Progressão aritmética

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@clara.barboosa 
 
 
 
 
- P.A é uma sequência, em que cada termo, a partir do 
segundo, é a soma do anterior, com uma constante r dada. 
- É uma sequência constante 
 EXEMPLO: (0, 2, 4, 6, 8) 
1. Razão= dada por r 
- Ela é invariável 
2. N = Quantidade de números, termos 
 - A posição do numero 
3. AN = O último termo da P.A 
4. A1 = primeiro termo da P.A 
 
- Obs: Outra forma de achar a razão é achando o termo 
 EXEMPLO: Observe a seguinte P.A: (4,7,10,13,16) 
- Perceba que essa P.A, ela é classificada como crescente, 
logo a diferença entre os termos é +3, sendo r=3. 
- O seu a1= 4, e seu an= 16, n= 5 
 
*As progressões aritméticas, podem ser classificadas em três 
categorias: 
>
 EXEMPLO: (1,3,5,7,9,11,13..) 
 R= 5-3= 2 ----- R=2 
 EXEMPLO: (3,3,3,3,3..) 
 R=0 
 < 
 EXEMPLO: (0, -2, -4, -6,-8) 
 R= -8 –(-6)= -8 + 6= R=-2 
 
 - Notação prática da P.A para três termos: 
 ( x-r, x, x+r ) 
 
 
 
 
 
- Notação prática da P.A de quatro termos: 
 (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r) 
- Notação prática da P.A de cinco termos: 
 (X – 2r, x – r, x , x + r, x + 2r) 
 EXEMPLO: 
- Calcule os três termos, onde a soma é igual a 15, e o 
produto dos termos é 105. Encontre os termos dessa P.A: 
 X + R +X+ X-R= 15 ---------- Corta os dois R, pois são 
opostos 
 X+X+X= 15------- 3X=15----- = 15/3 ----- X=3 
*Foi achado o valor do x, agora será substituído para 
encontrar o R. 
(5+r) (5) (5-r) =105------ (5+r) (5-r) =105/5 
25- r2= 21 ----- r2= 25-21 ------- r2= 4 
r=√4 ------ r=2 
 
 TERMO GERAL: an=a1+ (n-1). R 
 TERMO QUALQUER: an=am+ (n – m). R 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Qual é o 4º termo da P.A 
onde, a razão é igual a 3, e o 1º termo é igual 
a 3? 
 
 
EXEMPLO 3: Utilize a formula para encontrar a razão da seguinte 
P.A: (17,24,31,38). 
 
 
 
EXEMPLO 4: Sendo o a1 igual a 35, e a razão igual a 13. Qual o 
número que se encontra na 8º posição? 
 
 
´ 
Maria Clara Silva Barbosa 
N=4 / a1=3/ r=3/ a4=? 
a4= 3+ (4-1).3 P.A(3,6,9,12) 
a4= 3+ 9---- a4=12 
N=4 / a1=17/ r=?/an=38 
38= 17+ (4-1).r ----------38= 17+3r---- 
3r=38-17-----3r=21---r=21/3 
 R=7 
@clara.barboosa 
@clara.barboosa 
 
 
 
EXEMPLO 5: Para que a razão seja 5x, e o a4 igual a 21x, 
quanto será o valor do a1? 
 
 
 
 
EXEMPLO 6: Se a diferença comum é 20, e o 16º termo é igual 
a 329, encontre o 1ºtermo. 
 
 
 
EXEMPLO 7: Sendo a5 igual a 10, e o a15 igual a 30. Qual o 
valor de a1? 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 8: Os quadrados a seguir são feitos com palitos 
de fosforo. E representam uma P.A. 
Encontre os valores de a1, an, r e n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 9: Quantos elementos existe nessa P.A: 
P.A: (19, 25,31...... 115) 
 
 
 
 
 
- 1 Propriedade: Em uma P.A finita, a soma dos termos 
equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos 
 
 
 
 
 
- 2 propriedade: Considerado três termos consecutivos de uma 
P.A, o termo do meio será igual a média aritmética dos outros 
dois termos 
 
 
 
 
 
- 3 propriedade: Em uma P.A finita, com número de termos ímpar, 
o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo 
junto com o ultimo termo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 S6= (a1+a2+a3+a4+a5+a6) 
*Porém durante a propriedade foi percebido, que a soma dos 
equidistantes são sempre as mesmas. Já assim poderia se dizer 
que: 
 
 
 
- LOGO A FORMULA QUE SERÁ UTILIZADA: 
 
 
 
 
 
 
N=8 / a1=35/ r=13/a8=? 
a8=-35 +7.13------- a8 =-35+91 
 a8=56 
N=4 / a4=21x/ r=5x/a1=? 
21x=a1 +3.5x------- a1=6x 
P.A: (6x,11x,16x,21x) 
N=16 / a16=329/ r=20/a1=? 
329=a1 + 15.20------- a1=329-300 
 a1=29 
- Primeiro será utilizado o termo qualquer 
 an=am+ (n-m).r 
 30=10+10r----r=2 
- Logo após achar a razão será utilizado do 
termo geral 
 an=a1+ (n-1).r 
 30= a1+ 28------ a1=2 
 
- Um quadrado contém quatro lados, portanto seu a1=4, 
porém é percebido que de um se forma 3, portanto um 
quadrado, sendo sua razão igual a 3 . E ainda seu na será 
a6, porque se tem 6 quadradinhos, logo quer se descobrir 
seu a6 
 an=a1+ (n-1).r 
 a6 = 4+ 15 
 a6=19, logo seu a1=4, n=6, an=19 e r=3 
 
 
N=? / an=115/ r=6/a1=19 
115=19 + (n-1).6------- 115=19 + n6 -6 
n6=102----- n=17 
 
s6=
(𝑎1+𝑎6).6
2
 
Sn=
(𝒂𝟏+𝒂𝒏).𝒏
𝟐
 
@clara.barboosa 
@clara.barboosa 
 EXEMPLO 1: A soma dos quinze primeiros termos de uma 
progressão aritmética é 150. O oitavo termo dessa P.A é? 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Encontre a soma, da seguinte P.A: 
(1,3,5,7) 
 
 
 
- Se for para encontrar a razão, usa-se a formula do 
termo geral ou do termo qualquer, para depois usar a da 
soma. 
EXEMPLO 3: Qual é a soma dos termos, da seguinte P.A: 
(2,4,6,8,10,12,14,16)? 
 
 
 
EXEMPLO 4: Se o 4º termo é igual a 9, e a razão igual a 6. 
Qual é a soma desses termos? 
 
 
 -------------- S4=0 
 
EXEMPLO 5: Sendo an=51 e a soma dos 10 termos igual a 285. 
Monte a P.A 
 --------------- 
 
 
 
 
 
- Interpolar: Colocar entre dois extremos, termos dentro 
destes 
- É o número de meios, somado aos dois extremos, 
dizendo o total de termos: (n+2) 
EXEMPLO 1: Interpole 7 meios aritméticos, entre os números 
120 e 184 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A8 = a1 + 7r -------a15 = a1 + 14r 
s15 = (a1 + a15) n / 2 
150 = (a1 + a1 + 14r ) . 15 / 2 
300/15 = 2a1 + 14r ---2a1 + 14r = 20 
2(a1 + 7r) = 20 -----2(a8) = 20 
a8 = 20 /2 -----a8 = 10 
S4=
(𝒂𝟏+𝒂𝟒).𝟒
𝟐
 ------- S4=
(𝟏+𝟕).𝟒
𝟐
 
S4=
𝟑𝟐
𝟐
----- S4=16 
S8=
(𝒂𝟏+𝒂𝟖).𝟖
𝟐
 ---------- S8=
(𝟐+𝟏𝟔).𝟖
𝟐
 
S8= 18.4----- S8= 72 
9=a1+3.6------a1=-9 
 S4=
(−𝟗+𝟗).𝟒
𝟐
 
285=
(𝒂𝟏+𝟓𝟏).𝟏𝟎
𝟐
 285= (a1+51).5 
285= 5a1 + 255 --------- 5a1= 285-255----- 
 5a1=30------ a1=6 
51=6+ 9r------r=5 
 P.A: (6,11,16,21,26,31,36,41,46,51) 
A1=120 An=184 
(n+2)= 7+2----- 9 meios 
184=120 + 8r ------ 8r=64 ------ r=8 
P.A: (120, 128, 136, 144, 152,160,168, 176, 184 
@clara.barboosa