MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA Uni 01

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Matemática Comercial
e Financeira
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Matemática
Comercial e Financeira
Autor
Charles Franklin
expedIente
REITOR: PROF. CLÁUDIO FERREIRA BASTOS
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO FINANCEIRO: PROF. RAFAEL RABELO BASTOS
PRÓ-REITOR DE RELAÇÕES INSTITUCIONAIS: PROF. CLÁUDIO RABELO BASTOS
PRÓ-REITOR ACADÊMICO: PROF. VALDIR ALVES DE GODOY
COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA: PROFA. MARIA ALICE DUARTE GURGEL SOARES
COORDENAÇÃO NEAD: PROFA. LUCIANA RODRIGUES RAMOS DUARTE
FIcHa técnIca
autor: CHARLES FRANKLIN DUARTE
desIgn InstrucIonal: MIGUEL JOSÉ DE A. CARVALHO / JOÃO PAULO S. CORREIA
proJeto gráFIco e dIagraMação: FRANCISCO CLEUSON DO N. ALVES / 
DIEGO PORTO NOJOSA / LUCIANA RODRIGUES R. DUARTE
capa e trataMento de IMagens: FRANCISCO CLEUSON DO N. ALVES / 
FRANCISCO ERBINIO A. RODRIGUES
autorIa de leItura coMpleMentar: JOSÉ VALDENIR NASCIMENTO / 
LUCICLEIDE DE SOUZA BACELAR
revIsão técnIca: THIAGO COSTA RODRIGUES
revIsão MetodológIca: MARIA ESTELA APARECIDA GIRO
revIsão ortográFIca: KAREN BOMFIM HYPPOLITO 
FIcHa catalográFIca
Índice para Catálogo Sistemático
1. Educação Ensino Superior I. Título
FATE : Centro Universitário Ateneu. Educação superior – graduação e pós-graduação. 
1. ed. Fortaleza, 2017.
 ISBN 978-85-64026-22-33
Para alunos de ensino a distância – EAD.
1. Educação Superior I. Título
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, total ou parcialmente, por 
quaisquer métodos ou processos, sejam eles eletrônicos, mecânicos, de cópia fotostática ou outros, sem a autori-
zação escrita do possuidor da propriedade literária. Os pedidos para tal autorização, especificando a extensão do 
que se deseja reproduzir e o seu objetivo, deverão ser dirigidos à Direção.
Seja bem-vindo!
Olá, prezado estudante! Estamos empenhados em oferecer todas as con-
dições para que você alcance seus objetivos neste processo de aprendizagem. 
Saiba que este material foi confeccionado com o intuito de passar conhecimen-
tos acerca da Matemática, tanto no seu ponto de vista comercial como financei-
ro, no que demais tem aplicabilidade nas operações atuais no nosso cotidiano 
familiar e profissional.
Essa é uma possibilidade de você ter contato com as mais novas ferra-
mentas tecnológicas e educacionais, que lhe propiciarão uma experiência mar-
cante em sua trajetória acadêmica. Saiba que você é a pessoa mais importante 
nesse processo de aprendizagem. Em nossa proposta de ensino, contemplare-
mos alguns dos mais importantes conteúdos dessa rica disciplina que é a Mate-
mática, numa sequência de quatro módulos de estudos onde você terá a oportu-
nidade de rever assuntos que, provavelmente, há muito não se tem vivenciado 
em sua rotina de estudos.
Bons Estudos!
UNIDADE 01 
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA .........................09
1. DEFINIÇÃO DE MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA .......................10
1.1. Leitura e interpretação em Matemática .........................................................12
1.2. A sua importância no cotidiano das famílias .................................................15
1.3. A sua importância no cotidiano das empresas ..............................................17
 
2. OPERAÇÕES ELEMENTARES DA MATEMÁTICA
 COMERCIAL E FINANCEIRA ..........................................................................19
2.1. Razão ............................................................................................................19
2.2. Proporção ......................................................................................................23
2.3. Divisão proporcional ......................................................................................27
2.4. Divisão inversamente proporcional ...............................................................31
2.5. Divisão proporcional composta .....................................................................33
2.6. Regra de sociedade simples e composta ......................................................37
2.7. Regra de três simples ....................................................................................40
2.8. Regra de três composta ................................................................................45
2.9. Porcentagem .................................................................................................48
2.10. Conhecendo as variáveis ............................................................................53
2.10.1. Capital, juros, taxa de juros, prazo e montante ........................................53
3. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ......................................................................56
3.1. Regime de capitalização simples ..................................................................56
3.1.1. Fórmulas algébricas do juro e do montante simples ..................................56
3.1.2. Taxas equivalentes em juros simples .........................................................61
3.2. Regimes de capitalização composto .............................................................61
Sumário
3.2.1. Fórmulas algébricas do juro e do montante composto ...............................62
3.2.2. Taxas equivalentes em juros compostos ...................................................69
Referências ..........................................................................................................72
UNIDADE 02
OPERAÇÕES DE DESCONTO DE TÍTULOS DE CRÉDITO ..............................75
1. CONCEITOS BÁSICOS DE TÍTULOS DE CRÉDITO ......................................76
2. TIPOS DE TÍTULOS DE CRÉDITO .................................................................78
2.1. Modalidades de desconto ..............................................................................79
2.1.1. Comercial ou “Por fora” ..............................................................................79
2.1.2. Desconto bancário ......................................................................................79
2.1.3. Racional ou “Por dentro” ............................................................................80
3. FÓRMULAS ALGÉBRICAS NAS OPERAÇÕES DE DESCONTO ..................80
3.1. Fórmulas algébricas nas operações de
 desconto no regime de capitalização simples ...............................................80
3.1.1. Desconto comercial ....................................................................................80
3.1.2. Desconto bancário ......................................................................................82
3.1.3. Desconto racional .......................................................................................83
3.2. Fórmulas algébricas nas operações de
 desconto no regime de capitalização composto ............................................85
3.2.1. Desconto comercial ....................................................................................85
3.2.2. Desconto racional .......................................................................................86
Referências ..........................................................................................................89
UNIDADE 03
OPERAÇÕES DE PAGAMENTOS DE DÍVIDAS E
CAPITALIZAÇÃO DE RECURSOS DE FORMA PERIÓDICA .............................91
1. SÉRIES DE CAPITAIS .....................................................................................92
1.1. Séries uniformes de pagamentos ..................................................................92
1.2. Séries variáveis de pagamentos ...................................................................93
1.2.1. Antecipada ..................................................................................................93
1.2.2. Postecipada ................................................................................................941.2.3. Diferida .......................................................................................................94
1.2.4. Temporais ...................................................................................................94
1.2.5. Variáveis .....................................................................................................94
1.2.6. Perpétuas ...................................................................................................94
2. ANUIDADES EM QUE OS PERÍODOS DE TEMPO
 NÃO COINCIDEM COM AQUELE A QUE SE REFERE À TAXA ....................94
2.1. Classificações das séries de capitais ............................................................95
3. FÓRMULAS ALGÉBRICAS PARA O CÁLCULO
 DAS VARIÁVEIS DE UMA SÉRIE DE CAPITAIS ............................................97
3.1. Fórmula do modelo básico de uma anuidade antecipada .............................97
3.1.1. Valor presente de uma anuidade antecipada .............................................97
3.1.2. Valor futuro de uma anuidade antecipada ..................................................98
3.2. Fórmula do modelo básico de uma anuidade postecipada .........................102
3.2.1. Valor presente de uma anuidade postecipada .........................................102
3.2.2. Valor futuro de uma anuidade postecipada ..............................................103
3.3. Fórmula do modelo básico de uma anuidade diferida .................................107
3.4. Fórmula do modelo básico de uma anuidade variável ................................110
4. COEFICIENTE DE FINANCIAMENTOS ........................................................113
4.1. Sistemas de amortização de dívidas ...........................................................115
4.2. Sistema de amortização constante .............................................................119
4.3. Sistema de amortização crescente .............................................................120
4.4. Sistema de amortização misto ....................................................................122
4.5. Sistema de amortização variável .................................................................124
Referências ........................................................................................................129
UNIDADE 04
CONCEITOS E CÁLCULOS DE DEPRECIAÇÃO DE BENS E
FERRAMENTAS PARA ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS .......131
1. DEPRECIAÇÃO .............................................................................................132
1.1. Métodos utilizados para o cálculo da depreciação de bens ........................133
1.1.1. Método de depreciação linear ..................................................................133
1.2. Método de depreciação da taxa constante ..................................................134
1.2.1. Método de depreciação de cole ...............................................................135
1.2.2. Taxa de mínima de atratividade (TMA) ....................................................137
1.2.3. Relação custo/benefício ...........................................................................137
1.2.4. Fluxo de caixa ..........................................................................................138
2. FERRAMENTAS PARA ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS .......139
2.1. Valor presente líquido ..................................................................................139
2.2. Taxa interna de retorno ...............................................................................143
Referências ........................................................................................................148
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 9
Introdução à MateMátIca coMercIal e FInanceIra
Apresentação
Toda e qualquer situação da vida, se você perceber bem, há a possibilidade 
de ser traduzida em números ou códigos, ou então já envolve os mesmos desde 
os primórdios da humanidade e para todas as gerações futuras.
A Matemática, área do conhecimento humano que trabalha com números e 
códigos, tem presença garantida na vida do ser humano e dela jamais se separará
Dessa forma, faz-se necessário um aprofundamento no entendimento do 
seu conceito, sobretudo no segmento da Matemática Comercial e Financeira, 
que são os focos de estudos deste livro. Mostraremos e provaremos a sua real 
identificação com o dia-a-dia das pessoas físicas e jurídicas, para que se tome 
a consciência da importância da aplicação de seus conhecimentos nos melhores 
resultados e nos negócios.
Alguns assuntos da Matemática vistos nas séries iniciais da sua vida esco-
lar são de extrema importância para entender como funcionam outros conceitos 
mais específicos da área comercial e financeira.
Quanto mais se puder ganhar nas negociações comerciais e financeiras, 
melhor. Assim sobram mais recursos para se investir, o que gera, automatica-
mente, mais riqueza, podendo diminuir a pobreza e dar mais oportunidades para o 
cidadão, em consequência disso uma melhor qualidade de vida.
Diante desse contexto, a forma como se comportam os juros, que nada 
mais são do que o rendimento (ganho em qualquer operação comercial e financei-
ra realizada entre os agentes atuantes na economia), é sobremaneira importante 
ser analisada, por isso veremos as suas formas de capitalização.
Serão apresentados exemplos práticos resolvidos para que sirvam de ajuda 
quando da aplicação nas situações práticas da vida dos agentes econômicos, se-
jam as famílias, as empresas, o governo, as instituições financeiras etc.
Uni
10 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Objetivos de aprendizagem
• Entender o significado da Matemática Comercial e Financeira, assim como a sua importância 
na vida pessoal e profissional dos indivíduos e no cotidiano das empresas atuantes em todo e 
qualquer segmento de mercado;
• Mostrar a importância de ler e interpretar qualquer situação da vida real a luz de uma linguagem 
codificada;
• Recapitular alguns conceitos e aplicações da Matemática Elementar, vistos nas séries iniciais, 
que servem como base para a compreensão de assuntos envolvidos na Matemática Comercial 
e Financeira;
• Estudar os regimes de capitalização existentes, ou seja, a forma como se comportam os juros 
ao longo de um financiamento assim como abordagens práticas.
1. deFInIção de MateMátIca coMercIal e FInanceIra
Dentre várias definições, podemos dizer que a Matemática Financeira “é 
a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhe-
cimento dessa área é indispensável para compreender e operar nos mercados 
financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e 
custo de decisão. 
Ao longo do tempo, o homem percebeu uma possível relação entre o tempo 
e o dinheiro. Ele percebeu que o dinheiro perdia valor com o passar do tempo. 
Dessa forma, a correção monetária deveria ser feita para que reduzisse as chan-
ces de o capital perder valor ou poder de compra. 
“Em se tratando de correção monetária, precisa-se levar em consideração índices 
de preços que são resultantes de procedimentos estatísticos que, entre outras aplicações, 
permitem medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período para outro.” 
Em outras palavras, o índice de preços representa uma média global das variações 
de preços que se verificaram num conjunto de determinados bens ponderada pelas quanti-
dades respectivas.
No Brasil, são utilizados inúmeros índices de preços, sendo originados de amostragem 
e critérios desiguais e elaborados por diferentes instituições de pesquisa. É importante, antes de 
selecionar um índice para atualização de uma série de valores monetários, proceder-se a uma 
análise de sua representatividade em relação aos propósitos em consideração. (ASSAF, 2001).
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 11
Jean Piton Gonçalves (2005) ressalta que a noção de juros pode ser atri-
buída aos primeiros indícios de civilizações existentes. Fatos históricos relatamque, na Babilônia, comerciantes emprestavam sementes aos agricultores que, ao 
colherem a plantação, pagavam as sementes emprestadas mais uma determinada 
parte da colheita. 
As práticas financeiras eram utilizadas no intuito da acumulação de ca-
pital. As formas econômicas de movimentação dos capitais foram adaptadas de 
acordo com a evolução das sociedades. A prática do escambo, denominação 
dada à troca de um bem por outro foi, utilizada porque, naquela época, não existia 
uma moeda de troca. 
Para aprender mais sobre essa prática ancestral que é o escambo, acesse: http://goo.gl/f7lXP9
Link para WEB
O surgimento do dinheiro originou a criação de mecanismos controlados 
inicialmente por pessoas denominadas cambistas. Eles exerciam uma atividade 
que hoje é exercida pelos banqueiros. Sentados num banco, nos mercados, eles 
realizavam operações de empréstimo, que eram quitados acrescidos os juros 
e na organização de ordens de pagamentos para particulares. Dessa forma, os 
cambistas tinham seus lucros e comissões pelos serviços prestados.
Jean Piton Gonçalves (2005) ressalta que a necessidade de organização desse tipo 
de comércio fez com que surgissem os bancos, que tornaram a economia mais dinâmica. 
Eles tiveram papel importante nas negociações entre os povos que realizavam operações 
comerciais no Mar Mediterrâneo. Fenícios, Gregos, Egípcios e Romanos possuíam importante 
participação nos métodos bancários.
Os bancos contribuíram para o aperfeiçoamento de inúmeras técnicas fi-
nanceiras. Atualmente, a Matemática Financeira possui várias aplicabilidades no 
cotidiano, englobando situações relacionadas a ganho de capital, a pagamentos 
periódicos, a porcentagem, a financiamentos, a descontos comerciais entre outros 
produtos do meio financeiro.
12 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
A Matemática Financeira busca, essencialmente, analisar por meio de cál-
culos a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remu-
nerações relativas ao seu tempo. 
A Matemática Comercial e Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo 
resolver problemas relacionados às finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que permitem 
estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando algumas das caracte-
rísticas do mercado.
Fique atento
O conhecimento dessa matéria permite o melhor uso dos conceitos da ad-
ministração financeira, pois, pelas suas técnicas, o indivíduo é capaz de tomar 
decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada so-
mente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por 
todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva 
ser tomada, como no comércio, quando do pagamento a prazo na aquisição de 
produtos e serviços.
1.1. Leitura e interpretação em Matemática
Conforme Silvia Edinaria (2007), é necessário avaliar o processo de ensino-
-aprendizagem das áreas de exatas, que utilizam, sobretudo, a Matemática como 
principal instrumento de sua organização e representação do mundo, sob o ponto 
de vista da organização, da disponibilização e da recepção desses conhecimentos 
de forma discursiva, por meio de textos. Nosso interesse recai principalmente so-
bre as dificuldades de interpretação de textos matemáticos. Indagamos a que se 
deve essa dificuldade no processo de ensino-aprendizagem e consideramos que 
esse aspecto é peculiar no processo de leitura, sistematização e organização 
desses conhecimentos.
A mesma autora tem como hipótese a falta de hábitos de leitura, em que 
se destaca o uso da língua materna e a contextualização adequada dos problemas 
matemáticos, tanto pelos professores quanto pelos alunos leva os envolvidos no 
processo escolar a uma dificuldade de empatia para com os conteúdos dessa dis-
ciplina. Isso acarretaria baixo rendimento, desestímulo, reprovação, desistência e 
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 13
evasão escolar, tanto na escola básica quanto nas licenciaturas. Trata-se, portanto, 
de uma questão cuja discussão excede os limites do presente trabalho e envolve 
diretamente um meticuloso estudo sobre as formas de aquisição das linguagens e 
da recepção de textos nelas processados. Devido a isso, apresentaremos apenas 
algumas reflexões a respeito do problema com vistas a contribuir para o debate. 
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (1999), a 
linguagem é considerada como capacidade humana de articular significados co-
letivos em sistemas arbitrários de representação, que são compartilhados e que 
variam de acordo com as necessidades e as experiências da vida em sociedade. 
A principal razão de qualquer ato de linguagem é a produção de sentido.
Os PCNs nos dizem ainda que há outras linguagens e códigos na imensa gama de 
informação a que nos submetemos cotidianamente. Devemos considerar que a produção 
contemporânea é essencialmente simbólica e o convívio social requer o domínio das 
linguagens como instrumentos de comunicação e negociação de sentidos.
Sendo toda linguagem composta de códigos, as relações com as práticas sociais e 
produtivas e a inserção do aluno como cidadão em um mundo letrado e simbólico depende 
dessa aprendizagem. Principalmente porque, devido ao excesso de informação no mundo 
contemporâneo e à necessidade de decodificação imediata dessas informações em tempo 
real, as competências para a prática das diversas linguagens tornam-se uma necessidade e 
uma garantia de participação ativa na vida social, para o desempenho da cidadania.
O PCN afirma que a linguagem pode ser entendida como uma criação 
social que utiliza símbolos, também criados socialmente. A linguagem matemá-
tica é um sistema simbólico de caráter formal, cuja elaboração é indissociável do 
processo de construção do conhecimento e tem como função principal conver-
ter conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis 
possibilitando inferências, generalizações e novos cálculos que, de outro modo, 
seriam impossíveis. 
A linguagem simbólica é uma das mais antigas que se tem registros. Para conhecer mais 
acerca desse assunto, confira o seguinte artigo:
http://goo.gl/eRtytt
Link para WEB
14 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Para os PCNs, “a linguagem matemática, compreendida como organizado-
ra de visão de mundo deve ser destacada com o enfoque de contextualização dos 
esquemas de seus padrões lógicos, em relação ao valor social e à sociabilidade, e 
entendida pelas intersecções que aproximam da linguagem verbal”.
Perceba que essa contextualização aí mencionada, tanto para o ensino de 
língua materna quanto da linguagem matemática, parece estar distante de ser al-
cançada. Uma vez que, embora na vida prática, muitos de nossos alunos realizem 
complicadas operações para resolver problemas do cotidiano. 
Essas mesmas operações, quando organizadas nos livros didáticos, por 
meio do código matemático e linguístico, costumam tornar-se verdadeiros enigmas 
insolúveis. Como resultado, acabam sendo rejeitados pelos alunos, o que resul-
ta, quase sempre, em resultados insatisfatórios nas avaliações de aprendizagem 
feitas pelo governo, sendo a Matemática a disciplina cujos menores índices de 
aproveitamento são observados, principalmente no ensino básico.
Devemos refletir ainda sobre as possíveis barreiras psicológicas envolvidas. Parece-nos 
que o conhecimento formalizado, transposto por meio da língua materna em livros e compêndios, 
toma uma dimensão obscura para os alunos. O livro parece-lhes algo distante, pouco familiar, o 
que reflete, essencialmente, os poucos hábitos de leitura do brasileiro.
Atenção
Em situação alheia ao espaço acadêmico-escolar, a interpretação de algu-
mas questões, bem como o estabelecimento de estratégias para saná-las, ocorre 
com uma espantosa frequência e naturalidade, que nem sempre são transportadas 
para a sala de aula. 
O rebuscamento da linguagem aliado à abstração matemática, parecem 
retirar os aspectos mais intuitivos da teoria. É evidente a necessidade de con-textualização adequada para os problemas e os exemplos a serem propostos aos 
alunos, mas essa contextualização deve ser feita sem exageros.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 15
@
CO
NE
CT
E-S
E
• Anote suas ideias e dúvidas para ampliar sua discussão na sala virtual, no fórum tutori@conectada.
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1.2. A sua importância no cotidiano das famílias
A educação financeira sempre foi importante aos consumidores para au-
xiliá-los a orçar e a gerir a sua renda, a poupar e a investir, e a evitar que se 
tornem vítimas de fraudes. No entanto, sua crescente relevância nos últimos anos 
vem ocorrendo em decorrência do desenvolvimento dos mercados financeiros e 
das mudanças demográficas, econômicas e políticas, culturais e sociais.
Ela é fundamental para que o cidadão aprenda a importância das finan-
ças no seu cotidiano e possa usar racionalmente seus recursos para obter qua-
lidade de vida. As crianças, futuras consumidoras, precisam desde cedo serem 
preparadas para lidar bem com o dinheiro. Nesse sentido, a família e a escola 
são importantes aliadas na construção de novos padrões comportamentais e na 
formação das novas gerações. Por meio desse tipo de educação, é possível formar 
cidadãos conscientes e mais preparados para participarem do desenvolvimento 
econômico e social do nosso país. 
Então, fica claro que é necessário que se aprenda educação financeira, mas afinal o 
que é isso? Resumidamente, podemos entender educação financeira como sendo um conjunto 
de informações básicas sobre como fazer a melhor gestão do próprio dinheiro. Envolve 
providências como elaborar e acompanhar o orçamento pessoal ou familiar, como comprar, 
poupar e investir e, de um modo geral, como usar o dinheiro de forma eficaz visando atingir 
objetivos mais rapidamente. Silva (2004, p. 17) alerta que a falta de uma cultura ampla de 
planejamento “obscureceu diante dos olhos dos brasileiros a importância da gestão financeira 
pessoal como forma garantida de ter uma vida financeira tranquila e duradoura”.
16 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Outra consequência positiva de uma boa educação financeira é a de 
multiplicar os recursos existentes, agindo com equilíbrio entre razão e emo-
ção. Assim, assumindo o poder que cada um possui de escolher, adquirindo 
novas informações e conhecimentos e desenvolvendo sua criatividade para 
transformar recursos. 
Envolve, também, saber eliminar gastos desnecessários, evitando desperdícios e o uso de 
crédito indevidamente, buscando a razão para evitar compras desnecessárias feitas por impulso.
Fique atento
Para transformar o dinheiro em um importante aliado é necessário realizar 
um planejamento financeiro. Segundo Sá (2008, p. 81), chamamos de planeja-
mento financeiro a “um conjunto de operações financeiras que podem ser emprés-
timos, aplicações ou resgates de aplicações financeiras, realizadas para atingir 
um determinado objetivo. Quanto melhor o resultado obtido, melhor terá sido o 
planejamento financeiro”. 
E a realização desse planejamento financeiro agrega quatro pontos primor-
diais: o orçamento, as dívidas, os sonhos e a poupança. Você aprenderá mais 
sobre cada um deles a seguir.
Falando de orçamento, há a necessidade de ter o controle do dinheiro, ou seja, quanto 
se ganha, quanto de gasta e quanto sobra. Se, por acaso, não há sobra, o XI Encontro Nacional de 
Educação Matemática Financeira recomenda que se façam revisões no orçamento e providencie 
cortes, ajustes e adequações até que comece a sobrar.
Atenção
No que diz respeito à dívida, é preciso conhecer muito bem o perfil da mes-
ma, a taxa de juros que foi contratada e quando a dívida se extinguirá, fazendo uma 
análise criteriosa visando diminuí-la ao mínimo aceitável/desejável. O ideal é que as 
dívidas se refiram apenas à aquisição de bens de maior valor como carro e casa.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 17
Os sonhos, que são os motivadores da vida, são aqueles desejos de conquista que 
nos fazem levantar cedo todos os dias e nos projetam para frente. Um curso de graduação 
ou pós-graduação, um curso de idiomas visando uma promoção, aquela viagem de férias etc. 
São tão importantes para nós que por eles fazemos sacrifícios.
E, por último, a poupança, que como diz o ditado: “dinheiro gera dinhei-
ro”. Nesse contexto, poupar para investir e investir na intenção de ganhar, são 
ingredientes para gerar mais riqueza.
Quando se trabalha em um processo acelerado por juros altos, mais dinheiro se obtém. 
Educação financeira significa também conhecer de forma mais detalhada os produtos financeiros 
disponíveis no mercado. 
Memorize
Tendo esses conceitos como base de aprendizagem, você pode atribuir 
significado aos cálculos abordados nos conteúdos de Matemática Financeira, ace-
lerando o processo de educação financeira no seu cotidiano. Para Tommasi e Lima 
(2007, p. 22) “montar um orçamento e saber como tornar o endividamento seu 
aliado são passos importantes dentro do seu planejamento financeiro”.
Na medida em que o governo organiza suas finanças e cria condições para colocar 
o país no caminho do crescimento, mais fácil se torna colocar as suas finanças pessoais 
e familiares em dia. Isso se dará enxugando e controlando os seus gastos, investindo 
melhor o seu dinheiro e planejando a sua aposentadoria e previdência privada, vetores 
importantes para adquirir a sua saúde financeira.
1.3. A sua importância no cotidiano das empresas
Matemática Financeira tem extrema importância para a tomada de deci-
sões na empresa e, sua aplicação quando bem desenvolvida, traz maior rentabili-
dade, possibilitando o processo de maximização nos resultados. 
18 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Gustavo Paiva (2013) deixa claro que os conhecimentos matemáticos po-
dem fazer a diferença ao profissional que os tem. Certamente, uma boa base des-
se conhecimento traz, como compreensão, a resolução de muitos problemas. 
As empresas mundiais cada vez mais enfrentam uma acirrada disputa no 
mercado que está cada dia mais globalizado. Elas precisam de administradores 
que consigam resolver problemas com alto grau de complexidade; e a exigência, 
nesse caso, leva ao raciocínio lógico, rápido e com envolvimento de cálculos que 
podem ser diferenciais no futuro das organizações. 
Dentro dessa perspectiva, as empresas incorporam em seus quadros funcionais cola-
boradores capazes de desenvolver, com eficiência, os atributos a eles solicitados. Nesse estágio 
faz distinção no mercado o profissional que, ao longo de seus estudos, reservou tempo para 
conhecer um pouco mais sobre as disciplinas estudadas, em especial a Matemática Financeira.
Fique atento
Toda organização surge no mercado como mais uma a querer conquistar 
uma fatia do bolo financeiro. Para isso, se faz necessário um “capital intelectual” 
de nível elevado. O departamento de uma empresa precisa, necessariamente, de 
pessoal qualificado e competente com a finalidade de promover o bom anda-
mento dos negócios, obedecendo aos princípios da Matemática Financeira, seja 
em despesas, investimentos, custos etc.
O profissional no mercado contemporâneo que tem domínio sobre finanças 
ganha uma grande vantagem sobre os demais. A recompensa está nos melhores empregos 
e salários. O padrão de vida está em uma faixa mais elevada. Este profissional dificilmente 
fica desempregado, pois existe uma procura iminente a essas pessoas, haja vista a pouca 
oferta no mercado de bons profissionais em comparação à demanda da área.
A Matemática Financeira fornece o instrumental necessário à avaliação de 
negócios, de modo a identificar osrecursos mais atraentes em termos de custos 
e os mais rentáveis no caso de investimentos financeiros ou de bens de capital.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 19
Nas avaliações econômico-financeiras existe o binômio risco-retorno. Ava-
liação ou apuração do retorno de investimentos é um problema da Matemática 
Financeira. Já o risco é um problema da estatística e pode ser definido como a 
possibilidade de perda. Diz respeito apenas à possibilidade de ocorrer um resulta-
do diferente do esperado.
Fique atento
Entenda que decisões com base em dados contábeis aumentam os riscos uma vez 
que se baseiam em dados passados. Decisões devem ser tomadas com base nas expectativas 
futuras, à luz das novas tendências e dos fluxos de caixa projetados.
Na área de Recursos Humanos, é útil para medir crescimento da folha, 
variação/evolução salarial, custo de benefícios, encargos sociais, entre outros. A 
Matemática Financeira é ferramenta para qualquer obra.
2. operações eleMentares da
MateMátIca coMercIal e FInanceIra
A compreensão dos conceitos que envolvem a Matemática Comercial e 
Financeira passa pela necessidade de se reportar a processos mais elementares 
do ramo da Matemática. Sendo assim, é importante você conhecer ou relembrar 
algumas regras práticas abordadas em suas séries iniciais de estudo. Isso fará 
com que você compreenda de forma mais clara outras situações mais complexas, 
que envolvem o universo dessa rica área do conhecimento humano.
Portanto, a seguir, você verá algumas dessas regras, bem simples e de 
fácil compreensão.
2.1. Razão
Você já deve ter ouvido expressões como: “de cada 20 moradores, 5 são 
deficientes”, “de cada 10 professores, 2 são doutores”, “um dia de sol, para cada 
dois de chuva”. Em cada uma dessas situações, há sempre claramente uma re-
20 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
lação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no 
segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.
Todas essas relações serão matematicamente expressas por uma divisão 
ou quociente entre dois números, chamada razão. 
Teremos que:
A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é a divisão ou quociente a
b
 
ou a : b.
Exemplos:
• De cada 12 alunos, 6 gostam de Matemática: Razão = 
6
12
• De cada 80 parafusos, 5 saem com defeito: razão = 
5
80
• A razão entre 3 1
3
3 1
3
+ −e : razão = 
3 1
3
3 1
3
+





−





 → Razão = 1
• José acertou 15 questões entre 30 e Márcio acertou 20 entre 45 questões. Quem 
apresentou o melhor resultado? Resposta: José.
• De cada 20 alunos, 4 gostam de Matemática. Razão = 
4
20
1) Na sala da 7a B de uma escola há 25 rapazes e 20 moças. Encontre a razão entre o número 
de rapazes e de moças.
 Resolução:
 
25
20
, se simplificarmos os dois membros desse quociente pelo número 5, temos que: 
25
5
20
5
5
4
=
, indicando que para cada cinco rapazes nessa escola, há 4 moças.
Exercícios resolvidos
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 21
2) Em um jogo de basquete, a equipe de José e de Manuel marcou 70 pontos, dos quais José marcou 
10 pontos e Manuel marcou 15. Nessa base de informações determine:
 a) a razão entre o número de pontos marcados por José e o número de pontos marcados por 
Manuel.
 Resolução:
 10
5
, se simplificarmos, os dois membros desse quociente pelo número 5, temos que: 
10
5
15
5
2
3












= , 
indicando que para cada 2 pontos marcados por José, Manuel marcou 3 pontos.
 b) a razão entre o número de pontos marcados por José e o número de pontos marcados pela 
equipe.
 Resolução:
 10
70
, se simplificarmos, os dois membros desse quociente pelo número 5, temos que: 
10
5
70
5
2
14












= , 
e ainda se simplificarmos os dois membros por 2, 
2
2
14
2
1
7












= , indicando que para cada 1 ponto 
marcado por José, a equipe marcou 7 pontos.
3) Qual a razão que é igual a 4
7
 e cujo antecedente seja igual 8?
 Resolução:
 
8 4
7
4 8 7
4 56
23
2
x
x
x
x
=
= ⋅
=
=
 
4) Em uma sala de aula, a razão do número de meninas para o número de meninos é de 5/4. Se o 
número total de alunos dessa turma é de 45, caso ocorra uma festa quantas moças ficariam sem par?
 a) 3 moças d) 6 moças
 b) 4 moças e) 7 moças
 c) 5 moças
22 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Resolução:
 Primeiro vamos denominar o número de meninas por x, e o número de meninos por y.
 
x
y
Igualam se as razões
x y Soma total de alunos
= −
+ =
5
4
45
( )
( )
 Deparamos com um sistema de duas identidades matemáticas, chamadas também de igualdades 
matemáticas. São dois parâmetros que podemos abstrair do texto:
 
x y
x
Aplicação das propriedades das proporções
x
+
=
+
=
⋅
5 4
5
45 9
5
45 5
( )
==
= → = → =
9
225 9 225
9
25
x
x x x meninas
 Substituindo x = 25 na expressão x + y = 45, temos:
	 25	+	y	=	45	→	y	=	45	–	25	→	y	=	20	meninos
 Tendo por base que cada menino fique apenas com uma menina, o número de meninas que 
ficariam sem par será:
	 25	–	20	=	5	meninas.	
5) Um minério com massa igual a 32,24 kg possui volume igual a 12,40 cm3. Determine a densidade 
desse minério.
 Resolução:
 Densidade = 
32 24
12 4
,
,
 Densidade = 2,6 g/cm³
 A densidade desse minério corresponde a 2,6 g/cm3.
 Agora teste seus conhecimentos sobre razões resolvendo alguns problemas.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 23
1) No vestibular de 2008, na Faculdade Ateneu, para 50 vagas do curso de Administração haviam 
650 candidatos. Qual a relação candidato-vaga para essa opção?
2) Tenho duas soluções contendo água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1.116 
litros de água. A segunda contém 1.155 litros de álcool e 5.775 litros de água. Qual das duas 
soluções tem maior teor alcoólico? 
3) A massa de Miguel é de 86 kg e a de Murilo é de 43.000 gramas. Qual a razão entre as massas 
de Miguel e Murilo? 
4) Determinada garrafa de vinho tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante tem 
capacidade para 300 ml. A razão entre as capacidades da garrafa maior para a menor é:
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
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Pratique
2.2. Proporção
Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas po-
dem ser expressas por razões ou relações de antecedentes e consequentes dife-
rentes, porém com o mesmo quociente ou divisão.
Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar mostrar que, de 60 alunos 
entrevistados, 15 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevis-
tados 120 alunos da mesma escola, 30 deverão gostar de Matemática. 
Na verdade, estamos afirmando que 15 estão representando em 60 o 
mesmo que 30 em 120. A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o 
nome de proporção.
Dadas duas razões, com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d ou 
a : b = c : d.
24 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Propriedades:
(1a) Propriedade fundamental: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
6
24
24
96
24 24 6 96 576
−
∴ ⋅ = ⋅ =
(2a) Em toda proporção existe uma constante ‘k’
(3a) Somando-se ou subtraindo-se os antecedentes e os consequentes, a proporção não 
se altera (desde que o denominador não seja nulo):
a
b
c
d
a c
b d
a
b
c
d
= =
+ −
+ −
= =
Atenção
1) O somatório de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o 
outro está para 7. Que números são esses?
 Para a resolução dessecaso, utilizaremos uma propriedade das proporções em que chamaremos 
um dos números de a e o outro de b, dessa forma podemos montar a seguinte proporção:
 Resolução:
 
a b a b
5 7 5 7
= =
+
+
 Sabemos que o somatório de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta 
em 12. Substituindo esses valores na proporção teremos:
 
a b a b
5 7
240
12 5 7
20= = > = =
 Portanto, podemos concluir que os dois números são 100 e 140.
2) Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam, nesta ordem, uma proporção. 
Qual o valor de x?
 Resolução:
 Seguindo o explicado na propriedade 1 temos:
 O valor do número x é 20.
Exercícios resolvidos
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 25
3) Calcule o valor da seguinte proporção:
 Resolução:
 
x
x
x
x
x
x
x
+
=
⋅ + = ⋅
+ =
= −
=
=
=
1
18
2
6
6 1 2 18
6 6 36
6 36 6
6 30
30
6
5
( )
4) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades e a está para b, assim como 825 está para 
627. Qual o valor de a e de b?
 Resolução:
 Da segunda propriedade das proporções temos:
 
a
b
a b
b
= >
−
=
−825
627
825 627
627
 Sabemos que a diferença entre a e b é 18, assim como 825 menos 627 é 198. Substituindo 
tais valores na proporção temos:
 Para calcularmos o valor de a temos:
 Portanto:
 75 e 57 respectivamente se referem ao valor de a e de b.
5)	Sabendo-se	que	x	–	y	=	18,	determine	x e y na proporção.
 
x
y
=
5
2
 Resolução:
 Pela propriedade 3 temos que:
 
x
y
x y
y y
x y
x y
x
x
= =
−
=
−
> = >
⋅
=
− =
⇒ = +
⇒ = +
⇒ =
5
2
5 2
2
18 3
2
18 2
3
12
18
18
18 12
30
 Logo, x=30 e y=12.
26 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
@
CO
NE
CT
E-S
E
• Anote suas ideias e dúvidas para ampliar sua discussão na sala virtual, no fórum tutori@conectada.
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Agora, exercite para fixar melhor o conceito de proporção:
1) Na série de razões x y z
5 10 7
= = , calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 44. 
2) A importância de R$ 21,70 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte do 1o está para a 
parte do 2o como 7 para 9, e que a do 2o está para o 3o como 3 para 5, determine as três partes.
3) Dois números têm por soma 30 e estão para si como 1 para 5. Calcule esses números.
4) Calcule o valor de x na proporção 1
3
1
1
=
−
+
( )
( )
x
x
5) Relativo ao tempo de serviço de dois funcionários do banco GT, sabe-se que sua soma é 5 
anos e 10 meses e que estão entre si na razão de 3
2
. Nessas condições, a diferença positiva 
entre os tempos de serviços desses funcionários é de?
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
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Pratique
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 27
2.3. Divisão proporcional
Grandeza é todo valor que ao ser relacionado a um outro valor de tal forma 
que quando um varia, como consequência direta esse outro valor também varia. 
Por grandezas variáveis entendem-se aquelas que, uma ao sofrer um incremento, 
acarretará em um mesmo incremento na segunda variável. À variação da pro-
porção, dá-se o nome de razão r. A relação entre as grandezas variáveis pode ser 
direta ou inversamente proporcional. 
Vários aspectos do dia a dia podem ser analisados através da proporção: 
consumo de combustível x quilometragem rodada, velocidade x tempo do percur-
so. Como você pode perceber aqui, uma variável depende da outra. O consumo 
de combustível depende da quilometragem rodada e o tempo de percurso depende 
da velocidade imprimida.
1) Número de convidados em festa e a quantidade de docinhos que cada um poderá consumir.
 Resolução:
 Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se aumentarmos o número de convidados 
da festa, consequentemente diminuirá o número de docinhos para cada um.
2) Número de erros em uma prova de um determinado concurso público e a nota obtida na mesma.
 Resolução:
 Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se o candidato erra uma menor quantidade 
de questões tira uma notar maior, e se o candidato erra uma maior quantidade de questões, 
conseguintemente ela tira uma nota menor.
3) Quantidade de alimentos que uma pessoa poderá consumir para que não passe fome.
 Resolução:
 Esta é uma divisão diretamente proporcional, pois quanto mais alimento a pessoa tiver mais 
dias ela passará sem fome, e quanto menos dias a pessoa tiver comida, mais rápido a pessoa 
sentirá fome.
Exercícios resolvidos
28 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Dessa forma, podemos definir uma divisão proporcional como uma forma 
de divisão na qual se determinam valores que, divididos por quocientes previamen-
te determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação.
A divisão proporcional pode ser: direta, inversa e direta e inversa conco-
mitantemente.
Divisão em partes diretamente proporcionais
 Às vezes, nos deparamos com problemas que solicitam a divisão de um 
número em partes diretamente proporcionais a outro grupo de números.
A divisão de um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados, 
consiste em se determinar as parcelas que são diretamente proporcionais a cada um dos números 
dados e que somadas, totalizam o número original.
Fique atento
Veja que a divisão do número N em partes p1, p2, p3,..., pn diretamente pro-
porcionais aos números reais, diferentes de zero a1, a2, a3,..., an, respectivamente, 
baseia-se em encontrar a constante K, real não nula, tal que:
P1 = k.a1
P2 = k.a2
P3 = k.a3
...
Pn = k.an
N = p1 + p2 + p3 + ... + pn
Depois de calculado o valor da constante K, basta substitui-lo nas igual-
dades onde foi usado e realizar as contas para descobrir o valor de cada uma 
das partes.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 29
1) Para decompor o número 240 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 4, monta-
remos o sistema de modo que a + b = 240, cuja solução segue de:
 Resolução:
 
a b a b
a a
b b
2 4 2 4
240
6
24
2
24 48
4
24 96
= →
+
+
→ =
= → =
= → =
2) Dividir o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Dessa forma, 
será montado o sistema de modo que a + b = 60, cuja solução segue no cálculo abaixo:
 Resolução:
 
a b a b
a a
b b
4 2 4 2
120
6
20
4
20 80
2
20 40
= →
+
+
→ =
= → =
= → =
3) Uma pessoa divide o valor de R$ 24.000,00 proporcionalmente às idades de seus filhos: 2, 4, 
6 anos. Qual o valor que cada um receberá?
 
 Resolução:
 
a b c a b c
a a
b
2 4 6 2 4 6
24 000
12
2 000
2
2 000 4 000
4
2 000
= = →
+ +
+ +
→ =
= → =
=
. .
. .
. →→ =
= → =
b
c c
8 000
6
2 000 12 000
.
. .
 O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 4.000,00 + R$ 8.000,00 + 
R$ 12.000,00 tendo o resultado geral o capital de R$ 24.000,00.
Exercícios resolvidos
30 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
4) Dividir o número 4.800, em partes diretamente proporcional a 3, 5 e 4.
Resolução:
 
a b c a b c
a a
b b
3 4 5 3 4 5
4 800
12
400
3
400 1 200
4
400 1 60
= = →
+ +
+ +
→ =
= → =
= → =
.
.
. 00
5
400 2 000c c= → = .
 Exercícios adaptados de Antônio Roberto Gonçalves.
Exercite mais um pouco com alguns problemas envolvendo esse conteúdo.
1. Dividir o número 420 em partes diretamente proporcional a 3, 5 e 6.
2. José, Danilo e Vitor resolveram aplicar em um fundo de investimento que exigia um capital inicial de 
R$100 mil. Carlos deu R$ 50 mil, Daniel R$ 30 mil e João R$ 20 mil. Ao final do período de carência 
do plano, eles resolveram sacar o dinheiro. O valor era R$120 mil. Quanto cada um retirou? 
3. A quantia de uma herança de R$ 240.000,00 deve ser dividida em partes diretamente propor-
cionais às idades dos herdeiros que são 36, 40 e 44 anos. Quanto receberá cada herdeiro? 
4. Certa empresa de confecção conta com a produção de suas quatro técnicas de montagem de 
peças íntimas femininas que é de 3, 5, 8 e 4 unidades diárias, respectivamente. Num lote de 
80 peças, quanto cada técnica montará? 
5. Um prêmio foi dividido entre João, Fernando e Clóvis em partes diretamente proporcionais a 
seus tempos de serviço: 2, 3 e 5 anos. Sabendo que a parte de Pedro foi R$ 3.600,00, qual o 
valor do prêmio?
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
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Pratique
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 31
2.4. Divisão inversamente proporcional
Para decompor um determinado número chamado de N, em duas partes, 
partes estas que podemos chamar de X e Y, que sejam inversamente proporcionais 
às mesmas, deve-se decompor este número N em duas partes X e Y diretamente 
proporcionais aos inversos dessas referidas partes, ou seja, 1 1
x
e
y
, formando, 
dessa forma, os seus números inversos.
Adaptado de Antônio Roberto Gonçalves.
A princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois nesse caso, bas-
ta inverter os termos da razão para transformá-la em uma divisão direta. Assim, 
por exemplo, para dividir em partes inversamente proporcionais a 1
4
2
3
e equivale 
a dividir em partes diretamente proporcionais a 4 3
2
e , que são rigorosamente os 
inversos dos números acima citados.
1) Dividir o número 441 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.
 Resolução:
 
a b c a b c
a a
b b
c
1
3
1
5
1
6
10 6 5
30
441
21
21
10
21 210
6
21 126
= = →
+ +
+ +
→ =
= → =
= → =
55
21 105= → =c
2) Dividir o número 676 em partes inversamente proporcionais a 5, 0,5 e 1
3
.
Exercícios resolvidos
32 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Resolução:
 
a b c a b c
a a
b b
c
1
5
2 3 1 10 15
5
676
26
26
1
26 26
10
26 260
15
= = →
+ +
+ +
→ =
= → =
= → =
= 226 390→ =c
3) Duas pessoas, a e b, trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 
160,00 certo artigo. Se a chegou atrasado ao trabalho 3 dias e b, 5 dias, como efetuar com 
justiça a divisão?
 Resolução:
 a: parte inversamente proporcional a 3 (a) → a1
3
 b: parte inversamente proporcional a 5 (b) → b1
5
 
a b
a b a b a b a b
+ =
=






→ = =
+
+
= = →
+
+
160
1
3
1
5
1
3
1
5
1
3
1
5
160
8
15
300 1
3
1
5
== =
= → =
= → =
a b
a a
b b
1
3
1
5
1
3
300 100
1
5
300 60
 Resposta: a receberá R$100,00 e b, R$60,00.
 Exercícios adaptados de Antônio Roberto Gonçalves.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 33
Resolva as seguintes questões para exercitar o conteúdo aprendido.
1) Dividir 1.600 em partes inversamente proporcionais a 2/3, 1/4 e 2/5.
2) Divida o número 24 em partes inversamente proporcionais aos números 1 e 5.
3) Divida o número 224 em partes inversamente proporcionais a 1/3 e 1/5.
4) Dividir o número 90 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 5. 
5) Dividir o número 1.225 em partes inversamente proporcionais aos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
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Pratique
2.5. Divisão proporcional composta
Temos os problemas que solicitam a divisão de um número em partes dire-
tamente proporcionais a outro grupo de números, assim como aqueles que pe-
dem a divisão em partes inversamente proporcionais. Temos também os casos 
onde em uma mesma situação um número deve ser dividido em partes diretamente 
proporcionais a um grupo de números e em partes inversamente proporcionais a 
um outro grupo de números.
A divisão do número N em partes p1, p2, p3,..., pn diretamente proporcionais 
aos números reais, diferentes de zero a1, a2, a3,..., an, respectivamente, e inversa-
mente proporcionais aos números reais, diferentes de zero b1, b2,b3, ..., bn, respec-
tivamente, baseia-se em encontrar a constante K, real não nula, tal que:
34 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
P k a
b
P k a
b
P k a
b
P k a
b
N p p p
n n
n
1 1
1
2 2
2
3 3
3
1 2 3
1
1
1
1
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= + + +
...
....+ pn
Ou de forma mais simplificada:
P k a
b
P k a
b
P k a
b
P k a
b
N p p p p
n
n
n
n
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1 2 3
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= + + + +
...
...
Depois de encontrado o valor da constante K, basta substituí-la nas igualdades 
onde foi utilizada e realizar as contas para identificar o valor de cada uma das partes.
@
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CT
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• Anote suas ideias e dúvidas para ampliar sua discussão na sala virtual, no fórum tutori@conectada.
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MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 35
1) Uma empresa de asfalto foi contratada para pavimentar uma rua. Foi dividido o trabalho em 
duas turmas, com a promessa de pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte 
forma: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens 
trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empresa tinha R$ 29.400,00 disponíveis, como 
dividir com justiça essa quantia entre as duas turmas de trabalho? 
 Resolução:
 Entenda que essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão 
composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois 
números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando essa questão 
veremos que:
 • Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10.5).
 • Na segunda turma: 12 homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homensnum único dia (12.4).
 Nesse caso, divide-se o número em partes diretamente proporcionais aos produtos dos números 
da proporcionalidade.
 Então, resolvendo o problema, temos:
 
x y x y x y
x x
10 5 12 4 50 48 50 48
29 400
98
29 400
98 50
98 1 4
⋅
=
⋅
⇒ = ⇒
+
+
⇒
= ⇒ ⋅ =
.
. . 770 000 1 470 000
98
15 000. . . .⇒ = ⇒ =x x
	 Como	x	+	y	=	29.400			→			y	=	19.400	–	15.000	→				y	=	14.400
 Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15.000,00 da empresa e a segunda R$ 14.400,00.
 Outra forma de divisão proporcional composta é a divisão em partes diretamente proporcionais 
a um grupo de números e inversamente a outro. Parece ser mais complexo; no entanto, basta 
dividir o número em partes diretamente proporcionais ao produto de cada elemento do primeiro 
grupo da proporcionalidade pelo inverso de seu correspondente no segundo grupo.
 
2) Dividir o valor R$ 7.200,00 em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço de Ma-
teus e Miguel e inversamente às suas idades, sabendo que os tempos de serviço deles são, 
respectivamente, 5 e 9 anos e as idades, 25 e 30 anos.
Exercícios resolvidos
36 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Resolução:
 Basta multiplicar o primeiro grupo (5 e 9) pelo inverso do segundo grupo (25 e 30) e, após isso, 
dividir a importância em partes diretamente proporcionais ao produto obtido.
 Fazendo x + y = 7.200,00
 
x y x y x y x y x y
5 1
25
9 1
30
1
5
3
10
1
5
3
10
2 3
10
5
10
7 200
1
2
7
⋅
=
⋅
⇒ = ⇒
+
+
⇒
+
+
⇒
+
⇒
.
.2200
1
2
1
5
1
2
7 200 1
5
1
2
1 400 1 440
0 5
2 880= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =x x x x x. . .
,
.
 
	 Como	x	+	y	=	7.200			→		y	=	7.200	–	2.880	→	y	=	4.320
 
 Mateus deverá receber R$ 2.800,00 e Miguel R$ 4.320,00
 
3) Uma firma pretende premiar três operários de modo que o prêmio seja diretamente proporcional 
ao número de peças perfeitas produzidas por cada um num único dia e inversamente proporcional 
a cada peça defeituosa que cada um produziu no mesmo dia. Os operários produziram 250, 
300 e 150 peças perfeitas cada um e, respectivamente, 1, 3 e 3 peças defeituosas. A quantia 
estipulada como prêmio foi de $ 500,00. Quanto recebeu cada operário?
 Resolução:
 A (1o op): parte DP a 250 e IP a 1 250 1 250
250
= ⋅ = →
x
 B (2o op): parte DP a 300 e IP a 3 300 1
3
100
100
= ⋅ = →
y
 C (3o op): parte DP a 150 e IP a 3 150 1
3
50
50
= ⋅ = →
z
 
 
A B C
A B C
A B C A B C
+ + =
= =




→ = = =
+ +
+ +
=
500
250 100 50
250 100 50 250 100 50
5500
400
5
4
5
4 250
312 50
5
4 100
125 00
5
4 50
62 50
=
= → =
= → =
= → =
A A
B B
C C
,
,
,
 Resposta: O 1º operário receberá R$ 312,50; o 2º, R$ 125,00; e o 3º, R$ 62,50.
Exercícios adaptados de Antônio Roberto Gonçalves.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 37
Resolva as situações seguintes:
1) Dividir 860 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente proporcionais a 
1
6
1
7
1
2
, .e
2) A importância de R$ 43.500,00 deve ser dividida entre 3 pessoas, em partes ao mesmo tempo 
diretamente proporcionais às idades e inversamente proporcionais ao tempo de serviço na 
empresa. Considerando que suas idades são 35, 30 e 36 anos e que estão no trabalho, res-
pectivamente, há 10, 6, e 6 anos, calcule quanto receberá cada um. 
3) Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 3 e inversamente proporcionais 
a 5, 9 e 4, respectivamente. 
4) Divida o número 1228 em partes diretamente proporcionais a 1, 2, 3 e 4 e inversamente pro-
porcionais a 5, 6, 7 e 8, respectivamente.
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Pratique
2.6. Regra de sociedade simples e composta
A divisão proporcional é muito usada em situações relacionadas à Mate-
mática Financeira e na Administração Financeira, na divisão de lucros e prejuízos 
proporcionais aos valores investidos pelos sócios de uma determinada empresa, 
por grupos de investidores em bancos de ações e contas bancárias.
1º caso: capitais diferentes e tempos iguais.
1) Cristina e Jamile se associaram para jogar na loto. Cristina deu R$ 1,80 e Jamile R$ 1,20. 
Tendo acertado um terno, elas ganharam R$ 1.600,00. Quanto cada uma recebeu?
 Resolução:
 x: parte proporcional à R$ 1,80 (Cristina) →
x
1 80,
 y: parte proporcional à R$ 1,20 (Jamile) →
y
1 20,
Exercícios resolvidos
38 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 
x y
x y
x y x y
x
+ =
=




→
+
+
= =
=
1600
1 80 1 20
1 80 1 20 1 80 1 20
1600
3 1
, ,
, , , ,
,880
960
1600
3 1 20
640
→ =
= → =
x
y x
,
2º caso: capitais iguais e tempos diferentes
2) Três sócios formaram uma sociedade com capitais iguais. O primeiro ficou durante 2 anos; 
o segundo, 3 anos e o terceiro durante 4 anos. A sociedade deu o lucro de R$ 900,00, como 
poderá ser dividida essa quantia entre os três?
 Resolução:
 x: lucro do 1
2
o x→
 y: lucro do 2
3
o y→
 z: lucro do 3
4
o z→
 
x y z
x y z
x y z x y z
x x
+ + =
= =




→
+ +
+ +
= = =
= → =
900
2 3 4
2 3 4 2 3 4
900
9 2
200
900
99 3
300
900
9 4
400
= → =
= → =
y y
z z
 Resposta: O 1o receberá R$ 200,00; o 2o, R$ 300,00; e o 3o, R$ 400,00.
3) Uma empresa com duas sócias lucrou R$ 7.200,00. A 1a sócia empregou R$ 1.000,00 durante 
um ano e oito meses; a 2a, R$ 2.000,00 durante oito meses. Quanto recebeu cada sócia?
 Resolução:
 
A Lucro da x cm Aa:
.
1 1000 20
20 000
∴ →
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 39
 
B Lucro da x m Ba:
.
2 2000 8
16 000
∴ →
 
A B
A B
A B A B
+ =
=




→
+
+
= =
7200
20000 16000
20000 16000 20000 16000
72000
36000 20000
4000
7200
36000 16000
3200
= → =
= → =
A A
B B
 Resposta: A 1ª sócia receberá R$ 4.000,00 e a 2ª receberá R$ 3.200,00.
 Exercícios adaptados de Antônio Roberto Gonçalves.
Exercite agora resolvendo as seguintes situações:
1) Três sócios formaram uma sociedade. O primeiro entrou com 
1
3
 do capital, o segundo com 1
4
 
e o terceiro com 5
12
. A sociedade deu um lucro de R$1.440,00. Calcule o lucro de cada um. 
2) Dois sócios formam uma sociedade entrando com capitais iguais. O primeiro permaneceu 
durante 2 meses e o segundo durante 8 meses. A sociedade deu R$2 000,00 de prejuízo. 
Calcule o prejuízo de cada sócio.
3) Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de R$180.000,00 obteve em deter-
minado período R$25.200,00 de lucro. Sabendo que o sócio A entrou com 1
3
 do capital, que o 
sócio B entrou com 2
5
 e que o sócio C entrou com o restante, determine o lucro de cada sócio. 
4) Manuel e Floriano montaram uma lan house empregando, respectivamente, capitais de 
R$50.000,00 e R$30.000,00. Em determinado mês, a loja obteve um lucro de R$3.200,00. 
Quanto coube a cada um? 
5) Três amigas, Alessandra, Gabriela e Juliana, resolveram montar uma butique. No final de um 
determinado mês, o negócio apresentou um lucro de R$6.300,00. Ficou acertado que a divisão 
do lucro seria proporcional ao tempo que cada uma dedicava à loja diariamente. Alessandra 
trabalha das 8h às 12h, Gabriela trabalha das 10h às 13h e Juliana das 13h às 18h. Dessa 
forma, quanto coube a cada uma?
Pratique
40 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
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2.7. Regra de três simples
A regra de três simples é um processo matemático prático para resolver 
problemas que envolvam quatro valores, dos quais um deles é desconhecido. 
Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos outros três já conhecidos.
Passos utilizados na regra de três simples:
(1o) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência;
(2o) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;
(3o) Montar a proporção e resolver a equação.
Fique atento
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia 
solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, 
qual será a energia produzida?
Exercícios resolvidos
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 41
 Resolução:
 Montando a tabela:
ÁREA (m2) ENERGIA (Wh)
1,2 400
1,5 x
 Identificação do tipo de relação:
 
 Área Energia
 1,2 400 
	 1,5↓	 x↓
 Inicialmente, colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2a coluna).
 Observe que aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
 Como os dizeres correspondem a (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. 
 
 Assim sendo, colocamos outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1a coluna. 
 Primeiramente, montando a proporção temos:
 Área Energia
 1,2 400 
	 1,5↓	 x↓
 Em seguida, resolvendo a equação temos:
 
1 2
1 5
400
1 2 1 5
600
1 2
1 5 400
1 2
500
,
,
, ,
,
,
,
=
⋅ = ⋅
=
= ⋅
=
x
x x
x
x
x
 Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um veículo, deslocando-se em uma velocidade média de 400 Km/h, realiza um percurso em 3 
horas. Em quanto tempo realizaria esse mesmo percurso se a velocidade imprimida fosse de 
480 km/h?
42 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Resolução:
 Montando a tabela temos:
VELOCIDADE (km/h) TEMPO (h)
400 3
480 x
 Identificação do tipo de relação:
 Velocidade Tempo
 400 3 
	 480↓	 	 X↓
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2a coluna).
 Observe que aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
 Como os dizeres são contrários (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. 
 Assim sendo, colocamos outra seta no sentido contrário (para cima) na 1a coluna. 
 Ao montar a proporção temos:
 Velocidade Tempo
	 400↑	 	 3	
	 480	 	 X↓
 Em seguida, resolvendo a equação temos:
 
3 480
400x
=
 Observe que invertemos os termos no quociente que não têm a variável desconhecida.
 
480 400 3
480 1 200
1 200
480
2 5
⋅ = ⋅
⋅ =
=
=
x
x
x
x
.
.
,
 Portanto, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 43
3) Rebeca comprou 3 camisetas pagando R$ 120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas 
ao mesmo preço?
 Resolução:
 Montando a tabela:
CAMISETAS (un) PREÇO ($)
3 120,00
5 x
 Observe que, aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
 Como os dizeres correspondem a (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais.
 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 
3
5
120
3 120 5
600
3
200
=
⋅ = ⋅
=
=
x
x
x
x
 Portanto, Rebeca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de empreiteiros, trabalhando 8 horas por dia, realizou uma obra em 20 dias. Se o 
número de horas de trabalho for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe executará 
o mesmo trabalho?
 Resolução:
 Montando a tabela:
HORAS/DIA PRAZO PARA TÉRMINO (DIAS)
8 20
5 x
 Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais.
44 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
x
x
x
x
x
20
8
5
5 8 20
5 160
160
5
32
=
⋅ = ⋅
⋅ =
=
=
 Exercícios adaptados de Antônio Roberto Gonçalves.
@
CO
NE
CT
E-S
E
• Anote suas ideias e dúvidas para ampliar sua discussão na sala virtual, no fórum tutori@conectada.
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Pratique agora com as seguintes situações:
1) Um trem com a velocidade de 45 km/h percorre certa distância em três horas e meia. Nas 
mesmas condições e com a velocidade de 60 km/h, quanto tempo gastará para percorrer a 
mesma distância?
2) Um relógio atrasa 1 min. e 15 seg. a cada hora. No final de um dia, quanto ele atrasará? 
3) Paulo trabalhou 30 dias e recebeu R$ 15.000 reais. Quantos dias terão que trabalhar para 
receber R$ 20.000 reais? 
4) Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 
500 km, viajando 5 horas por dia?
Pratique
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 45
5) Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer cons-
tante, quantas voltas essa roda dará em 330 segundos?
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
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2.8. Regra de três composta
A regra de três composta é aplicada na resolução de problemas envolvendo 
mais de duas grandezas, de forma direta ou inversamente proporcional.
1) Em 8 horas, 20 caçambas descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantas caçambas serão 
necessárias para descarregar 125m3?
 Resolução:
 Montando a tabela e colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada 
linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem, vejamos:
HORAS CAÇAMBAS VOLUME
8 20 160
5 x 125
 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente, colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2a coluna).
 Horas Caçambas Volume
 8 20 160
	 5	 x↓	 					125
Exercícios resolvidos
46 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
 Observe que aumentando o númerode horas de trabalho, podemos diminuir o número 
de caçambas. 
 Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1a coluna).
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. 
 Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3a coluna). 
 Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo 
com o sentido das setas.
 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 Horas Caçambas Volume
 8 20 160
	 5↑	 x↓	 					125↓
 
20 160
125
5
8
20 4
5
4 5 20
100
4
25
x
x
x
x
x
= 




 ⋅






=
⋅ = ⋅
=
=
 Logo, serão necessárias 25 caçambas.
2) Em uma fábrica de bonecas, 8 homens montam 20 bonecas em 5 dias. Quantas bonecas serão 
montados por 4 homens em 16 dias?
 Resolução:
 Montando a tabela:
HOMENS BONECAS DIAS
8 20 5
4 x 16
 Verifique que, se aumentarmos o número de homens, a produção de bonecas aumenta, portanto 
a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 47
 Ao mesmo tempo em que, aumentando o número de dias, a produção de bonecas aumenta. 
Portanto, a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). 
 Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 
20 8
4
5
16
20 4 16
8 5
32
x
x
x
= ⋅
=
⋅ ⋅
⋅
=
( )
( )
 Logo, serão montadas 32 bonecas.
3) Dois empreiteiros levam 9 dias para levantar um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 emprei-
teiros e aumentando a altura do muro para 4m, qual será o tempo necessário para completar 
esse muro?
 Resolução:
 Primeiramente, colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Posteriormente, 
colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita 
e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
 Pedreiros altura dias
 2 2 9 
	 3↑	 							4↓	 				X↓
 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 
9 2
4
3
2
9 8
6
12
x
x
x
= 




 ⋅






=
⋅
=
( )
 Logo, para levantar o muro serão necessários 12 dias.
@
CO
NE
CT
E-S
E
• Anote suas ideias e dúvidas para ampliar sua discussão na sala virtual, no fórum tutori@conectada.
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48 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Pratique agora resolvendo os seguintes problemas propostos:
1. Em uma fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço 
diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de 
calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
2. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for 
aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
3. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. 
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir 
um muro de 225m? 
4. Com certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 
minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos 
em 25 minutos? 
5. Uma fábrica de refrigerantes utiliza uma máquina que rotula 2.000 garrafas em 5 dias, funcionan-
do 8 horas por dia. Em quantos dias essa mesma máquina rotulará 6.000 garrafas, funcionando 
12 horas por dia?
 Caso necessite, busque discutir esta(s) questão(ões) com seu(sua) tutor(a) e colega, na sala virtual. 
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Pratique
2.9. Porcentagem
Os cálculos de porcentagem não são propriamente objeto de estudo da Ma-
temática Financeira, mas sim da Matemática Comercial. Eles serão analisados 
como pré-requisitos para a compreensão de cálculos necessários à realização das 
operações financeiras de um modo geral.
A expressão “por cento” que costuma ser usada na linguagem comum, e é 
indicada pelo símbolo %, pode ser entendida com o mesmo significado de centésimo. 
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 49
Assim, quando se diz que dos 70 milhões de habitantes de um país, 30% 
são analfabetos, isto significa que os analfabetos representam uma fração igual a 
30/100, em outras palavras, para cada 100 habitantes 30 são analfabetos.
Podemos usar uma regra de três simples para calcular quantos habitan-
tes são analfabetos neste país. Veja: o valor de 70 milhões, que corresponde 
ao total de habitantes do país, sobre o qual foram calculados os 30%, é cha-
mado de principal. Os 21 milhões, que correspondem aos 30% desse total, 
chama-se porcentagem.
A fração 0,30, razão entre a porcentagem e o principal, é chamada taxa de 
porcentagem ou simplesmente taxa. Quando a taxa é escrita na forma de fração 
(centésimos), é chamada taxa unitária; quando é multiplicada por 100 e seguida 
do símbolo %, é chamada taxa centesimal ou taxa percentual.
A taxa unitária é mais cômoda quando se efetuarem cálculos e, por essa 
razão, será nessa forma numérica que será empregada nas fórmulas algébricas, 
quando necessária for sua utilização.
O cálculo percentual é usado quando se quer comparar partes de dois 
totais diferentes ou quando se quer estudar a variação de valor de uma grandeza, 
de ordem financeira ou não.
O cálculo de porcentagem é feito de forma mais rápida e mais prática pelo método direto. 
Por isso, vamos procurar generalizá-lo. 
P = i ∙ p1: Fórmula para o cálculo da porcentagem.
Onde:
P = porcentagem 
p1 = principal 
i = taxa
Embora essa fórmula seja muito eficiente, o mais correto é utilizar a calculadora e realizar 
a operação mais rapidamente.
Fique atento
50 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
1) Alfredo perdeu R$336,00 dos R$1.200,00 que tinha em seu bolso. Quantos por cento ele perdeu 
em relação à quantia que possuía?
 Resolução:
 R$336,00 é 28% de R$1.200,00. Obtemos esse valor dividindo-se 336 por 1.200:
 
336
1 200
0 28
.
,=
 0,28 está na forma decimal, então se multiplicarmos por 100% para colocá-lo na sua forma 
percentual, obtemos 28%.
 Portanto:
 Ele perdeu 28% dessa quantia.
2) Dei ao meu primo 25 dos 40 bombons que eu possuía. Quantos por cento dos meus bombons 
eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei?
 Resolução:
 25 é 62,5% de 40. Obtemos esse valor pela divisão de 25 por 40:
 
25
40
0 625= ,
 0,625 está na sua forma decimal, então se multiplicarmos por 100% para colocá-lo na sua forma 
percentual, obtemos 62,5%. Esse é o percentual de bombons que eu dei a ele.
 A diferença entre 40 e 25 é 15. Como 40 equivale a 100% e 25 equivale a 62,5%, então 15 
equivale à diferença entre 100% e 62,5% que é 37,5%:
	 40	–	25	=	15
	 100%	–	62,5%	=	37,5%
 Chegaríamos também aos mesmos 37,5% se tivéssemos divido 15, que é a quantidade de 
bombons que ficaram comigo, por 40 que é a quantidade total.
 Portanto:
 Eu dei 62,5% dos bombons que eu possuía e fiquei com 37,5%.
Exercícios resolvidos
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 51
3) Ao comprar um freezer