1-... +---------
F *2 *3 ^2002
= (x54
m + n 
m2 + mn + n2
90) Dado que n é um número inteiro positivo, determine o valor de n que 
cumpre a seguinte igualdade
n3 -3 n3 -4 n3 -5 5 4
n3 + n3 n3 + "’+n3+n3
95) Calcule o valor de
P = (O3 - 350)(l3 -349)(23 - 248)(33 - 247)-... -(2493 -1)(3503 - o)
e
„ 12 22 32
D —------F-------1-------+ ... +
3 5 7
1 - Produtos Notáveis e Fatoração26
97) Mostre que se abc = 1 e —+
2a +b+ 1
99) Determine x satisfazendo x = 1 +
100) Se a, b e c são raizes do polinômio p(x) = x3 +x2 -333x-1001.
Determine a3 + b3 + c3.
.. . . . 1 2
a b+ 
dos números a, b ou c é igual a 1.
1
[ 1
— = a + b + c então pelo menos um 
c
101) (Stanford) Sabendo que x + y + z = 3, x2 + y2 + z2 = 5 e x3 + y3 + z3 = 7, 
determine o valor de x4 + y4 + z4.
22”
98) Determine inteiros a e b tais que
(2 + 1)(22+l](2z2 +lV22’
Capítulo 2
Desigualdades elementares
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 29
Desigualdades das médias.
Sejam x,. x2, ... xn números reais positivos, definimos:
(MQ = Média Quadrática)MQ =
MG = iyx1x2-...xn (MG = Média Geométrica)
(MH = Média Harmônica)
Consequência da desigualdade MG < MA
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
i. Se o produto de n números positivos for constante, a soma será 
minima se todos os números forem iguais.
ii. Se a soma de n números for constante, o produto será máximo 
quando todos forem iguais.
Desigualdades elementares 
Resumo teórico
Xn
Yn
1
XN
1_
X,
MH =
x1+x2+... + xn 
n
X?+xj +-
n
MA =
No capitulo 6 (Apêndice), demonstraremos que MH < MG < MA < MQ , 
onde a igualdade ocorre se, e somente se x, = x2 = ... = xn .
n
_1_
x2
Xn2
(MA = Média Aritmética)
valendo a igualdade se, somente se, — = íi. 
yt y2
Sejam x,, x2 xn, yi, y2, ... yn números reais, então
(x,y, + x2y2 +... + xnyn)2 <(x,2 + x22 +...+ xn2)(y,2 + y22 +... + yn2)
30 2 - Desigualdades elementares
Lema poderoso
Ocorrendo a igualdade se, e somente se
Questões Propostas
01) Se x e R e x
03) Para x > 0. Qual o valor mínimo de y = x2
05) Qual o valor mínimo da expressão f (x) = 6x + — , quando x > 0 ?
2 
y + z
2 
x
y 
X
+-l-. 9
x + y + z
Z W X
b, b2 "■ bn
2
06) Se x, y e z > 0 prove que ------ +
x + y
4
I >C(8, 4).
1
0, prove que x + — > 2 . 
x
an2 
bn
02) Para todos os valores as variáveis x, y, z e w, reais positivas. Qual é o 
menor valor da expressão f (x, y, z, w) = — +
í X04) (ITA/2002) Mostre que K + 2 + 
ly
Se a, b, x e y são números reais ex>0ey>0, então 
(a + b)2 . a2 , b2 
x+ y x y
Observação:
O poderoso lema acima pode ser estendido Se av a2, an e R e 
bv b2 bn e R+, então é válida a desigualdade 
(a1+a2+... + an)2 < a,2 + a22 + 
b1+b2+... + bn " b, b2
24
x2
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 31
?
>2.11) Prove que
13) Qual o valor mínimo de f(x,y)
onde x e y são reais positivos.
a + c 
a + b
b + d 
b + c
a 
b
y. Qual o menor valor de 
8
y(x-y)
= 32. Qual o menor valor
são números positivos. Qual o valor mínimo de
1 1+ — + —
y z
08) Qual o menor valor de xy + 2xz + 3yz para valores positivos de x, y e 
z tais que xyz = 48?
12) (Baltic-way) Prove que se a, b ,c e d são números reais positivos, 
então temos:
10) Sejam x, y, z números reais tais que xyz 
da expressão x2 + 4xy + 4y2 + 2z2 ?
14) Se x e y são positivos e x
f(x,y) = x +
a2 + 3
•Ja2 + 2
16) Encontre o valor mínimo da função definida pela lei
„ x 50 20 f(x.y) = — + — +xy
x y
15) Encontre o menor valor da função definida pela lei
, x 2y 4z 
f(x,y,z) = —+ —+— + 12 
y z x
onde x, y e z são números reais positivos.
09) Se a, b e c são inteiros positivos que satisfazem a condição 
b c— + — = 3 prove que abc é um cubo de um inteiro, 
c a
07) Se x, y e z
, /1(x + y + z)l-
12 18= — + — + xy ?
x y
c+a d+b--- + > 4c+d d+a
32 2 - Desigualdades elementares
f(x) =
f(x,y) =
onde x e y são reais positivos.
20) Encontre o valor máximo de 54x2y3-(1 -x-y).
21) (AIME-83) Encontre o valor mínimo de f(x) =
0 < x < n .
26) Qual o maior valor de f(x) = 2xVl2 - x2 para todos os valores de x > 0?
19) Qual o valor máximo do produto x y (72-3x-4y). Para todo x e y 
positivo?
27) Qual o número positivo cujo quadrado excede seu cubo da maior 
quantidade possível?
17) Encontre o menor valor da função definida pela lei 
(x + 10)(x + 2)
x + 1
18) Encontre o valor máximo da função definida pela lei 
12(xy-4x-3y)
24) Qual o valor máximo que pode assumir a expressão 
f(0) = 3sen0 + 4cos0 onde 0 < 0 < 2n
25) Para valores positivos de x, qual o menor valor de
f(x) = 5x + —+ 21
x
23) Sejam a, b, c e d reais positivos prove que
1 + 1 + 1 + 1Ê> 64
a b c d -a+b+c+d
9x2sen2x + 4 ------------------ , com 
xsenx
22) Dada a equação 3x2 - 4x + k = 0 , com raizes reais. Qual o valor de k 
para qual o produto das raizes da equação é máximo.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 33
e
31) Se a e b são positivos prove que 8 (a4 + b4)>(a + b)4 .
de x?
34) Se a e b são números reais quaisquer verifique que
3> -
4
X2_______+___
(x + y)(x + z) (y
I—+ —1>2.|b a|
28) Encontre o número positivo que excede seu cubo da maior quantidade 
possível.
30) Se a, b, x e y são números reais não negativos a5+b5<1 
x5 + y5 < 1 prove que a2x3 + b2y3 < 1.
35) (Turquia-2000) Se a > 0, b>0 e c>0 prove que
(a + 3b) (b + 4c)-(c + 2a) > 60abc
36) Prove que:
a) Se a > 0, b>0 e c > 0, então (b + c)-(c + a)-(a + b) > 8abc
b) Se a > 0, b > 0, c > 0 e a + b + c=1, então
(1 W1 W1 A
--1 • --1 ■ --1 > 8.
I^a J l^b J kc J
37) Se x > 0, y > 0 e z > 0 prove que
y2 z2
-------- -------------------- 1----------------------------------- 
+ z)(y + x) (z + x)-(z + y)
29) Qual o menor valor de x2+12y + 10xy2 para valores positivos de x e y 
satisfazendo a condição x • y = 6 .
32) Encontre o maior valor de x2y se x e y são números reais positivos 
satisfazendo a equação 6x + 5y = 45 .
, 16
33) Qual o valor mínimo de f(x) = x +— para todos os valores positivosx
2 - Desigualdades elementares34
40) Se x e y são tais que 3x - y = 20 , qual o menor valor de y/x2 + y2 ?
de f(a,b) = a +
44) Para todo numero real positivo x e y, Prove que (x + y) ■ (xy +1) > 4 xy.
. Com a igualdade se verificando se e
a + b b + c
1> -
2
z
z + 2x + 3y
b
c + 2a
45) (República Tcheca-00) Sejam a, b e c números reais positivos prove 
que
41) (Bielorussia-99) Se a, b e 
a2 +b2 +c2 =3 prove que
47) (Rússia-02) Se x, y e z são números reais positivos cuja soma vale 3. 
Prove: Vx + 7y + >/zsxy + yz + zx.
43) Se a e b são números reais positivos determine o menor valor possível 
1
b(a-b)
a
b + 2c +
46) Se a, b, c e d são números reais positivos cuja soma vale 1. Prove que 
a2 b2 c2 d2 1 '
42) (China-90) Quantos pontos (x, y) satisfazem a equação abaixo? 
log^x3 +1 y3 + = log x + log y
c
1
1 + ab
—— >1 
a + 2b
são números reais positivos e
1 1 >3
2
----------- 1-----------> —
c+d d+a 2
u 1somente se a = b = c = d = —.
4
1 + bc + 1 + ac
38) Se x > 0, y > 0 e z > 0 prove que 
—*—+—x— 
x + 2y + 3z y + 2z + 3x
39) Se a, b, x, y e z são números reais positivos, prove que 
ay + bz az + bx ax + by a + b
Tópicos de Matemática - Olimpiadas - ITA - IME 35
que
53) Resolva o sistema-
>3ab2-4 .54) Prove que se a > 0, então
55) Demonstrar que x2 + y,2 z2 >12 se x + y + z = 6.
a3+b6
2
50) Prove que para todo triângulo acutângulo onde a é um dos ângulos. 
Vale a relação tga + cotga > 2 .
56) O volume de um paralelepipedo e 216cm3 e sua área total é 216cm2. 
Prove que o paralelepipedo é cubo.
49) Prove que a, b e c são números reais positivos então 
(a2+1)(b2+1)(c2+1)>8abc
57) Mostre que todo valor arbitrário a, b, ced e R* temos:
(a2 + a +1) • (b2 + b +1) • (c2 + c +1) ■ (d2 + d +1) > 81 a ■ b ■ c ■ d
2
x + - = 2y 
x
2y + — = 2z
y
2z + —= 2x
z
48) (Novo México) Encontre o termo minimo da sequência
/7 Í96 Í8 Í96” Í9 /96 fH
V6V7' \6N8’ V6 V9........ V 6 V95
52) Prove que se a + b = 1, onde a e b são números positivos 
a+— + b + — t a J bj
51) (IMO-95) Se a, b e c são números reais positivos e a ■ b ■ c = 1 prove
1 + 1 + 1 > 3
a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) 2
l2 25> —
I 2
2 - Desigualdades elementares36
62) Se x e y são tais que 3x - y = 20, qual o menor valor de Jx2
63) Se
64) Se a
Z
3
4> -
3
1> — .
20
n 
n^í
d
a + b + c
an
a1 + a2 + --- + an-1
61) Mostre que para qualquer valor de a, b e c e IR*.
ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) > 6abc
67) Sabendo que x, y e z são números reais mostre que 
x2y2 + x2z2 + y2z2 > x2yz + xy2z + xyz2.
+ y2.
> a2> 0, .... an > 0 mostre que: 
at+a2
a2+a3+... + an a3 + a4 +... + an + a-.
59) Mostre que 2x + 4y = 1 para todo x, y e K então x2 + y2
66) Sejam x e y números positivos e x.y = 1 calcule o valor mínimo de
1 1
x4 + 4,y4 '
65) (Cone Sul) Se a > 0, b > 0 e c > 0 prove que:
a b c 3 -------------p----------- -j- ----------- > — 
b+c a+c a+b 2
58) Mostre que para todo a, bece R+vale a desigualdade:
1 + 1 + 1 > 9
1 + a 1 + b 1 + c~3 + a + b + c
>0, b>0, c> 0 ed > 0, prove que: 
abc
b+c+d a+c+d a+b+d
60) Mostre que para números reais x, y, z temos: 
(x y zV x2 y2 z2
l<2 3 6j 2 3 6
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 37
68) Mostre que se a > 0 então
69) Se a, b, c e d e
70) Se a, b e R* mostre que 2b(1 + a2) + 4a(1 + b2) > 12 ab.
71) Se a e b e K* mostre que a2 + b + + Vb (a^/ãb - 4a) > 0 .
73) Mostre que sea e Ut* então > 1.
2-
2
+
78) Se 0 < x < 1 qual o valor máximo de f(x) = x ■ -/l- x2 .
_4
5
z
X
+ -z
2a2+1
>/4a2 +1
a4 +9 
10a
x 
^/xy-z
y 
3/x-yz
x z
y ^/x-y-z
mostre que (ab + cd )^—+ ^-^>
75) Prove que se a, b e c são números reais tais que a>1, b > 1 e c > 1, 
então
76) Se x, y e z são números reais positivos. Prove que: 
z
74) (Gazeta Matemática) Se a, b e c são números reais positivos e abc = 1 
prove que:
2
>12
iogcb + iogac + i°gba 
b+c c+a a+b
72) Se x, y e z, são números reais positivos ex + y + z=1. Determine o
14 9valor mínimo de — + — + — .x y z
b+c c+a a+b 
■ — +—=- + ■ >
Ja Jb Jc
9>---------
a + b + c
77) Mostre que para a, b e c reais positivos temos que
(a2b + b2c + c2a)(ab2 + bc2 + ca2) > 9 a2b2c2
2 - Desigualdades elementares38
■cos(a - p) > 1
80) Se x3 -12x2 + ax-64 =0 tem raízes reais não negativas. Encontre a.
,2 = 1.
85) Se x + y = 4, determine máx(min{x,y}).
87) (Olimpíada Chinesa-2003) Se — < x < 5. Prove que
.99
86) Prove que para todo a > 0 e b > 0
a3 +2b3 > 3ab2
84) Prove que se a > 0, b > 0 e x > 0, então ax + — > 2%/ãb. 
x
x-7^7
= 2 mostre que
83) (AMC-modificado) Se a, m e c são inteiros não negativos tais que 
a + m + c = 12. Qual o máximo valor de ame + am + mc + ca?
+ yji-y281) Se x e y são números reais tais que 
Prove que x2 + y2 = 1.
82) Sejam x > 0 e y > 0 números reais tais que x + y 
xy < 1.
88) Se a, b, c e d são números reais positivos, mostre que 
Vãb + Vcd < ^(a + d)(b + c)
89) Supondo que o polinômio p(x) = x100 -600x" +a98x98 +... + a,x + a0 
possua 100 raízes reais e que p(7) > 1, mostre que p possui pelo 
menos uma raiz maior do que 7.
79) Mostre que se a e p são ângulos do primeiro quadrante, então
( cos3 a sen3a
I cosp senp
3
2
2VxTl + V2X-3 + V15-3X < 2^19
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 39
0 e que — 1.
92) Supondo que n é natural mostre que n" > 1-3-5 - 7 ■... (2n -1).
94) Encontre todas as soluções em números reais positivos do sistema:
95) Se a, b e c são inteiros que satisfazem a condição — + — + — = 3.
Prove que abc é o cubo de um inteiro.
96) Para n natural, com n > 2, mostre que n! <
Bernoulli
1 
2009!
a+b+c+d=12
abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd
90) Mostre que a raiz positiva da equação
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)-... (x + 2009) = 1 é menor do que
93) Se a, b, c e d são números reais positivos de soma 1, prove que
S = >/4a + 1 + ^4b + 1 + -s/4c + 1 + %/4d + 1 < 6
91) (Ibero) Determine a, p, y e 0 sabendo que são as raizes da equação
4x4 -ax3 +bx2 -cx + 5 = 0 e que — + - + — + -
2 4 5 8
99) Prove que se a,, a2, a3 an e R+ e a,-a2-a3-...-an = 1 então 
nestas condições verdade que (1 + a,) • (1 + a2) ■ (1 + a3) ■... • (1 + an) > 2n .
98) (Desigualdade de Young) Se p e q são números racionais positivos
11 x*3 v^tais que — + — = 1, então para x e y positivos tem-se — + — > xy .
P q P q
97) Usando MA > MG, mostre que a desigualdade de 
(1 + x)n > 1 + nx, com n natural, é válida para x > 0.
c
a
b
c
a
b
2 - Desigualdades elementares40
a2nc2n)
n2a2)
100) (Desigualdade de Carlson) Mostre que
(a, + a2 + ... + a2)2 < Cn (a^c2, +a22c22 
onde Cn é uma constante.
101) Mostre que (a, +a2 + ... + a2)2 y(a2+22a|+32a2
Capítulo 3
Produtos notáveis e Fatoração 
Resoluções
-
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 43
Assim os zeros do trinômio do segundo grau seriam
b) x2 - 3yx - 4x + 12y
c) x4 - 20x2 + 4
Resolução:
x2 -3xy -4x + 12y = x(x-4)-3y(x-4) = (x-4)(x-3y)
7y±|y| = Í4y
2
Resolução 1:
x2 -7xy + 12y2 = x2 -3xy - 4xy + 12y2 =
= x(x-3y)-4y(x-3y) = 
= (x-3y)(x-4y)
RESOLUÇÕES
Produtos notáveis e fatoração
3y
Como todo trinômio do 2° grau ax2 + bx + c pode ser escrito na forma 
a(x-r,)(x-r2), onde r, e r2 são seus zeros, segue que 
x2 - 7xy + 12y2 pode ser escrito na forma (x - 4y)(x- 3y).
Resolução 2:
Uma outra saída é enxergar a expressão como um trinômio do 2o grau 
na variável x (ou y). Assim,
x2 -7xy+ 12y2
A = (~7y)Z-4-1-12y2 =49y2-48y2
01) Fatore:
a) x2-7yx + 12y2
= y2
Resolução:
x4-20x2+4 = (x2) -4x2 +4-4-16X2 +4 = 
= (x2 -2) -(4x)2 = (x2 -4x-2)(x2 +4x-2)
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração44
V2xy),2
f) x" - yn para n inteiro positivo
1 + a + a2 +a3 + ... + an 1
De fato,
Subtraindo as duas equações anteriores,
,n-1
an -1 
a-1
an-1 
a-1 ’
Resolução:
x4 -4y4 =(x2)2 ~(2y2)2 = (x2 -2y2)(x2 +2y2)
Resolução:
Vamos provar que xn - yn = (x - y)(x' 
Inicialmente vamos mostrar que se a * 1,
Agora fazendo a = — na expressão 1 + a + a2 + a3 +... + a1 
y
(y2)2-2x2y2 =
,2
an — 1 
(a-1)S = an-1=>S = ^—y
e) x4 + y4
S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an 1 
aS = a + a2 + a3 + ... + an
d)x4-4y4
Resolução:
x4 + y4 = (x2)2 + 2x2y2
= (x2 +y2)2-(V2xy)2 =(x2 +y2 +5/2xy)(x2 + y
aS-S = an -1
:n’1 +xn’2y + .... + yn’1).
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 45
n
= xn - yn =>
(x-y)- y1
g) xn + yn para n impar positivo
), colocando -y no lugar de y.xn"2y + .... + y'
xn -yn 
yn
x
y
X 
y
X
y
X 
y
X 
y
X 
y
xn -yn 
yn
xn-yn = (x-y)(x'
= xn - yn =>
xn-1 + *0-2 +
1 _xn-2
A x1 + —+ 
y
x1 + —+ 
y
1+*+ 
y
i+* +
y
i+* + 
y
= xn - yn =>
:n-1 -xn-2y+ .... +yn*1).
í-1 
y
2S-1 
y
*-1 
y
y
yn-t
X2
■—+ - + y 
y
x2 
X | 
yj
x2 
X ] 
yj
....+(-yr)^
■y + ....+ yn-1)
s2
X | |
yj +”'+l
•..\2 
+ ... +
Resolução:
Vamos mostrar que xn + yn = (x + y)(x'
De fato,
Como n é impar podemos escrever xn + yn = xn -(-y)n e aplicarmos 
a fórmula do item anterior, ou seja, 
xn -yn = (x-y)(xn’1 + 
Vejamos:
xn + yn=xn-(-y)n=(x-(-y);
xn +yn =(x + y)(x'
+ yn-’.2S + yn-’ 
y
+ xn-2y +.... + yn-1)
X
y
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração46
03) Qual o valor de V1234562 +123456+123457 ?
04) Qual o valor de 20082 - 20072 + 20062 - 20052 +... + 22 -12 ?
fatoraçãoconhecidausar a
Para determinarmos o valor desta soma S temos dois modos, a saber:
Resolução:
S = 267x455 + 337x733 + 267x545 + 663x733
Colocando 267 e 733 em evidência,
S = 267(455 + 454) + 733(337 + 663)
S = 267-1000 + 733-1000
S = 1000(267 + 733)
S = 1000x1000
S = 1.000.000
S = 20082 - 20072 + 20062 - 20052 +... + 22 -12 =>
S=(2008 + 2007)(2008-2007) + (2006 + 2005)(2006-2005)+... + (2 + 1)(2-l)
S = 4015 + 4011 + ... + 3
Resolução:
Fazendo 123456 = x temos:
Vi234562 +123456 +123457 =
= 7x2 + x + (x + 1) = Vx2 + 2x + 1 = 7(x + 1)2 = x +1
Como 123456 = x segue que
71234562 +123456 + 123457 = 123456 +1 = 123457
02) Qual o valor das somas
S = 267x455 + 337x733 + 267x545 + 663x733
Resolução:
A idéia aqui claramente é 
(x + y)(x - y) = x2 - y2 , vejamos:
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 47
i. Usar a velha e conhecida idéia de Gauss,
Adicionando membro a membro,
= 2.017.036
uma PA, Sn =
S„ = S|0O4 - = 2.017.036
05) Qual o valor da expressão 20012 -1999 x 2001 + 992 x 2 ?
06) Determine o valor das expressões abaixo:
a)
Façamos 5932 = a, assim 6001 = a + 69 e então
= 1
Resolução:
Colocando 2001 em evidência,
20012 -1999 x 2001 + 992 x 2 = 2001 ■ (2001 -1999) +1984 =
= 2001-2 + 1984 = 5986
5932-6001-69
5932 + 6001-5931
Resolução:
5932-6001-69
5932 + 6001-5931
1004 (3 + 4015)
2
4018-1004
2
a + 69a — 69 
a2 + 69a-69
2S = 4018 + 4018 + . . . + 4018 => S =
1004 vezes
a(a + 69) - 69 
a + (a + 69)(a-1) 
a2 +69a -69 
a + a2 - a + 69a-69
ii. Usar a conhecida fórmula para a soma dos n primeiros termos de 
 n-(a1+an)
2
n-fa+a,,)
2
S = 4015 + 4011 + ... + 3
S = 3 + 7 +... + 4011 + 4015
48 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
b)
= x + 1
é sempre
2903n - 803n - 464n +261n
Resolução:
Fazendo 2004 = x,
07) (Eotvõs-1899) Mostre que 2903n-803n-464n+261n 
divisível por 1897.
(20042 -2010) (20042 + 4008 -3)• (2005) 
(2001)-(2003)-(2006)-(2007)
(20042 -2010) (20042 + 4008 - 3) • (2005)
(2001) ■ (2003) ■ (2006) ■ (2007)
(x2 -(x + 6))(x2 +2x-3)(x + 1)
(x-3)(x-1)(x + 2)(x + 3)
(x2 -(x + 6))(x2 +2x-3)(x + 1)
(x-3)(x + 2)(x2 +2x-3)
(x2 -(x + 6)j(x + 1)
(x-3)(x + 2)
(x2 -x-6j(x + 1)
(x2-x-6)
Resolução:
Como xn-yn =(x-y)(xn~1+xn-2y+ .... + yn*1), segue que xn - y" é 
divisível por (x - y) segue que 2903n - 803n é divisível por 
2903-803 = 2100 = 7x300 e 261n-464n é divisível por 
261-464 = -203 = (-29)-7. Como
(2903n - 803n) + (261n - 464n)
Como 2004 = x, segue que
(20042 -2010) (20042 +4008-3)-(2005)
---------——------ —-- í—--- - = 2004 +1 = 2005(2001) • (2003) ■ (2006) • (2007)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 49
é
08)
a) Se a + b + c = 0 mostre que a3 + b3 + c3 = 3abc.
1
Resolução:
Sabemos que (x + y)3 = x3 + y3 - 3xy(x+ y). Assim,
por
por
No caso em que a + b + c = 0,
a3 +b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac -bc) 
a3 +b3 +c3 = 3abc
com 2903"-464" e
2903” - 803n - 464" + 261" é divisível por 271.
Assim concluímos que 2903" -803" -464" +261n é divisível por 7 e 
por 271 e portanto por 7x 271 = 1897.
(261"-464") divisíveis por 7, segue que 
261" é divisível por 7.
Por outro lado, 2903"-464" 
2903-464 = 2439 = 9x271 e -803"+261" 
-803+ 261 = -542 = (-2)x 271. Como
2903n -803" -464" +261" =(2903" -464") +(261" -803n)
-803"+261" divisíveis por 7, segue que
com (2903"-803n) e 
2903" - 803" - 464"
divisível 
é divisível
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 + 3ab(a + b) + c3 - 3abc
a3 +b3 +c3 - 3abc = (a + b)3 +c3 -3ab(a + b) -3abc
a3 +b3 +c3 -3abc = (a + b + c)3 - 3(a +b)c(a + b + c) - 3ab(a +b) - 3abc 
a3 +b3 +c3 - 3abc = (a + b + c)3 -3(a + b)c(a + b + c) -3ab(a + b + c) 
a3 +b3 +c3 -3abc = (a + b + c)^(a + b + c)2 -3(a + b)c-3ab^j 
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)|ja + b + c)2 - 3ac - 3bc - 3ab^| 
a3 +b3 +c3 -3abc =(a + b + c)(a2 +b2 +c2 -ab-ac-bc)
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração50
b) Qual o valor de
Resolução:
3
= 4011 + (-2006)3 + (-2005)3 = 
= 3(4O11)(-2OO6)(-2OO5)
Note que 4011 +(-2006) +(-2005) = 0 e portanto pelo resultado 
provado no item (a), 
40113 -20063 -20053
09) (AIME) Simplifique
(75+76+77)(75+76-77)(75-76+77)(-7õ+76+77)
Resolução:
Note que
(7õ + 7õ + 77)(75 + 76 - 77) = ^(75
E que 
(-75 + 76 + 77)(7õ - 76 + 77) =
= [77 + (76 - 75)][T7 - (76 - 75)] = [(77)2 - (76 - 7s)2 ]
Assim,
(75 + 76 + 77)(7õ + 76 - 77)(7õ - 76 + 77)(-75 + 76 + 77) =
= (273Õ + 4)(273Õ- 4) = 120-16 = 104
(-75 + Te + 77)(75 - 76 + 77) = [(77)2 - (76 - 75)2] = -4 + 2730
76)2-(77)2j = 4 + 2730
E portanto,
40113 -20063 -20053 3 (4011)(-2OO6)(-2OO5) 
(4011) (2006)-(2005) “ (4011)-(2006) (2005)
40113 -20063 -20053
(4011) ■ (2006)-(2005) '
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 51
x2 + x3 + x4 +... + X1024
x1024 ) = 1 -x1024X2 + x3 + x4 + ...
.1024 => S =
Ou seja,
1+x + x2 + x3 +... .1023
.256
.256
10) Mostre que
1 + x + x2 +x3 + = (1 + x)(l + x2 )(l + x4) •... • (1 + X256 )(l + X
11) (AIME-87) Calcule
(104 +324)-(224
(44 +324)(164 + 324
S(1-x) = 1-x
)(1-X:
)(1 + x!
.512)
.5'2)
.256 )
:512)
Resolução:
S = 1 + x + x2 + x3 + .. + x1023 => xS = 
Assim,
S - xS =
0 + X + X2 + x3 + ... + X
Resolução:
Como 324 = 4 ■ 34 todos os fatores da expressão acima podem ser 
escrito na forma x4 + 4y4, que podemos fatorar como
... + x1023
:1023)-('
1-x1024 
1-x
+ 324) - (344 + 324) • (464 + 324) • (584 + 324)
)-(284 +324)-(404 + 324)(524 +324)
d v1024
I — A
1-X
(l + x512)(l-x!
1-x
(1 + X512)Í1 + X:
1-x
(1+ X512)(1 + X256)(1+ x128)-... • (1 + x)(1- x)
1-x
= (1 + x)(1+X2)(1+x“)-...(1
52 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
373
b) a2-6a-b2 +2b + 8
12) Fatore
a) 3a2-2ab-b2
[x2 + 2xy
l2 + y2l
Resolução:
3a2 -2ab-b2 = a2 -2ab + b2 + 2a2 -2b2 = (a -b)2 + 2(a2 - b2)
3a2 -2ab- b2 = (a-b)(a- b + 2a + 2b) = (a - b)(3a + b)
Resolução:
a2 - 6a - b2 + 2b + 8 = a2 - 6a + 9 - 9 - (b2 - 2b +1) +1 + 8
= (a-3)2-(b-1)2 =(a + b-4)(a-b-2)
x4 + 4y4
x4 + 4y4 = x4 + 4x2y2 + 4y4 - 4x2y2 =
= (x2+2y2)2-(2xy)2 =
= (x2 + 2y2) + 2xy][(x2 + 2y2)-2xy]
= x2-2xy + y2+y2
= [(x-y)2 + y2][(x + y):
Assim,
n4 + 324 = n4 + 4 • 34
Fazendo essa substituição em cada termo da fração
(104 + 324) • (224 + 324) ■ (344 + 324) • (464 + 324) • (584 + 324) 
(44 + 324) • (164 + 324) • (284 + 324) ■ (404 + 324) • (524 + 324)
Obtemos:
(72 +9)(132 +9)(192 +9)(252 +9)...(552 +9)(612 +9)
(12 +9)(72 +9)(132 +9)(192 +9)...(492 +8)(552 +9)
612+9 3730
“ 12 + 9 10
+ y2 + y2]
= [(n-3)2 +9pn + 3)2 +9^|
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 53
(x + l)(y + 1) = 5.7
(x + 1)(y+ 1) = 5.7 =>
Ou
(x + 1)(y+ 1) = 5.7
14) Dado que
= — => 20x- 5y
x + 1 = 7 
y + 1 = 5
x = 4
y = 6
x = 6
y = 4
Resolução:
x + y + xy = 34 => x + 1 + y(x + 1) = 35
2
5 ’
Como x e y são inteiros positivos, temos as seguintes possibilidades:
x + 1 = 5 
y + 1 = 7
4x-y 
4x + 2y 
Assim,
4x-y
4x + 2y
4x + y
4x - 2y
3)-24(a + 3) 
+ a-6)
13) Se x + y + xy = 34, determine o valorde x + y sabendo que x e y são 
inteiros positivos.
15) Fatore e simplifique, o quanto possível, a expressão 
6a3 +18a2 -24a-72
9a2 + 9a - 54
= |(a + 2)
Resolução:
6a3 +18a2 - 24a - 72 6a2 (a +
9a2 + 9a-54 “ 9(a2
6(a + 3)(a2-4) 2 (a-2)(a + 2) 
9(a + 3)(a-2) ~3 (a-2)
4
8x + 4y => 12x = 9y => y = — x
A 4 4x + -x 
4x-2-x 
3
4x — v determine o valor de--------—
4x + 2y
Resolução:
2
5
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoraçao54
16) Se —+ — = 10 e x + y = 2, determine o valor de xy.
Resolução:
17) Se x + y
Resolução:
Temos que
33
1 e a2 + b2 = 2, determine o valor de a3 + b3.18) Se a + b
1 ao cubo,
a + b = 1 => (a + b)3 = 13 a3 + b3 + 3ab(a + b) = 1 => a3 + b3 = 1 - 3ab
a3 + b3 = 1 - 3ab => a3 + b3 =1-3 a3+b3 5
2
2 
x
x + y =3 
xy = 3
2
2
Resolução 1:
Elevando a + b =
= xy = 3, determine o valor de x3 + y3.
x3 +y3 +3xy(x + y) = 27
=3
0x3 +y3+27 = 27 =>x3 +y3 =
Agora para determinarmos o valor de a3 + b3 precisamos determinar o 
valor de ab. Para isso elevaremos a + b = 1 ao quadrado e usaremos 
o fato de que a2 + b2 = 2, veja:
a + b = 1 => (a + b)2 = 12 =>
d 
a2 + b2 + 2ab = 1 => ab = — 
“T" 2
Como a3 + b3 = 1 = 3ab segue que
Elevando x + y = 3 ao cubo, 
(x + y)3 =
+ - = 10 => ÍÍX = 10 => — = 10 => xy = - 
y xy xy 5
1
y
1
x
1
5
55Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
identidadeconhecidaa
19) Se
Resolução:
,2
temos:
x2-x3
Então
sabendo que a220) Determine a6 4
Resolução:
43a2
5
2
1 
x3
_1_
1
+ a6 ’
1
+ a2
1 x + — 
x
a3 + b3 = (a +
±VÕ (7 -1) = ±6a/Õ
b)(a2 - ab + b2)
+4-=7 x
íx + —I = 3 => x ■+— =+-J3
2
= 3 , determine x3 + —
seria usar 
b2), vejamos:
+ = 9 => x2
x
Note que neste segundo modo de resolução usamos o fato de que 
1
ab = -—. Isto precisaria ser determinado como fizemos no primeiro 
modo de resolução!
e
, 13 => x2 + 2x —
x
Resolução 2:
Uma outra solução 
a3 +b3 = (a +b)(a2 - ab +
1 1
Xx + x2
1 y +?J
X F-f
X J
+^=Ha2
x3 + — 
x3
Usando a conhecida identidade a3 +b3 = (a + b)(a2
=> x3 + — 
x3
1
x2
-ab + b2)
1
+ x2
56 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
a5 64
64-12=>a6 52
Resolução:
22) Se Vx
Resolução:
21
X
b
72-4 45
23) Determine x2 + y2 com x, y e N e xy + x + y = 71 e x2y + xy2 = 880.
x4Hx4)
1 ( 1'x5 + -= = 3125-15 x + -
x l x
= 5
1 c ( 1'x + — = 5 => | x + —
x
9 132=>x + —= 7 
x
1
+ x5 '
4
x5 +-4 = 3050 
x5
5
= 55
|2-4x1
I X
+ a6
x/x + -JL = 3 => í x/x
x/x V
Agora usaremos a identidade (a-b)2 =(a + b)2-4ab, com a = x e
x ’
1 o J . . 1+ -=■ = 3 , determine x —
x/X x
3a2-^í a2 
a <
21) Se x > 0 e x + - = 5, calcule x5 
x
1
1
X
1
+ x5
1
+ x5
1 1 111x5 +5x‘,- + 10x3-4 + 10x2-4 + 5x—- + -- = 3125
x x2 x3 x4 x5
1
X
1
X3
x5 +4r + 5, x + -l + 1o| x + -1 = 3215
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 57
x2 + y2 = 256- 2xy
256 - 2 • 55
(x + y)2 = 552
Resolução:
Temos o sistema:
Neste segundo caso x e y não seriam naturais e portanto não 
interessam ao problema pois, por hipótese, x, y e N, de modo que a 
resposta é 146
xy + (x + y) = 71 
xy (x + y) = 880
x2 +y2 =3025-2-16 
x2+y2 =2993
xy + (x + y) = 71 
xy(x + y) = 880
24) Determine o valor de x2 + y2, sabendo que xy = 6 e que 
x2y + xy2 + x + y = 63.
xy + x + y = 71 
x2y + xy2 = 880
Assim a e b são as raízes da equação X2 - 71À + 880 = 0 que são 55 e 
16. Assim temos duas opções, a saber: 
íx + y = 16 
[xy = 55
= 146
= 3025-2xy
Obs. Caso resolvéssemos o sistema encontraríamos x = 
x = 5 e y = 11. 
í x + y = 55 
[xy = 16
Fazendo a troca de variáveis xy = a e x + y = b, obtemos: 
a + b = 71 
a-b = 880
x2 + y2
=> x2 + y2
=>x2+y2
11 e y = 5 ou
(x + y)2 =162
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração58
25) Sejam x e y números reais tais que
16(x + y)
y)
x3 -y3 = 10(x- y)
10
subtraindo membro a membro as duas equações acima, 
íx3 = 13x + 3y 
[y3 = 3x + 13y
Resolução:
Adicionando membro a membro as duas equações acima, 
íx3 = 13x + 3y 
[y3 = 3x + 13y
Resolução:
Temos
xy = 6
x2y + xy2 + x + y 
íxy = 6
* [7(x + y) = 63
Então, 
x3 +y3 = 16(x + y)=>(x + y)(x2 -xy + y2) = 16(x + 
=> x2 - xy + y2 =16
63
Determine o valor de (x2 - y2) .
x3 + y3
Então,
x3 -y3 =16(x-y) =>(x- y)(x2 +xy + y2) = 16(x-y) 
=> x2 + xy + y2
xy = 6
xy (x + y) + (x + y) = 63
xy = 6
x + y = 9
x3 =13x + 3y , . , , 
, com x * y .y3 =3x + 13y 1 ' 1
Assim
x + y = 9 => (x + y) = 92 => x2 + y2 = 81 - 2xy
=> x2+ y2 = 81-2-6 => x2+ y2 = 69
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 59
Temos então o sistema,
=>a = 10 e b = -3
Resolução:
0
x2 - xy + y2 =16 
x2 + xy + y2 =10
26) Determine a soma de todos os números reais x e y tais que 
(1-x)2+(x-y)2+y2=^.
Fazendo a troca de variáveis x2 + y2 = a e xy = b, 
a-b = 16 
a + b = 10
Note que
-108y2 + 72y -12 = -12(9y2 - 6y +1) = -12(3y -1)2
=(3y-1)2
Ou seja, x2 + y2 = 10 e xy = -3, Assim,
(x2 -y2)2 =(x2 +y2)2-4(xy)2 = 132 -4(-3)2 =133
) = °
x2 - xy + y2 =16 
x2 + xy + y2 =10
(l-x)2 + (x-y)2 + y2=l^
4
1 -2x + x2 + x2 -2xy + y2+y2- — = 0=>
O 
2x2 -2(y+1)x + 2y2 + | = 0=> 
6x2 -6(y + 1)x + (6y2 +2
Agora podemos enxergar a última expressão acima como uma 
equação do 2o grau na variável x. Assim, 
6x2-6(y+1)x + (6y2+2} =
A = [-6(y + 1)]Z - 4 • 6 ■ (6y2 + 2) =
= 36y2 + 72y + 36 -144y2 - 48 = -108y2 + 72y -12
60 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
A = 0 => — 12(3y —1)2=0
Colocando equaçãona
obteremos:
9x2 -12x + 4 = 0 => (3x-2)2 = 0 <=> x = -
Implica que
Resolução:
Assim a expressão
a + b 
ab
a + b 
ab
a + b 
ab
8 + 9 
8-9
a 
ab
2 
b
2 
b
17
72
2 
b
2 
a
2 
a
_b_ 
ab
1
" 3
6x2 -6(y + 1)x + (6y2 +2) = 0
No caso em que A = 0 a equação acima terá uma única raiz real. 
Assim,
1 
y = — J 3
1
y=3
2x = — e y
3
28)
a) Determine x, y e z reais tais que (x -1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 0 .
27) Se a e b são números reais tais que 1 < a < b < 9 , qual o menor valor 
a + b , . que------ pode assumir?
ab
= ^=>x + y = 1
Assim temos que a equação
(1-x)2+(x-y)2+y2
Será mínima quando os denominadores a e b forem máximos, ou seja 
a = 8 e b = 9 (note que, por hipótese, a < b). Assim o menor valor 
.. . a + b 1 1 .assumido pela expressão - -----= —+ — e
ab ba
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 61
2 ez = 3
b) Determine x e y tais que x2+y2-2x-4y+ 5 = 0.
<=> x = 1, y = 2
b)
3ab(a + b) = 0
x-1 = 0
y-2 = 0
a3 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a +
a = 0 
b = 0 
a = -b
Mas 
a3 + b3 = (a +
a3 +b3 =(a +
29) Resolva, no universo dos números reais, a equação 
(x-3)3 + (x-7)3 =(2x-10)3
Como x-3 e x-7 = b,
a = 0c=>x-3 = 0ox = 3
b = 0<=>x —7 = 0ox = 7
a = -b<x>x-3 = -(x-7)o-3 = 7 (impossível)
Resolução:
Uma soma de quadrados de números reais só é zero se cada uma 
delas for zero. Assim,
Resolução:
A idéia aqui é inicialmente completar os quadrados, 
x2+y2-2x-4y + 5 = 0=>x2-2x + 1 + y2-4y + 4 + 5 = 1 + 4 
=> (x-1)2 +(y -2)2 =0
Uma soma de quadrados de números reais só é zero se cada uma 
delas for zero. Assim,
(x-l)2+(y-2)2=0«
b)3
b)3
x-1 = 0
(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 = 0 o • y-2 = 0 <=• x = 1, y
z-3 = 0
(x-7)3 =(2x-10)3
Resolução:
Faça a troca de variáveis x-3 = a e x - 7 = b e note que a + b = 2x - 10. 
Assim a equação original (x-3)3 + (x-7)3 = (2x-10)3 pode ser 
escrita como
(x-3)3
62 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Assim as únicas raizes reais da equação são 3 e 7.
30) Em K, resolva a equação x2+ Vx -18 = 0 .
0
2
32) Demonstra-se que
2ab 
ab
x + 4)(Vx +2) + l) = 0 Vx
Resolução:
Ora, como ab = a - b segue que:
a2+b2-(ab)2 a2 + b2 - (a - b)2 
ab ab
Resolução:
Inicialmente note que x > 0 pois Vx em IR só é bem definido se 
x > 0 . Podemos escrever x2+ Vx-18 = 0 da seguinte forma: 
x2+Vx-18 = 0=>x2-16 + Vx-2 = 0
=>x2-42+Vx-2 = 0
=> (x - 4)(x + 4) + Vx - 2 = 0
Note que (x-4) = (Vx)2-22 = (>/x-2)(Vx +2), assim podemos 
reescrever a equação (x-4)(x + 4) + Vx-2 = 0 da seguinte forma:
(x-4)(x + 4) + Vx - 2 = 0
(Vx-2)(VÍ+ 2)(x + 4) + ( JÍ-2) = 0
(Vx-2)((x + 4)(Vx+2) + l) =
Como x>0 segue que ((x + 4
Assim
(VJ-2)((
)(Vx +2)+l) nunca zera para xreal.
1 n2+ — + ... = —. Acreditando 
n2 6
, 1
nisto calcule o valor da soma S = 1 + — + —
a b— + — ab 
b a
1 
----------------? + " 
(2n-1)
-2 = 0cç>Vx=2cí>x = 4
a b31) Se ab = a - b, determine o valor da expressão — + — ab . 
b a
„ 1 1 11 + —z- 4--- — 4--- — + ...
22 32 42
„ . 1 1
—T 4----z- 4----7T + ... +
32 52 72
63Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Resolução:
33) Determine n e N tal que 211 + 28 + 2n seja um quadrado perfeito.
211
Note que na última expressão teremos um trinômio quadrado perfeito 
quando n = 12.
_1_
16
7^
8
6
6
6
+ 4
1+ - + ...
1 
42+- +
n2= —
6
22
42 + 6
6
1 1
42 + 32 +"'
3! '
6
1L 1 1 + — 1 + —+ —+ 
4 ‘ "
1 1
52 + +(2n-1)2
d 1 1 1"1 d--- — d--- ~ d- —— +
22 32 42
„ 1 11 d--- — d- —— + ...
32 52
1
(2n)2
1 + 4 + 
32
i
4 ' 6
„ 1 11 + —+ — + ...+
32 52
„ 1 1
l "í-- X" ------Z" d- ... d-
32 52
1 
(2n-1)2
1 
(2n-1)2
Resolução:
+ 28 + 2n = 2® +211+2n =(24)2 + 2-24 -2® +2n
, 1 1 11 d- —— d---- — d- ... d----------------— d- ...
32 52 (2n-1)2
d 1 1 1
32 52 (2n-l)2
. 1 11 d---- — d--- —• d- ... d-
32 52
1
d---------------y d- ...
(2n-1)2
1 
(2n-1)2+"
4-—+ 4 ’ 6
1
4
1
9
1
32
1
22
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração64
34) Se a3 - b3 = 24 e a - b
Resolução:
Por outro lado,
Como a2 + ab + b2 =12 segue que
a2 +ab + b2
(x-2)(x2 +2x + 4) Oo
x2+2x + 4 = 0
= -1±2>/3-iA
Assim temos que 
ía2 +ab + b2 =12 
|a2 -2ab + b2 = 4
2a2+2ab + 2b2 =24 
a2 -2ab + b2 = 4
x-2 = 0« x = 2 
x2+2x + 4 = 0
Resolução:
x3 - 8 = 0 => x3 - 23 = 0
Adicionando estas duas últimas equações,
3(a2 +b2) = 28 => a2 +b2 = y
a - b = 2 => (a - b)2 = 4 => a2 - 2ab + b2 = 4
12=> — + ab = 12=>ab = —
3 3
2, determine (a + b)2.
22-4-1-4 =-12 => VÃ = 2^3 ■ i => x = 2±2^-
2
Queremos o valor de (a + b)2, o que agora fica bem fácil, vejamos:
(a + b)2 = a2 +b2 +2ab = —+ — = 12
v ’ 3 3
35) Resolva, em C, conjunto dos números complexos, a equação x3 - 8 = 0.
a3 - b3 = 24 => (a - b)(a2 + ab + b2 j = 24 => a2 + ab + b2 = ^ = 12
65Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
e
1) = 0
37) Calcule
x =
8
x8
(x8)2 -2x8 +1 = 0x
X8 -1 0
Resolução:
Fazendo
Resolução: 
x3+x2+x+1 = 0
x + 1 = 0
x2+1 = 0
Assim as raízes da equação, em C, são -1, i e -i.
x = -1 
x = ±i
x2(x + 1) + (x +
2------------
2-------
2^
2-...
(x + 1)(x2 + l) = 0 <=>
2------------
2-------
2-2^íi 
2-...
Assim temos que a equação x3 - 8 = 0 possui très raízes em C: 
2, -1-2>/3i e -1 + 2VÕ-Í.
1
1
1
1
1
1
:16 = 2x8 -1x8 =2-4
x8 
(x8 -1)2 =0 
Comox>1, segue que x=1.
x8 =2-4 
x
1
1
1
2—1-
2-...
x8 = 2------------
2-------
2tzl:
2-...
36) Resolva, em C, conjunto dos números complexos a equação 
x3 +x2 + x + 1 = 0 .
2------------
2-------
2-
X8 = 1 => X = +1
1
1
1
66 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
0
c
31.
a+b+c+2d+e
Assim a solução do sistema é única e igual a (-25, -19, -7, 17, 65).
Resolução:
Adicionando as cinco equações obtemos
6(a + b + c + d + e) = 186=>a + b + c + d + e
Resolução:
De fato,
Analogamente,
a + 2b + c + d + e = 6=>b + a+b+c+d+e = 12=>b = -19
31
a + b + 2c + d + e = 6=>c + a + b + c + d + e = 24 => c = -7
31
6 => d + a + b + c + d + e = 48 => d = 17
31
a + b + c + d + 2e = 6=>e + a + b + c + d + e = 96 => e = 65
31
39) (AIME) Resolva o sistema abaixo:
2a + b+ c+ d+ e = 6 
a + 2b+ c+ d+ e = 12
• a + b + 2c+ d+ e = 24 
a+ b+ c + 2d+ e = 48 
a+ b+ c+ d + 2e = 96
38) Verifique que a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc o a = b = c.
a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc
a2 - 2ab + b2 + a2 - 2ac + c2 + b2 - 2bc + c2 
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 o a = b =
Note que podemos reescrever primeira equação do sistema como 
sendo
2a + b + c + d + e = 6=>a + a + b + c + d + e = 6 => a = -25
31
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 67
Agora perceba que a parte
1
1 
T1 + 1+ ---
3 +
4 +
1 + 1 +
3 + -
4 + —
1 + 1 +
3 +
4 +
1 +-----------
3 +----
4 +
1 +
1 +
3+ -
4 +
2 +
3 +
4 +
a = 1 +---------
3 + —
4 +
1
2005
1 
1 
2005
1
1
1
1 
"+ 2005
Aparece nas duas frações. Assim, fazendo
1
1
1
1 
+ 2005
1
1
1
1
+ 2005
Teremos,
1
Resolução:
Podemos reescrever a primeira fração como 
1 1
- r - i
”’ + 2Ó05
40) (Torneio das cidades) Calcule:
1
1
1
1
1 
"+ 2005
1
1
1
1. . __
"+ 2005
68 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
41) Determine a e b naturais tais que 2'
Resolução:
=>2a = 8,3b=3=>a = 3 e b = 1
+ 12b
.32
+ 12b =
+ 12b = a2-b2 +12b
1
1 + a
1
1 + a
2a + 3b = 11 
2a - 3b = 5
22a
>’6)+ b
■T
-b32
-32b
Resolução:
Note que 
a32-b32
55 => (2a + 3b) (2a - 3b ) = 11.5 =>= 55=>(2a)2-(3b)2 =
+ b16
+ b16
1
1+1
a
a32
a32
a32
a32
a1B
a 1 + a „ 
+1+a 1+a
+ b16)
+ b’6)
.16
+ b16)
= (a16-b16)(;
-b32 = (a8-b8)(a8 + b8)(a16 +b16)
(a4 -b4)(a4 +b4)(a8 +b8)(a16
+ b16)
+ b16)
_____________ a32-b;
(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a16+b16)
(a2-b2)(a2 +b2)(a4 +b4)(a8 +b8)(a16
(a2 +b2)(a4 +b4)(a8 +b8)(a’6 + b"
42) Sabendo que a + b = 6, encontre o valor de 
a32-b32 
(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a18
- b32 = (a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4 )(a8 + b8 )(a16
- b32 = (a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a18
!2a - 32b = 55 .
i16-b18
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 69
12b = 6(a-b) + 12b
i2
+ 12b = 6(a + b) = 6-6 = 36'-- --- -
=6
12b = (a + b)(a - b) + 12b
=6
44) Qual o maior valor de n, n e N para que n3 + 100 seja divisível por 
n + 10.
43) Se a e b são inteiros consecutivos, mostre que a2 + b2 + (ab)2 é um 
quadrado perfeito.
Assim o maior natural n para o qual n3 + 100 é divisível por n + 10 é 
890, visto que o maior divisor natural de 900 é o próprio 900. Assim,
n +10 = 900 => n = 890
900 
n + 10
’16)
Q+
(a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4 )(a8 + b8 )(a16 + b16) 
:’6+b16) 
■16 + b1 
^T 
+b1 
+b,8y
(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a
(a2 - b2 )(a2 + b2 )(a4 + b4 )(a8 + b8 )(a
(a2+b2j(a4+b4)(a8+b8)(a16+b'
(a2 -b2)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a1B
(a2 +b2)(a4 +b4)(a8 + b8)(a16
n2 +10n + 100--^_ 
n + 10
Resolução:
Como a e b são inteiros consecutivos podemos supor que a = x e 
b = x + 1. Assim, 
a2 +b2 +(ab)2 = x2 +( 
a2 +b2 +(ab)2 = x2 + (
a2 + b2 +
a2 + b2 + (ab)2 = (x2 + xj2 +1 = |jx2+x) + l] =(x2 + x + l)2
x +1)2 + [x(x +1)]2 = x2 + (x +1)2 + x2 (x +1)2 
+1)2 + [x(x +1)]2 = x2 + (x +1)2 + (x2 + x)2 
(ab)2 = 2x2 +2x + 1 + (x2 + x)2 
+ 2(x2 + x)
Resolução:
n3+100 n3 +1000-900
n+10 n+10
(n + 10)(n2 +10n + 100) 
n + 10
n3 +103 900
n+10 n+10
n3 +100
n + 10
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração70
45) Calcule o valor de A = ^(1000000)- (1000001) - (1000002) • (1000003) +1.
Como
y = x2 + 3x
46) Se a, b e c são números reais tais que a2 + 2b = 7, b2 + 4c = -7 e
c2 + 6a = -14. Determine o valor de a2 + b2 + c2.
x(x + 1)(x + 2)(x +
A = ^(1000000).(1000001).(1000002). (1000003)+ 1 = 
a = 7(y +1)2 = y +1 = 1.000.003 000.001
Assim,
A = 7(1000000) ■ (1000001) ■ (1000002) • (1000003) + 1 = yj(y + 1)2 = y +1
e x = 1.000.000= 106
Segue que y = x2 + 3x = (l06) + 2-106 = 1.000.003.000.000, segue 
que
Fazendo y = x2 + 3x, segue que
3) + 1 = (x2 +3x)(x2 +3x + 2) + 1 = 
= y (y + 2) +1 = y2 + 2y +1 = (y +1)2
Resolução:
Fazendo x = 1.000.000 = 106, segue que:
(1000000) • (1000001) ■ (1000002) ■ (1000003) = x (x + 1)(x + 2)(x + 3) 
= x(x + 3)(x + 2)(x + 1)
(1000000)-(1000001) (1000002)-(1000003)x(x + 3)(x + 2)(x + 1) = 
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 71
7
(a2 (c + 2)2=0
Assim segue que a = -3, b = -1 e c = -2 => a2 + b2 + c2 = 14.
40.
a2 + 2a - 60 = 0 => a = -1 ± 761a2 =40 + 2(10-a)
-1± .61Como x + y = a segue que x + y = a
48)
I. Qual das frações abaixo é a maior?
a) b)
c) d)
Resolução:
Adicionando as três igualdades, 
a2 +2b
• b2 + 4c
c2 + 6a = -14
Por outro lado,
x + y = a e xy = b => (x + y)2 = a2
+ 2b) + (c2 + 4c) = -14 => (a + 3)2 + (b +1):+ 6a) + (b2
25.038.876.541
25.038.876.543
25.038.876.545
25.038.876.547
25.038.876.543
25.038.876.545
25.038.876.547
25.038.876.549
,2 =
=> x2 + y2 + 2xy = a2 => 40 + 2b = a2
Temos então oseguinte sistema' 
Í40 + 2b = a2 
|a + b = 10
47) Se x e y são números reais tais que x + y +xy = 10 e x2 + y: 
Determine o valor de x + y.
Resolução:
Fazendo x + y = a e xy=b, segue que x + y + xy=10=>a + b = 10.
72 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Resolução:
e assim a medida que n cresce ------- decresce fazendo com que
se toma cada vez mais próximo de 1. Ora, como a
sequência an =------- , com n natural, é crescente segue que a maior
fração é visto que é a que apresenta entre as
II. Qual das frações abaixo é a menor?
a) b)
c) d)
Resolução:
a+ 2 000.000 2.000.000= 1 +
a a
a + 1.000.000 1.000.000= 1 +
a a
250.384.765.412
250.383.765.412
a + 2.000.000 a+1.000 000+1 000.000 
a + 1.000.000” a + 1.000.000
a-1.000.000+1.000.000 
a-1.000.000
a
a-1.000.000
Fazendo 250.384.765.412 = a. Perceba que podemos escrever as 
frações acima na forma
250.386.765.412
250.385.765.412
250.385.765.412
250.384.765.412
250.386.765.412
250.384.765.412
250.386.765.412
250.384.765.412
250.384.765.412
250.383.765.412
250.386.765.412
250.385.765.412
250.385.765.412
250.384.765.412
1.000.000
a-1.000.000
1.000.000
a + 1.000.000
n 
a"~^
n . . n
sequencia an =----- — e crescente pois an =----- —
Note que todas as frações acima são da forma —com n natural. A
n + 2-2 
n + 2
= 1"^2
2
n + 2
n
n + 2’
25.038,876.547
25.038.876.549 ’
quatro frações dadas o maior n, no caso n = 25.038.876 547.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 73
Analisando calmamente o exposto acima, segue que:
, pois 1.000.000 < 2.000.000
, pois a + 1.000.000 > a
pois a > a - 1.000.000
Assim concluímos que a menor das quatro frações é
éa
1 +
a)
Resolução:
= 0
(a-b)(b-c)(a-c)
b)
a3 , b3 c3
(a -b)(a -c) + (b-a)(b-c) b (c -a)(c-b)
1.000 000 
a + 1.000.000
2 000.000 
a
1.000.000
a-1.000.000 '
1.000.000
a
1.000.000
a
1.000.000 
a
portanto entre 
250 385.765.412 
250.384 765.412 
são da forma 1 + 
valor para a.
1.000.000 -------------- e 
a
menor
1 1 1 
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
1 1 1
(a-b)(a-c) (a-b)(b-c) + (a-c)(b-c) 
(b-c)-(a-c) + (a-b) o
(a-b)(b-c)(a-c)
as quatro frações originais
a+ 1.000.000 „ 1.000.000
a a
a e evidentemente a menor é a que possui o menor
49) Simplifique:
1 1 1
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
, visto que todas
74 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
= a + b + c
a~c)]
+ bc + b2)(a-b)
50) Se 0 < a < b e a2 + b2 = 6ab, determine o valor de -a -+ — . 
a-b
Resolução:
a3 , b3 c3
(a-b)(a-c) + (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
a3 b3 + c3
(a-b)(a-c) (a-b)(b-c) (a-c)(b-c)
a3 (b - c) - b3 (a - c) + c3 (a - b)
(a-b)(a-c)(b-c)
a3 (b - c) - b3 [(a - b) + (b - c)] + c3 (a - b)
(a-b)(a-c)(b-c)
a3 (b - c) - b3 (a-b) - b3 (b - c) + c3 (a - b)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a3 -b3j(b-c) + (c3 -b3j(a-b)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(a2 +ab + b2)(b-c) + (c-b)(c2
(a-b)(a-c)(b-c)
(a - b)(b -c)(a2 +ab + b2 -c2 -bc-b2)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(b-c)(a2 -c2 +ab-bc)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(b-c)[(a-c)(a + c) + b(
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(b-c)(a-c)(a + b + c)
(a-b)(a-c)(b-c)
75Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
x2
Mas ocorre que 0 < a < b e assim a - b < 0 => x
51) Simplifique a expressão A = ^4 + 4^2 + 44 + y]4 - 4</2 + x/4 .
4
Resolução:
Como a é raiz de x2
— = 2=>x2=2=>x = ±x/2 
4ab
6ab + 2ab
6ab -2ab
a2 +2ab + b2
a2 -2ab + b2
Resolução:
A = x/4 + 4?/2+^/4 + V4-4V2 + ?/4 =
^(2 - ?/2)2 = (2 + ^/2) + (2 - ?/2) =
a resposta correta é -42 .
Como a2 = 1 - a segue que
a3 = a-a2 = a- (1-a) = 2a-1
Novamente multiplicando ambos os membros por a,
+ x - 1 =0 segue que a2 + a - 1 = 0 => a2 = 1 - a.
Multiplicando ambos os membros por a, 
a2 = 1 - a => a3 = a - a2
a + b _ . .------ < 0 e portanto
= ía-1-13? = (a hb)2 
la-bj (a-b)2
Como a2 + b2 = 6ab, segue que
2 a2 +2ab + b2
X ~a2-2ab + b2
Resolução:
Façamos
a + bx =------ =>
a-b
52) (OBM) Se a é uma das raízes da equação x2 + x - 1 - 0, determine o 
valor de a5 - 5a.
76 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Como a2 = 1
a3 + b3 + c3 + (a + b + c)(ab + ac + bc)
Resolução:
Sabemos que
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3ba2 + 3bc2 + 3ca2 + 3cb2 + 6abc
Então:
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3ab2 + 3ac2 + 3ba2 + 3bc2 + 3ca2 + 3cb2 + 6abc
(a + b + c)3 -a3 -b3 -c3 = 3(ab2 +ac2 +ba2 +bc2 +ca2 +cb2 + 2abc)
(a + b + c)3 - a3 -b3-c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 2abc]
Novamente multiplicando ambos os membros por a, 
a4 = 2 - 3a => a5 = 2a - 3a2
Como a2 = 1 - a segue que
a5 = 2a - 3a2 = 2a - 3(1-a) = 5a - 3 => a5 -5a = -3
a3 = 2a -1 => a4 = 2a2 - a
- a segue que
a4 = 2a2 -a = 2(1-a)-a=2-3a
53)
a) Mostre que (a + b + c)3
Resolução:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b + 3abc 
(a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 +ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 3abc 
(a+b+c)3 =a3 +b3 +c3 +ab(a+b)+abc+ac(a+c) + abc+bc(b+c)+abc 
(a + b + c)3 =a3 + b3 + c3 + ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(a + b + c) 
(a + b + c)3 =a3 +b3 +c3 +(a+b + c)(ab + ac + bc)
b) Mostre que (a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 = 3(a + b)(a + c)(b + c)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 77
54)
,32
P = com x * 1.
')(- 
l).(x' 
+ 1)(x-1)P = (,
(x-1)P = (:
(x-1)P = (:
+ 1).(X'
x'°+1
x32+1
X64
:64 + l)
:64 + l)
:64 + l)
a) Efetue o produto
(x + 1)(x2+l)(x4 + l](x8 + l](x
Resolução:
P = (x + l)-(x2+l)(x4 + l)(x8+l)(x16+l)(x 
(x-1)P = (x-1)(x + 1)(x2 + l)(x4 + l)(x8 + l](x18
(x-1)P = (x2 -l).(x2 + l) (x4 + l) (x8 + l) (x16 + l)-( 
(x-1)P = (x4 -l)(x4 + l)(x8+l)(x16+l)(x32+l)(x64 + l) 
(x-1)P = (x8-l)-(x8+l)-(x16 
x16 — l) • (x16 + l) - 
x3z-l).(x32+l)( 
X64 -1).(x64+1)
(x-1)P = (x,28-l)
(x128-l)
(x-1)
:16+l)-(x:
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + c)+ bc(b + c) + abc + abc] 
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + c) + abc + bc(b + c) + abc] 
(a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + b + c) + bc (a + b + c)] 
(a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 =3[ab(a + b) + (a + b + c)(ac + bc)] 
(a + b + c)3 - a3-b3 -c3 = 3[ab(a + b) + (a + b + c)c(a + b)] 
(a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 = 3^(a + b)(ab + ac + bc + c2)^| 
(a + b + c)3 - a3 - b3 -c3 = 3[(a + b)(b(a + c) + c(a + c))]
(a + b + c)3 - a3 - b3 -c3 =3(a + b)(a + c)(b + c)
16
+ 1)( 
x32+l)-( 
X64 + 1)
^2 +• ]x84 + l]
+ l).(x32 + l).(x' 
x32+l).(x'
+ 1
:64 + l)
78 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Fazendo x = siÍ2 ,
(6^ + l)-(3^ + l)-(1^ + l)-(V2+l)(3/2+l)(V2+1)3 =
(x128-l)
(x-1)
(x128-l)
z3
(x + y)3'
x3 
(y+z)3
55) Sejam x, y e z números reais tais que x + y + z = 0ex + y, x + z, 
x3 v3 y + z # 0, calcule o valor da expressão —-—- + —-—- 
- '3 (x + z)3
b) Racionalize ———————x . ——r
(6í/2 +1) • (3t/2 +1) ■ +1) ■ (S/2 +1) • (í/2 +1) • (72 +1)
Resolução:
Usando o item (a),
(x +1) - (x2 +1) ■ (x4 +1) • (x8+1) • (x16 +1) • (x32 +1) ■ (x84 +l)
(x +1) • (x2+1) • (x4 +1) • (x8 +1) ■ (x18 +1) ■ (x32+1) • (x64 +1) =
í(6^)128-il 
(8^+l).(3^+l).(’^+l).(^+l)-(^+l).(V2+l).(2+1)=^-—1 
^2-1)
 (4-1) 
(s^/2-1)
3 
(6í/2-l)
(^ + 1).(3^ + 1).(^ + 1).(^ + 1).(^ + 1).(^ + 1) = ^A_ 
___________________________ _______________________________ 64^2 _ -j 
(6í/2 +1)- (3^2 +1)- (1§^2 +1). ^2 +1) • (í/2 +1) • ^42 +1)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 79
Resolução:
x + y + z = 0 =>
= (-1) + (-1) + (-!) = -3
= 3
= 0y-
= 3y= 3y => 2xy +
= 3y => 2xy -1 = 3y => x =2xy +
0 e x =Como y- segue
que:
-3y =0 => 4y4 -3y2 -1 = 0 => y2 =1y
1.Assim y = 1 ou y = -1. Como x
(x + y)2.
3y+ 1
2y
Assim as soluções do sistema são os pares (2, 1) e (1, -1).
3y+ 1
2y
3y+ 1 
2y
3y+ 1
2y
3y + 1 
2y
segue que x = 2 ou x =
57) Encontre todos os pares de inteiros x e y tais que x3 + y3 =
= 0 => y(x2 + y:
(y2 + x2) 
x2 + y2
(y2 + x2) 
x2 + y2
56) Resolva o sistema de equações:
3x-y 
x2 + y2 
x + 3y 
x2 + y2
x + 3y 
x2 + y2
x3
/ \3 +
(y+z)
z3 
(x + y)3
x + y = -z 
x + z = -y 
y + z = -x
,3 z3
+ (-z)3
'2)-(x + 3y) =
Resolução:
Multiplicando a primeira equação por y, a segunda por x e 
adicionando, obtemos:
x3 y 
(-x)3+(-y)3
2
+y2
y3 , 
(x + z)3
. (3x-y)y-(x+ 3y)x 
y x2 + y2
80 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Resolução:
-3y2 + 6y + 1 > 0 => <y<
Como os coeficientes de a2, b2, c2
Assim,
Como y deve ser inteiro, por hipótese, segue que os únicos valores 
possíveis para y são 0, 1 e 2 que nos leva às soluções (1, 0), (0, 1), 
(1,2), (2,1) e (2, 2).
3-2>/3
3
3 + 2V3
3
Resolução:
Vamos supor que
30(a2 + b2 +c2 + d2) + 68ab -75ac -156ad -61bc -100bd + 87cd = 
= (Aa + Bb + Cc + Dd)(Ea + Fb + Gc + Hd)
30(a2 +b2 +c2 +d2) + 68ab-75ac -156ad-61bc -100bd + 87cd =
ou r^/30 30 30 30= (Aa + Bb + Cc + Dd) —a + — b + — c + — dv 'V A B C D J
58) Fatore a expressão
30(a2 +b2 +c2 +d2) + 68ab-75ac-156ad-61bc-100bd + 87cd
e d2 são iguais a 30 segue que
E=3£.F=30 30 eH=30
ABC D
x3 +y3 =(x + y)2 => (x+ y)(x2 - xy + y2) = (x + y)2
Se x + y = 0 todos os pares de inteiros (x, -x), x e Z são soluções. Se 
x + y 1 0 a equação (x + y) (x2 - xy + y2) = (x + y)2 implica que 
x2 - xy + y2 = x + y, que podemos reescrevé-la como 
x2 - (y + 1)x + y2 - y = 0 que pode ser vista como uma equação 
quadrática em x. Assim,
A = [-(y + 1)]2-4-l(y2-y) = -3y2+6y + 1
Lembrando que uma equação quadrática possui raizes reais quando 
A > 0 , segue que
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 81
segundo membro é ------+------ . Assim devemos ter -------+------ = 68.
ou
C— ou —; — = -3 ou —— ou - 5 ; —
3 5 ou
ou
E também
-5ou
A B C A 3 5
2,B ' C' A' D 5 6
A J3
B C
Agora perceba que
A 
C ”
£ 
A
C
D
J3 C
C A
1
2
1
2
6
5
5
3
A
B
3
5
2
5
5
3'
6 5— ou —
5 6
B C
C' A
C A
A' D
6
5’
A J3
B ' C 5’6
1
-2 ou --
2
C A ( „ 1------= -2 ou —
A D
1 cl— ou - 5 =>
5 J
1
-2 ou - -
2
6 5— ou —
5 6
Agora perceba que o coeficiente de ab no primeiro membro é 68 e no 
. 30A 30B . , 30A 30Bsequndo membro e ------+------ . Assim devemos ter -------+------ = 68.
BA BA
Analogamente,
(5 3— ou —U 5
—,-2 
6
J-2,-1l 5
Raciocinando analogamente para os demais termos segue que
A 1 A 1 B 6 5 B 1— = -2 ou — ; — = — ou-5; — = — ou —; — - -3 ou — , —
C 2D5 C 5 6D 3D
5 ou —
2
„ A 3 .Se — = — implica que
B 5
1A f GA(A, B, C, D)=l A. ±-, -2A, -5A
2 5— ou —
5 2
5 3— ou —
3 5
Assim,
— = r => - — + — = 68 => 30r2 - 68r + 30 = 0 => —
B B A B
1
2
82 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Ops! Essa foi difícil! ©
2,
Assim.
S =
30(a2 + b2 + c2 + d2) + 68ab-75ac-156ad-61bc-100bd + 87cd = 
= (3a + 5b-6c - 15d)(10a+ 6b - 5c - 2d)
Resolução:
Note que x + y + z = 2 => z-1=1-x-y
xy + z-1 = xy + 1-x-y = (x-1)(y-1)
1
zx + y -1
x + y + z - 3S =
Analogamente é fácil concluir que
yz + x-1 = (y -1)(z-1) 
zx + y -1 = (z -1)(x -1)
Como esperamos que os coeficientes A, B, C e D sejam inteiros 
sugerimos que A = 3 o que implica que (A, B, C, D) = (3, 5, -6, -15) e 
então
30 (a2 + b2 + c2 + d2) + 68ab - 75ac -156ad - 61bc -10Obd + 87cd =
ou ^^30 30. 30 30 A(Aa + Bb + Cc + Dd) —a + — b + — c + — dv \a b c d )
É escrita como
Como x + y + z = 2 segue que
x + y+ z-3 ________ -1______
(x-1)(y - 1)(z -1) " (x - 1)(y -1)(z -1)
S- 1 , 1
xy + z-1 yz + x-1
1 1 1
(x-1)(y -1) + (y-1)(z-1) + (z-1)(x-1) " (X-1)(y-1)(z-1)
59) Sejam x, y e z números complexos tais que x + y + z 
x2 + y2 + z2 = 3 e xyz = 4. Calcule o valor de
 1 1 1S =------------+-------------+------------- .
xy + z-1 yz + x-1 zx + y-1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 83
S =
Finalmente,
60) Resolva o sistema:
(x + y + z)2 -2(xy z2 32-2b = 3=>b = 3
Como estamos supondo que x, y e z são raizes de t3 - at2 + bt - c = 0 
segue que
xyz - (xy
Por outro lado,
2
9
x3 -ax2 +bx-c = 0 
y3 - ay2 +by - c = 0 
z3 - az2 + bz-c = 0
z2 + 2(xy + xz +
+ xz + yz) + (x + y + z)-1
xyz - (xy + xz + yz) + (x + y + z) -1
5-(xy + xz + yz)
a=x+y+z=3 
+ xz + yz) = x2 + y2 -
Resolução:
Sejam x, y e z as raizes da equação t3 - at2 + bt - c = 0. Assim, por 
Girard,
5-12
x + y + z = 3
x2 +y2+z2 =3
x3 + y3 + z3 = 3
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)
22 = 3 + 2(xy + xz + yz) => xy + xz + yz = —
Adicionando estas três igualdades,
x3 + y3 +z3 -a(x2 +y2 + z2) + b(x + y + z)-3c = 0 
3-3-3 + 3-3-30 = 0 => c = 1
s —------------------
(x-1)(y-1)(z-1)
S =----- '-----------------r
5 - (xy + xz + yz)
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração84
Como estávamos supondo que x, y e z são as raízes da equação 
original segue que x = y = z = 1.
Resolução:
Como a, p e y são as raizes da equação x3 + 5x + 8 = 0 temos que a, 
p e y estes números satisfazem a equação, ou seja:
Resolução:
Uma maneira muito elegante de demonstrar a identidade acima é a 
seguinte:
Como |z|2 |w|2 = |z.w|2 segue que
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 +(ad-bc)2
62) Se a, p e y são as raízes da equação x3 + 5x + 8 = 0 determine o valor 
de a3 + p3 + y3.
Assim a equação t3 - at2 + bt - c = 0 fica
t3 -3t2 + 3t-1 = 0 <=> (t-1)3 =0 <=> t = 1
Sabemos que
z.w = (ac + bd) + (ad - bc).i
a3 + 5a + 8 = 0
P3 + 5p + 8 = 0
Y3 + 5y + 8 = 0
e |w|2 = c2 + d2
|z.w|2= (ac + bd) + (ad - bc)'
61) Se a, b, c e d são números reais mostre que
(a2 + b2)(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 +(ad- bc)2
Consideremos os números complexos
z = a + bi e w = c + di => |z|2 = a2 + b2
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 85
,3 -24
16
Determine o valor mínimo de e.
Como a + b + c + d = 8- e e a2 + b2 + c2 + d2=16-e2 segue que
16 => e > —
5
4(a2 +b2 + c2 + d2 j > (a + b + c + d)2
63) Sabendo que a, b, c, d e e são números reais tais que 
ía + b + c + d + e = 8 
|a2 +b2 +c2 +d2 + e2
=> 4(16-e2) > (8-e)2
64) Sejam x,, x2, xn números inteiros tais que -1 < X| < 2, i = 1, 2, 3, n, 
x, + x2 + ... + xn =19 e x2 + x2 + ... + x2 = 99. Sendo m e M os valores 
máximo e mínimo da expressão x3 + x2 + ... + x3 , determine o valor de 
M 
m
Resolução:
Não é difícil provar que
4(a2+b2
Adicionando as três equações acima temos:
a3 + p3 + y3 + 5(a + P + y) + 24 = 0
Assim o menor valor que e pode assumir e — .
c2 + d2) > (a + b + c + d)2
a3 +p3 + y'
Mas a + p + y é a soma das raizes da equação que, pelas relações de 
b oGírard é igual a — , onde b é o coeficiente de x , que o caso dessa 
a
equação é ZERO!, Visto que o termo x2 não aparece na equação 
x3 + 5x + 8 = 0. Assim temos que a + p + y = 0 e daí temos que 
a3 + P3 + y3 + 5(a + p + y) + 24 = 0 => a3 + p3 + y3 + 5(a + p + y) + 24 = 0
86 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Como b > 0
0, ou seja,
Usando o fato de que MG < MA segue que
,2
Resolução:
Como x + y + z = 1 segue que (x + y + z)2 = 1 e daí
1 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)
Assim o mínimo de xf + X2 +... + x„ ocorre quando c = 
m = (x?+x2+... + x’)m.n=19
x2 + y'
2~
Resolução:
Sejam a, b e c as quantidades de (—1)’s, Ts e 2’s presentes na 
sequência (x,, x2, ..., xn). Assim a, b e c são inteiros não negativos 
satisfazendo -a + b + 2c = 19 e a + b + 4c = 99. Isolando a e b em 
função do c, podemos concluir que a = 40 - c e b = 59 - 3c.
133
19
. MAssim, — 
m
Enquanto que o máximo ocorre quando c =19, ou seja 
M = (x?+x|+... + x2)màx =133
65) Se x, y e z são números reais tais que x + y + z = 1, mostre que 
x2 +y2 + z2 > -.
59 b > 0 => 59 - 3c > 0 => c < — = 19,6 => 0 < c < 19
2xy < x2 + y2
Então
ía = 40 -c
|b = 59 - 3c
xf + x2 +... + x„ = -a + b + 8c = 19 + 6c
'x2y2 <
87Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
=> 2xz < x2 + z2
=> 2yz < y2 + z2
Ou seja,
3x2 + 3y2 + 3z2 > 1 => 3(x2 + y2 + z2) > 1 => x2 ,2
6)(x + 4) = 504.
504
67) Determine racionais a, b e c tais que \/x/2-1 = 5/a + ?/b + 1/c .
'y-1.
Note que y = \/2=>y3=2=>1
Assim, 
1=x2 + y2 +z2 +2(xy
66) Resolva a equação(x-5)(x-7)(x +
+ xz + yz)<x2 +y2+z2 +(x2 +y2)+(x2+z2)+(y2 + z2)
x2 + z2 
2 
y2+z2 
2
-x-20)(x2 -x-42) =
+ y2 +z2 > —
y2z2 <
y3 — 1 = (y — l)(y2 + y +1) eque
Resolução:
Reordenando os fatores,
(x - 5)(x + 4)(x-7)(x + 6) = 504 => (x2
Resolução:
Seja x = e y = ?/2 => x =
Fazendo y = x2 - x, 
(x2 -x-20)(x2 - x - 42) = 504 => (y - 20)(y -42) = 504
=> y2 - 62y + 336 = 0
Assim, y2 - 62y + 336 = 0=>y = 6 ou y = 56 .
Como y = x2-x segue que
x2 - x = 6 „ o
=> x =-2 ou 3 ou- 7 ou 8
x2 - x = 56
y = x2 - x =>
1
3
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração88
y2 +y+ 1 =
Segue que y -1 =
,2
1 
y + 1
1 
y + i
68) Qual o valor numérico da expressão abaixo para x < -3?
 
A = a/9-6x + x2 + ^9 + 6x + x2
Como x = ^/y-1 segue que x3 = y - 1. Lembrando que 
i = y3-i = (y-i)(y2+y+i) 
1 
y2 +y+ 1
y2 - y+ 1
3
y2 -y + i
3
=> x = 3/3
Assim, x3 = y -1 = — 
y
Como y = 3/2 segue que
Por outro lado, 3 = y3 +1 = (y+ 1)(y2 - y + 1) =>
Assim segue que:
3/3 x =------
y + 1
y2-y + i
3
4
Ou seja a = —,
2 1b = — e c = —
9 9
1 3 3/3________ — _________ —S X — 
+ y+i (y+1)3 y + 1
3y2 + 3y + 3 3y2 + 3y + 2 +1 3y2 + 3y + y3 +1 
3 3 3
y3+3y2+3y + 1 (y + 1)3
3 3
89Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
A
-3 segue que:Como estamos supondo que x
69) Encontre todos os números reais x tais que 2X + 3X - 4X + 6X - 9X = 1.
1 + a2 + b2 b = 1
70) Encontre todos os números reis x tais que
6a2 -13ab + 6b2 = 0 =>
ou seja,
o,x+1
x + 1 = 0=>x = -1
6a2 -9ab-4ab + 6b2 = 0 =>
(2a - 3b)(3a - 2b) = 0 <=> 2a = 3b ou 3a = 2b
7
6
7
6
7
6
Resolução:
Fazendo 2X = a e 3X = b, a equação acima pode ser reescrita como
1 + a2+b2-a-b-ab = 0
2-2x = 3-3x => 2X+1
8X +27x
12x +18x
a3+b3 
a2b + b2a
Multiplicando por 2 e completando os quadrados,
- a - b - ab = 0 => (1 - a)2 + (a - b)2 + (b -1)2 = 0 <=> a
= 3-=>^ = 1=>f2r =f2Y
3X+1 Uj
Resolução:
Fazendo 2X = a e 3X = b, a equação acima pode ser reescrita como
(a + b)(a2 -ab + b2) 
ab(a + b)
Assim 2X= 1 e 3X = 1 => x = 0 é a única solução da equação!
Resolução:
= -s/9 -6x + x2 + x/9 + 6x + x2 = ^(3 - x)2 + ^(3 + x)2 = |3-x|+|3 + x|
A = \/9-6x + x2 + \/9 + 6x + x2 = |3 - x| +13 + x| = (3 - x) + (-3 - x) = -2x
90 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
o
3-2x 2 3x =>2:
x2 + y2 + z2
x2y2z2 = abc
72) Determine o mínimo valor da expressão xy + xz + yz sabendo que x, y 
e z são números reais tais que x2 + y2 + z - 1.
Resolução:
Como
x2 + y2 + z2 = 1
Segue que
Resolução:
Multiplicando membro a membro as três igualdades,
ab 
c
abc
abc
abc
l2"
c2=^ 
c
= 1 + 2(xy + xz+ yz)
Mas ocorre que
(x + y+ z)2 >0
71) (AMC) Se xy = a, xz = b e yz = c, verifique que
(ab)2 +(ac)2 
abc
(bc)2
1
Assim o valor mínimo assumido por xy + xz + yz é .
j
1 + 2(xy + xz+yz)>0=>xy+xz + yz>-~
Sabemos que(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz).
!x-1 = 3:
(x + y + z)2
x2 + y2
x-1 = 0 => x = 1
y2 abc
y2z2
2 abc abc ac
y VT
2 abc abc bc 
x2y2 a2 a
ac bc (ab)2 +(ac)2 +(bc)2 
b a abc
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA — IME 91
2001) + 16 = 0
+ 16 = 0
Portanto, as raízes são: x = Võ -1998
bc a
bac
Resolução:
a-b 
c
b-c 
a
c -a
b
Resolução:
Fazendo y = x + 1998, teremos x = y - 1998.
73) Resolva a equação
(x +1995) (x +1997) (x +1999) (x +
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)
abc
 a2b - ab2 + b2c - bc2 + ac2 - a2c
abc
b (a2 - c2 j - b2 (a - c) + ac (c - a)
abc
b(a + c)(a - c) - b2 (a - c) - ac (a - c) 
abc
74) Se a + b + c = 0, com a#0, b^OecíO determine o valor da 
expressão
e x = -J5 -1998.
Substituindo na equação:
(y-1998 + 1995)(y-1998+1997)(y-1998 + 1999)(y-1998 + 2001) + 16 = 0 
(y-3)(y-1)(y + 1)(y + 3) + 16 = 0
(y2-9)(y2-l)
y4 -y2 -9y2 +9 + 16 = 0 
y4-10y2 + 25 = 0 
(y2-5)2=0 
(y2-õ) = 0 
y = ±>/5
a-b b-c c-a a-b b-c c-a}
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração92
a + c
logo,
Finalmente temos que:
c 
a -b
a 
b -c
b 
c-a
b 
c-a
b2 + bc) = ab2 - abc - b3 + b2c
- b3 + abc =- 2b3 - abc
b(a-b)(b-c) = b(ab-ac-
= b2
2(a3 +b3 + c3) + 3abc 
(a-b)(b-c)(a-c)
-ac)
-2 (a3 +b3 + c3)-3abc 
(a-b)(b-c)(c-a)
c(b-c)(c-a) + a(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c) 
(a-b)(b-c)(c-a)
-2c3 - abc - 2a3 - abc - 2a3 - abc
(a-b)(b-c)(c-a)
Portanto temos que:
c a 
a-b b-c
a(a-b)(c - a) = a (ac - a2 -bc + ab) = a2c - a3 - abc + a2b
= a2 b + c -a3 -abc =-2a3 -abc
Agora perceba que
c(b -c)(c-a) = c(bc - ba -c2 +ac) = bc2 - abc -c3 + ac2
= c2 a + b - c3 - abc = -2c3 - abc
(a-c)(b(a+c)-b2 -ac)
abc
(a-c).(ba + bc-b2
abc
(a-c).[b(a-b)-c(a-b)] (a-c) (a-b).(b-c)
abc abc
93Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
a3 + b3 + b3 - 3abc = 0 => a3 + b3 + b3 = 3abc => = 3
E portanto temos que
a-b bc a
b a-bc a
10;a+1 = 13 assim
a 
b-c
75) Se a, b e c são três inteiros positivos, tais que
abc + ab + ac+bc + a + b + c= 1000, 
calcule o valor de a + b + c.
Resolução:
Somando-se 1 aos dois membros da igualdade teremos: 
abc + ab + ac + bc+a + b + c + 1 = 1001 
ab(c +1) + a(c +1) + b(c +1) + c +1 = 7 • 11 • 13 
(c+ 1)(ab + a+ b + 1) = 7-11-13 
(c + 1)[a(b + 1) + b + 1] = 7-11-13 
(c + 1)(b + 1)(a + 1) = 7-11-13
c 
a-b
Logo, c + 1 = 7 assim c = 6, b+1 = 11 assim b = 
a = 12, logo a + b + c = 6 + 10 + 12 = 28.
+ 3abc
(a-b)(b-c)(a-c)
a3+b3 + b3 
abc
c-aj
(a-b b-c c-a------- r------- r------
v c a b
(a-c)-(a-b)-(b-c) 2(a3+b3+c3)
abc
b-c + c-a
b-c + c-a
abc
Mas por outro lado sabemos que
a3 + b3 + b3 - 3abc = (a + b + c) - (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc).
Como a + b + c = 0 segue que
abc
= 2-3 + 3 = 9
94 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
sendo zeros do polinômioe p =segue que
Subtraindo as duas últimas equações,
a =
temos que a - p = Võ . Assim,Como a = e p =
a =
1-V5
2
= 0=>a = —
a
1-V5 
2 
p também
+ 1. Assim,
q(x) = x2 -x-1, 
p(x) = ax17 + bx’6
76) Determine o número inteiro a para que o polinômio q(x) = x2-x-1 
seja um fator do polinômio p(x) = ax17 + bx16 +1.
-p”)
Para isolarmos o valor de a, multiplicamos a primeira equação por p'6 
e a segunda por a’6. Observe:
laa17+ba16+1 = 0
[ap17+bp,5+1 = 0
-a16
aa17p16+ba16p16
ap17a,6+bp16a16
aa16p,6(a-p) + p16
Resolução:
Se q(x) = x2-x-1 for um fator do polinômio p(x) = ax17+bx
1 + V5 a =-------2
a e
Como a e p são zeros do polinômio q(x) = x2-x-1 segue que 
ap = -1 (produto das raízesi). Assim 
a16-p16 
a,6p,6(a-p)
aa17 +ba16 +1 = 0
ap17+bp16+1 = 0
a16-p16 
(a-P)
al6-p16 
(a-P)
a16-p16 
16p16(a-P)
+ P16 =0
+ a16 =0
:’6+1
serão raizes do polinômio
95Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
n .n
fn
P16)Como a = fie-segue que a
Como
(fn) = (1,1, 2, 3, 5, 8. 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 )
Segue que a = 987.
20x
xy(ax + by) = 20(x + y)
Agora multiplicando a equação ax3 + by3 = 56 por x obtemos,
ax3 + by3 = 56 => ax4 + bxy3 = 56x
Agora multiplicando a equação ax3 +by3 = 56 por y obtemos,
ax3 + by3 = 56 => ax3y + by4 = 56y
Lembrando da famosa fórmula de Binet para o n-ésimo termo da 
sequência de Fibonacci,
ax3 + bxy2 = 20x 
ax2y + by3 = 20y
Multiplicando a segunda equação por y obtemos
ax2 + by2 = 20 => ax2y + by3 = 20y
Adicionando as duas últimas equações obtidas,
1 + 75
2
1-75
2fn=4vo
ax3 + by3
=56 =2
20(x + y)-2xy = 56
Resolução:
Multiplicando a segunda equação por x obtemos 
ax2 + by2 = 20 => ax3 + bxy2 =
-L(a16 7õv
77) Sabendo que ax + by = 2, ax2 + by2 = 20, ax3 + by3 = 56 e 
ax4 + by4 = 272, determine o valor de ax5 + by5.
96 3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
=> p = 2 e q = -8
Ou seja, x + y = 2 e x ■ y = - 8
a + b =1 e ab = -5
Resolução:
Usando Girard,
Adicionando as duas últimas equações obtidas, 
íax5 + bxy4 = 272x 
[ax4y + by5 =272y
Finalmente multiplicando a equação ax4 +by4 = 272 por x obtemos, 
ax4 + by4 = 272 => ax5 + bxy4 = 272x
20p — 2q = 56 
56p-20q = 272
Por outro lado,
Adicionando as duas últimas equações obtidas, 
[ax4 + bxy3 = 56x 
[ax3y + by4 = 56y
+4b-lj(b2 +4a-l) = a2b2 +4a3 -a2 +4b3 +16ab-4b-b2 -4a+1
78) Se a e b são as raízes da equação x2 - x - 5 = 0, determine o valor de 
(a2 + 4b - l).(b2 + 4a -1).
=> ax5 + by5 + xy (ax3 + by3) = 272(x + y)
=> ax5 + by5 - 448 = 544 => ax5 + by5 = 992
ax4 + by4 + xy(ax2 + by2 j = 56(x+ y)
*272 ' 35 '
=>56(x + y)-20xy = 272
agora temos que 20(x + y)-2xy = 56 e 56(x+ y)-20xy = 272. 
Fazendo x + y = p e x ■ y = q obtemos o sistema
Í20(x + y)-2xy = 56
[56(x + y)-20xy =272
Multiplicando a equação ax4 + by4 = 272 por y obtemos, 
ax4 + by4 = 272 => ax4y + by5 = 272y
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME 97
Mas
a + b = -1