hidraulica 2

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HIDRÁULICA
APLICADA
Lélis Espartel
Equação da energia para 
escoamento em tubos: 
cálculo de perda de carga
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Aplicar a fórmula universal da perda de carga.
  Identifi car os efeitos da rugosidade em um escoamento.
  Determinar o fator f de perda de carga.
Introdução
Neste capítulo, a realidade bate à porta da hidráulica. Deixando para 
trás os estudos de fluidos ideais, começa aqui o aprofundamento em 
fluidos reais. Você vai conhecer o conceito de perda de energia em um 
escoamento. O escoamento real perde energia enquanto se movimenta, 
principalmente devido ao atrito com as paredes do contorno sólido, 
além do atrito das partículas de fluido entre si. Neste capítulo você vai 
aprender a quantificar essa perda e a determinar quais são os fatores 
que a influenciam. 
Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 41Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 41 19/01/2017 08:08:5719/01/2017 08:08:57
Fórmula universal da perda de carga
Perda de carga (hp) é a quantidade de energia dissipada ao longo de um esco-
amento. Para entender o conceito de perda de carga, considere um conduto 
cilíndrico com escoamento permanente incompressível entre as seções 1 e 
2 de um tubo inclinado de área transversal constante, conforme você pode 
ver na Figura 1.
Figura 1. Volume de controle para o escoamento totalmente desenvolvido e permanente 
entre duas seções em um tubo inclinado.
Fonte: White (2010, p. 361).
2
u(r)
r
r = R
1
x
2 – x
1 = L
 p2
x
Z2
p1 = p2 + Δ p
gx = g sen φ
g
φ
φ
Z1
wτ 
τ (r)
Hidráulica aplicada42
Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 42Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 42 19/01/2017 08:08:5819/01/2017 08:08:58
H1 = Z1 + P1/γ + v1²/2g
H2 = Z2 + P2/γ + v2²/2g
H1 > H2
Como o escoamento escoa do ponto 1 em direção ao ponto 2, há uma perda 
de carga durante esse deslocamento, logo, H1 é maior que H2.
H1 = H2 + hp12 
Assim, o valor de H1 é idêntico ao valor de H2, acrescido da energia perdida 
durante o escoamento, que é hp.
Z1 + P1/γ + v1²/2g = Z2 + P2/γ + v2²/2g + hp12
Entendendo o conceito de perda de carga, é possível aplicar a soma de 
Bernoulli. 
hp12 = (Z1 – Z2) + (P1 – P2)/γ
Como o escoamento é permanente e possui área constante, Q1 = Q2 
e A1 = A2 e V = Q1/A1 = Q2/A2, os termos de taquicarga se anulam. 
E a perda de carga é igual à diferença de cotas e de cargas de pressão entre 
o ponto 1 e 2.
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Um óleo com ρ = 900 kg/m3 e ν = 0,0002 m2/s escoa para cima por um tubo inclinado, como 
mostra a Figura 2. A pressão e a elevação são conhecidas nas seções 1 e 2, separadas de 
10 m. Considerando o escoamento laminar e permanente, (a) verifique se o escoamento 
é para cima, (b) calcule hp entre 1 e 2 e calcule (c) Q, (d) V e (e) Red. O escoamento é 
realmente laminar?
Solução
Parte (a) Para uso posterior, calcule
μ = ρν = (900 kg/m3)(0,0002 m2/s) = 0,18 kg/(m ∙ s)
z2 = ΔL sen 40
o = (10 m)(0,643) = 6,43 m
10 m
Q,V
d = 6 cm
p2 = 250.000 Pa
p1 = 350.000 Pa, z1 = 0
1
2
40°
Figura 2.
O escoamento vai no sentido da queda da linha piezométrica; logo, calcule a altura 
da linha piezométrica em cada seção
LP2 z2
p2
g
6,43
250.000
900(9,807)
34,75 m
LP1 z1
p1
g
0
350.000
900(9,807)
39,65 m
Hidráulica aplicada44
Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 44Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 44 19/01/2017 08:08:5819/01/2017 08:08:58
A linha piezométrica é mais baixa na seção 2; assim, o escoamento vai de 1 para 2, 
conforme admitimos.
Resposta (a)
Parte (b) A perda de carga é igual à queda da linha piezométrica:
hp = LP1 – LP2 = 39,65 m – 34,75 m = 4,9 m Resposta (b)
Metade do comprimento do tubo representa uma perda de carga bastante alta.
Parte (c) Podemos calcular Q por meio de várias fórmulas de escoamento laminar, 
destacando-se a Equação (6.12)
Q
gd 4hp
128 L
(900)(9,807)(0,06)4(4,9)
128(0,18)(10)
0,0076 m3/s Resposta (c)
Parte (d) Divida Q pela área do tubo para obter a velocidade média
V
Q
R 2
0,0076
(0,03) 2
2,7 m/s Resposta (d)
Parte (e) Com V conhecida, o número de Reynolds é
Re d
Vd 2,7(0,06)
0,0002
810 Resposta (e)
Esse valor está bem abaixo do valor de transição Red = 2.300, de modo que estamos 
bem certos de que o escoamento é laminar.
Observe que, utilizando-se as unidades consistentes do SI (metros, segundos, qui-
logramas, newtons) para todas as variáveis, evitamos o uso de quaisquer fatores de 
conversão nos cálculos.
Fonte: Adaptado de White (2010, p. 363).
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Um ó leo com ρ = 900 kg/m3, υ = 0,0002 m²/s e Q = 0,0076 m³/s escoa 
para cima por um tubo inclinado, como mostra a Figura 2. A pressã o e a 
elevaç ã o sã o conhecidas nas seç õ es 1 e 2, separadas de 10 m. Considerando 
o escoamento laminar e permanente, (a) verifique se o escoamento é para 
cima, confirmando que a carga em 1 é maior que a carga em 2; (b) calcule 
hp entre 1 e 2; (c) determine V e (d) ℜ. O escoamento é realmente laminar? 
A resposta do exemplo é idêntica à do livro, basta retirar a parte (c) e reorga-
nizar a itemização.
Outra abordagem do cálculo de hp se dá pelo somatório de forças que atuam 
no escoamento. Você pode ver na Figura 3 quais são essas forças atuantes:
Figura 3.
Fonte: Adaptada White (2010, p. 361). 
2
r
1
L
 p2
E2
Z2
p1
φ
Z1
Fτ
W
E1
Hidráulica aplicada46
Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 46Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 46 19/01/2017 08:08:5819/01/2017 08:08:58
Empuxo no ponto 1 E1 = P1 ∙ A
Empuxo no ponto 2 E2 = - P2 ∙ A
Força peso W = γ ∙ Vol.senφ = γ AL senφ
Força resultante de cisalhamento = - τLPM
ΣFx = 0
γ AL senφ + P1 ∙ A - P2 ∙ A - τLPM = 0 Aplicando o somatório de forças 
no eixo da tubulação
Lsenφ + (P1 – P2)/γ - τLPM/γ A = 0 Dividindo todas as forças por γA
(Z1 – Z2) + (P1 – P2)/γ = τLPM/γ A Considerando que 
Lsenφ = (Z1 – Z2)
hp12 = τLPM/γ A Considerando que hp12 = (Z1 – Z2) 
+ (P1 – P2)/γ
Supondo que a tensão de cisalhamento junto à parede de um escoamento 
permanente e incompressível, de seção constante, varia proporcionalmente 
ao quadrado da velocidade média, na ordem imposta por um coeficiente 
adimensional λ. Admitindo que o raio hidráulico é igual à razão da área 
sobre o perímetro molhado e que o peso específico é igual à massa específica 
multiplicada pela força da gravidade, temos:
τ = λρV²/2 γ = ρg 1/RH = PM/A
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hp 12 =
λρV²
2
∙
L
ρg
∙
1
RH
Rearranjando a equação e considerando que RH = D/4 e 4λ = f
hp = f L/D V²/2g
Essa é a equação universal da perda de carga, também conhecida como 
equação de Darcy-Weisbach. A perda de carga é proporcional a fatores geomé-
tricos (L/D) e à taquicarga do escoamento (V²/2g). O coeficiente f, chamado 
fator de atrito de Darcy, é função do número de Reynolds e do formato e da 
rugosidade do duto.
Rugosidade
Você sabe o que é rugosidade? Para nossos propósitos, vamos defi nir ru-
gosidade como o conjunto de irregularidades, desvios microgeométricos, 
caracterizado pelas pequenas saliências e reentrâncias presentes em uma 
dada superfície.
A rugosidade é um parâmetro de superfícies e, assim, faz parte também 
das tubulações. Para facilitar a visualização dessa definição, pense em um 
duto: quanto mais saliências e reentrâncias existirem nele e quanto maiores 
elas forem, mais rugoso será esse duto. Os dutos que não possuem essas 
características são chamados lisos.
A interação entre a rugosidade e a camada-limite é fundamental para a 
compreensãode como a perda de carga se dá em diferentes condutos. Veja a 
Figura 3: ali é mostrado como a tensão e a velocidade se desenvolvem dentro 
da camada-limite. 
Hidráulica aplicada48
Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 48Hidraulica_aplicada_U1_C03.indd 48 19/01/2017 08:08:5819/01/2017 08:08:58
Figura 4. Distribuições típicas de velocidade e tensão cisalhante no escoamento turbulento 
próximo a uma parede: (a) tensão; (b) velocidade.
Fonte: White (2010, p. 368).
y
y = (x)
 (x, y)
 turb
 lam
(a) (b)
Subcamada viscosa
Camada 
intermediária
ou de superposição
Camada
turbulenta 
externa
p(x) 0
y
U(x)
u (x, y)
δ
τ
τ
τ
τ
Você viu na Figura 4 que existem três regiões no escoamento turbulento 
pró ximo a uma parede:
1. Subcamada viscosa: a tensã o viscosa domina;
2. Camada externa: a tensã o turbulenta domina;
3. Camada intermediá ria ou de superposiç ã o: ambos os tipos de tensã o 
sã o importantes.
A zona do perfil de velocidades governada pela lei logarítmica é denomi-
nada zona inercial. Essa região não sofre influência notável da viscosidade. 
Ela serve como transferência de quantidade de movimento nos dois sentidos 
entre a zona externa e a zona interna do escoamento.
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Se a rugosidade for menor do que a subcamada viscosa, o escoamento é 
definido como hidraulicamente liso (a). Nesse caso, a rugosidade não entra 
no cálculo da perda de carga, pois ela não interfere no perfil de velocidades 
influenciadas principalmente pela viscosidade do fluido. Agora, se a rugosidade 
for maior que a subcamada viscosa, aí ela influencia diretamente na perda de 
carga, definindo o escoamento como hidraulicamente rugoso (b).
Envelhecimento de condutos
Os condutos são projetados para durar, em média, 50 anos. A rugosidade de um 
conduto varia ao longo do tempo. Com o passar dos anos, diversos materiais 
se incrustam nos condutos, ou ocorre a corrosão de suas paredes, alterando 
o valor da sua rugosidade. Essa alteração é função do fl uido (que pode ser 
ácido ou conter materiais dissolvidos) que passa pelo conduto ou do próprio 
material das paredes do conduto. 
Colebrook-White demonstraram que é possível utilizar uma hipótese de va-
riação linear da rugosidade das paredes com o tempo. Veja a seguinte fórmula: 
εt = ε0 + αt
εt: rugosidade em um tempo qualquer
ε0: rugosidade no tempo inicial
α: coeficiente de envelhecimento
t: variação de tempo
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Rugosidade de certos materiais:
ϵ
Material Condição mm Incerteza, %
Aço Chapa metálica, 
nova
Inoxidável, novo
Comercial, novo
Rebitado
Oxidado
0,05
0,002
0,046
3,0
2,0
± 60
± 50
± 30
± 70
± 50
Ferro Fundido, novo
Forjado, novo
Galvanizado, 
novo
Fundido 
asfaltado
0,26
0,046
0,15
0,12
± 50
± 20
± 40
± 50
Latão
Plástico
Vidro
Concreto
Borracha
Madeira
Estirado, novo
Tubo estirado
—
Alisado
Rugoso
Alisada
Aduela
0,002
0,0015
Liso
0,04
2,0
0,01
0,5
± 50
± 60
Liso
± 60
± 50
± 60
± 40
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Cálculo do fator de perda de carga f
A equação de Darcy-Weisbach serve para todos os tipos de escoamento. Assim, 
ela não é restrita apenas a regimes laminares ou turbulentos, e abrange os dois. 
O fator que muda, dependendo do tipo de escoamento, é o fator de perda de 
carga f. Foi demonstrado por meio de experiências que esse fator é função 
da velocidade do escoamento, do diâmetro e da rugosidade do conduto, e da 
massa específi ca e da viscosidadade do fl uido.
Escoamento laminar: soluções analíticas foram obtidas para quando o 
Número de Reynolds do escoamento é menor que 2100. Deduzindo, pela fór-
mula do perfil de velocidades, o gradiente de pressão ao longo do comprimento 
do escoamento e conhecendo a tensão cisalhante, é possível encontrar que:
Flaminar = 64/ℜ
Escoamento turbulento liso: neste caso, o escoamento é turbulento, mas 
a rugosidade é menor que a subcamada viscosa. Assim, o conduto é hidrau-
licamente liso.
1
√
= 2log (ℜ√ ) − 0,8f
f
Como a rugosidade ainda não afeta diretamente o escoamento, a fórmula 
para o fator f segue dependendo apenas do Número de Reynolds. Porém, o 
cálculo de f já não é mais direto. Como você pode observar, f se encontra 
em ambos os lados da equação, tornando necessária a aplicação de métodos 
interativos para sua solução.
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Escoamento turbulento rugoso: neste caso, o escoamento é turbulento e 
a rugosidade é maior que a subcamada viscosa. Assim, o conduto é hidrau-
licamente rugoso, e a rugosidade afeta diretamente o valor do fator f. Nessa 
equação, R é o raio do conduto.
1
= − 2,035 log + 1,679
√ f
( )R
ε
Todas as equações apresentadas neste capítulo são válidas apenas para condutos 
circulares cilíndricos. Em compensação, esse tipo de conduto é o mais utilizado em 
projetos de engenharia hidráulica.
Fator f por Colebrook-White
A transição entre regimes não se dá de forma pontual, mas sim, gradativa. 
Temos duas faixas de intersecção importantes nessa área de estudo: quando 
o escoamento passa de laminar para turbulento, e, depois, quando ele passa 
de turbulento liso para turbulento rugoso.
Para facilitar a nossa vida, Colebrook-White combinaram as duas equações 
anteriores em uma única equação para abranger todas as áreas de escoamento 
turbulento, seja em transição vindo do laminar, seja em transição entre tur-
bulento liso e rugoso:
1
= 2,0 log
3,706
+
2,51
ℜ√ f √ f
( )ε D
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Caso o escoamento seja liso, ε tende a zero, e o fator f é definido apenas 
por ℜ. Agora, caso ele seja rugoso, R tende a ser alto, e f será definido prin-
cipalmente pela razão entre ε e D.
Você encontra a dedução dessas equações nos Capítulos 6.3, 6.4, 6.5 e 6.6 do livro de 
Mecânica dos Fluidos (WHITE, 2010).
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WHITE, F. M. Mecânica dos fluidos. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2010.
Referência
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